Матрицы для решения уравнений

В случае нелинейной системы дифференциальных уравнений для решения уравнения (7.9) можно воспользоваться методом Ньютона—Рафсона, (см. формулу (7.7)). Для этого найдем матрицу частных производных дО (Х")/ЗХ [c.272]

При решении некоторых задач химии и химической технологии, например, таких, которые сводятся к решению систем линейных дифференциальных уравнений или к решению уравнений статистической физики, используются понятия собственных чисел и собственных векторов матриц. [c.276]

ЦВМ с оперативной памятью 32 10 кодов ограничивают число N примерно 1,5-10 , поскольку обычно несколько тысяч кодов требуется для оставшихся в памяти машины программ и подпрограмм алгоритмизации процесса решения. Если (размер матрицы системы уравнений математической модели ХТС) больше, чем объем оперативного запоминающего устройства (ОЗУ) машины, то необходимо использовать внешнее запоминающее устройство (ВЗУ) — барабаны, ленты, диски и др. При этом возникают существенные проблемы организации обмена информацией. между ОЗУ и ВЗУ, связанные с разделением времени обмена, накоплением информации на буферных каскадах и т. п. При применении ВЗУ можно решать задачи с плотными матрицами до N = 10. [c.73]

Основной задачей при использовании формул Эйлера, Рунге— Кутта и т. д. для решения системы (7.288) является выбор шага интегрирования, или фактора релаксации. При малых значениях последнего сходимость решения монотонная, но медленная. В случае же больших значений л возможно появление колебательности и даже расходимости решения. Система уравнений баланса является жесткой, т. е. имеет сильно различающиеся по абсолютной величине собственные значения. Поэтому ее решение существенно зависит от величины шага интегрирования. Очевидно, должно существовать оптимальное значение фактора релаксации, величина которого определяется собственными значениями матрицы системы уравнений и в конечном итоге количеством и концентрацией компонентов на тарелке. При расчете по формулам (7.288) фактор релаксации определяется через собственные зна- [c.367]

Если, матрица У Х) известна, то решение уравнения ( 111.44) с произвольными граничными условиями С (0) = можно записать в виде [c.338]

Рассмотрим различные случаи решения уравнения (11,102). Случай 1. Ранг матрицы [А ] =т, т. е. m I. Решение системы (II, 102) имеет вид [c.108]

В общем случае матрица Ч имеет все ненулевые элементы, поэтому непосредственное решение уравнения (7.232) является сложной задачей, однако если привести ее к диагональному виду, то становится возможным получение аналитического приближения для расчета коэффициентов [г). Из теории матриц известно, что для любой квадратной матрицы, не имеющей кратных собственных значений, найдется невырожденная матрица Г, которая приводит исходную к диагональному виду, т. е. всегда можно найти такую матрицу Т, что [c.350]

Аналитический метод определения элементов операционных матриц технологических операторов ХТС основан на получении аналитических решений уравнений математической модели ТО. [c.89]

В методах второй группы по каждому из компонентов исходной смеси записывается система уравнений и решение осуществляется матричными методами. Поскольку начальное приближение выбирается произвольно, то после выполнения очередной операции производится коррекция искомых переменных. Методы второй группы находят все более широкое применение, так как при этом проявляется меньшая склонность к накоплению ошибок округления и соответственно большая устойчивость вычислительных схем при расчете колонн с несколькими вводами питания и боковыми отборами. К тому же при расчете комплекса колонн снимается проблема задания топологии системы, так как все связи между колоннами отражены соответствующими коэффициентами в матрице системы уравнений баланса. [c.78]

Дальнейшим шагом для нахождения этого стационарного значения является решение уравнений ( 1,16), ( 1,18) и ( 1,19) относительно x и г/5 "> через управляемые переменные Затем полученное выражение используют для записи матриц и в виде функций параметров Далее решают уравнения ( 1,31) как системы совместных уравнений относительно составляющих векторов Этот метод представляет собой точную аналогию прямого приближения к максимуму и также включает совместные изменения переменных, в данном случав для удовлетворения условий уравнений ( 1,31). [c.309]

Современные методы решения задач разделения основываются на одновременном решении всех линеаризованных уравнений математического описания вследствие малой склонности этих методов к накоплению ошибок округления. К тому же при расчете взаимосвязанных систем снимается проблема задания топологии системы - все связи между колоннами отражены соответствующими коэффициентами в матрице системы уравнений математического описания. Следует при этом отметить, что матрицы коэффициентов, описывающих систему колонн, являются неплотными и применение специальных методов хранения данных позволяет свести к минимуму объем занимаемой памяти. Поэтому разработка эффективной процедуры решения задачи линеаризации системы взаимосвязанных колонн разделения является актуальной. [c.253]

Таким образом, нахождение производных минимизируемой функции дЗ/дХ требует решения векторно-матричных уравнений и выполнения операции по обращению матрицы. Для современных адсорбционных установок с разветвленной многоузловой технологической схемой и большим числом балансовых уравнений аналитическое решение уравнений (3.1.21) и (3.1.23) может представить значительные трудности. Причем наибольшая сложность заключается в определении матрицы частных производных дУ/дХ. [c.137]

Как следует из формул (14—6), программа метода наименьших квадратов состоит из последовательности команд для определения коэффициентов матрицы системы уравнений и решения полученной системы. В стандартной программе для решения системы уравнений используется микропрограммная команда решения системы (РС) [47]. [c.443]

Ироизводные дXj дQn можно получить, дифференцируя по 9 уравнения материального баланса (1) и решая затем полученную систему линейных уравнений относительно дXj дQJ Если итерационная процедура сошлась и решение уравнения (6) найдено, то стандартные отклонения и ковариации элементов вектора 9 определяются с помощью дисперсионной матрицы [c.132]

Резкое расширение в последнее время интереса к соединениям тяжелых элементов ставит неотъемлемой задачей учет релятивизма. Наиболее совершенные релятивистские методы основываются на релятивистском аналоге уравнения Шредингера — уравнении Дирака. Главное отличие этих уравнений заключается в том, что оператор релятивистской одноэлектронной кинетической энергии, учитывая зависимость массы электрона от его скорости, совершенно отличается от соответствующего нерелятивистского оператора. При этом гамильтониан Дирака содержит матрицы четвертого порядка в отличие от скалярного вида гамильтониана Шредингера. Решение уравнения Дирака является четырехкомпонентным вектором, называемым четырехкомпонентным спинором. Спинорная природа волновых функций приводит к тому, что в определенных состояниях, например, р"-спин-орбиталь может смешиваться с р - или р -спин-орбиталями. Это вызывает смешение электронных состояний различных симметрии и спина. [c.87]

В табл. 111.4 и 111.5 приведены исходная и преобразованная матрицы 5 и Р. Преобразованная матрица определяет порядок решения уравнений и нахождения неизвестных. Итерационная переменная в этом случае только одна 0 . [c.86]

В табл. 111.6 и 111.7 показаны исходная и преобразованная матрицы 5 и Р. Как следует из матрицы Р, итерационных переменных две Ох и 0 . Порядок решения уравнений и нахождения неизвестных следующий (1), Ов (7), Оа (5), 0 (4) Оо (3) [c.88]

Заметим, что при решении-уравнений (У.86) или (У.88) требуется обращение матрицы. Здесь необходимо следить за тем, чтобы обратная матрица была положительно определенной. [c.210]

Используя (32) и (34) (при к = ), получим общее решение уравнения (28). Заметим, что для большей общности здесь с целью построения частного решения (32) и общего решения (34) применяются, вообще говоря, различные матрицы С, О в первом случае и С , П — во втором. [c.267]

Пусть при X ( о) = а и ( о), где я = О,. . п, в результате решения уравнений (УП,1), (УП,6) и (УII,9) определены соответствующие ( х) и ( 1). Найдем величины а,, решая следующую систему (предполагаем, что матрица системы не вырождена) [c.190]

Как видно из формулы (8.34), алгоритм вычисления решения уравнения (8.29) сводится к последовательности операций перемножения матриц Afi и (Е—Afi) на некоторые вектора и сложения получившихся векторов. В случае, когда ядро интегродифференциального уравнения отличается от ядра сильных столкновений и задача занимает промежуточное положение между диффузионной моделью и моделью сильных столкновений, матрица А имеет, как правило, ленточную структуру. [c.198]

Матрицы а +2 (г) и (г) являются фундаментальными матрицами решений системы уравнений (1) в интервале г,+12,+2- Отсюда одну из них можно выразить через другую при помощи матрицы-столбца С некоторых постоянных [c.229]

Значения к, которые удовлетворяют характеристическому уравнению (И1, 28), называют собственными значениями матрицы А. Общее решение уравнения (П1, 24) выражается суммой частных решений (П1, 26) со всеми собственными числами к. [c.66]

Решение. Для данной степени аппроксимации п = 2 матрица, определяемая уравнением (VII,36а), имеет вид [c.165]

Интегралы вычисляются с помощью ряда (3.113) с использованием блочной структуры матрицы и и векторов fl и f2. Затем ищется решение уравнения (3.108) методом Ньютона с начальным приближением корня О = 1. Если ньютоновские итерации сходятся, т.е. получено решение с шагом [c.84]

Решение уравнений материального баланса при помощи матриц [c.78]

Здесь а и к] рассчитываются в соответствии с числовыми значениями температуры в узлах 1 в момент времени т. Решение уравнения (9.4-34) не содержит принципиальных трудностей, оно решается так же, как и уравнение (9.4-29). Ясно, что для постоянных теплофизических свойств а- = 1 и = 1. Следовательно, матрицы В и С в уравнениях (9.4-35) и (9.4-36) сводятся к матрицам В и С в уравнениях (9.4-30) и (9.4-31). [c.276]

На первом шаге по известной матрице А восстанавливаются истинные значения относительных весов признаков. Эта задача состоит в нахождении нормированного к единице собственного векгора мат )ииы Л, соответствующего максимальному собственному числу. Собственный вектор 6 = бь Лг, . бр матрицы Л получается как результат решения уравнения [c.171]

Решение уравнения (12.20) дает выражение для скорости ферментативной реакции на единицу объема матрицы [c.269]

Имеется большое количество программ для решения системы линейных уравнений при помощи матричной алгебры. Используя эти программы, необходимо в качестве исходной информации задавать только коэффициенты при переменных и константы, входящие в систему уравнений. Следовательно, ирименение матричной программы исключает необходимость составления программы для решения уравнений материального баланса. Амундсон и Понтинен первыми решили на ЭВЦМ задачи многокомпонентной ректификации при помощи матриц. [c.78]

Пусть на границе с матрицей (вещество В) находится слой некоторой фазы, содержащей А и В. Толщина слоя А. Вещество А будет диффундировать в матрицу В, и это приведет к уменьшению толщины слоя рассматриваемой фазы. На границе вещества фазы В сохраняется постоянная концентрация вещества А, отвечающая растворимости фазы в В. Здесь мы имеем дело с диффузией при постоянной граничной концентрации. Как показывает решение уравнения (XIV. 18), количество продиффундировавшего вещества пропорционально корню из времени. [c.274]

Возвращает наиболее часто встречающиеся значения из вектора или матрицы А Матрица решения уравнения Пуассона, у которого решение равно нулю на границах ( голько для Math ad Professional) [c.445]

Может показаться, что наличие двух граничных условий увеличивает размер матрицы А. Однако Макговин доказал, что две вспомогательные точки коллокации могут быть исключены с помощью одновременного решения уравнений (IX, 37) и (IX, 38) с тем, чтобы выразить все переменные как функции, вычисляемые только в п точках. Используя параметры, выбранные Рейли и Шмитцем (1966 г.) для исследования трубчатого реактора идеального вытеснения с рециклом и подбирая подходящие числа Пекле, Макговин применил ранее полученные результаты к изучению трубчатого реактора с продольным перемешиванием и рециклом. Он определил характер устойчивости в малом для различных стационарных состояний, вычисляя наибольшее собственное значение матрицы А при разной степени аппроксимации п. Типичный пример представлен на рис. 1У-6, из которого следует, что сходимость носит затухающий колебательный характер. [c.231]

Умножая равенство (6.1) слева на обратную матрицу (матрица и невырождена по условию и (0)= 0), получим решение уравнения (6.2) [c.308]

Рассмотрим применение упрощенного алгоритма Рамиреза и Вестала для решения этой задачи. Исходная структурная матрица системы уравнений, описывающей рассматриваемый процесс, представлена в табл. П1.16, обозначения переменных приведены ниже [c.96]

Пусть теперь для i = 1,. .., п оказалось возможным определить все матрицы к = 1, N) из системы (V, 54). Тогда при i = п в соответствии с выражением (1П, 109) получим = т. е. точное значение гессиана квадратичной функции/ ), а в соответствии с равенством (V, 33)и точное значение гессиана G всей квадратичной функции /. Отсюда при 1 = /г+1 найдем точку минимума (при условии, что det G 0). Для определения матрицы из уравнения (V,54) может быть использована любая формула из семейства (П, 90), (И, 91), при выводе которых не использовалось свойство сопряженности направлений. Нельзя использовать такие широкоизвестные формулы, как DFP, BFGS и др. Это связано со следующим обстоятельством. Ранее было доказано, что если матрица Hi удовлетворяет уравнению (И, 32),то направления р/, (/ = О, 1,. .., п— 1), даваемые формулой (1,41), будут сопряженными. Аналогичное утверждение справедливо, когда строят матрицу В .Следовательно, если только решение систем уравнений (V, 54) может быть проведено для всех i = 1,. .., п, то направления pi, i = О, 1,. .., ft — 1) в полном пространстве переменных X будут G-сопряженными. Однако, утверждать, что векторы будут 6< >-сонряженными, нельзя, поскольку в подпространстве переменных х направление поиска будет определяться не формулой а проекцией вектора р,- на подпростран- [c.184]

Заметим, что решение уравнения (5.41) по неявной схеме с оценкой локальной погрешности, например по скорости сходимости итераций, имеет тот же порядок точности и дает одинаковую величину выбирае мого шага интегрирования по сравнению с методом оценки локальной погрешности по разности между решениями по явной и неявной схемам. Это связано с тем, что и в том и в другом случае оценка зависит от одной и той же матрицы [ (difi /ди С(Л) ]. [c.144]

Для колонны с N тарел] ами, дефлегматором и ] инятильником получают систему из N -f- 2) уравнений с N + 2) неизвестными. Выше (см. главу III), рассматривался способ решения таких уравнений при помощи матриц. Для решения уравнений этого типа была предложена специальная методика Граббе . Вводя обозначения [c.110]

Аналитические (формульные) решения краевых задач механики полимеров и композитов, примеры которых были приведены в гл. 3, удается получить только при очень жестких предполо-н<епиях относительно свойств матерпала и геометрии конструкции эти решения, как правило, дают только качественное описание исследуемого явления пли процесса. Ужесточение требованпй к уменьшенпю материалоемкости конструкцип при сохранении ее прочностных и жесткостных характеристик приводит на этапе проектирования к необходимости привлекать численные методы и ЭВМ, позволяющие получить подробную численную ппфо1 ыа цию. В настояш ей главе будут затронуты три вопроса, относящиеся к группам численных методов и их реализации иа ЭВМ. Отметим, прен- де всего, что наиболее широко распространенные в настоящее время численные методы по их внутренней структуре, определяющей характер их реализации на ЭВМ, условно можно разделить на две группы. Методы первой группы (методы конечных элементов (МКЭ) и некоторые варианты метода конечных разностей (МКР)) характеризуются тем, что в процессе пх использования формируются матрицы систем уравнений, как правило, большой размерности с применением специальных способов упаковки и хранения, с последующим обращением. Методы второй группы — шаговые, с преобразованием массивов искомых параметров в определенной иоследовательности, без формирования матриц систем, а по существу, с вычислением заново элементов этих матриц на каждом шаге — переходе с одного временного слоя иа другой или от одной итерации к следующей. [c.157]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология