Феноменологическое уравнение для перенос массы

Рассмотрим двухкомпонентную систему, состоящую из растворителя (1) и растворенного вещества (2). Из феноменологического уравнения потока (10.39) следует уравнение для скорости переноса массы растворенного вещества через поверхность в точке х при центрифугировании [c.227]

Рассмотрим влияние энергетического сопряжения на результирующий перенос массы и селективность мембранного процесса в стационарных условиях [1]. Для анализа введем следующие комплексы феноменологических коэффициентов из уравнения (1.7) [c.18]

Феноменологические уравнения (IX.9) — (IX.11) для переноса теплоты, электричества и массы получены в макроскопической физике независимо от термодинамики, и вычисление соответствующих им значений а<з, Ое или ст мало что добавляет к обычной картине классической физики. [c.289]

Феноменологические соотношения, определенные в подразделе 1.1, играют важную роль в термодинамике необратимых процессов. Общую основу макроскопического описания необратимых процессов составляет неравновесная термодинамика, которая строится как теория сплошной среды и параметры которой, в отличие от равновесной термодинамики, являются функциями пространственных координат и времени. Центральное место в неравновесной термодинамике играет уравнение баланса энтропии [10]. Это уравнение выражает тот факт, что энтропия некоторого элемента объема сплошной среды изменяется со временем за счет потока энтропии в рассматриваемый объем извне и за счет положительного источника энтропии, обусловленного необходимыми процессами внутри объема. При обратимых процессах источники энтропии отсутствуют. В этом состоит локальная формулировка второго закона термодинамики. Поэтому основной задачей в теории необратимых процессов является получение выражения для источника энтропии. Для этого необходимо использовать законы сохранения массы, количества движения и энергии в дифференциальной форме, полученные в разделе 1. В уравнения сохранения входят потоки диффузии, тепла и тензор напряжений, которые характеризуют перенос массы, энергии и импульса. Важную роль играет термодинамическое уравнение Гиббса (5.49), которое связывает скорость изменения энтропии со скоростями изменения энергии и состава смеси. Оказывается, что выражение для интенсивности источника энтропии представляет собой сумму членов, каждый из которых является произведением потока, характеризующего необратимый процесс, и величины, называемой термодинамической силой. Термодинамическая сила связана с неоднородностью системы или с отклонением параметра от его равновесного значения. Потоки, в свою очередь, в первом приближении линейно зависят от термодинамических сил в соответствии с феноменологическими соотношениями. Эти линейные законы отражают зависимость потока от всех термодинамических сил, т. е. учитывают перекрестные эффекты. Так, поток вещества зависит не только от градиента концентрации, но и от градиентов давления, температуры, электрического потенциала и т. д. Неравновесная термодинамика ограничивается в основном изучением линейных феноменологических соотношений. [c.83]

Отмеченные особенности непрерывных систем предопределили и порядок изложения материала настоящей главы. В первых разделах введены дифференциальные уравнения баланса для обобщенных координат и других экстенсивных свойств, выражения для плотностей производства энтропии и диссипативной функции, линейные феноменологические уравнения и соотнощения взаимности Онзагера. На этой базе в последующих разделах дано описание процессов в непрерывных системах, обусловленных переносом масс компонентов, энтропии, электрических зарядов, и реализующихся в виде диффузии, седиментации, теплопроводности, электропроводности. Кроме того, рассмотрены некоторые стационарные состояния непре- рывных систем и связи между отдельными процессами переноса. [c.234]

Система уравнений (6.6.22) — (6.6.24) является незамкнутой, как и соответствующие уравнения переноса, выводимые при феноменологическом подходе непосредственно из законов сохранения массы, импульса и энергии. Тем не менее, вьфажения для неизвестных функций Pa и Qa, справедливые в г-м приближении по параметру х> можно вычислить по формулам (6.6.25) и (6.6.26), если известны функции i. В свою очередь, явный вид лю- [c.302]

Уравнения (7,2.11) — (7.2.13) представляют собой известные уравнения переноса для соответствующих гидродинамических полей. Эги уравнения могут быть получены и в рамках феноменологического подхода, на основе рассмотрения балансов массы, импульса и энергии в некотором элементе объема газа с учетом законов сохранения указанных величин. Подчеркнем, что система уравнений (7.2.11) —(7.2.13) незамкнута, поскольку включает не- [c.324]

Основные типы транспорта (кратко) представлены на рис. У-2. В случае многокомпонентных смесей потоки часто не могут быть описаны с помощью простых феноменологических уравнений, потому что движущие силы и потоки сопрягаются. На практике это означает, что перенос индивидуальных компонентов не протекает независимо друг от друга. Например, разность давлений до и после мембраны не только приводит к течению растворителя, но также ведет к возникновению массового потока и росту градиента концентрации растворенного вещества. В то же время градиент концентрации не только приводит к диффузионному переносу массы, но также ведет к созданию гидростатического давления. [c.214]

Если мембрана разделяет две фазы, имеющие разную температуру, тепло будет передаваться от фазы с более высокой температурой к фазе с более низкой температурой. Перенос тепла выражается простым феноменологическим уравнением, известным как закон Фурье (см. разд. 1.5), связывающий поток тепла с соответствующей движущей силой, а именно с разностью температур. Кроме потока тепла наблюдается также поток массы, а процесс называется термоосмосом или термодиффузией. [c.360]

Поведение сплошной среды описывается уравнениями, следующими из законов сохранения массы, заряда, количества движения, момента количества движения и энергии. Эти уравнения должны быть дополнены соотношениями, отражающими принятую модель сплошной среды, которые называются определяющими уравнениями или феноменологическими соотношениями. Примерами определяющих уравнений являются закон Навье — Стокса, который устанавливает линейную зависимость тензора напряжений от тензора скоростей деформаций закон Фурье, согласно которому поток тепла пропорционален градиенту температуры закон Фика, в соответствии с которым поток массы пропорционален градиенту концентрации вещества закон Ома, который гласит, что сила тока в проводящей среде пропорциональна напряженности приложенного электрического поля или градиенту потенциала. Эти определяющие уравнения были получены экспериментально. Коэффициенты пропорциональности — коэффициенты вязкости, теплопроводности, диффузии, электропроводности, называемые коэффициентами переноса, могут быть получены экспериментально, а в некоторых случаях и теоретически с использованием кинетической теории [1]. [c.45]

Тип математической модели неточечных загрязнений и возможности ее практического применения определяются тем, в какой мере учитывается изменчивость таких элементов, как местоположение источника, климат, землепользование и растительность. Важны также характеристики трансформации и кинетики переноса учитываемых элементов. В любом случае, какова бы ни была степень сложности или общности модели, ее калибровка всегда неординарна и базируется на данных наблюдений, как правило, за достаточно длительный период времени. Изменение пространственных масштабов моделей (переход к объектам большей крупности) всегда сопровождается потерями информации, в процессе использования различных феноменологических коэффициентов. Последние определяются с помощью специальных экспериментов и входят в уравнения массо- и теплопереноса. [c.267]

Однако значительное большинство работ в области опытного определения коэффициентов диффузии опирается на уравнения Фика и проведено без учета гравитационного эффекта. Получаемые таким образом опытные кинетические коэффициенты, очевидно, пригодны только для той точки гравитационного поля, для которой они определяются, при аналогично направленном в пространстве потоке массы. И часто бывает так, что коэффициенты переноса, полученные экспериментально в условиях влияния гравитационного ноля, применяются для расчета процессов, где влияние гравитации отсутствует, и наоборот. Общие количественные соотношения для процессов переноса во внешних полях, как известно, развиты на основе феноменологической теории необратимых процессов -]. ь а Для расчета термодинамического равновесия фаз в гравитационном поле Гиббсом был предложен гравитационно-химический потенциал 1 . [c.134]

Знак минус поставлен потому, что импульс переносится в области с меньшей концентрацией импульса (скоростью). Кинематическая вязкость играет роль коэффициента диффузии импульса. Уравнения, в которых плотность потока приравнивается градиенту концентрации, умноженному на коэффициент диффузии , часто называются феноменологическими. Они представляют собой эмпирическое правило установления закономерностей наблюдаемых явлений. Аналогичные уравнения могут быть написаны для потоков массы, энергии, количества электричества и других величин. [c.73]

Феноменологические соотношения диффузии в многокомпонентных системах были выведены Памфиловым, Лопушан-ской и Цветковой [43] на основе общих уравнений переноса массы (см. разд. 3.2.2). Концентрационная зависимость феноменологических коэффициентов была проанализирована Шонертом в работе [44], где эта функция представлялась рядом Тейлора. Шонерт [45а] показал, что процессы переноса гидратированных компонентов связаны между собой за счет гидратации, даже если между отдельными компонентами нет обмена импульсом. Недавно Кетт и Андерсон [456] на основе гидродинамической теории рассмотрели явление диффузии в многокомпонентных системах в отсутствие ассоциации. Были получены основные соотношения для потока каждого компонента и связь феноменологических и диффузионных коэффициентов. Из этой теории можно получить соотношение взаимности Онзагера. Кроме того, было показано, что феноменологические коэффициенты не зависят от величин активности. [c.210]

Сивер [86] в общих чертах описал изотопный метод исследования взаимодействия диффузионных потоков в много компонентных системах, пригодный для изучения параллельных противоположно направленных потоков. Эти исследования на нескольких примерах трехкомпонентных систем подтвердили соотношение взаимности Онзагера. Памфилов Лопушанская и Цветкова [87] на основе общих уравнений переноса массы изучали диффузию в многокомпонентных системах. Ими были выведены основные феноменологические уравнения потоков диффузии, в которых коэффициенты самодиффузии и коэффициенты в явлениях наложения явно выражаются через параметры состояния и термодинамические функции. Соотношение этих коэффициентов и измеренных значений позволяет характеризовать взаимное влияние потоков диффузии. Была определена зависимость феноменологических коэффициентов от температуры, давления и концентрации. Шонерт [88] детально исследовал концентрационную зависимость коэффициентов переноса многокомпонентных систем в растворах, когда концентрация одного из компонентов пренебрежимо мала. [c.247]

Для математического описания процесса смешивания на уровне аналитического исследования с учетом физической сущности сопровождаемых явлений (феноменологический подход) используют уравнения переноса массы, описываюшие изменение конценфации вешества в потоке смеси, перемещаемой в объеме смесителя. Применительно к процессам смешивания сыпучих материалов наиболее часто используют диффузионную и ячеечную математические модели. [c.221]

Соответствующие уравнения переноса тепла и вещества получаются из урав-нешш сохранения энергии, массы и феноменологических уравнений (5.223) и (5.224) 90 [c.90]

Система уравнений (3.3.1.1) и (3.3.1.2) является незамкнутой. Ее необходимо дополнить условиями совместного движения и деформирова1шя фаз, реологическими уравнениями состояния, задающими коэффициенты псевдотурбулентной диффузии, тензора напряжений и силы межфазного взаимодействия, а также членами, характеризующими межфазные переносы массы и импульса. Определение указанных уравнений представляет собой сложную проблему и проводится применительно к конкретной выбранной модели течения с привлечением феноменологических, теоретических, полуэмпирических и эмпирических методов. [c.177]

Для понимания неравновесных процессов роста кристаллов существенны законы теплопроводности, диффузии вещества и гидродинамики. Эти законы обычно устанавливаются в виде феноменологических соотношений, находимых из эксперимента (примером может служить закон Фика),причем коэффициенты в этих соотношениях также устанавливают из опытных данных. Между тем такие законы переноса можно вывести из уравнения переноса Больцмана статистической механики неравновесных процессов (см., например, работу Хуаня [24]). Кроме того, пользуясь понятиями столкновения и средней длины свободного пробега, из этих уравнений можно строго вывести коэффициенты переноса (вязкость, теплопроводность и коэффициент диффузии), по крайней мере для газа в состоянии, близком к равновесному. Можно показать, что для газа из молекул с массой т как теплопроводность, так и вязкость приблизительно пропорциональны ткТ) 1 1а , где а —диаметр молекулы [24]. Вопрос о вычислении этих коэффициентов для жидкостей рассмотрен Райсом [45]. [c.381]

Феноменологическое описание электрокинетического преобразования основано на использовании кинетических уравнений переноса, связывающих потоки массы и электрического заряда через мембрану с вызывающими эти потоки силами. Такое описание не требует введения каких-либо модельных допущений относительно свойств рабочей жидкости, твердого тела и строения двойного электрического слоя. Здесь лишь устанавливаются зависимости между выходными параметрами электрокинетического преобразования и кинетическими коэффициентами уравнений переноса. При разработке ЭКП эти зависимости дают возможность с максимальной полнотой использовать имеющиеся в литературе теоретические работы и экспериментальный материал по изучению электрокинетическнх явлений. [c.180]

Выясним теперь, насколько важны полученные результаты. Как мы установили, обпще законы сохранения в кинетической теории совпадают с уравнениями гидродинамики для массы, скорости и энергии. Это означает прежде всего, что определения тензора давлений, вектора теплового потока и диффузионной скорости, принятые в кинетической теории, по меньшей мере согласованы с обычными гидродинамическими определениями. Между ними, однако, существует важное различие. В уравнениях, полученных выше, тензор давлений, вектор теплового потока и скорости диффузии определены через функции распределения, которые на данном этапе неизвестны. Следовательно, законы сохранения кинетической теории имеют лишь формальный смысл. Наоборот, в гидродинамике уравнения для массы, скорости и энергии дополнены так называемыми определяющими уравнениями которые связывают внутренние напряжения, вектор теплового потока и диффузионные скорости с градиентами макроскопических параметров (плотности, скорости, температуры). Например, закон теплопроводности Фурье связывает вектор потока тепла с градиентом температуры при помощи коэффициента теплопроводности. Аналогично закон Ньютона гласит, что тензор напряжения пропорционален тензору скоростей деформации и что константой пропорциональности служит коэффициент вязкости среды закон Фика выражает линейное соотношение между скоростью диффузии и градиентом плотности (с коэффициентом диффузии в качестве константы пропорцдональности). Разумеется, феноменологические уравнения гидродинамики ничего не говорят о том, как вычисляются константы пропорциональности (так назьшаемые коэффициенты переноса, или кинетические коэффициенты) входяпще в определяющие уравнения — фактически их значения устанавливаются только из эксперимента. Важно, однако, отметить, что уравнения для массы, скорости и энергии вместе с определяющими уравнениями образуют замкнутую систему при заданных начальных данных эту систему можно решить при соответствующих граничных условиях. [c.78]

Поскольку среды, с которыми приходится иметь дело при исследовании процессов подготовки углеводородных систем, представляют собой многофазные многокомпонентные смеси, то в разделе II изложены основы гидромеханики физико-химических процессор, необходимые для понимания специального материала, содержащегося в последующих разделах. К ним относятся явления переноса количества движения, тепла, массы и заряда, уравнения сохранения для изотермических и неизотермических процессов, миогокомпонентных и многофазных смесей, уравнения состояния, основные феноменологические соотношения. [c.5]

Это ведет к тому, что в решении некоторого интегро-дифференциаль-ного уравнения, аналогичного уравненхгю Больцмана для функции распределения, нельзя останавливаться на первом приближении, которому соответствуют линейные феноменологические законы. Следовательно, в решении должны присутствовать члены с высшими, чем первая, пространственными производными макроскопических свойств системы. А это означает, что и феноменологические законы, определяющие процесс переноса в рассматриваемой пространственно неоднородной системе, каковой является пористая среда, должны содержать члены с высшими пространственными производными. Макроскопическое выражение для одномерного потока массы, очевидно, может иметь вид [c.150]