Процессы, описываемые алгебраическими уравнениями

Скорость этой бимолекулярной реакции практически зависит только от концентрации сахара, т. е. является псевдомономолекулярной, идет до конца и описывается кинетическим уравнением первого порядка. Инверсия сахара в нейтральном водном растворе практически не идет. Реакцию ускоряют, добавляя катализатор — сильную кислоту. И тростниковый сахар, и глюкоза, и фруктоза оптически деятельны, поэтому удобно определять изменение концентрации в процессе реакции по изменению оптической активности раствора. Оптическая активность характеризуется удельным вращением [а], равным углу вращения плоскости поляризации при прохождении луча через раствор с толщиной слоя 1 дм и концентрацией 1 г/мл при 20° С. Зная угол вращения, концентрацию и толщину слоя раствора, легко найти [а]. Знаки -f и — отвечают правому и левому вращению соответственно. Тростниковый сахар вращает плоскость поляризации вправо ([а] = 4-66,55°), а смесь продуктов реакции — влево ([а] глюкозы =+52,5°, фруктозы —91,9°). В течение реакции правое вращение падает до нуля, а затем вращение становится отрицательным, так как угол вращения смеси представляет собой алгебраическую сумму углов вращения составляющих веществ. Абсолютная величина отрицательного угла возрастает, приближаясь к предельному значению Соо, отвечающему окончанию реакции. Угол вращения плоскости поляризации а прямо пропорционален толщине слоя I и концентрации активного вещества с, т. е. а=[а]1с. Зная угол вращения, удельное вращение и толщину слоя раствора, вычисляют концентрацию оптического изомера [c.228]

Следующим уровнем построения модели процесса в неподвижном слое катализатора является описание процесса в слое. Одним из составляющих этого процесса является тепло- и массообмен мекду потоком и поверхностью зерен катализатора. Из анализа процессов внутри пористого зерна получаем зависимость наблюдаемой скорости реакции на зерне катализатора от температуры и концентрации реагентов на его поверхности. Процессы переноса характеризуются коэффициентами тепло- и массообмена (о з и Зз соответственна и процесс описывается алгебраическими уравнениями (2) из табл.З. [c.114]

Иначе обстоит дело для реакторов идеального смешения, когда концентрация и температура одинаковы во всех точках реакционного объема, в том числе и на выходе из реактора. Уравнения материального и теплового балансов, составленные для реактора идеального смешения в целом, определяют концентрацию и температуру не только в продукте на выходе из реактора, но и в любой точке его рабочего объема. При стационарном протекании процесса материальный и тепловой балансы реактора идеального смешения всегда описываются алгебраическими уравнениями. Составление этих уравнений относится к числу довольно простых инженерных задач и обычно не вызывает никаких затруднений. В то же время уравнения материального и теплового балансов отражают специфику каждого конкретного процесса, что не позволяет дать рецепты их составления, пригодные для всех случаев. Поэтому мы ограничимся некоторыми рекомендациями общего характера и остановимся подробнее на не вполне стандартных случаях, которые, однако, могут встретиться в инженерной практике. [c.141]

Для процессов гетерогенного катализа необходимым условием устойчивости является соблюдение неравенства XV,67) на каждом этапе теплоотвода а) внутри зерен катализатора к наружной поверхности б) от наружной поверхности зерен к потоку реакционной смеси в) от слоя катализатора к охлаждающему веществу. Условия устойчивости для этапов б и в для модели слоя идеального смешения удалось найти, используя хорошо разработанный первый метод Ляпунова. Анализ устойчивости решений этапа а этим методом проводить нельзя, поскольку стационарные состояния описываются ун<е не алгебраическими уравнениями, а дифференциальными нелинейными уравнениями второго порядка. Соответственно отклонения от стационарного состояния характеризуются не обыкновенными уравнениями, а уравнениями в частных производных. Как указывалось выше, общих методов анализа числа и свойств решений таких уравнений не существует. [c.514]

Иное положение в подсистемах управления основным производством, которые можно отнести к группе В. Здесь вид математической модели определяется характером производства, так что модели различаются между собой самым существенным образом. Так, установки с непрерывными технологическими процессами описываются алгебраическими или дифференциальными уравнениями схемы непрерывного производства, состоящего из ряда установок, моделируются матричными соотношениями или транспортными сетями см. разделы 2 и 3 главы IV) так называемое дискретное производство, в котором материал обрабатывается отдельными порциями, а производственное оборудование работает циклически, описывается моделями комбинаторного анализа или теории расписаний. Иногда приходится сочетать модели различного рода. [c.252]

Ниже на простых примерах рассматриваются основные приемы составления тепловых балансов любых сложных систем. Для правильного составления теплового баланса очень важно ясно представлять себе элементарные процессы переноса тепла, из которых он складывается. Форма построения теплового баланса та же, что и для материального баланса (см. гл. III). Отдельные тепловые потоки описываются дифференциальными или алгебраическими уравнениями, которые затем объединяются в модель. [c.75]

Внешнедиффузионный процесс. Обмен веществом и теплом между наружной поверхностью зерен катализатора и потоком реагентов характеризуется коэффициентами массо- (ке) и теплообмена (а). Математически процесс описывается, как правило, простыми алгебраическими уравнениями [c.156]

В предыдущих главах проводилось математическое описание в осповном несложных процессов тепло- и массообмена, протекающих преимущественно в отдельных аппаратах идеального смешения. Все эти процессы описывались системой обыкновенных дифференциальных или алгебраических уравнений. [c.152]

Рассмотрим теперь работу аппарата непрерывного действия с мешалками. С учетом того, что такие аппараты работают с суспендированным катализатором и обычно перемешивание в них достаточно энергичное по обеим фазам, процесс для реакции А В С описывается системой алгебраических уравнений [c.192]

О <С > Уп,1 rt+l,i = 1,1 Как видно, процесс ректификации описывается системой нелинейных алгебраических уравнений. Математическое описание включает следующие основные зависимости [c.82]

В соответствии с выбранным аппаратурным оформлением процесса разделения — тарельчатыми и насадочными колоннами — применяются в основном два вида математического описания. В тарельчатых колоннах процесс разделения описывается системой алгебраических уравнений, в которые входят балансовые и равновесные соотношения для разделяемых компонентов. В зависимости от полноты принятого математического описания в систему уравнений могут быть включены уравнения тепловых балансов материальных потоков на каждой тарелке. В последнем случае решение системы уравнений математического описания позволяет, наряду с распределением составов по тарелкам колонны, получить и картину изменения количеств пара и жидкости по высоте колонны. [c.72]

Решенная выше задача (см. стр. 339—343) позволяет полностью описать процесс, протекающий нй поверхности плавленого катализатора, так как тепловой и материальный балансы процесса можно представить в виде алгебраических уравнений. Если реакция протекает внутри зерна, то процесс транспорта реагентов и отвод тепла из зерна катализатора описывается системой дифференциальных уравнений - [c.344]

Математические модели третьей группы представляют собой систему алгебраических уравнений из которых одно, базовое, связывает режимные координаты с общей глубиной превращения сырья, а остальные описывают селективность процесса, т. е. выходы продуктов крекинга в зависимости от общей глубины превращения. [c.100]

Система управления, рассмотренная в работе [4], предусматривает наличие двух подсистем подсистемы статической оптимизации , которая, используя полную математическую модель процесса, предсказывает (с учетом ограничений) область локализации оптимума и включается либо при существенном изменении условий протекания процесса, либо при смене критерия управления, и подсистемы динамической оптимизации , которая работает в реальном времени и воспринимает от подсистемы статической оптимизации информацию об изменении рабочей области, а также распознает ситуацию со сменами ограничений. Одновременно на каждом шаге управления подсистема динамической оптимизации, пользуясь упрощенной математической моделью, прогнозирует значение критерия и изменение ограничений, а при необходимости и рассчитывает требующиеся для достижения оптимума управляющие воздействия поскольку и модель процесса и ограничения в этой подсистеме описываются линейными алгебраическими уравнениями, для отыскания экстремума используется линейное программирование. [c.140]

Поскольку процесс описывается четырьмя стехиометрическими уравнениями, для описания кинетики процесса необходимо составить и проинтегрировать систему четырех дифференциальных уравнений. Однако два из этих четырех дифференциальных уравнений легко могут быть преобразованы в алгебраические с помощью метода стационарных концентраций, поскольку в процессе принимают участие две активные промежуточные частицы — свободные [c.228]

Значительная часть физических, физико-химических и технологических процессов описывается линейными алгебраическими дифференциальными уравнениями. Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами сводится после некоторых преобразований к решению алгебраических уравнений. Поэтому знание эффективных способов, применяемых для решения этих уравнений, весьма важно для исследователя и инженера. Одним из таких способов является использование рассмотренного в этой главе метода определителей и матриц, относящегося к элементам линейной алгебры. [c.235]

Таким образам, непрерывная форма модели процесса ректификации описывается системой обыкновенных нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений. Число дифференциальных уравнений равно р—1, так как концентрация одного из компонентов, например р, может быть найдена из уравнения [c.25]

Конечно, балансы тепла и масс для сложного химического процесса (в установившемся состоянии) описываются большой системой нелинейных алгебраических уравнений, причем эти уравнения выражаются неявно, когда имеются петли рециркуляции. Каждый блок объ- [c.82]

В результате для гетерогенного каталитического процесса взаимодействия двух газообразных веществ на поверхности частиц, протекающего в элементарном объеме, имеем следующую систему дифференциальных и алгебраических уравнений (1-45) —(1-47), (1-48) —(1-52), (1-54) —(1-63), (1-64а), (1-66), которые описывают статические и динамические свойства процессов [c.61]

Процесс (12.1) — (12.2) описывается следующей системой дифференциальных и алгебраических уравнений [c.300]

Для определения скорости горения серы при температурах, отличающихся от 800 °С, необходимо пользоваться уравнением Аррениуса, принимая энергию активации, равной 7850 Дж/моль (1873,5 ккал/моль). Константа скорости горения К (в мм /с) представлена как алгебраическая сумма констант взрывного /Свз и диффузионного Д диф горений. Константа скорости диффузионного горения возрастает пропорционально давлению. Константа скорости взрывного горения при возрастании давления уменьшается по экспоненте и при давлении 1,0 МПа (10,2 ат) практически равна 0. Тем не менее, при повыщении давления суммарная скорость процесса горения капель серы возрастает. Выявленные закономерности описываются следующими уравнениями [c.100]

Используют два вида математического описания процессов разделения многокомпонентных смесей. Согласно одному, рассмотренному ранее, при расчете стационарных состояний тарельчатых колонн, процесс разделения описывается системой алгебраических уравнений, описывающих материальные балансы всех разделяемых компонентов на каждой тарелке колонны. Решение этой системы уравнений обеспечивает расчет разделения при допущении постоянства мольных потоков пара и жидкости по высоте секций колонны. В случае недопустимости этого предположения, как это, например, имеет место при ректификации смесей, теплосодержание которых в сильной степени зависит от состава, Необходимо дополнить систему уравнений, описывающую материальные балансы компонентов, системой уравнений, которая учитывает тепловые балансы на каждой тарелке, и проводить расчет с учетом изменения мольных потоков пара и жидкости по высоте секций колонны. [c.93]

Процесс многокомпонентной ректификации в аппаратах со ступенчатым контактом (в частности, тарельчатых) описывается системой нелинейных алгебраических уравнений, неразрешимых относительно неизвестных. Описание процесса в аппаратах с непрерывным контактом (насадочных колоннах) представляет собой систему обыкновенных нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений с граничными условиями (заданными системой алгебраических уравнений). [c.375]

Процесс многокомпонентной ректификации в общем виде описывается системой дифференциальных и алгебраических уравнений с граничными условиями, заданными алгебраическими уравнениями. Указанная система уравнений не имеет аналитического решения п поэтому решается численными методами. При расчете тарельчатых аппаратов шаг интегрирования удобно выбирать таким, чтобы Т жидк— пара что соответствует расчету по теоретическим тарелкам. Этот метод получил название расчета от тарелки к тарелке . Он широко распространен при расчете бинарной ректификации. Однако при применении этого метода к расчету много- [c.283]

Рассмотрим кинетические закономерности ферментативной реакции при условии, что инактивация протекает мономолеку-лярно через фермент-субстратный комплекс [см. (2.229)]. В условиях стационарности по промежуточному соединению и при избытке субстрата кинетику процесса описывает система дифференциальных и алгебраических уравнений [c.250]

Системы интегральных уравнении вырождаются в соответствующие системы алгебраических уравнений применительно и к другим видам излучения. Еслн условие (17-107) строго не выполняется, то системы алгебраических уравнений будут описывать процессы теплообмена излучением лишь с соответствующим приближением. [c.404]

Система уравнений (7.1)—(7.2) и начальные условия (7.3)—(7.0) в общем случае не составляют замкнутую систему уравнений. Для решения системы необходимо ввести также систему уравнений (как правило, алгебраических), которые описывают зависимость параметров процесса от состава фаз [c.118]

Таким образом, соотношения типа (VII.26) — (VII.27) могут быть получены путем простых алгебраических преобразований уравнения теплового баланса и не описывают кинетических закономерностей процесса теплообмена [128]. [c.252]

Дополнительный интерес к выражению для скорости реакции первого порядка связан с тем, что оно описывает также все процессы радиоактивного распада. Несколько простых алгебраических преобразований показывают, что это выражение обнаруживает ряд полезных общих свойств. Уравнение (1.7.1) можно преобразовать и затем проинтегрировать следующим образом [c.24]

Одномерная модель горения в жидкостном ракетном двигателе. Капли, которые взаимодействуют с потоком газа, содержащим продукты их горения, описываются математической моделью жидкостного ракетного двигателя, которая обсуждается в гл. 8. Эта модель при некоторых упрощающих предположениях описывается обыкновенными аналитически решаемыми дифференциальными уравнениями. Следовательно, можно вывести алгебраическую формулу длины камеры, необходимой для полного сгорания. В модели учитываются процессы, происходящие при горении капли, а также аэродинамическое сопротивление. Модель составлена из модели горения капли жидкого топлива в неподвижном воздухе и модели одномерного течения в канале. [c.10]

При изотермической работе реактора изменение скорости или состава загрузки приводит к постепенному изменению превращения от одной величины к другой. Временной интервал, в течение которого произойдет этот переход, имеет существенное значение. При нестационарных условиях процесс, например в кубовом реакторе, описывается обычными дифференциальными уравнениями вследств-ие введения новой переменной — времени (при стационарном режиме он описывался алгебраическими уравнениями). Мэйсон и Пирет провели математический анализ пуска изотермического каскада кубовых реакторов на основании исследования были рекомендованы способы быстрого достижения эксплуатационных условий. Для описания нестационарного режима изотермических трубчатых реакторов приходится решать дифференциальные уравнения в частных производных, в то время как стационарный режим в таких реакторах описывается обычными дифференциальными уравнениями. Решение в каждом отдельном случае, даже когда скорость превращения не является линейной функцией концентраций, можно получить при помощи современных счетных устройств. [c.240]

Развитие во времени сложного химического процесса описывается системой дифференциальных уравнений, число которых равно числу независимых стадий. Чирленное интегрирование при известных значениях констант скоростей к, стадий позволяет решить прямую задачу — найти зависимости концентраций от времени С,,(О-Обратная задача — нахождение к., из полученных в эксперименте зависимостей (1) — задача на минимизацию отклонений расчетных значений от экспериментальных по значениям и связана с поиском глобального минимума. Для активных промежуточных частнц выполняется квазистационарное приближение, предполагающее равенство скоростей образования и расходования. Оно позволяет заменить часть дифференциальных уравнений на алгебраические, что упрощает решение прямо,т п обратной задач. [c.225]

При построении систем автоматической стабилизации отдельных технологических параметров (координат) требовалось, как правило, знание статики и динамики лишь в узком, рабочем адапазоне изменения входных и выходных координат. Для решения этой задачи применялись экспериментальные методы изучения татических и динамических свойств объекта. Эти методы чаще всего базируются на предположении о линейности и сосредоточенности параметров объекта, неизменности во времени его динамических и статических характеристик. Принятие этих допущений позволяет сравнительно просто описывать наблюдаемые процессы линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами и алгебраическими зависимостями. При эксперимен-гальном подходе к составлению математического описания всегда ребуется постановка опытов непосредственно на изучаемом объекте. [c.7]

Уравнения процесса можно классифицировать по роду операции, которую они описывают, по виду самого уравнения или по методике, применяемой для его раскрытия. Для выражения взаимосвязей процесса могут быть использованы различные типы уравнений. В непрерывных длительных процессах можно предполагать относительно постоянными скорости подачи сырья и выхода продукции можно ожидать, что так же мало изменяются давление, температура, концентрация и др. Возмущения могут иметь ступенчатый вид и являться случайными результатами, например, резкого изменения в подаче сырья или в качестве продукции. Основной задачей автоматического управления такими процессами является определение наилучших условий работы в установившихся режимах, поскольку отклонения от этих режимов непродолжительны. Поэтому здесь наиболее предпочтительна математическая модель, состоящая. ИЗ алгебраических уравнений. Эта мпде,аь составляется из энергетического и материального балансов, производительности или обратных ей величин, фазовых соотношений, статических уравнений и других видов уравнений, знакомых химикам. [c.444]

Статистика поведения случайной величины, принимающей дискретный спектр значений, описывается системой управляющих или балансных уравнений. Подобные системы широко используются в физических приложених и, в частности, для анализа заселенностей термов атомов и молекул /6, 8, 14/. Уравнение ФП. аписанное в конечных разностях, принимает вид системы управлякипич уравнений. И, наоборот, когда средний квадрат изменения случайной величины больше квадрата характерного расстояния между ее соседними значениями, возможен переход от системы управляющих уравнений к уравнению ФП. Поэтому изложенный выше аппарат построения асимптотических по времени решений уравнения ФП можно применить и в этом случае. При этом следует ожидать, что функции распределения случайных величин с непрерывными и дискретными значениями во многом будут аналогичны друг другу. Известные методы анализа систем балансных уравнений опираю 1сл главным образом на численный счет и "приближение стационарно о стока" /68/, когда рассматриваются алгебраические уравнения для быстрых процессов и дифференциальные уравнения для медленных процессов (например, для заселенности основного состояния). Полученные ниже результаты позволяют существенно упростить этот анализ /51, 52, 69, 70/. [c.62]

Выходной режим работы лазера описывается с помощью уравне ний типа Статца-де Марса /47/, включающих двухуровневую систему I электромагнитное поле излучения. Для многоуровневых систем в /48, было получено решение самосогласованной задачи численным путем В /50/ решались алгебраические уравнения для заселенностей уровней V числа фотонов в моде поля излучения. В предположении "слежения мощности когерентного излучения за скоростью накачки проанализирована зависимость мощности от основных параметров системы. Ниже будет рассмотрена динамика процесса развития и срыва генерации на основе асимптотических по времени решений системы балансных уравнений. Это дает возможность резко упростить решение самосогласованной задачи, включающей как кинетику заселенностей, так и числа фотонов в поле излучения /49/. [c.135]

Процессы и аппараты газохимических комплексов как объекты управления характеризуются большой инервдонностыо, временем запаздывания и обычно описываются передаточными функциями в виде алгебраических уравнений второго порядка. При управлении такими процессами существенную роль играют перекрестные связи. [c.102]