Функции более чем одной переменной

Простейшая молекулярная система Н содержит один электрон и два протона. Волновая функция, которая определяла бы положение каждой нз частиц, была бы функцией девяти переменных (по три пространственные координаты для каждой частицы). Однако в отсутствие внешних полей достаточно определить положение частиц относительно друг друга. Это мож-но сделать, выбрав начало координат в центре масс системы. Таким образом, волновая функция, описывающая относителЬ ное положение частиц, будет функцией только шести переменных, Но и это число переменных слишком велико, тем более что речь идет о простейшей молекуле. [c.62]

До сих пор мы не столько проводили абстрактные рассуждения, сколько вводили удобные обозначения. Но когда необходимые величины введены, а их физический смысл понят, начинается самое интересное. Чтобы продвинуться дальше, надо сделать еще один шаг, на первый взгляд только усложняющий всю картину. Будем считать, что Сс = Ке2 , где 2 — комплексная переменная. Таким образом, обобщенная восприимчивость превратилась в комплексную функцию комплексной переменной. После прочтения гл. 8 математической части Вас не должно удивить, что а г) — аналитическая функция. Более того, если принять во внимание принцип причинности в его наиболее естественной формулировке ( будущее не влияет на прошлое ), то в зависимость B t), выраженную в виде функционала от А, должны входить значения А в моменты времени, предшествующие моменту t или совпадающие с ним. Тогда выясняется, что аналитическая функция а г) обладает следующим свойством в верхней полуплоскости (1т 2 > 0) она не имеет особенностей. Из этого математического результата выводятся неожиданные следствия действительная и мнимая части функции а ш) = Ке а + г 1т а связаны между собой интегральными соотношениями. Обратите внимание на то, что обе функции (Не о и 1т ск) — функции настоящей частоты. [c.235]

Предположим, что система уравнений (У.Ю) невырожденная, т. е. бг > О и один коэффициент < 0. Тогда всегда можно найти допустимое базисное решение с меньшим значением целевой функции. Если более одного коэффициента j < О, то выбирается та переменная Хд, которая имеет наибольший по абсолютному значению отрицательный коэффициент. Относительная оценка в этом случае имеет вид [c.186]

Как правило, диаграммы решений дают связи одной или двух независимых переменных с одной или несколькими выходными переменными. В тех случаях, когда число входных переменных три или более, приходится строить несколько диаграмм. Так, на рис. 11-1 представлен только один из шести рисунков, описывающих функцию трех переменных (включая группу среды). [c.17]

Поскольку методы сопряженных направлений за К шагов имитируют один шаг метода Ньютона — Рафсона, они, вообще говоря, обладают квадратичной скоростью сходимости. Однако это их свойство проявляется лишь в достаточной близости к экстремальной точке. В случае расчета стабильных структур использование известной структурной информации позволяет достаточно хорошо выбирать начальное приближение. Известные значения силовых постоянных (из эксперимента или из родственных расчетов) можно использовать при задании начального приближения для матрицы А (A 5iG ) в методах переменной метрики. Интересной особенностью градиентных методов сопряженных направлений является их эквивалентность в случае выпуклой квадратичной функции [234], когда они приводят к одной и той же последовательности сопряженных направлений. Но для произвольных функций, особенно вблизи точек перегиба, разные методы приводят к разным результатам. Наибольшей устойчивостью, по-видимому, обладают методы переменной метрики, но в задачах с очень большим числом переменных необходимость работы с матрицей высокого порядка может приводить к затруднениям тогда следует пользоваться более простыми методами параллельных касательных или сопряженных градиентов. Предварительно полезно улучшить начальное приближение с помощью метода скорейшего спуска. [c.116]

В аналитической работе при проверке гипотезы нормальности обычно нет необходимости объединять пробы с очень большим интервалом концентрации определяемого компонента. Но при решении некоторых статистических задач, в частности в дисперсионном анализе, который будет рассматриваться ниже, часто приходится объединять в один статистический ансамбль пробы с очень широким диапазоном концентрации определяемого компонента, причем там бывает нужно найти такую функцию преобразования, которая бы давала возможность получать одинаковые дисперсии для различных по своему составу проб. Поэтому рассмотрим несколько более подробно вопрос о преобразовании случайной переменной величины. [c.125]

Далее до строки 2240 дисплей подготавливается для вывода графических данных и строится рамка окна . Координатная сетка не изображается, хотя во многих случаях ее лучше все же нанести. Оставшаяся часть программы состоит из цикла по параметру IH (переменная Ш определяет тип линии). Для каждой ячейки координатной сетки проверяется, проходит ли горизонталь через данную ячейку. Для этого в строках 2520—3200 организованы циклы по параметру IX и по параметру IY. В четырех углах ячейки вычисляются разности между высотой HV данной линии уровня и значениями функции F(X, У). Разности присваиваются переменным Z1, Z2, Z3 и Z4 (строки 2550 и 2560). Если значения этих переменных имеют одинаковые знаки, то данная линия уровня вообще не пересекает эту ячейку и исследуется следующая ячейка. Если же знаки различаются, то в зависимости от того, какая из сторон ячейки рассматривается, значение координаты X или У присваивается переменной ХР(1Р) или УР(1Р) соответственно и линейной интерполяцией определяется и запоминается координата У или X. Если ячейка достаточно мала, то линия уровня или вообще не проходит через нее, или пересекает ячейку только один раз. Последний оператор конструкции из трех вложенных циклов соединяет две точки пересечения отрезком прямой. Тип линии определяется в строке 2510. Поскольку невозможно изобразить каждую линию уровня своим типом линии (рассматриваемая версия графического интерпретатора предусматривает использование не более четырех типов линий), через каждые четыре линии уровня тип линии повторяется. Для это- [c.363]

В случае если изучается более чем один случайный процесс, могут рассматриваться общие случайные переменные двух различных процессов x t) и y(t), т.е. x = x(t ) и у — = y[t2)=y(ti- -х) в уравнениях (24) — (33). Взаимную корреляционную функцию Rxy и взаимную ковариацию Сху можно определить аналогичным образом. В случае если оба процесса стационарны, Rxy и Сху есть функции только т. [c.470]

При разборе понятия совместного действия биологически активных веществ на насекомых можно считать, что реакция насекомого на вещество является функцией доз, продолжительности действия доз и периода наблюдений за эффектом, вызываемым этими дозами. При испытании только двух веществ приходится иметь дело с шестью переменными величинами и, как обычно, устанавливают отношения, делая один или более факторов постоянными. В больщинстве опытов по выяснению совместного действия насекомых обрабатывали определенными дозами того или другого вещества одновременно, т. е. применяли смесь веществ и элиминировали время действия доз. Во многих опытах учитывали эффект, т. е. реакцию насекомого, по истечении определенного постоянного времени после обработки дозами или тогда, когда эффект достигал конечного стабильного уровня, и в этих случаях фактор времени не принимали во внимание при установлении зависимостей. Случаи, когда одно из веществ токсично в отсутствие второго, не обладающего токсичностью, рассматриваются ниже как частный случай смесей двух соединений, каждое из которых, примененное по отдельности, вызывает токсический эффект. [c.34]

Один из примеров более широкого подхода отражен в статье [15], автор которой анализирует упрощенную модель среды с двойной емкостью применительно к единичной трещине с переменной (заданной с помощью параметров ковариационной функции) проводимостью. Выводы работы [15] свидетельствуют о существенном сглаживании рассеяния, обусловленного вариациями локальных скоростей фильтрации, кинетикой обмена веществом между трещиной и пористой матрицей (емкость последней при этом принималась неограниченной). [c.176]

Так как плавление начинается в зоне питания, для расчета профиля пробки используют выражение (12.2-21). Плавление начинается у седьмого витка и оканчивается на 12,5 витка в конце участка зоны питания с постоянной глубиной канала. Поскольку Ф зависит от /1, которое в свою очередь является функцией X, расчет проводят плановым методом, В данном примере будем считааь, что один шаг расчета равен шагу червяка, и рассчитываем б, 1 и Ф при условиях, существующих в начале каждого шага. По более точной методике расчета оценку этих переменных производят в середине каждого шага. В данном примере в эти условия входит ширина пробки X, необходимая для расчета б. Поэтому приходится использовать итерационные методы. Такую процедуру можно легко осуществить на ЭВМ. Величину Ч) рассчитывают из уравнения (12.2-22), а значения х и Ф находят интерполяцией данных, представленных выше (для интерполяции используется соотношение 6162 яв I/ Х,/Х-.). Результаты расчетов представлены ниже в табл. 12.1. При расчете профиля пробки по выражению (12.2-21) на первом шаге принимаем, что Х,/ = 1. [c.450]

В случае применения этого уравнения при обработке фoтo ниiS[кoв. полученных при рассеянии электронов молекулами газа, величиной / обычно пренебрегают, так как когерентное атомное рассеяние не обнаруживает максимумов. Опытные значения наносят на один график в виде функции переменной s, или (4л/> ) sin (ф/2), а теоретические значения / //д, рассчитанные с помошью уравнения Борна при допущении вероятных значений r j, наносят на другой график также в виде функции s. Рассчитанные кривые строятся вновь и вновь с другими значениями до тех пор, пока теоретическая и опытная кривые не совместятся [22]. Если рассеивающая молекула содержит более двух атомов и определению подлежат несколько значений то расчету должны быть предпосланы некоторые сведения о модели молекулы. Эта сложная задача, однако, может, как показали Полинг и Броквей (23], решаться проще при использовании другого метода усреднения. [c.464]

При заданной температуре Т энергию Гиббса фазы а или /3 можно выразить через величины мольных долей Х, О = 1, 2.....т) в соответствии с уравнениями, описанными в разделе 10.3.1. Таким образом функция Gs, которую следует минимизировать, содержит и логарифмические и полиномиальные члены, и уравнения связи между переменными нелинейны. Для задачи, сформулированной таким образом, существуют разные методы решения. Один из таких методов раз-рабо ган Гайе и Люписом [22], хотя при большом количестве расчетов эти же авторы используют более простой ступенчатый способ. [c.261]

Тогда же, когда такие данные имеются, вырисовывается довольно своеобразная картина. Показано, что р/(а для 4-замещенных N-метилпиперидинов с экваториальным переменным заместителем линейно зависят от соответствующих значений а [309, 311 — 316, 319]. При этом значение 2цикл практически неотличимо от вычисленного в соответствии с формулой (IV. 15), если для z принято значение 0,47, установленное [314, 316] для рКа алифатических третичных аминов. Для 4,4-дизамещенных производных, когда один из заместителей — группа ОН, точки ложатся на две параллельные прямые в зависимости от того, занимает ли переменный заместитель экваториальное или аксиальное положение [309, 311] . Еще более четко такое разделение функции рКа = f(o ) на две параллельные прямые наблюдается для 4-замещенных 2-метилдекагидрохинолинов (рис. IV. 15) [316]. И в этом случае экспериментальное значение г икл близко к вычисленному по формуле (IV. 15). Ясно, что точка для незамещенного соединения может располагаться лищь на одной из этих параллельных прямых как видно из рис. IV. 15, эта точка попадает на прямую для аксиальных заместителей. [c.169]

Для оценки х, когда известны г, й и т, существует несколько различных методов. Один из них основывается на зависимости е от частоты электрического тока. Если для измерения диэлектрической постоянной пользоваться низкочастотными токами, то оказывается, что диэлектрическая постоянная не зависит от частоты. Однако при более высоких частотах диэлектрическая постоянная становится функцией частоты, так как время, необходил ое для перемены диполем направления своей ориентации на 180°, превышает уже то время, которое требуется для завершения одного цикла переменного тока, а следовательно, дуга колебаний диполя будет здесь меньше 180°. При дальнейшем повышении частоты ориентационная поляризация Ро полностью исчезает в связи с тем, что медлительные дипольные молекулы не могут более поспевать за быстрыми переменами направления поля, а потому здесь Р=Рв-гРа-Если частота продолжает нарастать, то в конце концов достигается такая точка, в которой уже и тяжелые атомные ядра также не смогут более приспособляться к быстрой перемене направления тока, и тогда уравнение (3) примет видР=Рб. Если работать в области тех высоких частот, при которых Р = Ре+Ра, и воспользоваться приближенным уравнением Максвелла п = е, то из уравнений (2) и (3) мы получим [c.492]

Абсолютная устойчивость системы может быть определена путем решения уравнения l-j-XYZ=0, т. е. путем нахождения корней этого уравнения, рассматриваемых как функции переменной величины S. Однако ввиду наличия члена уравнение является трансцендентным, что делает довольно сложным отыскание его корней аналитическим методом. Применение для этой цели графического метода более практично. Для обеспечения абсолютной устойчивости коэффициент усиления системы КрКв следует выбрать так, чтобы все корни s уравнения 1+XFZ=0 были отрицательными или имели отрицательные вещественные части. Не должно быть чисто мнимых корней и ни один из них не должен быть положительным или иметь положительную вещественную часть. [c.61]

В гл. 12 было отмечено, что замыкающая проблема вычисления химического члена-источника может быть решена, если совокупные функции плотности вероятности скалярных переменных известны. Один из подходов заключается в том, что форма функции плотности вероятности задается определенной аналитической функцией. В качестве примеров можно привести усеченную функцию Гаусса и /3-функцию. Эти функции определяются с использованием среднего от величины и дисперсии величины определенного параметра. Из уравнений Навье-Стокса можно получить уравнения сохранения для каждого из этих двух моментов, а затем решить их. При помощи аналитических функций плотности вероятности был достигнут значительный прогресс (см., например, [Libby, Williams, 1994]). Однако фактическая функция плотности вероятности часто имеет такие черты, которые трудно воспроизвести с использованием двухпараметрических аналитических функций. В принципе, любую функцию плотности вероятности можно представить как сумму взвешенных моментов этой функции. На практике, однако, получение и затем решение дополнительных уравнений сохранения для более высоких моментов функции плотности вероятности оказалось неудобным и трудноосуществимым. [c.232]

Отметим один чисто бесконечномерный эффект, относящийся к возможности варьировать область значений производных в смысле гладкости (точнее, в смысле регулярности по количеству переменных). Именно для некоторых функций производные могут принадлежать не а более узкому линейному топологическому пространству сг X , причем вложение предполагается топологическим, Можно выделять те или иные классы функций, задавая и требуя принадлежность (х) У х X). Пространства У удобно выбирать с дополнительными свойствами — гильберто-востью, гладкостью в смысле оснащения (3.6) и т. д. (заметим также, что (х) всегда лежит не в X ", а в более узком пространстве V. = Рп). [c.134]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология