Граничные условия сферы

Решая уравнение Навье — Стокса для жидкости в области между обеими сферами с указанными граничными условиями, Хаппель нашел поле скоростей и вычислил суммарную силу сопротивления, действующую на шар — [c.40]

Если рассматривается задача о движении твердой сферы, то граничными условиями являются равенства нулю тангенциальной и нормальной составляющих скорости на поверхности частицы [c.7]

Записав граничные условия исходя из постулата о радиальном и симметричном потоке, авторы получили численные решения уравнений количества движения и неразрывности для принятых рд, < е, Qs и "т/, рассчитав распределение давлений, порозности, скоростей газа и твердых частиц на подходе к отверстию. Как для двух-, так и для трехмерного потока, как показывает анализ, следует ожидать быстрого падения порозности и крутого градиента давления в области О < г/г,, < 1. Однако, опыты с песком (100 мкм) и стеклянными сферами (500 мкм) в двухмерных слоях высотой 2,5 м, шириной 61 см, и толщиной 1,27 см обнаружили значительно меньшие изменения параметров, чем это следует из теоретических расчетов. По измеренным давлениям при истечении из горизонтальных щелей высотой 1 см и 2,5 см получены профили, очень сходные с найденными ранее для меньших отверстий (рис. ХУ-5, г) и согласующиеся с допущением о постоянной порозности. Измерения емкостным датчиком показали, что вблизи отверстия порозность слоя, действительно практически постоянна. Авторы объяснили эти расхождения возможной неадекватностью постулата о радиальном и симметричном потоке. Было выявлено существование застойных зон (в некоторой степени они сходны с показанным на рис. ХУ-5, в) и сделано предположение о возможном влиянии сил взаимодействия между частицами на режимы движения. [c.580]

Уравнение (11.70) решается прп граничных условиях, характеризующих постоянство концентраций на поверхности сферы и в ядре потока [c.208]

Граничные условия должны быть заданы в центре сферы, на бесконечности, а также в обеих фазах на границе раздела фаз и на оси симметрии. [c.235]

Интегрируя уравнения (1.294) граничными условиями (1.289), а также учитывая непрерывность п на поверхности сферы радиуса а = 1 , получим [c.91]

Граничными условиями к уравнению (3.1) являются условие прилипания на сфере и равномерность потока вдали от сферы. При Ке<1 Стокс, пренебрегая инерционными членами, получил следующее решение, записанное в сферической системе координат с началом в центре сферы и полярной осью в направлении у [c.247]

По аналогии с предыдущим определяем значения мгновенных коэффициентов теплопередачи между изотермической сферой и омывающим ее потоком инертной жидкости. Граничные условия рассматриваемой задачи следующие [c.74]

При возрастании концентрации дисперсной фазы скорости осаждения эмульгированных частиц начинают уменьшаться за счет их гидродинамического взаимодействия друг с другом. Начинают реализоваться условия так называемого стесненного осаждения, закономерности которого для полидисперсных эмульсий еще недостаточно изучены. Имеющиеся результаты являются либо полуэмпирическими, либо получены для наиболее простых моделей осаждения, в которых используется предположение о монодисперсности оседающих частиц. Одна из первых работ по моделированию стесненного осаждения частиц была сделана Карманом. Он предложил модель для расчета скорости осаждения в высококонцентрированных дисперсных системах ( 1 >0,2). Для систем с меньшей концентрацией (Ц7< 0,2) Бринкманом [15] были получены результаты, хорошо согласующиеся с опытными данными. Заслуживает внимания также ячеечная модель [16], в которой система диспергированных частиц представлена в виде правильной структуры, а взаимное влияние частиц учитывается граничными условиями, заданными на поверхности эффективных жидких сфер, охватывающих каждую частицу. [c.14]

Это решение должно удовлетворять граничным условиям (5.52а) и (5.526). Если радиус внешней границы сферы равен В, эти граничные условия принимают такой впд [c.145]

Граничные условия упрощены предположением, что каждая сфера окружена средой в виде цилиндра, а не гексагональной призмы, после чего были рассчитаны результирующие силы сдвига на поверхности сферы. Полученное уравнение включало поправочный коэффициент р для лобового сопротивления частице, окруженной другими частицами, по сравнению с сопротивлением индивидуальной частице, с учетом радиуса сферы, радиуса цилиндра с площадью сечения, равной площади сечения гексагональной призмы, и элементарного кольца на поверхности сферы. [c.214]

Рассмотрим нестационарную сферическую полубесконечную диффузию, когда реагирующей твердой поверхностью является сфера и скорость процесса определяется диффузией вещества из раствора к этой поверхности. Гетерогенный процесс считаем быстрым и концентрацию вещества у поверхности принимаем равной нулю. При этом начальное и два граничных условия имеют вид [c.370]

Концентрация одиночных частиц на поверхности сферы равна нулю, поскольку там они слипаются с нею и перестают существовать как таковые. В то же время можно предположить, что до начала коагуляции, в момент / = О, частицы были равномерно распределены в объеме раствора, т. е. концентрация всюду была равна Со. Последние два соображения дают нам граничные условия, которым должно удовлетворять решение дифференциального уравнения [c.200]

Формула (37) получена из точного решения уравнения Навье — Стокса для медленного течения несжимаемой жидкости, когда инерционными членами, стоящими в левой части уравнения, можно пренебречь граничным условием является равенство нулю скорости течения на поверхности сферы. [c.146]

Безразмерные граничные условия в предположении полного поглощения вещества на поверхности сферы и постоянства концентрации вдали от нее имеют вид [c.79]

Граничные условия для уравнения (1.13) следуют из условия полного поглощения на поверхности сферы (1.2) и условия сращивания с решением (1.5) во внешней области [c.83]

В сферической системе координат г, 0, ф в стоксовом приближении поле скоростей обтекания сферы, удовлетворяющее граничным условиям прилипания на поверхности сферы и переходящее в однородное деформационное течение (формула (6.1) гл. 1) вдали от нее, определяется функцией тока, выражение для которой [c.93]

Диффузионный пограничный слой. Локальный и полный диффузионные потоки на поверхность сферы. Введем растянутую координату У 8 1 г — 1) и ограничимся главными членами разложения по малому параметру е тогда из уравнения (1.1), граничных условий (1.2) и выражения для функции тока (3.1) в переменных Мизеса [c.94]

Тогда уравнение и граничные условия (3.3), (3,4) могут быть приведены к виду (1.13) — (1.15). Поэтому распределение концентрации в диффузионном пограничном слое сферы в поле деформационного течения (3.1) определяется формулами (1.16), (3.5), (3.6). Отсюда следуют выражения для локального потока вещества на поверхность сферы и среднего числа Шервуда [29] [c.95]

Решение во внутренней области должно удовлетворять уравнению (2.6) и граничному условию на поверхности сферы (2.8). Распределение концентрации во внешней области определяется следуюш,им уравнением и граничным условием [c.224]

После температуры вне сферы находится в виде внешнего и внутреннего разложений, в которых порядок малости последовательных членов по числу Рву будет таким же, как и порядок членов по числу Ре в разложениях для распределения концентрации (1.48), (1.49). Решение внутри сферы, как показывают граничные условия на поверхности (3.4), (3.5), следует искать в виде асимптотического разложения с такими же коэффициентами бд Рег), как и во внутреннем разложении вне сферы. [c.237]

При задании на сферической поверхности граничных условий 3-го рода i iu - к ди/д р) р = = (в ) ] потенциал в произвольной точке коррозионной среды (в том числе и иа поверхности сферы) определяется выражением [c.263]

Радиальное течение в зазоре между плоскостью и сферой можно приближенно рассматривать как плоскопараллельное-вблизи от центра пленки. Это упрощение становится все менее точным по мере приближения к периферии пленки. На периферии пленки возрастает и ошибка в описании распределения адсорбции, так как отождествление [/, (0) 1 с Г (0) при г = а весьма условно. Поэтому в качестве весьма грубого приближения рассмотрим радиальное течение в пленке как плоскопараллельное, т. е. воспользуемся уравнением (85) и граничными условиями (86), заменив /i на /i + rVa. С учетом этой замены сохранит свое значение и формула (87), так что вместо соотношения (88) получим [c.157]

Нестационарный теплообмен с телом в граничных условиях П1 рода анализируется ниже на примере симметричного нагрева сферы. Требуется найти закон изменения температуры тела 0 = 0 (г, х). [c.577]

Столкновения молекул со стенками пор. Закон этих столкновений сформулируем, задавая угловое распределение индивидуальных траекторий молекул, отраженных после столкновения от стенки пор (как в методах средней длины свободного пробега), или же вводя значение коэффициента аккомодации для передачи тангенциального импульса (как в методах гидродинамики). В обоих случаях взаимодействие молекул газа со стенками пор представляется затем в виде соответствующего граничного условия на совершенно гладкой геометрической поверхности (плоскости, цилиндре, сфере и т. д.). [c.58]

Таким образом, задача сводится к решению уравнения (10.67) с выражениями (10.70) для компонент скорости и граничными условиями (10.68). Решение этой задачи представлено в разделе 6.5. В частности, диффузионный поток на сферу [c.222]

Согласно модели Дебая и Паулинга, центральный ион представляет собой сферу с радиусом т- = а и с зарядом расположенным в центре этого иона. Предполагается, что в области внутри иона, а также внутри сферы с радиусом г = К> а диэлектрическая постоянная непрерывно меняется с радиусом, в то время как вне этой области, т. е. для значений г от г — К до г —со, диэлектрическая постоянная сохраняет неизменное значение. На основании этой модели и соответствующих граничных условий выводится сложное уравнение для потенциала иона, которое после разложения в ряд по степеням концентрации сводится к сумме, состоящей из члена, соответ-, ствующего предельному закону, и членов, содержащих первую и более высокие степени концентрации. [c.571]

В условиях малой относительной влажности при описании оптических свойств почвенно-эрозионного аэрозоля, частицы которого не покрыты водной оболочкой, приходится принимать во внимание такой фактор, как несферичность частиц [112, 218, 291]. Как известно, теория Ми строго приложима лишь к частицам, представляющим собой сферы, сфероиды и бесконечно длинные цилиндры. Для всех других форм рассеивающих свет частиц необходимо численное решение уравнений Максвелла, граничные условия для которых определяются конкретной формой аэрозольной частицы. Ясно, что для реального многообразия форм аэрозольных частиц почвенного происхождения, их распределения по размерам и ориентаций в пространстве такие расчеты с учетом атмосферной динамики, помимо их исключительной трудоемкости, едва ли могут оказаться достаточно репрезентативными, поскольку при переходе от индивидуальной частицы к ансамблю аэрозольных частиц неизбежно усреднение и, следовательно, потеря значительной доли информации. [c.102]

Распространение уравнений движения одиночных частиц на движение групп частиц требует введения дополнительных граничных условий на поверхности каждой из присутствующих частиц. Единственное точное решение подобного рода задачи о многих частицах бьшо получено япя случая медленного движения двух сфер параллельно их линии центров. Для большего числа частиц такое решение не найдено. В этом случае используют схему последовательных приближений, с помощью которой краевую задачу можно решить с любой точностью, рассматривая каждый раз граничные условия только для одной из частиц. Данная схема положена в основу метода отражений, позволяющего учитьшать возмущения, создаваемые частицами первого, второго и т.д. порядков. [c.159]

Значсння постоянных коэффициентов находятся из граничных условий. Для внешнего потока условие (1.24) сразу дает 02=0 j = = -0,5. При обтекании твердой сферы (задача Стокса) из условия (1.18) находим 2 =--0,25 02=0,75. [c.10]

Приближенные решения уравнения Навье-Стокса для промежуточных значений критерия Рейнольдса. Решения Стокса и Адамара получены при значениях критериев Рейнольдса Кс1 и Кег, много меньших единицы Обтекание твердой сферы при малых, но конечных значениях Кез впервые исследовалось Уайтхедом (1889 г.), который применил к решению уравнений Навье - Стокса метод последовательных приближений, разлагая поле потока в ряд по степеням Ясз. Однако построенное Уайтхедом решение противоречило граничным условиям вдали от сферы. Второе приближение для скорости не удовлетворяло условиям равномерного потока на бесконечности, а более высокие приближения на бесконечности расходились. Таким образом, все члены разложения, кроме главного, не удовлетворяли граничным условиям. Этот парадокс, свойственный задачам обтекания тел конечных размеров, был назван парадоксом Уайтхеда. Его объяснение и правильное решение при малых значениях Кег было осуществлено в работе Озеена [1]. Озеен показал, [c.11]

Массообмен в зоне отрыва можно приближенно рассчитать, вос-пользовавишсь для функции тока в кормовой области сферы разложением типа (4.101). При этом формально считается, что в зоне отрыва образуется диффузионный пограничный слой и что в точке набегания потока со стороны отрывной зоны (точка т = тг) концентрация вещества равна концентрации вдали от сферы. Полный диффузионный поток определяется суммой потоков в пограничных слоях до точки отрыва и в зоне отрьганого течения. Такой приближенный способ учета массообмена в вихревой зоне был применен в работах [281, 286]. Следует однако отметить, что он носит весьма условный характер, так как ввиду наличия циркуляции жидкости в вихревой зоне граничное условие постоянства концентрации вдали от капли для этой области не вьшолняется. На рис. 4.11 кривая/характеризует массообмен твердой сферы. Штриховая часть этой кривой соответствует решению без учета массообмена в зоне отрыва. Заметим, что при фиксированных значениях Ре с изменением Ке от 0,5 до 100 коэффициент массообмена для твердой сферы возрастает примерно в 1,6 раза. На рис. 4.11 приведены также экспериментальные данные Гриффита [287] для капель с отношением вязкостей i =0,38 0,42 и 2,6. Для твердой сферы и капель жидкости в газовом потоке для массо- и теплообмена опытные данные в ряде работ [288-291] обрабатьшались в виде корреляционной зависимости [c.201]

При граничных условиях (11.71) уравнение (11.70) не имеет аналитического решения даже в простейшем случае обтекания сферы в стоксовом режиме при Ке < 1. При условии Ре О и Ке < 1 задача была решена методом возмущений [59—б2[. Акривос [61] получил решение для случая малых, но конечных Ре, используя метод сращпвания ассимптотических разложений по Ре [63]. Этот метод использовали также Гупало и Рязанцев [64], решая задачу для случая конечных значений Ке и приняв в качестве компонентов скорости величины, полученные Прудманом и Пирсоном [65]. [c.208]

Обтекание сферы при малых, но конечных значениях чисел Re исследовалось Уайтхедом [2], который к решению уравнений Навье—Стокса применил метод последовательных приближений, разлагая поле потока в ряд по степеням критерия Рейнольдса. Однако это решение противоречило граничным условиям вдали от сферы. Причину трудности раскрыл Озеен [3] отношение отброшенных инерционных членов к вязким — порядка Re-а (оно мало вблизи тела при малых Re, но становится сколь угодно большим вдали от него). Решение Стокса уже непригодно в тех областях, где Re имеет иорядок единицы. Озеен для решения подобной задачи использовал линеаризованную форму инерционных членов, заменив uVu на vVv. Уравнения Озеена имеют решение, пригодное во всем иоле течения при Re 1 и совпадающее вблизи сферы с решением Стокса. Согласно Озеену, коэффициент сопротивления для твердой сферы может быть вычислен по формуле [c.248]

Специфика объектов химической технологии как ФХС накладывает свой отпечаток на рабочий аппарат диаграмм связи. Для описания характера совмещения и взаимодействия потоков субстанций в локальном объеме ФХС наряду с ранее определенными узловыми структурами О и 1 вводятся новые структуры слияния 01 и 02, играющие важную роль при топологическом описании сложных объектов химической технологии. Определяются кодовые диаграммы основных типов структур потоков и физико-хими-ческих явлений в гетерофазных ФХС. Класс энергетических элементов и диаграмм связи расширен за счет введения псевдоэнергетических элементов и топологических структур связп, что позволило существенно расширить сферу применения топологического метода описания ФХС. Так, введение новых инфинитезимальных операторных элементов позволяет наглядно и компактно представить весь сложный комплекс физико-химических явлений, происходящих при бесконечно малых преобразованиях точек сплошной среды. Последнее открывает широкие перспективы для топологического описания систем с распределенными параметрами. Наконец, для учета информации о начальных и граничных условиях и ее использования при топологическом описании ФХС предложен конструктивный метод представления геометрической информации в диаграммной форме и преобразования ее к аналитическому виду с помощью специальных логико-алгебраических операций (ЛАО). [c.102]

Осуществимость газового реактора можно исследовать на основе сравнительно простой модели. Задача состоит в определении особенностей и размеров такой системы, исходя из некоторых приемлемых характеристик. Для этого исследуем следующие простейшие модели 1) реактор — газовая сфера радиусом Яд без отран ателя 2) критический реактор в стационарном состоянии 3) источником энергии является только реакция деления 4) внешняя граница сферы имеет абсолютную температуру Т=Т Яд = Тд, 5) газовая смесь — инертная система при некотором фиксированном давлении р 6) потери эпергии из газа существуют только благодаря проводимости, поэтому пренебречь радиацией, конвекцией н силами гравитации 7) односкоростное уравнение диффузии дает достаточно правильное представление о нейтронной физике 8) экстраполированное граничное условие применимо 9) коэффициент диффузии пространственно инвариантен (предполагается некоторое среднее значение для смеси) 10) коэффициент теплонроводностн может быть представлен некоторым средним значением f. [c.184]

Все полученные ре.чу гьтаты относятся к бесконечной гомогенной среде. Предположим, что решенпе (7.178) относится к внутренней области определенной сферы. Р]сли (7.237) является точным решением для конечной системы, то необходимо удовлетворить граничному условию ф (а, 0) = () для [c.273]

В табл. 1 приведено распределение температур для одномерного теплового потока в пластине, цилиндре и сфере после скачкообразного изменения температуры окружающей среды от Т/ (постоянная начальная температура тела) до постоянного значення при яаланном постоянном коэффициенте теплоотдачи а (граничные условия третьего рода) [c.220]

Модель, положенная в основу теории, представляет собою коллоидный раствор, oдepлiaщий первоначально сферические частицы одинакового размера со счетной (количественной) концентрацией фо При рассмотрении механизма взаимодействия двух частиц принимается простое допущение их объединение происходит тогда и только тогда, когда одна из них попадает в сферу действия другой (соприкасается с ней). Задача заключается в опреде--лении счетной концентрации фь фг, фз, . простых, вторичных, третичных частиц и т. д. в момент времени т. Задача о коагуляции коллоидов явилась первым прилон ением разработанной Смолуховским теории броуновского движения. Поэтому, исходя из эквивалентности броуновского движе- ния и молекулярной диффузии, он рассматривает решение уравнения нестационарной диффузии к поверхности сферы радиуса Я с граничными условиями г=Я с=0 г >Д с= = Со и начальным условием т=0, г>Д с=со, где г — радиальная координата с — концентрация. На основе этого решения получена формула для определения количества вещества, адсорбированного за время т поверхностью шара. Если упростить ситуацию и считать рассматриваемый процесс квазистационарным, то эта формула имеет вид М=АпОЯсох, где — коэффициент диффузии. [c.108]

Для волновых функций в задаче о движении в центральном поле условия периодичности на сфере играют ту же роль, что и граничные условия закрепленных концов для колеблющейся струны. Таким образом, на форму полиномов, описывающих сферические гармоники, накладываются условия, аналогичные условию (2.12), налагаемому на длииы волн колебании натянутой струны. [c.31]

Задача решалась при следующих предположениях. Частицы-реагенты А и В находятся в состоянии теплового равновесия со средой, которая рассматривается как непрерывный изотропный континуум. Эти частицы диффундируют согласно законам макроскопической диффузии, т.е. в согласии с законами Фика, что справедливо при отсутствии больших градиентов. Это, однако, нарушается при сближении и взаимодействии частиц А и В, которые быстро вступают в реакцию. Граничные условия определяет протекающая в системе химическая реакция. Частица В рассматривается как закрепленная, а частицы А перемешаются с коэффициентом диффузии D = D + D . Концентрация с частиц А в окрестности частиц В, которая рассматривается как сфера с радиусом A = гд + зависит от расстояния г и времени /и описывается следующим уравнением (с . - концентрахщя молекул В на расстоянии гаг А, J- диффузионный поток) [c.183]