Граничные условия в задачах теплопроводности поверхности

Сформулируем задачу по определению температуры поверхности полуограниченного твердого тела с граничными условиями третьего рода [2.17]. Поставленная в одномерном приближении, она дает возможность оценить снижение температуры в центре основания крупной капли. Уравнение теплопроводности в твердом теле имеет вид [c.51]

Постановка задачи заключается в выборе мате-мзтичеекой модели, в той или иной мере соответствующей исследуемому физическому процессу. В эту модель входят дифференциальные уравнения теплопроводности, условия теплообмена на поверхности тела (граничные условия) и температурное состояние тела перед началом процесса (начальные условия). Дифференциальное уравнение теплопроводности устанавливает связь между температурой, временем и пространственными координатами в произнольно выбранном элементарном сбъеме тала. В общем случае, когда температура является функцией трех координат и времени, а теплофизические характеристики материала можно считать постоянными, диффереишшлъное уравнение теплопроводности (уравнение Фурье) имеет вид [c.23]

В зоне технологического процесса материал может находиться в жидком состоянии, в виде сплошных твердых тел, кусков или зерен. В зависимости от вида материала доминирующее значение приобретает тот или другой механизм переноса тепла — молекулярной теплопроводностью, конвекцией или смешанным образом. Что касается поверхности нагрева материала, то она принадлежит одновременно дву системам теплообмена — внешней и внутренней, органически связанным между собой. Эта связь наилучшим образом выражается так называемым граничным условием, которое для одномерной задачи описывается уравнением [c.30]

Процессы теплопроводности (или диффузии) в неограниченном по длине однородном цилиндре (проволока, стержень) с неизолированной боковой поверхностью (рис. П1. 2) в случае, когда граничные условия одинаковы на любом ее участке (так называемая симметричная задача ), описываются в цилиндрической системе [c.73]

Рещить задачу теплопроводности, формулируемую уравнением (У.19) с нелинейными граничными условиями на боковой поверхности кристалла, при заданной температуре на криволинейном фронте кристаллизации и произвольном начальном распределении температуры в общем виде практически не представляется возмол<-ным. Поэтому для решения задачи принимают, что физические параметры материала не зависят от температуры, на боковой поверхности кристалла задают граничное условие третьего рода, а фронт кристаллизации считают плоским. [c.132]

Первый вариант расчета, рассматриваемый в работе [99], по существу, сводится к использованию известного решения задачи о нестационарной теплопроводности в плоской бесконечной пластине (см. раздел IV. 5). Ввиду наличия хорошего контакта между трубой и насадкой принимают, что температура поверхности трубы равна температуре поверхности насадки (граничные условия первого рода). Далее, принимают, что температура поверхности насадки постоянна по его длине. В этом случае временная зависимость распределения температур описывается выражением (IV. 58). [c.332]

Одномерная задача теплопроводности для кристалла, рассматриваемого совместно с затравкой длиной I как одно целое, при плоском фронте кристаллизации, независимости физических параметров от температуры, постоянных температурах на торце затравки 4 и на фронте кристаллизации граничных условиях 3-го рода на боковой поверхности, постоянной скорости кристаллизации дак п произвольном начальном распределении температуры, может быть с помощью тепловых потенциалов сведена к интегральным уравнениям Воль-терра I рода [57]. [c.133]

Основной задачей изучения теплопроводности является определение температурного поля и величины теплового потока внутри тела. Прп этом условия па поверхности оказывают существенное влияние. Граничные условия могут быть заданы распределение.м те.мператур на поверхности либо плотностью теплового потока в любой точке поверхности. [c.61]

При анализе задач прогрева (охлаждения) твердых тел наиболее часто встречаются граничные условия конвективного теплообмена наружной поверхности тела с окружающей текучей средой, согласно которым теплота от внешнего источника, подводимая (отводимая) к поверхности (границе) тела, приравнивается к теплоте, отводимой в массу тела теплопроводностью [c.229]

Тела с конечными значениями теплопроводности и конвективной теплоотдачи на поверхности. В большинстве практических задач нагревания и охлаждения теплопроводность материала и коэффициент конвективной теплоотдачи имеют конечные значения, что и предопределяет необходимость рассмотрения и анализа влияния внутреннего и внешнего сопротивления на теплообмен. Определяющее дифференциальное уравнение в частных производных аналогично уравнениям (2.20), но граничное условие конвективной теплоотдачи требует, чтобы [c.40]

Для решения практических задач теплопроводности в твердых телах сложной формы используются аналитические и численные методы. Решения возможны при известных краевых условиях, включающих начальное распределение температур в теле и граничные условия на поверхности тела, которые могут быть заданы одним из трех способов температурой поверхности, тепловым потоком и коэффициентом теплоотдачи. [c.143]

Глава 3 посвящена приближенному аналитическому методу расчета нестационарной теплопроводности для одномерных и многомерных тел классических и неклассических форм. Введение параметра геометрической формы позволяет сформулировать и решить краевые задачи нестационарной теплопроводности для пластины, цилиндра и шара в виде одной задачи. Получены достаточно точные и простые по форме приближенные решения для функций температурного возмущения на поверхности этих тел (при граничных условиях первого, второго и третьего рода), изменяющихся по линейным, гармоническим, экспоненциальным и другим законам. [c.6]

Рассмотренные-граничные условия для задач нестационарной теплопроводности при любых температурных нагружениях на границе тела связаны с тепловым воздействием внешней среды. Например, нестационарное равномерное распределение температуры ф(/) на поверхности тела пои граничных условиях первого рода с физической точки [c.21]

В тех случаях, когда внешней соприкасающейся средой является твердое тело и на границе соприкосновения имеет место абсолютный контакт первого тела со вторым, в задачах нестационарной теплопроводности рассматриваются граничные условия четвертого рода. Задаются они как условия равенства температур и плотностей теплового потока на поверхности контакта [c.22]

Выражение Л(В1ь В12), определяемое по формуле (3.185), приближенно равно квадрату первого корня характеристического уравнения задачи нестационарной теплопроводности в полом цилиндре при несимметричных граничных условиях третьего рода, когда поверхности омываются двумя различными средами с разными коэффици- [c.117]

Однако для практических целей длительность сушки вычисляется для определенного изменения средней влажности материала, поэтому необходимо знать соотношение между средней влажностью материала и влажностью на поверхности, которое будет зависеть от сопротивления внутренней диффузии. Таким образом для решения задачи о длительности сушки в периоде падающей скорости испарения к уравнению (142) следует добавить уравнение внутренней диффузии, аналогичное уравнению теплопроводности при соответствующих граничных условиях, определяемых условиями испарения на поверхности. [c.135]

Выражение (3,217) хорошо аппроксимирует квадрат первого корня характеристического уравнения краевой задачи теплопроводности для полого цилиндра при смешанных граничных условиях третьего рода на внутренней поверхности и второго рода на внешней поверхности [c.127]

Путем введения функции распределения температуры <р(л , Ро) на смачиваемой поверхности трубы [7 1(дс, у, г,, Ро)]г=[7 2(а , у, г, Ро)]г=ф(дс, Ро) сопряженная задача сводится к решениям задачи нестационарной теплопроводности относительно Т1 х, у, г, Ро) для стенки трубы р внутренней задачи конвективного теплообмена относительно Т х, у, г, Ро) для потока жидкости при граничных условиях первого рода. При этом для определения ф(дг, Ро) из [c.210]

Для решения конкретных задач стационарной и нестационарной теплопроводности в числе прочих условий (однозначности) должны быть заданы граничные условия. Граничные условия описывают действие окружающей среды на поверхность нагреваемого или охлаждаемого объекта. Окружающую среду при этом можно назвать теплоносителем. Способ задания граничных условий зависит от теплообмена на границе (поверхности), а также от того, какие из задаваемых параметров, характеризующих граничные условия, оказываются известными. [c.17]

Предыдущие разделы были посвящены рассмотрению влияния излучения на теплопередачу теплопроводностью и конвекцией. Во всех случаях поверхности пластин предполагались изотермичными, и при этом не учитывалось изменение граничных условий из-за излучения. В настоящем разделе рассматривается обратная задача, связанная с изменением граничных условий при вынужденной конвекции под действием излучения. Среда предполагается непоглощающей, а влияние излучения на теплопередачу учитывается только через изменение граничных условий. [c.29]

В заключение отметим, что мы рассмотрели случай теплопроводности плоского ребра в упрощенной постановке, считая основание ребра изотермической поверхностью. На практике чаще всего температурное поле в плоскости основания ребра заранее предсказать невозможно. Поэтому двухмерную задачу теплопроводности приходится решать для некоторой области пространства, включающей в себя не только ребро, но и ту часть твердого тела, которая примыкает к основанию ребра. Тогда в каждом конкретном случае можно сформулировать те или иные граничные условия. [c.61]

При таком подходе к анализу нестационарных тепловых процессов граничные условия на поверхности тела определяются в результате решения так называемой сопряженной задачи (совместное решение уравнения энергии для потока жидкости и уравнения теплопроводности для твердого тела). [c.131]

Краевые условия. Цель аналитической теории теплопроводности состоит в определении поля температур в теЛе в любой момент времени. Для решения этой задачи кроме дифференциального уравнения необходимо знать поле температур для какого-нибудь предшествующего момента времени (начальное условие), а также форму тела и закон теплообмена между окружающей средой и поверхностью тела (граничные условия). Начальное и граничные условия в совокупности называются краевыми условиями. [c.25]

Решение существенно видоизменится, если задача будет поставлена в граничных условиях первого рода (например, в случае весьма высокой интенсивности теплообмена при умеренной теплопроводности и не слишком малых размерах тела). В этом случае температура на поверхности тела непосредственно известна и задача сводится к нахождению распределения избыточной температуры (избыточной по отношению к заданной температуре на поверхности). Сохраняя для избыточной температуры прежнее обозначение О, будем иметь [c.103]

В гл. V и VI были рассмотрены задачи нестационарной теплопроводности, в которых теплообмен между поверхностью тела и окружающей средой происходил в основном излучением. В практике тепловых расчетов встречаются задачи, в которых теплообмен между телом и окружающей средой происходит конвекцией. Если в задачах стационарного конвективного теплообмена применяются граничные условия третьего рода, то в задачах нестационарного конвективного теплообмена и в задачах стационарного теплообмена при точной формулировке проблем необходимо применять граничные условия четвертого рода. Например, при обтекании плоской пластины, в соответствии с теорией пограничного слоя, дифференциальное уравнение переноса тепла для жидкости можно написать так [c.363]

В настоящее время основной путь решения задач совместного тепло- и массообмена состоит в использовании аналогий, существующих в процессах переноса массы, энергии и импульса. Приведенные выше частные условия реализации процессов тепло- и массообмена позволяют устанавливать существование тех или иных аналогий. Так, например, в случае а уравнеиия диффузии (2.262) и энергии (2.263а) или (2.2636) аналогичны, причем сама структура уравнения энергии ничем не отличается от случая чистого теплообмена в однокомпонентиой среде. В случае б имеется аналогия между уравнениями диффузии, энергии и движения. В неподвижных средах (случаи в и г ) существует аналогия между теплопроводностью и диффузией. Поэтому при наличии аналогии граничных условий на межфазной поверхности для массо-н теплообмена (см. 2.18) существует широкая аналогия между явлениями тепло- и массообмена, которая позволяет решать множество практических задач совместного тепломассообмена на основе известных зависимостей для чистого теплообмена (см. 2.19). [c.210]

Последний член в правой части уравнения (VIII.142) учитывает теплообмен между тонким реакционным слоем и внутренностью частицы катализатора п обозначает направление внешней нормали к активной поверхности. Таким образом, при данной постановке задачи уравнения процесса в тонком реакционном слое ( 111.140), ( 111.142) служат граничными условиями для уравнения теплопроводности ( 111.140). Вводя безразмерные переменные и линеаризуя граничные условия ( 111.141), ( 111.142) в окрестности стационарного режима, имеем [c.362]

Наиболее логичным экспериментальным способом определения температуры Лейденфроста Гкр2 следует считать ее прямое измерение под каплей, находящейся в сфероидальном состоянии. Однако такое измерение связано с определенными сложностями, ибо измеритель не должен вносить искажений в исследуемый процесс. Можно, однако, привести примеры прямого измерения температуры под каплей [2.3, 2.18]. Хорошим косвенным методом, по-видимому, можно считать размещение измерителя темне,-ратуры на некоторой глубине в, массиве твердого тела с последующим использованием расчетных методов для нахождения температуры поверхности. Здесь имеется в виду реконструкция температурного поля путем решения обратной задачи теплопроводности [2.19]. Наконец, наиболее простым и распространенным способом учета снижения температуры под каплей Гкр по сравнению с температурой невозмущенного температурного поля Ркра является приближенная оценка интенсивности теплоотдачи от иоверхности твердого тела к капле и расчет температуры этой поверхности путем решения прямой задачи теплопроводности с граничными условиями третьего рода. Принципиальным недостатком такого подхода является необходимость интуитивного учета влияния искомой температуры стенки иа теплоотдачу к капле. [c.51]

Если на внешних поверхностях стенки, состоящей из п плотно прилегающих друг к другу слоев материалов с различными коэф( мщиентами теплопроводности, поддерживаются постоянные температуры T i и Тег, причем 7 ei>7 2 (такие же граничные условия, что и в задачах 1, 3, 5—(см. табл. 2.9), то тепловой поток Q, передаваемый через эту стенку, и температура Tj+i на границе между г-м и (i-fl)-M слоями определяются по следующим формулам плоская стенка из и слоев (рис. 2.1, а) [c.133]

Основной процесс предварительного замораживания описывается задачей Стефана, т. е. сводится к условию теплопроводности при фазовом превращении с начальной постоянной температурой мяса /о.н = = onst и условию теплообмена между поверхностью продукта и воздухом при граничных условиях третьего рода. [c.138]

При решении задачи теплопроводности должны быть заданы граничные условия 1 -го рода со стороны обогреваемых паром зон и по внутренней поверхности диафрагмы (обозначение шин на рис. 54.6 ), а также граничные значения 3-го рода (обозначение УУУ) для границ, соприкасающихся с воздухом. Остальные участки (обозначение на рис 54.6) не [c.415]

Другим примером служит ламинарное горение однородной смеси. Решение этой задачи получено Зельдовичем и Франк-Каменецким [1938 а,б]. в работах которых проанализировано распространение нормального (плоского) фронта пламени. В пламени выделяются две зоны. В первой (тепловой) химические реакции несущественны. В ней вследствие конвекции и теплопроводности происходит прогрев смеси. Во второй зоне (зоне химических реакций) происходит превращение веществ. Конвекция в этой зоне несущественна, а отвод тепла определяется лишь теплопроводностью. Существенно, что толщина зоны химических реакций во много раз меньше толщины тепловой зоны. Поэтому зону реакций можно рассматривать как некоторую поверхность, на которой выполняются определенные граничные условия. Первое условие очевидно температура равна температуре термодинамически равновесных продуктов сгорания. Второе условие связывает скачок производной от температуры по нормали к зоне реакции со скоростью химической реакции и коэффициентами молекулярного переноса (существование такого скачка следует из того, что тепловьщеление сосредоточено на поверхности). [c.9]

Многие прикладные задачи, связанные с фазовыми превращениями, приводят к необходимости изучения уравнений тепло- и массопереноса с подвижными границами, закон движения которых заранее не известен и определяется из решения самой задачи. Примером таких задач является задача теплопроводности с учетом плавления или затвердевания, называемая также задачей Стефана. Решение таких задач затруднено вследствие нелинейности граничного условия на движущейся границе. Точные решения имеются лишь для простьк частных случаев. Они получены методом Неймана, который определил распределение температуры и скорость затвердевания в вымороженном твердом слое на поверхности, имеющей температуру, поддерживаемую около О °С. Это решение характеризуется подобием и представляет собой функцию единственного аргумента [c.363]

В прикладной инженерной теплофизике рассматриваются задачи при смешанных граничных условиях, когда на отдельных частях поверхности тела задается одно из условий (1.29) —(1.31), различных в каждой части поверхности. Например, тепловые расчеты стенок теплоограждающих конструкций, паропроводов и других деталей в форме пластины, полого цилиндра и шаровой оболочки приводят к решению задач нестационарной теплопроводности при смешанных граничных условиях, которые заданэтся в различных сочетаниях условий (1.29) — (1.31) на внутренней и внешней поверхностях стенки. [c.20]

К вопросу упрощения решений для математических моделей сопряженных задач теплообмена. Пусть на внешней поверхности круглой трубы (г=Я2, 1= г Я )/ Я2—= = 1) задано температурное возмущение ф(Х) и процесс теплообмена описывается с помощью граничных условий первого, второго или третьего рода. Тогда для исследования закономерности теплообмена между стенкой трубы н потоком жидкости внутри трубы необходимо решить сопряженную задачу кондуктивно-конвективного теплообмена, которая путем введения неизвестной функции ф1( ) — распределения температуры на внутренней поверхности трубы — приводится к решению задачи теплопроводности по толщине стенки и обобщенной задачи Гретца — Нуссельта в потоке жидкости. При этом относительно введенной функции ф1(А ) из условия равенства плотностей теплового потока [c.371]

Для рещения конкретной задачи нестационарной теплопроводности (например, нагрев или охлаждение футеровки ДСП) необходимо знать начальное распределение температуры по слоям стенки (в виде ломаной линии) и задать граничные условия. Например, для геплсвоспринимающей поверхности стен и свода задают граничное краевое условие первого рода в виде постоянной (для отдельной стадии плавки) или переменной во времени температуры Т (О, т) = /(т) как по ходу плавки, так и в период подготовки ДСП к плавке (см. рис. 3.6), при загрузке металлошихты для теплоотдающей поверхности удобнее задать, граничное краевое услойИе третьего рода [c.78]

Вычисление полной энергии, затрачиваемой в процессе, и составление теплового баланса основано на первом законе термодинамики. Основной задачей, решаемой при рассмотрении теплопередачи, является расчет температурных полей для различных моментов времени и точек внутри системы. Распределение температур в массе резиновой смеси зависит от условий теплоотдачи на граничных поверхностях, характера теплопроводности, теплофпзи-ческих свойств материала, наличия и интенсивности тепловыделения внутри самой системы (распределенных тепловых источников при автогенных процессах). [c.138]

По существу, эти условия означают, что у поверхности возникает мгновенное падение концентрации от и = о До нуля. В случае, если бы уравнения (1Х.1), (1Х.7) и (1Х.8) описьшали процесс теплопроводности, рассматриваемые граничные и начальное условия означали бы задачу о распространении температурной волны от поверхности коллектора в окружающую среду. [c.123]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология