Стокса задача

Сборник объединяет работы, опубликованные автором в научных журналах в 1957-1998 гг. Предложены вариационные принципы газовой динамики без дополнительных ограничений и магнитной гидродинамики при бесконечной проводимости. Выведены полные системы законов сохранения газовой динамики и электромагнитной динамики совершенного газа. Дано аналитическое решение задач оптимизации формы тел, обтекаемых плоскопараллельным и осесимметричным потоками газа, а также формы сверхзвуковых сопел. Построены точные решения уравнений Навье—Стокса дпя стационарных течений несжимаемой жидкости, воспроизводящие вихревые кольца, пары колец, образования типа разрушения вихря, цепочки таких образований и др. [c.2]

Численные решения уравнения Навье - Стокса для промежуточных значений критерия Рейнольдса. Численное решение задачи обтекания твердой сферической частицы впервые проводилось Кавагути [20], который применил конечно-разностный метод, используемый в работе Тома [21] для течения вокруг цилиндра при Re= 10. В дальнейшем этот метод был усовершенствован и в ряде работ развит в релаксационный метод (метод Саусвелла), - см., например, [22]. Дженсоном [4] метод Саусвел-ла был применен к решению уравнений Навье—Стокса для течения вокруг сферы при Re = 5 10 20 и 40. Хамилек с соавторами [23], используя ту же разностную схему, что и Дженсон, построил решение для Re <100. Решение уравнений Навье - Стокса при Re <100 можно найти также в работе Симуни [24], где стационарная задача обтекания сферы рассмотрена с использованием разностной схемы для нестационарных уравнений методом установления. [c.19]

Получение коллоидных растворов высокой концентрации является трудной задачей. Проще получить суспензии порошкообразных металлов в углеводородной среде. В этом случае для создания стабильных суспензий нужно избежать осаждения диспергированных частиц. Для характеристики устойчивости реальных суспензий металлов в углеводородной среде с некоторым приближением можно использовать закон Стокса, согласно которому [c.93]

Кинетика расслаивания жидкофазных систем. В связи с распространенностью многофазных систем большое внимание уделяется разработке теории их движения, причем в последнее время наблюдается бурное развитие этой области знаний. Обзор многочисленных работ, посвященных этой теме, изложен в [23, 24—26]. Сложность общего математического описания заставляет при решении конкретных задач делать те или иные допущения, вносящие определенные погрешности в решение задачи. Так, во многих случаях течение двухфазной системы может рассматриваться как ползущее, т. е. числа Рейнольдса, рассчитанные по диаметру частиц, очень малы (седиментация тонких эмульсий, суспензий и т. д.). Тогда возможна линеаризация уравнения Навье—Стокса, если пренебречь инерционными членами. Такое допущение справедливо и в случае, когда течение смеси в целом по отношению к внешним границам характеризуется большими числами Рейнольдса, тем не менее можно говорить о малости чисел Рейнольдса для движения частиц относительно сплошной фазы. Кроме того, инерционные эффекты менее существенны в системах, состоящих из группы частиц в органической жидкой среде. [c.288]

Если систему уравнений Навье — Стокса использовать совместно с уравнением неразрывности потока, то математически движение вязкой жидкости можно описать полностью. Однако только применение теории подобия дает возможность описать такое движение в доступной для решения практических задач форме. [c.36]

Однако при исчезающе малом, но конечном значении величины Ог, граничное условие (10.32) означает, что градиент концентрации в сечении на выходе равен нулю. Это несколько неожиданный вывод, потому что явно превалирующее условие, когда = О, не может рассматриваться как предел общего решения задачи при Ог, стремящемся к нулю. Рассмотренная ситуация имеет аналогию в классической механике жидкости, решенную Прандтлем путем введения концепции пограничного слоя. В последнем случае решения задачи невязкого течения или уравнений Эйлера не являются пределом, к которому стремится решение общих уравнений Навье — Стокса, когда вязкость приближается к нулю. [c.121]

Решение Стокса (II. 10) справедливо лишь при Ке- О. В отличие от внутренней задачи при обтекании шара оказалось, что инерционные члены в уравнении движения на больших расстояниях от поверхности шара нельзя отбросить даже при малых значениях Ке. Поэтому изменение характера зависимости сопротивления от критерия Ке происходит не скачком, как во внутренней задаче, а постепенно, растягиваясь на большой интервал значений Ке. [c.25]

Вычислены [2] поправки к решению Стокса и закону сопротивления (И. 10) при учете нелинейных членов в виде разложений по степеням Ке. Эти поправки пригодны для значений Ке 1 — 2. Развитие современной вычислительной техники позволило в последние годы поставить задачу решения полной нелинейной системы уравнений для обтекания шара. Решения эти в предположении осесимметричного обтекания в настоящее время [8] доведены до Ке 100 и дали значения коэффициента сопротивления, хорошо совпадающие с экспериментом. [c.26]

Задача внешнего обтекания тел в условиях перемешивания может быть решена с помощью уравнений Навье—Стокса и неразрывности потока. Точное аналитическое решение указанной задачи весьма сложно и возможно лишь для частных случаев. Поэтому для решения этой задачи используют теорию подобия. [c.248]

Использование уравнения движения реальной жидкости совместно с уравнениями неразрывности позволяет решить основную задачу гидродинамики — определить поля скоростей, давление и плотность жидкости, движущейся под действием заданных внешних сил. Однако решение уравнений Навье—Стокса получено только для простейших случаев одно- и двухмерного потока. Кроме того, это уравнение ие описывает течение жидкости при турбулентном режиме. [c.276]

Для решения задачи с отрывом пограничного слоя от поверхности перегородок при возникновении за ними обратных течений и сосредоточенных вихрей целесообразно использовать известную схему решения задачи о суперкавитирующей наклонной плоской пластинке (режим обтекания, при котором вся тыльная часть соприкасается с каверной) или дуге в неограниченной жидкости под свободной поверхностью или в канале. При этом вводится ряд допущений, согласно которым рассматриваются плоские, потенциальные, установившиеся течения несжимаемой невесомой жидкости [64—66]. Анализ такой схемы суперкавитационного обтекания базируется на применении аппарата теории функций комплексного переменного и комплексного потенциала в отличие от непосредственного решения уравнений Навье—Стокса. Согласно упомянутой схеме, задача движения газового потока в канале с системой наклонных перегородок сводится к рассмотрению плоского течения идеальной жидкости, для которого справедливы условия [c.175]

Задача стационарного обтекания сферы вязким несжимаемым ограниченным потоком при малых числах Рейнольдса (Не-нкО) впервые была рассмотрена Стоксом [1]. Уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости, записанное в безразмерной форме, имеет вид [c.247]

При решении задачи принять, что Р (Я) — объемная скорость подачи капель размером Я, а скорость их падения аналогично скорости осаждения по закону Стокса описывается уравнением [c.408]

Адамар и Рыбчинский [2, 3], решив задачу о движении пузырька в ж кости при наличии циркуляции газа внутри пузырька, нашли, что коэффицие К в формуле (1) равен /12 и в 1,5 раза превышает значение К для случаи, когда движение жидкости и газа на поверхности пузырька заторможено. В последнем случае граничные условия на поверхности пузырька аналогичны граничным условиям на поверхности твердых шариков, а скорость движения определяется формулой Стокса (К=Ч б). [c.20]

Течение жидкости в выемке с движущейся крышкой. Эта задача — одно из первых применений численных методов для решения уравнений Навье — Стокса. Рассматривается течение жидкости в замкнутой квадратной области размером L, вызываемое движением одной из ее границ с некоторой скоростью V остальные границы области неподвижны (см. рис. 6.1, а). При безразмерной записи 2L и F используются в качестве масштабов длины и скорости. Граничные условия имеют вид [c.194]

Иначе дело обстоит с решением вариационных задач газовой динамики и с точными решениями уравнений Навье—Стокса. Эти результаты своеобразно и тесно переплетены с численными и экспериментальными исследованиями. Решение краевых задач при оптимизации формы тел в сверхзвуковом потоке газа первоначально проводилось численно, итерационным путем. Обращение в нуль одной из рассчитываемых функций подсказало путь аналитического решения и открыло путь к исследованию необходимых условий минимума и к получению новых решений. При использовании этих результатов для практики в потоках внутри сопел рассчитывался пограничный слой, а результирующая сила тяги была проверена на специальной опытной установке. Расхождение между расчетной силой тяги и ее экспериментальной величиной не превысило 0,1%. [c.5]

Решение уравнений Навье — Стокса даже для несжимаемой жидкости представляет собой очень сложную задачу. [c.69]

Ввиду невозможности получить точное решение уравнений Навье — Стокса и уравнения энергии для подавляющего большинства задач гидродинамики и газовой динамики прибегают либо к приближенным решениям, либо к экспериментам на моделях. В последнем случае возникает вопрос об условиях подобия для обтекания натурного объекта и его модели. [c.75]

Решение. Основной для решения задачи является формула Стокса mg = Qnr au, где т—масса частицы, а g — ускорение силы тяжести. [c.238]

В реальных условиях внешняя массопередача является сложным процессом, определяющимся, с одной стороны, молекулярной диффузией, а с другой — непосредственной передачей вещества благодаря наличию скорости потока. Такой процесс суммарного подвода вещества называется конвективной диффузией. Для количественного расчета этого процесса необходимо знать закон, по которому меняется скорость потока в зависимости от расстояния от обтекаемого тела. Решение задачи о диффузии из потока требует учета как законов, описывающих течение жидкости (для случая вязкой жидкости — уравнений Навье-Стокса), так и законов диффузии. [c.366]

При изложении этого раздела в данной книге вначале рассмотрены некоторые вопросы, относящиеся к математическим моделям, и простейшие подходы к построению разностных схем для уравнений Навье — Стокса. Далее избран путь детального описания лишь одного класса разностных схем, систематически применяющихся в вычислительной практике и сравнительно хорошо нами изученных. Этот класс схем, связанный с раздельным решением уравнений для вихря и функции тока, в последние годы существенно усовершенствован и является весьма удобным для определенной совокупности относительно гладких задач, хотя и никак не претендует на универсальность. Опыт показывает, что многие подходы к конструированию вычислительных алгоритмов оказываются конкурентоспособными при нх надлежащей отработке. [c.14]

И. Большое разнообразие методов и задач, решаемых на основе уравнений пограничного слоя и уравнений Навье — Стокса для вязкой несжимаемой жидкости, не могло быть охвачено в главах 5 и 6. В связи с этим авто- [c.14]

Особенностью постановки задачи для системы уравпений Навье — Стокса в переменных вихрь, функция тока (6.1.15), (6.1.16) являются граничные условия, которые в случае твердой неподвижной поверхности имеют вид [c.190]

В соответствии с парадоксом Стокса задача об обтекании равномерным на бесконечности потокрм пластинки конечной длины при нулевом числе Рейнольдса не имеет аналитического всюду решения. Корректная постановка задачи об обтекании полубесконечной пластинки при том же условии на бесконечности не известна. [c.217]

Бартон и др. [254] исследовали влияние потока жидкости на распределение примеси в кристаллах, которые выращивались из расплава с примесью или специально введенной добавкой по методу Чохральского (см. также статью Бартона и Слихтера [289]). Как оказалось [254], задача о потоках, которые возникают в расплаве при вращении цилиндрического кристалла, погруженного своим концом в расплав, аналогична задаче о вращающемся диске, погруженном в жидкость. Задача о вращающемся диске была исследована Карманом и Кокреном (см. [283]) это одна из тех немногочисленных задач, для которых известно точное решение уравнений Навье — Стокса. Задача о диске в свою очередь близка к задаче о.действии центробежного насоса, в котором слой жидкости около диска переносится параллельно его поверхности силами трения, а затем выбрасывается наружу под действием центробежной силы. На место отброшенной жидкости [c.516]

Турбулизация межфазной границы может быть обусловлена- также возникающими при тепло- или массопередаче локальными изменениями поверхностного натяжения. Учет влияния концентрационных и температурных изменений поверхностного натяжения на гидродинамику вблизи межфазной границы представляет собой весьма сложную и в настоян1ее время еще не решенную задачу (необходимо исследовать устойчивость решения уравнения Навье — Стокса по отношению к малым возмущениям — локальным изменениям скорости). Пока сделаны лишь первые попытки решения этой задачи [72, 73]. В частности, показано [72], что возможность возникновения неустойчивости существенно зависит от знака гиббсовой адсорбции растворенного вещества в состоянии термодинамического равновесия, а также от соотношения между кинематическими вязкостями соприкасающихся фаз и коэффициентами диффузии веществ, которыми обмениваются эти фазы. Объяснено явление стационарной ячеистой картины конвективного движения, вызванного локальными градиентами поверхностного натяжения [73].. Дальнейшие исследования в этой области наталкиваются на серьезные математические трудности. [c.183]

Плоские и пространственные поля скоростей и давлений определяются интегрированием уравнений Навье — Стокса с учетом граничных и начальных условий. Решение ряда подобных задач в области преобладания сил вязкости, когда уравнения становятся линейными, излагается, например, в следующих книгах [22, Л. С. Лейбензон и А. Е. Шейдеггер 45, 72] и мы здесь, на этих вопросах не останавливаемся. В этих же книгах освещается вопрос о пространственном движении жидкости в зернистом слое в условиях, когда нельзя пренебрегать силами инерции и основные уравнения движения перестают быть линеи-ными. [c.71]

Современное состояние теории псевдоожижения отражено в книгах [1—3]. Для описания кипящего слоя в принципе могли бы быть использованы классические модели механики сплошных сред, однако строгая постановка гидродинамической задачи, включающей в себя уравнения Навье — Стокса совместно с уравнениями движения частиц с соответствующими начальными и граничными условиями, оказывается чрезвычайно сложной. Поэтому прибегают к построению менее детального, сокращенного описания динамики дисперсных систем, т. е. к построению макромоделей дисперсных систем. На этом пути созданы основы механической теории псевдоожиженпого состояния исходя из кинетического подхода [4], метода осреднения, метода взаимопроникающих континуумов [3]. Однако это только основы, применимые к упрощенным, идеализированным ситуациям. Для использования теоретических моделей в практических расчетах нужны еще большие и целенаправленные усилия теоретиков и экспериментаторов. Направление исследований определяется конкретной целью. В частности, при разработке каталитического реактора требуется не только умение удовлетворительно рассчитать поля концентраций и температур, по и обеспечить достаточное приближение к оптимальному режиму. Вследствие сильной структурной неоднородности кипящего слоя такое приближение часто оказывается невозмон ным. Перед этой трудностью отступает на второй план задача точного расчета полей температур и концентраций. Хороший расчет плохо работающего реактора имеет сомнительную ценность. Прежде всего, необходимо активное воздействие на структуру слоя с целью достижения приемлемой степени однородности и интенсивности контактирования газа с катализатором. Необходимая степень однородности кипящего слоя определяется кинетикой конкретного каталитического процесса и может сильно отличаться от случая к случаю. Это определяет выбор средств воздействия на структуру слоя горизонтальное или вертикальное секционирование, добавление мелкой фракции, размещение малообъемной насадки [5]. В частности, только последнее из [c.44]

Значсння постоянных коэффициентов находятся из граничных условий. Для внешнего потока условие (1.24) сразу дает 02=0 j = = -0,5. При обтекании твердой сферы (задача Стокса) из условия (1.18) находим 2 =--0,25 02=0,75. [c.10]

Приближенные решения уравнения Навье-Стокса для промежуточных значений критерия Рейнольдса. Решения Стокса и Адамара получены при значениях критериев Рейнольдса Кс1 и Кег, много меньших единицы Обтекание твердой сферы при малых, но конечных значениях Кез впервые исследовалось Уайтхедом (1889 г.), который применил к решению уравнений Навье - Стокса метод последовательных приближений, разлагая поле потока в ряд по степеням Ясз. Однако построенное Уайтхедом решение противоречило граничным условиям вдали от сферы. Второе приближение для скорости не удовлетворяло условиям равномерного потока на бесконечности, а более высокие приближения на бесконечности расходились. Таким образом, все члены разложения, кроме главного, не удовлетворяли граничным условиям. Этот парадокс, свойственный задачам обтекания тел конечных размеров, был назван парадоксом Уайтхеда. Его объяснение и правильное решение при малых значениях Кег было осуществлено в работе Озеена [1]. Озеен показал, [c.11]

Работы Хамипека с соавторами были развиты далее Накано и Тие-ном [13] в части уточнения выражения для внутренней функции тока. Из требования выполнения условий Галеркина для при гаженного решения зфавнения Навье-Стокса для внешней и внутренней задач авторы [13] получили для внешней функции тока формулу (1.47), а для внутренней - выражение [c.15]

Теоретические исследования силы сопротивления, действующей на твердую сферическую частицу, которая стационарно осаждается в дисперсной смеси и испытывает влияние окружаюншх частиц, начались ра-тами Смолуховского [22]. Как известно, точное решение этой задачи принципиально невозможно из-за необходимости удовлетворения граничных условий сразу на нескольких поверхностях. Поэтому Смолухов-ский предложил метод последовательных итераций, в котором краевую задачу можно бьшо решить в любом приближении, рассматривая каждый раз граничные условия только на одной из частиц. Этот метод получил название метода отражений и позволил решить целый ряд задач, связанных с гидродинамическим взаимодействием частиц друг с другом и со стенками канала [22]. Метод основан на линейности уравнений Стокса, описывающих установившееся течение вязкой жидкости, когда значение критерия Рейнольдса, рассчитанное по диаметру частицы, мало по сравнению с единицей. Решение задачи обтекания частицы в облаке, состоящем из N частиц, ищется в виде суммы основного возмущения, вносимогг) в поток произвольно выбранной (пробной) частицей, и последовательных, ,отражений этого возмущения от имеющихся в наличии поверхностей [c.64]

Задача определения силы сопротивления, действующей на частицу в суспензии, сводится к задаче отыскания полей скоростей и давлений вокруг частицы, движущейся в замкнутой оболочке. Течение жидкости в ячейке должно удовлетворять уравнениям Навье-Стокса. Рещение в аналитическом виде удается получить только для двух предельных случаев режима ползущего движения, описываемого уравнениями Стокса, и инерционного режима движения, описываемого уравнениями идеальной несжимаемой жидкости. На поверхности частицы должно удовлетворятся обычное условие отсутствия скольжения, т. е. скорость движения жидкости должна быть равной средней скорости движения частицы. Условия на внещней границе ячейки, отражающие воздействие всего потока на выделенную ячейку, не могут быть определены однозначно, поскольку механизм этого воздействия недостаточно понятен. В основном используются три типа условий 1) предполагается, что возмущение скорости, вызванное наличием частицы в ячейке, исчезает на границе ячейки [105] 2) ставится условие непротекания жидкости через границу ячейки (обращается в нуль нормальная составляющая скорости) и предполагается отсутствие касательных напряжений на границе ячейки (модель свободной поверхности) [106] 3) условие непротекания жидкости сохраняется, но предполагается, что на границе ячейки обращаются в нуль не касательные напряжения, а вихрь [107]. [c.68]

Как было показано вьпне, имеющиеся в литературе данные относительно зависимости коэффициента присоединенной массы от концентрации достаточно противоречивы. Для целей данной задачи достаточно считать неубьшающей функцией концентрации совпадающей при - 0 с коэффициентом присоединенной массы одиночной частицы. Силой Бассэ, которая существенна в режиме Стокса и исчезает в автомодельном режиме, в целях упрощений задачи пренебрежем. [c.88]

В принципе, движение массы частпц, взвешенных в ожижающем агенте, полностью определяется начальным состоянием системы (в механическом п тепловом аспектах) и граничными условиями. Оно должно удовлетворять уравнению Навье—Стокса в любой точке системы, а также уравнениям сплошности и энергетического состояния, уравнениям 11ьютона, описывающим движение ка-я дой отдельной частицы, и уравнениям ее теплопроводности. Однако, кагда система состоит из массы частиц (например, про-мышлепные суспензии), то задача становится слишком сложной для прямого решения на основе указанных уравнений. [c.74]

Обтекание сферы при малых, но конечных значениях чисел Re исследовалось Уайтхедом [2], который к решению уравнений Навье—Стокса применил метод последовательных приближений, разлагая поле потока в ряд по степеням критерия Рейнольдса. Однако это решение противоречило граничным условиям вдали от сферы. Причину трудности раскрыл Озеен [3] отношение отброшенных инерционных членов к вязким — порядка Re-а (оно мало вблизи тела при малых Re, но становится сколь угодно большим вдали от него). Решение Стокса уже непригодно в тех областях, где Re имеет иорядок единицы. Озеен для решения подобной задачи использовал линеаризованную форму инерционных членов, заменив uVu на vVv. Уравнения Озеена имеют решение, пригодное во всем иоле течения при Re 1 и совпадающее вблизи сферы с решением Стокса. Согласно Озеену, коэффициент сопротивления для твердой сферы может быть вычислен по формуле [c.248]

Замечание. В Задачах 5.3—5.11 рассматривается изотермическое течение ньютоновской несжимаемой жидкости. Они помогут читателю решать транспортные задачи. Предлагаем следующую методологию I) выберите подходящую систему координат, изобразите канал и линии тока (это поможет Baivi составить представление о компонентах скорости) 2) преобразуйте уравнение неразрывности к соответствующей системе координат 3) преобразуйте уравнение движения пли уравнение Навье — Стокса к нужной форме 4) сформулируйте граничные и, если нужно, начальные условия 5) вычислите профили скоростей и объемные скорости течения (там, где нужно) 6) вычислите внутренние силы, действующие со стороны жидкости на стенку канала 7) изобразите профили скоростей и градиентов скоростей. [c.130]

Задачи гидродинамики вязко11 жидкости решаются обычно приближенно путем отбрасывания в уравнениях Навье — Стокса членов, которые в тех или иных конкретных условиях могут быть малы по сравнению с другими членами. [c.69]

Так как согласно условию задачи рзагируюг двз близкие по размеру молекулы, то Л, />2 и 2- Используя уравнение Стокса — Эйнштейна, получим [c.277]

Численное моделирование переходных и турбулентных режимов конвекции. В этом пункте мы вновь вернемся к задаче, рассмотренной в п. 6.8.1, но будем изучать ее при больших числах Грасгофа, в турбулентном режиме конвекции. При изучении турбулентных движений традиционным является представление мгновенного значения скорости (или скалярной компоненты — температуры, концентрации) в виде ее среднего значения ы некоторого отклонения от среднего (пульсации). Использование такого представления в исходных нестационарных уравнениях гидродинамики, записанных относительно мгновенных значений (с учетом ряда дополнительных соотношений, известных под названием постулатов Рейнольдса) приводит к уравнениям относительно средних значений, в которых в выражение для тензора напряжений включены различные соотношения, связывающие пульсации скорости (дисперсии, корреляции скорости и т. д.) (см., например, [20], [25]). При этом осреднеиные уравнения оказываются незамкнутыми и одной из проблем расчета турбулентных течений является проблема замыкания — нахождения недостающих связей между характеристиками осредненного и пульсационного движений. Основной недостаток такого рода методов состоит в необходимости использования большого объема эмпирической информации, что уменьшает ценность теоретического исследования. Одни1к из путей для преодоления этих противоречий в разработке теории и методов расчета турбулентных течений является попытка вернуться к численному решению исходных нестационарных уравнений Навье — Стокса. [c.219]

Исходными являются безразмерные уравнения Навье — Стокса для неизотермической жидкости в поле силы тяжести (приближение Буссинеска) в переменных вихрь, функция тока, температура (6.7.11) —(6.7.13). Ставится задача изучения режимов, при которых наблюдаемое в эксперименте течение турбулентно. При этом данная система не имеет стационарного решения, поэтому ищутся мгновенные значения скорости и температуры и (при последующей обработке) средние и пульсационные характеристики. Метод численного моделирования, систематически применяемый для осуществления такого ноддода, [c.219]