Лапласа линейный

Поскольку уравнение Лапласа линейное и однородное, его решения обладают следующими свойствами сумма частных решений есть также решение этого уравнения произведение частного решения на произвольную постоянную есть также решение этого уравнения. На основании этих свойств в подземной гидромеханике разработан метод решения сложных задач, названный методом суперпозиции (методом наложения решений). [c.105]

Линейную математическую модель исполнительного механизма с нагрузкой удобно использовать при проектировочных расчетах в форме передаточной функции [4, 37]. Для вывода выражения передаточной функции преобразуем по Лапласу линейные дифференциальные уравнения (3.109) при нулевых начальных условиях. Затем совместным решением исключим изображение условной переменной величины. После алгебраических преобразований и группировки членов получаем изображающие уравнения исполнительного механизма для двух названных вариантов внешней потенциальной нагрузки [c.205]

Преобразование Лапласа линейной функции (/( )=а , где — посто- янная) имеет простой вид [c.30]

Так как уравнения Лапласа линейны, то можно выбрать совершенно произвольно не более трех масштабов моделирования, остальные же масштабы могут быть лишь производными. Один из этих масштабов — геометрический, два других — электрические. Так, для электролитической ванны соотношение Гаусса-Остроградского имеет следующий вид [c.54]

Так как уравнение Лапласа линейное, то его решением будет ряд [c.254]

Такая задача сводится к решению трехмерного уравнения Лапласа для давления (см. 1 этой главы) с соответствующими краевыми условиями и не имеет простого аналитического решения. Для получения простой расчетной формулы для дебита может быть использован следующий приближенный прием. Будем моделировать горизонтальную скважину в горизонтальном (А-А) и вертикальном (В В) сечениях, соответственно а) линейным стоком длины 21 с постоянной плотностью Я = й/(21) (б-общий объемный расход жидкости в стоке) или б) точечным стоком радиуса г , расположенным посередине между двумя плоскостями. [c.127]

Наряду с графическим построением имеется также относительно простой и распространенный в инженерной практике расчетный метод, с помощью которого для каждого возмущения на входе можно определить выходное значение переменной, т. е. рассчитать, какой отклик даст элемент процесса на возмущение. Этот метод называют преобразованием Лапласа, а полученную с его помощью функцию — передаточной. Такое преобразование является линейным. С помощью этого преобразования функция / (t) от реальной переменной t становится сопряженной функции / (р) от комплексной переменной р = а ]Ь Можно доказать [15], что преобразование Лапласа для члена п-го порядка в дифференциальном уравнении (14-23) при нулевом условии будет следующим [c.307]

Значение R, таким образом, может быть вычислено из выражения для R по уравнению (П1,11). Однако видно, что R представляет собой изображение по Лапласу-Карсону функции R и поэтому может быть найдено при данном R из таблицы преобразований. Можно найти R и непосредственно из диффузионно-кинетических уравнений, если они линейны, подвергнув их преобразованию по Лапласу. Часто именно такой путь и оказывается простейшим, так как уравнения в частных производных заменяются обыкновенными. [c.112]

При анализе импульсных процессов в линейной постановке широко используются спектральный анализ (преобразование Фурье) и операционное исчисление (преобразование Лапласа), применяемые к перечисленным физическим величинам. Пусть на систему действует периодическая сила [c.63]

При использовании модели надежности ХТС в виде системы дифференциальных уравнений делается допущение о показательном законе распределения времени между отказами и времени восстановления системы. Система дифференциальных уравнений Колмогорова решается, как правило, с использованием преобразования Лапласа, методов линейной алгебры, а также сигнальных графов [1,4]. [c.161]

Точные методы решений, как показано на рис. 5.6, образуют небольшую группу и основаны на применении интегральных преобразований Лапласа. Класс точных решений анализировался в работе 1П5], где было показано, что такие решения могут быть получены только для ядер, являющихся линейными функциями по каждому из аргументов в отдельности, т. е. для ядер вида [c.95]

Понятие передаточной функции линейного объекта в теории автоматического регулирования определяется как отнощение [у(01< где Р — оператор преобразования Лапласа [123] х 1) и у 1)— соответственно значение входа и выхода объекта. [c.124]

Самостоятельный интерес представляет математическое моделирование динамических режимов, которые могут быть описаны в терминах линейных систем дифференциальных уравнений. Действенным методом исследования таких систем является аппарат преобразования Лапласа и понятие передаточной функции. Выше мы получили передаточные функции отдельных участков ректификационных установок, однако они оказались достаточно сложными, так что для получения численных результатов необходимо использовать ЦВМ, предварительно решив следующие две задачи. [c.124]

Реальные объекты химической технологии, как правило, не обладают свойством линейности, и поэтому для их описания приходится применять нелинейные операторы. Нелинейность функциональных операторов значительно усложняет теоретическое исследование динамики объектов. Это связано прежде всего с необходимостью рассматривать нелинейные дифференциальные уравнения, для которых нет универсальных методов решения (таких, например, как метод сведения дифференциальных уравнений к алгебраическим с помощью преобразования Лапласа) и которые в большинстве случаев вообще не могут быть решены в квадратурах. [c.77]

Таким образом, динамика процесса абсорбции в насадочном аппарате в режиме идеального вытеснения без труда может быть описана с помощью формул, аналогичных уже полученным для противоточного теплообменника. Значительно сложнее исследовать динамику насадочного абсорбера в том случае, когда нельзя пренебречь продольным перемещиванием. При использовании одно-параметрической диффузионной модели абсорбер описывается уравнениями (1.2.30), (1.2.31) с граничными условиями (1.2.37) (считаем, что расходы по жидкости и газу постоянны). Как и раньше, будем полагать, что функция 0 (0 ) имеет линейный вид 0д = Г01. При этом функциональный оператор А, задаваемый с помощью уравнений (1.2.30), (1.2.31), граничных условий (1.2.37) и нулевых начальных условий будет линейным. Но поскольку уравнения математической модели являются уравнениями в частных производных второго порядка, исследовать этот линейный оператор очень трудно. С помощью применения преобразования Лапласа по t к уравнениям и граничным условиям можно получить выражение для передаточных функций. Однако они будут иметь столь сложный вид по переменной р, что окажутся практически бесполезными для описания динамических свойств объекта. Рассмотрим математическую модель насадочного абсорбера с учетом продольного перемешивания при некоторых упрощающих предположениях. Предположим, что целевой компонент хорошо растворяется в жидкости, и поэтому интенсивность процесса массообмена между жидкостью и газом пропорциональная концентрации целевого компонента в газе. В этих условиях можно считать 0 (0 ) 0. Физически такая ситуация реализуется, например, при хемосорбции, когда равновесная концентрация поглощаемого компонента в газовой фазе равна нулю. При 0а(0 ) = О уравнение (1.2.30) становится независим мым от уравнения (1.2.31), поскольку в (1.2.30) входит только функция 00 (л , t) При этом для получения решения о(а , t), системы достаточно решить одно уравнение (1.2.30) функцию QL x,t), после того как найдена функция можно найти [c.206]

Линейное уравнение (5.2.25) вместе с нулевым начальным условием (5.2.18) определяет линейный оператор Л L +j (/)->0 (/). Применяя к (5.2.25) преобразование Лапласа и решая получившееся алгебраическое уравнение относительно 0 ,, (р), находим выражение для передаточной функции (р) [c.227]

Совместно с нулевым начальным условием (5.2.18) это уравнение при малых G i задает линейный оператор А (i). После применения к (5.2.29) преобразования Лапласа находим передаточную функцию U i/iKp) г-й тарелки для канала G j->02 [c.228]

Общим удобным способом интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами является применение преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа для некоторой функции Р (/), определенной на отрезке (О, оо), состоит в превращении ее в новую функцию Р (/) [c.246]

Эта новая функция (трансформанта) является функцией переменной р, имеющей размерность, обратную размерности I. Нетрудно убедиться, что преобразование Лапласа является линейным пре- [c.246]

Применение преобразования Лапласа к системе линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами превращает последнюю в систему линейных алгебраических уравнений. В качестве примера ниже приводится решение системы (У.Зб). Чтобы избежать громоздких выражений, введены обозначения [c.247]

Для решения небольшой системы дифференциальных уравнений (2.159), описывающих с принятыми допущениями переходные процессы в приводах с дроссельным управлением, нет необходимости использовать названные сложные методы расчета. Приемлемые результаты можно достигнуть более простым при малом числе уравнений методом припасовывания. Такой метод успешно применяют для решения некоторых задач механики [4, 20]. Состоит оп в следующем. Полное время переходного процесса разделяют на малые временные интервалы (шаги). В пределах достаточно малого шага коэффициенты дифференциальных уравнений принимают постоянными. Получаемую при этом систему линейных дифференциальных уравнений решают совместно в каждом временном интервале методом преобразования по Лапласу. Формулы для вычисления конечных значений переменных содержат их начальные значения. Процесс припасовывания состоит в том, что значения переменных, полученные в конце предыдущего шага, принимают начальными дли последующего. Совместное решение системы уравнений в пределах каждого шага исключает возникновение численной неустойчивости решения и этим устраняет искажение переходного процесса. [c.150]

Линейную математическую модель объемного гидропривода с замкнутой циркуляцией жидкости удобно представить в изображениях посредством преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях [c.303]

При решении линейных дифференциальных уравнений удобно применять преобразованные по Лапласу операторы, рассматривая вместо функций действительного переменного (времени) t функции комплексного переменного s. Этот метод основан иа использовании интеграла Лапласа [c.37]

Преобразование Карсона используется в теории автоматического регулирования наравне с преобразованием Лапласа. В общей теории линейных систем применяют также двустороннее преобразование Лапласа, отличающееся от одностороннего преобразования (2.40) тем, что интеграл имеет нижний предел — оо вместо 0. Методы прикладного математического анализа, позволяющие получать решения линейных дифференциальных и интегральных уравнений на основе интегральных преобразований, составляют содержание операционного исчисления. Отдельные стороны операционного исчисления, основанного на одностороннем преобразовании Лапласа, будут рассмотрены далее. [c.39]

Несмотря на отмеченное выше ограничение для передаточной функции нелинейного звена, ее удобно применять при составлении структурных схем систем. При этом на входе и выходе звеньев, ходящих в структурную схему, могут быть указаны величины либо их изображения по Лапласу. В первом случае, строго говоря, переменная s должна заменяться в передаточных функциях символом дифференцирования р. Для единообразия изображения структурных схем линейных и нелинейных систем в дальнейшем как и ранее, будем указывать на схемах изображения входных и выходных величин, имея в виду, что приводимые соотношения используют при гармоническом законе изменения величин. [c.193]

После линеаризации приведенной системы уравнений (2) и преобразования их по Лапласу по переменной 1 получим следующую систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с комплексными переменными [c.141]

Оператор Лапласа для шара в каждой опорной точке симметрии можно представить в виде линейной комбинации функций у(1), у(2),, у(п)и у + 1 (значение на границе х=1) [c.116]

Обычно каталитические эксперименты проводят на лабораторных микрокаталитических установках при стационарном и нестационарном протекании процессов диффузии и адсорбции реактантов при этом одним из наиболее перспективных способов исследования физических свойств катализаторов и адсорбентов является экспрессный импульсный хроматографический метод, позволяющий в ограниченные промежутки времени для значений технологических параметров, близких к промышленным, получить (в частности, для MOHO- и бидисперсных моделей зерен катализаторов) важную информацию о численных величинах их констант, таких, как эффективные коэффициенты диффузии в макро- и микропорах, константы скорости адсорбции, константы адсорбционно-десорбционного равновесия, коэффициенты массоотдачи. Для оценки последних применяются метод моментов, метод взвешенных моментов, методы, использующие в своей основе преобразования Лапласа и Фурье и т. д. Однако все они обладают существенными недостатками применимы только для линейно параметризованных моделей, не позволяют провести оценку точности полученных параметров и оценку точности прогноза по моделям, не допускают проведение планирования прецизионного и дискриминирующего эксперимента. Отметим также, что при их практическом исполь- [c.162]

Метод решения трехдиагоналъной системы уравнений. При решении систем высокого порядка могут возникнуть трудности, связанные с размещением матрицы коэффициентов системы в памяти машины. Например, при решении дифференциального уравнения в частных производных (уравнения Лапласа) с числом узлов, равным 500, полная матрица коэффициентов имеет 250 ООО элементов и обьино не может быть размещена в ОЗУ. Однако эта матрица слабо заполнена и лишь небольшое число ее элементов отлично от нуля. Другим примером таких систем линейных уравнений специального вида с большим числом нулевых элементов в матрице коэффициентов являются системы, получаемые при описании многоступенчатых процессов (многоступенчатая экстракция, абсорбция и ректификация в тарельчатых аппаратах и т. п.). [c.255]

Чтобы определить эти параметры, найдем выражение для первых двух моментов функции распределения времени пребывания системы с застойными зонами. Преобразуя по Лапласу уравнения (7.42)—(7.47) относительно временной координаты, получим систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с искомыми функциями [c.365]

Математическая модель представляет трехмерную краевую задачу, областью расчета которой является электролитическая ячейка с локальным искривлением границы на одной из границ из-за пузырька. Стационарное распределение тока в случае однородной проводимости среды описывается уравнением Лапласа Дф = О, где ф - потенциал. Для корректной постановки задачи в каждой точке границы надо задать либо потенциал, либо гиютность тока, либо условия линейной или нелинейной поляризации. [c.118]

Установленная в начале этого параграфа аналогия между постановками задач линейной теории упругости и линейной теории вязкоупругости называется принципом соответствия. Данный принцип формально обобщается и на случай, когда иреобразо-вапие Лапласа — Карсона (пли другое интегральное преобразование, для которого верна теорема о свертке) неприменимо. В этом случае принцин соответствия будет заключаться в том, что операции умножения того или иного модуля на искомую функцию соноставляется операция операторного умножения , т. е. вычисления некоторого оператора по временнбй переменной от искомой функции. Главная трудность в использовании по- [c.119]

Во второй главе было установлено, что для линейных стационарных объектов отношение преобразования Лапласа от выходной функции к преобразованию Лапласа от одной из входных функций при нулевых остальных входных функциях не зависит от конкретного вида рассматриваемой входной функции [соотношение (2.2.77)]. Это свойство позволяло считать указанное отношение (передаточную функцию) универсальной характеристикой объекта. В рассматриваемом случае объект является нелинейным, поэтому отношения Тйых (р)/ Гвх р) при Т с(р)— о и Твых р)/Тс р) при Твх(р) = 0 зависят от конкретного вида входных функций Твх р) или Тс р), и вводить передаточные функции по каналам 7 вх(0 вых(0, Te t)-yTвъ (t) не имеет смысла. Действительно, [c.117]

Линейная математическая модель следящего гидропривода приемлема при малых значениях переменных величин, поэтому назначаем Д. = 0,05-2п = 0,314 рад и ДЯа = 0,05Яр. Для расчета используют обратное преобразование по Лапласу состав- [c.323]

Для получения передаточных функций дискретных линейных систем используют z-преобразоваиие, которое непосредственно связано с преобразованием Лапласа решетчатых функций. При таком преобразовании решетчатая функция у (ЛГо) рассматривается в виде произведения последовательности импульсов, имеющих единичную площадь, на подвергаемую квантованию непрерывную функцию у (/), Если импульсный элемент идеальный к С Т о, то последовательность импульсов единичной площади с учетом (2.62) может быть представлена бесконечной суммой дельта-функций б (/ — кТ ), существующих только в дискретные моменты времени при t = кТ и равных нулю при всех других значениях I. Тогда решетчатая йункция у [кТ ] принимает вид [c.211]