Группы симметрии порядок

Группа симметрии порядок й = 12 [c.83]

В фигурах и телах конечных размеров симметрия проявляется в том, что равные части фигуры могут быть совмещены друг с другом либо путем поворота всей фигуры в целом, либо зеркальным отражением в плоскости, пересекающей фигуру, либо одновременным проведением обеих этих операций.— поворота и отражения в плоскости, перпендикулярной оси поворота. В частности, поворот на 180% сопровождаемый отражением, приводит к инверсии фигуры. Обычно именно эти операции и соответствующие им геометрические образы — элементы симметрии — и берутся за основу при описании групп симметрии конечных фигур. Хорошо известны и их обозначения поворотные оси С (и —порядок оси), зеркальное отражение С , зеркально-поворотные оси и центр инверсии или С . [c.15]

При столь большом наборе различных групп симметрии их естественно разбить на определенные семейства групп, родственных по тому или иному признаку. В качестве определяющего признака принято использовать либо порядок оси (безразлично какой — поворотной, инверсионной или винтовой), либо метрику трансляционной группы. Соответственно этому возникают два независимых потока классификационных подразделений, представленных на следующей схеме [c.24]

Определение пространственной группы симметрии. Правила погасания. В табл. 3 были приведены правила, определяющие значения индексов 1г, k и I в символах серий узловых сеток в решетках разного типа в примитивной решетке h, k, I — целые числа, не имеющие общего множителя в непримитивных решетках соблюдаются дополнительные правила кратности. Поскольку порядок отражения п может быть любым целым числом, э дифракционные индексы р, q, г равны соответственно п/г, nk и п1, то правила, установленные для h, k, I, легко преобразуются в правила, действующие в отношении индексов р, q, г. Эти правила приведены в последнем столбце табл. 3. [c.70]

Рассматриваемая группа есть не что иное, как точечная группа симметрии (обозначаемая как порядок которой равен 6. Используя таблицы характеров точечных групп (см. следующий параграф и Приложение 2), можно найти, что у этой группы имеется 3 неприводимых представления, одно двумерное и два одномерных. Таблица характеров этих неприводимых представлений приведена ниже [c.209]

Обозначение группы обычно содержит указание на порядок главной оси симметрии. Иллюстрацией этого являются два приведенных выше примера. Общие правила обозначения групп симметрии следующие [c.144]

Третья проблема связана с локализацией атомов Si и А1 в тетраэдрических положениях. Для нескольких цеолитов (например, натролита) рентгеноструктурный анализ непосредственно подтверждает упорядоченность расположения атомов Si и А1. Однако для большинства цеолитов рентгеноструктурные и другие данные указывают на совершенно беспорядочное распределение этих атомов по каркасу. Следует отметить, что можно не обратить внимание на дальний порядок, если при рентгеноструктурном анализе предположить пространственную группу со слишком высокой симметрией. Так, предположение о пространственной группе симметрии R3m в шабазите автоматически приводит к выводу о беспорядочном распределении Si и AI. Между тем микроскопическое изучение показывает, что по крайней мере некоторые кристаллы шабазита образуют шестикратные двойники с триклинной симметрией Р1. Такая пространственная группа предполагает упорядоченное расположение атомов алюминия. [c.35]

Рассмотрим математику пространства кристалла для того, чтобы понять логику существования конечного числа пучков элементов симметрии, порождающих конечное и малое число правильных систем точек общего и частного положений. Назовем оператором точечной группы действие, которое может быть произведено над одномерной, двумерной или трехмерной кристаллографическими системами точек без нарушения их симметрии. В таком случае операторы кристаллографического пространства должны при повторении операции симметрии конечное (и малое) число раз вернуть пространство к первоначальному положению, составив циклическую, замкнутую группу операций (рис. 2.16 и 2.17). Число операций, необходимых для составления замкнутой группы, будет называться порядком группы. Так, порядок группы т есть два, порядок группы 4 — четыре. Если группа содержит плоскость симметрии, то оператор от, параллельный ей или с ней совпадающий, на нее не дей- [c.65]

Пример, в арагоните фактор-группа, изоморфная группе имеет порядок g — 8. Позиционная группа для СО — группа e s с порядком А = 2. В ячейке располагаются glh = 4 иона СОГ- Менее g/h гомологических позиций не может быть, поскольку это означало бы, что некоторые представительные операции фактор-группы, не содержащиеся в позиционной группе симметрии, могут оставлять данное положение инвариантным, а это противоречит определению позиционной группы симметрии. [c.123]

Полное число операций симметрии, включая операцию е, называется порядком группы. Порядок равен двум для групп, имеющих единственный элемент симметрии центр симметрии г (группа i), плоскость симметрии о (группа Сд) или ось второго порядка (группа Сд). Порядок равен р для групп Ср, 5 2р — для групп Ср , Срн, Ор-, 4/7 —для групп Орп, Ора 12 —для группы Г 24 — для групп Та, О, Тп] 48 — для группы Оп- [c.144]

Элементы симметрии Операция симметрии Порядок группы Порядок класса [c.75]

Если молекула имеет одну или несколько осей симметрии, то группа симметрии обозначается С , где п — наивысший возможный порядок оси симметрии (порядок главной оси). Может и не быть главной оси, а вместо этого три взаимно перпендикулярные оси второго порядка б з (папример, как в нафталине). В этом случае любую из этих осей можно выбрать в качестве главной оси симметрии. [c.128]

Перейдем теперь к изогнутой системе АНг, принадлежащей к группе симметрии Сго, характеры которой приведены в табл. 7.4. Поскольку порядок этой группы меньше, изогнутая система AHj имеет более низкую симметрию, чем линейная молекула. Поэтому можно ожидать, что базисные функции распределятся по меньшему числу типов симметрии, т. е. большее их число будет [c.158]

Итак, объединяет кристаллы и молекулы ближний порядок, а различает — группа симметрии. [c.86]

Трудности, возникающие прн построении теории электронной структуры кристаллов с ЛЦ, связаны с необычной природой самих объектов. С одной стороны, они представляют собой системы молекулярного типа, так как трансляционная симметрия, присущая идеальным кристаллам, при появлении дефекта нарушается как и у молекул, у кристаллов с ЛЦ группа симметрии точечная. Поэтому оказываются неприменимыми традиционные методы, развитые в зонной теории твердых тел и с успехом применявшиеся уже с конца тридцатых годов для описания электронной структуры идеальных кристаллов. Для совершенного кристалла благодаря наличию трансляционной симметрии порядок вековых уравнений, решаемых при расчете электронных состояний (по крайней мере для валентных зон), определяется числом атомов в примитивной ячейке. [c.252]

Рассмотрим молекулярные орбитали тетраэдрического радикала, составленные из s- и р-орбиталей центрального атома и р-орбиталей атомов лигандов. Из этих шестнадцати атомных орбиталей (рис. IX. 1) можно построить столько же молекулярных орбиталей, каждая из которых обозначается по соответствующему неприводимому представлению группы симметрии тетраэдра (Г,г). Наименьшую энергию могут иметь (рис. IX.2) орбитали или lui. Орбиталь является связывающей. п-орбиталью , локализованной вдоль осей А — В. Орбиталь 1 1 построена в основном из s-орбитали центрального атома и является а-орбиталью относительно каждой из этих осей. Соответствующие разрыхляющие орбитали мы обозначаем как 3 , и 2о,. Для классификации молекулярных орбиталей радикала АВ4 мы воспользовались теорией групп. Такой поход в данном случае является более простым по сравнению с использованием представлений о гибридизации связей. Оба способа описания электронного строения являются совершенно эквивалентными, гибридные sp -орбитали могут быть получены путем комбинирования орбиталей fli и 4- Относительный порядок расположения уровней по энергии не очевиден. Можно полагать, что последовательность заполненных уровней имеет вид 1П. Однако к этому вопросу вернемся [c.207]

Из рассмотренного выше очевидно, что мера сложности структуры зависит как от способа, согласно которому множество А было получено из структуры, так и от используемого для разбиения соотношения эквивалентности. Для данной химической структуры классы эквивалентности, полученные при разбиении множества вершин графов со стертыми атомами водорода, будут отличаться от непересекающихся подмножеств, полученных из множества вершин целого (без удаления атомов водорода) молекулярного графа. Ра-шевский [29], Трукко [30] и Мовшович [31] рассчитали информационное содержание графов со стертыми атомами водорода, в которых топологически эквивалентные вершины (т. е. вершины, составляющие орбиты группы автоморфизмов) размещались в одном и том же подмножестве. Кайер [32] рассчитал информационное содержание целого молекулярного графа, в котором множество его вершин было разбито на классы эквивалентности на основе операций симметрии и экспериментальных данных спектроскопии ЯМР. Эквивалентность вершин на основании геометрической группы симметрии, порядок расстояний в матрице расстояний и распределение связок ( onne tions), определенных как число пар смежных ребер, также использовались авторами в качестве критериев для определения соотношения эквивалентности на множестве вершин [3, 33, 34]. [c.211]

При рассмотрении симметрии ядерной конфигурации и классификации колебательно-вращат. состояний молекулы важна перестановочно-инверсионная группа, включающая наряду с операциями перестановок тождеств, частиц также инверсию и все произведения перестановок и инверсии. Др. словами, перестановочно-инверсионная группа представляет прямое произведение групп 5д, и С . Порядок этой грушш, т. е. число содержащихся в ней элементов, м. б. очень большим. Так, для циклопропана при рассмотрении только лишь подсистемы ядер порядок перестановочно-инверсионной группы равен (порядок грушш С,., равный [c.348]

В предыдущем разделе для симметризации функций мы воспользовались подгруппой Сг точечной группы Сгл. Эта подгруппа является простейшей подгруппой группы Сгл, которая обменивает местами эквивалентные базисные функции п-элек-тронной системы бутадиена. Можно сказать, что группа Сг является группой перестановочной симметрии для этих функций. Заметим, что порядок группы перестановочной симметрии равен числу обмениваемых местами эквивалентных функций. Группа локальной симметрии определяется элементами симметрии, проходящими через рассматриваемую точку. Для п-электронной системы бутадиена тождественное преобразование и плоскость симметрии проходят через каждый атом. Таким образом, каждый атом имеет локальную симметрию С . Полная группа является произведением группы локальной симметрии и группы перестановочной симметрии. В других молекулах могут существовать различные положения, имеющие неодинаковые локальные и перестановочные симметрии. В зависимости от обстоятельств каждая из этих подгрупп может быть настолько мала, как группа Сь или настолько велика, как полная точечная группа симметрии молекулы. В любом случае каждая из них должна быть подгруппой полной группы (или совпадать с ней), а произведение каждой группы локальной симметрии и соответствующей перестановочной группы должно давать полную группу. Нередко перестановочную группу не удается выбрать однозначно, как это имеет место в случае бутадиена, где перестановка базисных функций может осуществляться операциями группы Сг либо С,-. [c.281]

Другой механизм фазовых превращений второго рода действует при переходах типа порядок — беспорядок или беспорядок—порядок. Например, в сплаве Си и 2п при высоких температурах атомы Си и 2п с совершенно одинаковой вероятностью располагаются по узлам разупорядоченной объемно центрированной кубической решетки высокой симметрии (пространственная группа симметрии 1тЗт). При понижении температуры происходит изменение в расположении атомов атомы Си стремятся занять места преимущественно в вершинах, а атомы 2п — в центре элементарной ячейки, т. е. стремятся каждый расположиться по своей подрешетке. С дальнейшим понижением температуры эта тенденция к упорядочению все более возрастает, приближаясь к полной упорядоченности, а трансляционная симметрия решетки понижается (пространственная группа РтЗт). Следует отметить, что очень часто (хотя и не всегда) низким температурам соответствуют менее симметричные упорядоченные полиморфные формы, а высоким температурам— более симметричные разупорядоченные. [c.52]

Каждый тип жидких кристаллов обладает своими собственными геометрическими и оптическими свойствами. На молекулярном уровне это означает, что каждый такой порядок обладает определенной группой симметрии [6]. Большая часть двоякопреломля-ющих биологических систем обнаруживает структуру, симметрия которой совпадает с различными хорошо известными мезоморфными фазами [7]. Таким образом, различные типы мезоморфных порядков широко распространены в живой природе. Мы не должны забывать также, что существуют и истинные трехмерные кристаллы [8]. Важность мезоморфных структур (в том числе и коллоидов) определяется их присутствием в мембранах клеток и клеточных органелл, в клеточных ядрах и хромосомах многих микроорганизмов, в миелиновых оболочках аксонов нервных клеток (особенно распространенных в белом веществе мозга позвоночных), а также в мышечных и скелетных тканях [3, 7, 9—1 ]. [c.277]

В молекуле, гамильтониан которой инвариантен по отношению к преобразованиям группы симметрии, существует тесная связь между симметрией и локализованными орбиталями. Если матрица плотности р (ж х ) в уравнении (10) инвариантна по отношению ко всем преобразованиям группы, то инвариантен также и хартри-фоковский оператор уравнения (9) и, следовательно, канонические молекулярные орбитали принадлежат к неприводимым представлениям. С другой стороны, локализованные орбитали часто принадлежат к приводимым представлениям, причем групповые преобразования просто мештт порядок локализованных орбиталей. Получающиеся при такой перестановке локализованные орбитали часто называют эквивалентными орбиталями Простейшим примером является атомная конфигурация (5) 2рхУ), волновую функцию которой можно записать в виде [c.103]

Винстон и Халфорд [37] рассмотрели конечный кристалл, состоящий из Л/ МгЛ/ з элементарных ячеек. Каждая элементарная ячейка содержит т атомов. Общее число нормальных колебаний такого кристалла поэтому равно ЗтЛ/1] /2Л/з- Мь1 должны получить число колебаний соответствующих каждому неприводимому представлению группы симметрии. Как было показано ранее, группа чистых трансляций имеет Л/1М2Л з таких представлений. Число а/ можно определить из уравнения (59), где порядок /г группы равен Л 1Л 2Л/ з- Значения Н) даются уравнением [c.84]

В заключение рассмотрим очень важный вопрос о сравнении (или корреляции) симметрии кристаллов с симметрией молекул, образующих структуру кристалла. Прежде чем рассмотреть возможные ответы на этот вопрос, вернемся вновь к проблеме симметрии в целом. В общем, чтобы описать положения всех атомов бензола СеНе, необходимо 3X12 = 36 координат. Однако в каждой молекуле бензола имеется большой набор элементов симметрии одна ось 6-го порядка, шесть осей 2-го порядка, семь плоскостей симметрии и центр симметрии. Порядок этой группы равен 24 (6X2X2), а атомов углерода всего шесть, поэтому каждый из них должен быть расположен на оси или в плоскости симметрии, так что симметрия непосредственного окружения каждого атома имеет порядок 4 = 24/6 то же самое относится к атомам водорода. В рассматриваемом примере оба типа атомов должны располагаться на осях 2-го порядка, через которые проходят две плоскости симметрии. [c.34]

По количеству элементов симметрии Кубические кубические группы относятся к самым [тет платоиа) богатым, . Кубическими их называют потому, что каждая из них имеет элементы симметрии, присущие кубу. А вот почему их называют еще телами Платона, читатель узнает позже, в гл. V. Здесь же следует отметить, что к телам Платона относят только правильные многогранники, а не любую геометрическую фигуру с кубической точечной группой симметрии. Характерной чертой кубических групп является наличие у них нескольких осей, порядок которых выше второго. Мы остановимся на [c.18]

При точечной группе симметрии osdPe Зй-орбитали преобразуются по представлениям a g (dzO e2g dx -y , ху), Sig (dyz,zx) (ось z перпендикулярна кольцам С5Н5). В настоящее время можно считать установленным, что в первом возбужденном состоянии e g представлены в основном лишь орбитали Ре 3dyz, ZX- Энергия релаксации оказывает решающее влияние на порядок следования уровней [126, 128, 342]. [c.114]

Значение теории групп для квантовомеханического исследования молекул и кристаллов состоит в следующем во-первых, теория групп позволяет, исходя только из свойств симметрии системы, провести классификацию электронных и колебательных состояний молекулы и кристалла и указать кратность вырождения энергетических уровней системы во-вторых, на основе теории групп удается установить некоторые правила отбора для матричных элементов, существенные при расчете вероятностей переходов и других характеристик в-третьих, на основе теории групп можно провести качественное рассмотрение возможного расщепления вырожденного уровня энергии при изменении симметрии системы (например, появлении внешнего поля). Наконец теория групп позволяет существенно понизить порядок решаемых уравнений при использовании симметризованных (преобразующихся по неприводимым представлениям группы симметрии системы) функций благодаря тому, что матричные элементы операторов, вычисленные с такими функциями, удовлетворяют некоторым соотношениям общего характера. [c.6]

Если молекула нелинейна, то только конечное число элементов полной ортогональной группы О будет элементами группы симметрии молекулы — порядок осей симметрии С и 5 для молекулы определяется геометрией расположения ядер в ней и требованием, чтобы при операциях симметрии эквивалентные ядра переходили друг в друга. [c.15]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология