Леннарда Джонса потенциальная функция

Для неполярных молекул (Oj, Nj, Oj, СО и др.) потенциальную энергию взаимодействия в зависимости от расстояния между молекулами г можно аппроксимировать функцией Леннарда-Джонса [c.68]

Рис. 3-2. Потенциальная энергия взаимодействия в зависимости от расстояния между молекулами (по функции Леннарда-Джонса)

Для полярных молекул (Н2О и др.) нужно еще учесть электростатическое взаимодействие диполей, при этом потенциальная функция получается более сложной. Однако для приближенных расчетов коэффициента диффузии и в этом случае можно использовать потенциал Леннарда-Джонса. [c.69]

Решение. Для расчетов надежнее всего использовать формулу (3-12), вытекающую из кинетической теории газов. Приняв для описания взаимодействия молекул потенциальную функцию Леннарда-Джонса, можно взять значения параметров а и е/к для составляющих смесей из табл. 3-1, величины можно приближенно использовать и для температур, более высоких, чем 1000° К (данные табл. 3-1 взяты из результатов измерения вязкости в диапазоне температур 300—1000° К). При определении параметров для смесей по параметрам для составляющих газов следует использовать комбинационные правила (3-14) и (3-15). Значения приведенного интеграла столкновений можно взять из графика на рис. 3-3. Результаты расчетов приводятся в табл. 3-3. [c.83]

Для расчета ат (или кт) используют и другие выражения для потенциальной функции, причем в ряде случаев они дают лучшее согласие с опытом, чем потенциал Леннарда — Джонса. В целом же, результаты вычислений ат по сложным моделям все же не дают достаточно хорошего соответствия с экспериментом, особенно для многоатомных газов. Вследствие этого на практике обычно прибегают к экспериментальному определению этой величины. [c.165]

В последние годы для описания взаимодействия между двух-и многоатомными молекулами широко пользуются атом-атом-ными потенциалами. Взаимодействия между валентно не связанными атомами описывают сферически симметричными потенциалами (обычно это потенциалы Леннард-Джонса или ехр—6), и потенциальную энергию системы представляют как сумму таких потенциалов. Так, для пары двухатомных молекул (рис. П. 14) = 13 + 14 + W23 + 24, где Uij = Uij(r ) — функция (П. 107) или (II. 109). [c.121]

Для количественного расчета величины 8 требуется задать потенциал парного взаимодействия молекул. В некоторых случаях, в частности в случае потенциала (6—12), интеграл (XI.57) может быть взят в аналитическом виде. Разработаны стандартные методы расчета второго вириального коэффициента веществ, взаимодействие в которых описывается потенциалом Леннард-Джонса. Эти методы основаны на использовании приведенных величин. Потенциал Леннард-Джонса (и некоторые другие потенциалы) может быть записан в виде произведения энергетической константы е (глубина потенциальной ямы) на функцию безразмерного аргумента х = ria, зависящего от расстояния [см. формулу (Х.28)] [c.306]

Но почти та же радиальная функция распределения получается и для модели, в которой потенциальная энергия взаимодействия между атомами подчиняется уравнению Леннарда—Джонса (IV. 17) [c.123]

Основная проблема при использовании потенциальных функций заключается в выборе эмпирических параметров, в наибольшей мере соответствующих исследуемым объектам, поскольку универсальных параметров нет. Равновесные расстояния берутся прямо из кристаллографических данных. Дж. Хендриксон [83] и Г. Шерага и соавт. [84] разработали два способа определения параметров А, В иС в функциях "6-ехр" и "6-12". Параметр А вычисляется по уравнению Слэтера-Кирквуда, а В - из условий минимума функции С/вцв при равновесном расстоянии. Другим возможным путем определения значений эмпирического параметра В является его оценка по данным рассеяния молекулярных пучков, а параметра Л - из условия (ЬU JЪr)r=r = О- Параметр С в функции Букингема во всех случаях предполагается одинаковым (4,6 А ). Наиболее обоснованными и хорошо себя зарекомендовавшими в расчетной практике пептидов следует признать значения параметров А к В, предложенные Р. Скоттом и Г. Шерагой [85] для потенциала Леннарда-Джонса. Для потенциала 114 [c.114]

Используя различные значения п—т для потенциальной функции, можно получить бесконечное число решений для вириальных коэффициентов. Широкое распространение получил потенциал Леннарда-Джонса при п = 12. На рис. 1.24, в приводится график потенциальной функции для этилена. [c.89]

Исследователи используют и многие другие потенциальные функции наиболее простые из них помещены в табл. 1.23. Ряд таких функций имеет теоретическое обоснование другие, ведущие к интегрируемым уравнениям, пригодным для теоретических исследований, имеют лишь частичное обоснование. Потенциальные функции, приведенные в табл. 1.23, имеют О, 1, 2 или 3 параметра, которые можно подобрать в соответствии с экспериментальными данными. Кроме потенциала Леннарда-Джонса существуют еще два вида потенциалов, особо эффективных при теоретических изысканиях. [c.89]

Применение совершенно различных потенциальных функций приводит к одинаковым значениям вириальных коэффициентов. Потенциал прямоугольной ямы и потенциал Леннарда-Джонса, соответствующие вторым вириальным коэффициентам аргона, показаны на [c.91]

Современная математическая теория неоднородных газов [7] расширяет пределы применимости классической кинетической теории путем введения допущения о взаимодействии молекул газа. Молекулы отталкиваются друг от друга, когда они располагаются в непосредственной близости, и притягиваются, находясь друг от друга на некотором расстоянии. Межмолекулярные потенциалы взаимодействия выражаются эмпирически любой из ряда потенциальных функций , самой употребительной среди которых является [1 , 8] потенциал Леннарда — Джонса [c.476]

Выбор этой потенциальной функции обусловлен тем, что многочисленные эксперименты показали хорошее соответствие между значениями вириальных коэффициентов, вычисленными при помощи потенциала Леннарда-Джонса, и значениями, полученными непосредственно из опыта для многих неполярных молекул. Необходимо, правда, иметь в виду, что применение потенциальной функции с параметрами е и б, определенными из экспериментальных значений второго вириального коэффициента, полученных при низких температурах, для вычисления значений вириальных коэффициентов при высоких температурах в общем случае незаконно и может привести к значительным ошибкам. Вычисление вириальных коэффициентов по силовым постоянным межмолекулярного потенциала, полученным из измерений вязкости, диффузии или теплопроводности, в ряде случаев также может привести к [c.998]

Возможно, что наиболее успешной трактовкой потенциальной энергии взаимодействия двух молекул является эмпирическая функция Леннарда — Джонса, содержащая константы о и 8, характеризующие химическую природу молекул. Применение интеграла и силовой константы а в уравнении (УП1. 5) приводит к j = 1,86-10-3, = ГД 12 = y( i + 2)-Необходимые для расчета значения интеграла столкновений даются в форме таблицы для функции кТ/е, где к — постоянная Больцмана и Т — абсолютная температура [7]. [c.176]

При интерпретации термодинамических данных или данных, полученных при изучении явлений переноса [1], кривые потенциальной энергии взаимодействия двух молекул приближенно представляют полуэмпирическими функциями. При этом наиболее часто используют зависящий от двух параметров потенциал Леннард-Джонса [c.230]

Полярные газы- Для полярных молекул более подходит потенциальная функция, предложенная Штокмайером и рассмотренная в других работах [11, 93, 156]. По существу эта функция идентична потенциалу Леннарда—Джонса 12-6, [c.352]

Здесь и , (г) — независящая От ориентаций составляющая потенциала межмолекулярного взаимодействия, например, потенциальная функция Леннард-Джонса [c.42]

Возможно, что наиболее успешной трактовкой потенциальной энергии взаимодействия двух молекул является эмпирическая функция Леннарда — Джонса, содержащая константы о н е, характеризующие химическую природу молекул. Применение интеграла и силовой константы о в уравнении (УП1. 5) приводит к = 1,86-10-3, (о + [c.176]

Потенциальные функции Леннарда-Джонса [c.72]

Параметры межмолекулярного взаимодействия позволяют в количественной форме охарактеризовать потенциальную функцию, описывающую энергию парного взаимодействия молекул. Эта функция, (для неполярных веществ — потенциал Леннард-Джонса, для полярных — потенциал Штокмайера) широко используется в расчетах термодинамических и кинетических свойств веществ. [c.32]

О, молекулы притягиваются. Потенциальная энергия сил притяжения на больших расстояниях пропорциональна 1/г . При г < < 2 СТ12 /12 > О, молекулы отталкиваются. Потенциальная энергия сил отталкивания в функции Леннарда-Джонса пропорциональна 1/г . В действительности зависимость должна быть близкой к экспоненциальной, однако принятое приближение мало сказывается на расчетах коэффициентов переноса. При г = 2 / 012 силы притяжения и отталкивания уравновешивают друг друга, суммарная сила /12 равна нулю. [c.69]

Эти уравнения приводят почти к одинаковым результатам (рис. 6.3). Экспериментальные кривые (р Я) несколько отличаются от теоретической кривой Леннарда — Джонса числовым значением функции ф 7 ) на равновесном расстоянин. Расхождение в глубине минимума происходит, очевидно, из-за неточности приведенных уравнений для конденсированного состояния вещества. Однако качественная картина зависимости потенциальной энергии взаимодействия атомов от расстояния между ними вполне удовлетворительна. Лучшее согласование теории с экспериментом может быть достигнуто, если наряду с парными учитывать многочастичные взаимодействия, роль которых возрастает с увеличением плотности жидкости. [c.158]

Рассмотренные потенциалы лить приближенно отражают действительную зависимость и (г) н их использование обосновано только при оннсании свойств сравнительно [)азрежеииых газов. Точные расчеты для плотных систем требуют более совершенных потенциальных функций. Простые потенциалы, в том числе потенциал Леннард-Джонса, однако, часто используют и для плотных систем, чтобы несколько уменьшить математические трудности статистических 5асчетов (и в этом случае даже для самых простых жидкостей — сжиженных благородных газов — задача оказывается чрезвычайно сложной). Как это ни удивительно, с помощью потенциала Леннард-Джонса удалось удовлетворительно описать свойства сжиженного аргона и ряда дружба [c.282]

Метод Леннард-Джонса и Девоншайра состоит в следующем. По определению, функция % (О — сумма потенциалов,создаваемых в ячейке атомами первой координационной сферы . Обозначим а — радиус первой координационной сферы (расстояние между ближайшими соседями), г — координационное число. Если молекулы взаимодействуют согласно потенциалу 6—12, то потенциальная энергия частицы в центре ячейки равна [c.366]

Уравнение Ми определяет потенциальную энергию ф изолированной пары частиц, как функцию расстояния между ними а и некоторого числа постоянных. Минимальное чис.чо их равно четырем. Чаще всего целые числа тип можно считать известными, так что остается только выразить ф через а и две постоянные. В исходной работе Ми в качестве этих постоянных были выбраны А и В из уравнения (23). В ряде других работ (например, Герцберга, Леннард-Джонса) предпочтение отдавалось постоянным фе и из уравненпя (27). С помощью уравнений, приведенных в предыдущем разделе, потенциальную энергию ф при желании можно выразить через А и ф,. или через В и ф . Сейчас используется другая удобная форма этого уравнения. В ней ф выражено через — фе (или и расстояние а, пртг котором центры частиц сближены настолько, что эпергия взаимодействия равна нулю (рис. 10). Из уравнения (27) видно, что а определяется соотношением [c.283]

Потенциальная кривая зависимости и цд от где г - расстояние между парой валентно-несвязанных атомов, следует из анализа отклонений свойств реального и идеального газов. Исследования Т. Хилла [81], М. Кривого и Е. Мейзона [82] рассеяния молекулярных пучков позволили установить зависимость /вдв(г)для взаимодействий атомов инертных газов, которые были распространены на атомы соответствующих галоидов. Кривая С/ д как функция расстояния между атомами гелия представлена на рис. 1.2. На больших расстояниях действуют силы притяжения, энергия которых пропорциональна, согласно теории Лондона, 1/г . На более коротких расстояниях при достаточном сближении атомов их ван-дер-ваальсовы радиусы перекрываются, и отталкивание между ядрами и между электронами доминируют над силами притяжения. Энергия отталкивания обычно аппроксимируется как 1/г или ехр(-/). Таким образом, для описания невалентных взаимодействий наиболее широко используются две аналитические формы потенциала потенциал Дж. Леннарда-Джонса ("6-12") С/вд (г) = (-Л/г ) + (В/г 2) и потенциал А. Букингема ("6-ехр") С/вдв( ) = = (Л/г ) + В ехр(-Сг), где Л, 5 и С - эмпирические параметры. Потенциальные кривые Леннарда-Джонса и Букингема очень похожи различие заключается лишь в том, что потенциал "6-ехр" имеет ложный минимум при г < 1,0 А и при / = О величина С/ дв стремится к [c.114]

Помимо вириальных коэффициентов для нахождения параметров потенциальных функций можно использовать данные о таких свойствах веществ, как, например, вязкость и рассеяние молекулярного пучка. Хиршфель-дер и др. (1964) провели сравнительный анализ параметров, рассчитанных по вириальным коэффициентам и по данным о вязкости. На рис. 1.24, б приведены потенциалы Леннарда-Джонса, полученные исходя из вириальных коэффициентов для нескольких молекул. Поскольку потенциал Леннарда-Джонса отвечает принципу соответственных состояний, его параметры можно выразить через константы критического состояния. Если же более точные данные отсутствуют, параметры можно оценить при помощи следующих приближенных уравнений [c.89]

Расчеты константы Генри для адсорбции одноатомных молекул на базисной грани полубесконечной решетки графита производились при использовании разных форм для атом-атомного потенциала ф Сюзерленда (6, оо) [1], Леннард-Джонса (6, 12) [1—5], Бакингема (6, ехр) [5] и Бакингема — Корнера (6, 8, ехр) [5]. Эти атом-атомные потенциалы различаются как формой члена, аппроксимируюш его потенциал сил отталкивания, так и числом членов,описывающих потенциал сил дисперсионного притяжения. Были сопоставлены рассчитанные значения константы Ki при фиксированных значениях параметров г кТ и Гд потенциалов ф взаимодействия атома благородного газа с атомом углерода графита в форме (VIII,17) [5] с рассчитанными значениями Ki при фиксированных значениях параметров Фд кТ и Zg для соответствующих потенциальных функций Ф взаимодействия одноатомной молекулы с базисной гранью полубесконечной решетки графита в форме [1, 5] [c.284]

Использованные в статьях (стр. 9 и 23) и в выступлениях (стр. 55, 57, 60, 62, 65, 73, 75, 78) формы потенциальных функций для неспецифического молекулярного взаимодействия позволили свести адсорбционные взаимодействия к другим видам молекулярного взаимодействия. Вряд ли нужно повторять всем известную истину, что квантовая механика пока не может дать точных решений ряда важных проблем молекулярного и химического взаимодействия. Однако квантовая химия развивается на основе полуэмпирических методов. В частности, потенциалы Леннард-Джонса и Бакингема успешно используются во всех областях молекулярной физики — в теории реальных газов, молекулярных кристаллов и жидкостей, так как они правильно передают общие черты перехода от притяжения к отталкиванию с изменением расстояния. В молекулярных кристаллах равновесные расстояния известны и не соответствуют указанному Н. Д. Соколовым расстоянию для взаимодействия атомов водорода. Поэтому полуэмпирическая оценка равновесных расстояний для песпецифи-ческих адсорбционных взаимодействий из свойств молекулярных кристаллов пока более правильна. [c.87]

Это, однако, мало повлияло на расчетные значения у. Результаты Бенсона и Клакстона [для потенциальной функции 6-12 Леннарда-Джонса, уравнение ( -10)] приведены в табл. -1. [c.209]

Помимо этих двух потенциальных функций, для вычисления вириальных коэффициентов применяются также и другие типы межмолекулярных потенциалов. Подробный обзор различных типов межмолекулярных потенциалов приведен в книге Хершфельдера, Кертисса и Бэрда [2082]. В настоящем Справочнике вириальные коэффициенты неполярных газов вычислялись с применением межмолекулярного потенциала Леннарда-Джонса (6—12). [c.995]

Первоначальная твердосферная кинетическая теория газов была, пожалуй, величайшим вкладом в развитие понимания статистического поведения молекул. Физические, термодинамические и даже переносные свойства были количественно соотнесены с молекулярными свойствами. Отклонения от кинетической теории твердых сфер неи1збежно инициировали исследования взаимодействия молекул, основанные на понимании того, что молекулы притягивают одна другую когда расстояние между ними большое, и отталкиваются, когда они расположены очень близко. Полу эмпирические потенциальные функции (например, Леннарда—Джонса) описывают притяжение и отталкивание в приближенной количественной форме. Сравнительно недавно были разработаны потенциальные функции, учитывающие форму молекул й особую природу полярных молекул. [c.12]

При расчетах, в которые входит эта отталкивательная энергия, резко возрастающая внутри диаметра столкновения, часто оказывается удобным заменять экспоненциальный спад качественно подобной функцией, но такой, которая упрощает вычисления. Отметим здесь две принятые аппроксимации. Первая представляет собой функцию с г в степени минус двенадцать (в общем случае —минус п), которая входит в широко известную потенциальную энергию Леннард-Джонса. Вторая аппроксимация — взаимодействие твердых сфер — получается как естественный предельный случай резкого хода отталкиватель-ного потенциала. [c.84]

Приведенные выше общие рассуждения вполне применимы и для неплоских поверхностей. Для ненлоской поверхности оба члена в уравнении (26) заменяются тройными интегралами, а значение е должно быть определено для всех точек новерхности. Для неоднородной поверхности е — функция как X ж у, так и z. Стил и Хелси [154] допускали, что потенциальная энергия 8 определяется взаимодействиями типа взаимодействия твердых шаров, но возможно и альтернативное допущение — наличие потенциала типа Леннард-Джонса [166] (см. разд. 2.2.1). Получающиеся в результате значения величин поверхности очень сильно зависят от формы используемого уравнения для потенциальной энергии и метода вычисления. [c.89]

Для более точного вычисления длины центральной связи С —С в бутадиене Дьюар и Шмизинг прибегают к приему, который основан на учете, по идее Леннард-Джонса (стр. 226), в методе молекулярных орбит энергии сжатия и растяжения сз-связей, причем Дьюар и Шмизинг дают более общий способ расчета, позволяющий исходить из произвольной потенциальной функции [c.240]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология