Леннарда Джонса функция

В случае аппроксимации межмолекулярного взаимодействия потенциалом Леннарда — Джонса функции [c.72]

Уравнение (3.39) получено с помощью соотношений (3.36) и (3.37), при этом предполагалось, что взаимодействие газа с матрицей мембраны неспецифично и описывается в первом приближении функцией типа парного потенциала Леннарда — Джонса (3.13). Если в мембране возможно специфическое взаимодействие одного из протекающих газов с элементами мат- [c.79]

Основным преимуществом разложения Букингема—Попла является возможность применения его к зависящим от ориентации потенциалам любого типа. Добавляя различные зависящие от ориентации члены к потенциалу Леннарда-Джонса (12—6), можно получить большое число потенциалов, вторые вириальные коэффициенты которых могут быть легко рассчитаны с помощью табличных значений функций Букингема и Попла. Большинство [c.230]

Для неполярных молекул (Oj, Nj, Oj, СО и др.) потенциальную энергию взаимодействия в зависимости от расстояния между молекулами г можно аппроксимировать функцией Леннарда-Джонса [c.68]

Рис. 3-2. Потенциальная энергия взаимодействия в зависимости от расстояния между молекулами (по функции Леннарда-Джонса)

Для полярных молекул (Н2О и др.) нужно еще учесть электростатическое взаимодействие диполей, при этом потенциальная функция получается более сложной. Однако для приближенных расчетов коэффициента диффузии и в этом случае можно использовать потенциал Леннарда-Джонса. [c.69]

Решение. Для расчетов надежнее всего использовать формулу (3-12), вытекающую из кинетической теории газов. Приняв для описания взаимодействия молекул потенциальную функцию Леннарда-Джонса, можно взять значения параметров а и е/к для составляющих смесей из табл. 3-1, величины можно приближенно использовать и для температур, более высоких, чем 1000° К (данные табл. 3-1 взяты из результатов измерения вязкости в диапазоне температур 300—1000° К). При определении параметров для смесей по параметрам для составляющих газов следует использовать комбинационные правила (3-14) и (3-15). Значения приведенного интеграла столкновений можно взять из графика на рис. 3-3. Результаты расчетов приводятся в табл. 3-3. [c.83]

Для построения уравнения состояния можно применить два способа. Первый, эмпирический, дает эмпирические уравнения, соответствующие экспериментальным результатам. Такая методика расточительна по времени и трудна из-за высоких давлений и необходимости долго выдерживать образец при высоких температурах. Суть другого способа построения уравнения состояния заключается в использовании известных полей сил межмолекулярных взаимодействий. Как правило, считаются, что эти силы подчиняются соотношению потенциала Леннарда—Джонса. Для того чтобы получить макроскопически наблюдаемые характеристики, следует провести статистическое усреднение по молекулярным переменным. Это приводит к необходимости вычисления граничной функции [24]. Расчет последней очень труден, приходится делать множество допущений, касающихся молекулярной структуры и сил межмолекулярного взаимодействия. Только после этого можно построить уравнение состояния. [c.125]

Для расчета ат (или кт) используют и другие выражения для потенциальной функции, причем в ряде случаев они дают лучшее согласие с опытом, чем потенциал Леннарда — Джонса. В целом же, результаты вычислений ат по сложным моделям все же не дают достаточно хорошего соответствия с экспериментом, особенно для многоатомных газов. Вследствие этого на практике обычно прибегают к экспериментальному определению этой величины. [c.165]

Леннард-Джонс и Попл показали, что волновая функция для многоатомной молекулы, построенная из делокализованных многоцентровых молекулярных орбиталей, может быть математически преобразована в волновую функцию, построенную из двухцентровых локализованных молекулярных орбиталей. [c.102]

В 1927—1929 гг. Хунд , Леннард-Джонс и Малликен развили идею нового подхода к поиску волновой функции молекулы, известного под названием метода молекулярных орбиталей (МО). [c.97]

В последние годы для описания взаимодействия между двух-и многоатомными молекулами широко пользуются атом-атом-ными потенциалами. Взаимодействия между валентно не связанными атомами описывают сферически симметричными потенциалами (обычно это потенциалы Леннард-Джонса или ехр—6), и потенциальную энергию системы представляют как сумму таких потенциалов. Так, для пары двухатомных молекул (рис. П. 14) = 13 + 14 + W23 + 24, где Uij = Uij(r ) — функция (П. 107) или (II. 109). [c.121]

Для газов, молекулы которых взаимодействуют согласно потенциалу Леннард-Джонса (П. 107), приведенный второй вириальный коэффициент В = В/Ь, где Ь = /злЛ авО , является универсальной функцией приведенной температуры T = kT/ . [c.221]

На рис. 1.4 представлены результаты расчета функции Ц ( >)(/ ) для газа с использованием потенциала межмолекулярного взаимодействия Леннарда — Джонса [c.20]

Для количественного расчета величины 8 требуется задать потенциал парного взаимодействия молекул. В некоторых случаях, в частности в случае потенциала (6—12), интеграл (XI.57) может быть взят в аналитическом виде. Разработаны стандартные методы расчета второго вириального коэффициента веществ, взаимодействие в которых описывается потенциалом Леннард-Джонса. Эти методы основаны на использовании приведенных величин. Потенциал Леннард-Джонса (и некоторые другие потенциалы) может быть записан в виде произведения энергетической константы е (глубина потенциальной ямы) на функцию безразмерного аргумента х = ria, зависящего от расстояния [см. формулу (Х.28)] [c.306]

Для всех веществ, молекулы которых взаимодействуют согласно одному и тому же закону [допустим, согласно потенциалу 6—12], функция 7 (г ) одна и та же, так что для веществ данного класса зависимость В (Т ) универсальна. Зависимости Вг (Т ) для случая потенциала Леннард-Джонса и некоторых других модельных потенциалов типа (XI.58) табулированы. [c.307]

Но почти та же радиальная функция распределения получается и для модели, в которой потенциальная энергия взаимодействия между атомами подчиняется уравнению Леннарда—Джонса (IV. 17) [c.123]

Для молекулярного взаимодействия часто принимают потенциал Леннард—Джонса г(г) =Аг —-Вг- . Для взаимодействия атомов — функцию Морзе [c.374]

Квазисферический потенциал. Эта модель, по своей идее подобная четырехцентровому потенциалу Корнера, состоит из ряда силовых (12—6) центров, распределенных по сферической поверхности. Такая модель неоднократно обсуждалась [153], однако ее систематическое исследование применительно к вириальным коэффициентам впервые было проведено Хаманном и Ламбертом [113]. Они рассмотрели квазисферические молекулы формы АВ4 с атомом А в центре и четырьмя атомами В, равномерно распределенными по поверхности. Тогда средний межмолекулярный потенциал получается просто путем добавления 25 межатомных потенциалов и усреднения суммы по всем молекулярным направлениям. Приближенное исследование целого ряда реальных молекул показало, что длина связи А—В должна быть взята равной Гт/2, где Гт — параметр межатомных потенциалов (12—6), которые принимаются одинаковыми для любых двух атомов (т. е. а.4 = ав = Ивв). Таким образом, общий межмолекулярный потенциал получается в виде достаточно сложной алгебраической функции расстояния R между центрами молекул, но может достаточно хорошо аппроксимироваться одним потенциалом типа потенциала Леннарда-Джонса по R. Хаманн и Ламберт нашли, что для интервала 0,85[c.238]

О, молекулы притягиваются. Потенциальная энергия сил притяжения на больших расстояниях пропорциональна 1/г . При г < < 2 СТ12 /12 > О, молекулы отталкиваются. Потенциальная энергия сил отталкивания в функции Леннарда-Джонса пропорциональна 1/г . В действительности зависимость должна быть близкой к экспоненциальной, однако принятое приближение мало сказывается на расчетах коэффициентов переноса. При г = 2 / 012 силы притяжения и отталкивания уравновешивают друг друга, суммарная сила /12 равна нулю. [c.69]

На близких расстояниях наряду с силами ван-дер-ваальсова притяжения действуют силы ван-дер-ваальсова отталкивания между одноименно заряженными электронными оболочками атомов. В результате этого две частицы сближаются лишь до определенного минимального расстояния, отвечающего равенству сил притяжения и отталкивания, т. е. минимуму энергии взаимодействия. Приближенно зависимость энергии ван-дер-ваальсова отталкивания от расстояния можно записать в виде степенной функции с показателем степени, существенно большим чем 6. Широко используемым приближением является выражение для энергии ван-дер-ва альсо-вых взаимодействий в форме так называемого потенциала Леннарда—Джонса [c.114]

Для нелинейных многоатомиык молекул классификация МО ведется по отношению к операциям симметрии, характерным для данной равновесной конфигурации молекулы а — симметричные типы орбита-лей, Ь — антисимметричные, е -— дважды вырожденные (от немецкого слова entartet), t — трижды вырожденные. Эти многоцентровые МО приближенно описываются как линейные комбинации атомных орбиталей всех атомов. В этой картине нет места, казалось бы, для локализованных двухцентровых связей, хорощо описывающих для многих молекул и направленность орбиталей, и целочисленность валентности, и аддитивность свойств. Однако, как показал Леннард-Джонс, для многоатомной молекулы волновая функция, построенная из делокали-зованных многоцентровых молекулярных орбиталей, в определенных случаях может быть математически преобразована в функцию, построенную из двухцентровых, локализованных молекулярных орбиталей. А это значит, что хотя электроны в такой молекуле делокализованы, общее распределение электронной плотности такое или почти такое, как если бы в ней существовали локализованные двухцентровые связи. Поэтому для таких молекул можно использовать наглядное представление о локализованных связях, вводя для них двухцентровые МО. Это очень удобно, так как позволяет рассматривать молекулы в привычных химику образах отдельных двухцентровых связей. [c.190]

Как видим, уравнение Перкуса — Йевика проще уравнения Боголюбова. Решение этих уравнений для И (7 1г) существенно зависит от вида потенциала межатомного взаимодействия. Для аргона наилучшее совпадение теоретически найденной функции и "( 1г) с эксперигленталь-ной получается, если при решении уравнений (1.59) и (1.58) пользоваться потенциалом Леннарда — Джонса. В табл. 1 в качестве иллюстрации приведены данные о критической температуре, плотности числа частиц и давлении для аргона в безразмерных единицах, найденные по радиальной функции распределения W R 2) с потенциалом Леннарда — Джонса. [c.24]

Эти уравнения приводят почти к одинаковым результатам (рис. 6.3). Экспериментальные кривые (р Я) несколько отличаются от теоретической кривой Леннарда — Джонса числовым значением функции ф 7 ) на равновесном расстоянин. Расхождение в глубине минимума происходит, очевидно, из-за неточности приведенных уравнений для конденсированного состояния вещества. Однако качественная картина зависимости потенциальной энергии взаимодействия атомов от расстояния между ними вполне удовлетворительна. Лучшее согласование теории с экспериментом может быть достигнуто, если наряду с парными учитывать многочастичные взаимодействия, роль которых возрастает с увеличением плотности жидкости. [c.158]

Бинарные функции распределения растворов. Для описания структуры растворов электролитов И. Р. Юхновский применил метод коллективных переменных, имитируя раствор ион-дипольной системой, в которой имеют место дально- и короткодействующие силы. В качестве дальнодействующего взаимодействия рассматривается кулоновское. Энергия близкодействующего типа представлена формулой Леннарда—Джонса. [c.273]

Рассмотренные потенциалы лить приближенно отражают действительную зависимость и (г) н их использование обосновано только при оннсании свойств сравнительно [)азрежеииых газов. Точные расчеты для плотных систем требуют более совершенных потенциальных функций. Простые потенциалы, в том числе потенциал Леннард-Джонса, однако, часто используют и для плотных систем, чтобы несколько уменьшить математические трудности статистических 5асчетов (и в этом случае даже для самых простых жидкостей — сжиженных благородных газов — задача оказывается чрезвычайно сложной). Как это ни удивительно, с помощью потенциала Леннард-Джонса удалось удовлетворительно описать свойства сжиженного аргона и ряда дружба [c.282]

Метод Леннард-Джонса и Девоншайра состоит в следующем. По определению, функция % (О — сумма потенциалов,создаваемых в ячейке атомами первой координационной сферы . Обозначим а — радиус первой координационной сферы (расстояние между ближайшими соседями), г — координационное число. Если молекулы взаимодействуют согласно потенциалу 6—12, то потенциальная энергия частицы в центре ячейки равна [c.366]

При нахождении функции д (г) интегральное уравнение решают для заданного потенциала парного взаимодействия и (г) и заданных термодинамических параметров Г и и = У/Ы, так что результатом расчетов будет определение зависимости д г, Т, V). Решение задачи требует огромной вычислительной работы даже в случае очень простой формы зависимости и (г), в частности, уже для системы твердых сфер. В работах Кирквуда, Алдера и сотрудников расчеты были проведены для системы частиц, взаимодействующих как твердые сферы, а также для плотного аргона. В последнем случае использовался модифицированный потенциал Леннард-Джонса [c.381]

Уравнение Перкуса — Йевика решено аналитически для флюида твердых непритягивающихся сфер путем расчетов на ЭВМ найдены также численные решения уравнения для систем, в которых молекулы взаимодействуют согласно потенциалу Леннард-Джонса. Подстановка в уравнение (ХП1.60) функции г), найденной по уравнению Перкуса — Йевика для флюида твердых сфер, дает [c.382]

Для более строгого подхода к реальным системам требуется включить в рассмотрение, по крайней мере, члены возмущения второго порядка, учесть вид функции й о ( ") и принять во внимание то обстоятельство, что реальные молекулы не являются жесткими. Решению этих вопросов посвящен ряд работ, из которых особо следует отметить исследования Баркера и Гендерсона, Викса, Чендлера и Андерсена. В этих работах рассматривались, в частности, потенциалы, взаимодействия молекул с мягким ядром (потенциал Леннард-Джонса) и изучался вопрос о рациональной связи между параметрами потенциала и диаметром й твердых сфер стандартной системы. Выбор значения весьма существенное обстоятельство, поскольку результаты расчета по теории возмущений чувствительны к значению й. Один из способов оценки величины в случае потенциала Леннард-Джонса основан на следующем соотношении [c.386]

Таким образом, и вещества с дефицитом валентных электронов, по существу, выходят за границы применимости МВС. Факты, не объяснимые существующими теориями, — писал А. М. Бутлеров, — наиболее дороги для науки, от их разработки следует по преимуществу ожидать ее развития в ближайшем будущем . Другой метод квантовой химии — метод молекулярных орбиталей (ММО) — объясняет химическую связь в ковалентных веществах, а также в соединениях с избытком и с дефицитом валентных электронов, 36. Понятие о методе молекулярных орбиталей. Бо. 1ее универсальным квантовохнми-ческим методом описания химической связи служит метод молекулярных орбиталей (ММО), развитый в трудах Леннарда-Джонса, Г унда и особенно Малликена В этом методе состояние электронов в многоатомной системе описывается молекулярными орбиталями (МО), подобно тому как электроны в атомах характеризуются атомными орбиталями (АО). При этом и АО и МО представляют собой одноэлектронные волновые функции атома или молекулы соответственно. Разница заключается в том, что АО — одноцентро-Бые, а МО—многоцентровые орбитали. Итак, ММО — квантовохимический метод описания химической связи, рассматривающий молекулу и другие многоатомные системы, как многоядерный атом , в котором электроны заселяются по молекулярным орбиталям. [c.120]

Введение дальнодействующих сил притяжения, пропорциональных, как и можно было ожидать, практически не отражается на функции радиального распределения атомов. Если же потенциал (IV. 17) заменить уравнением Леннарда—Джонса для всех значений как больших, так и меньших диаметра атомов с1д (нежесткие сферы), то радиальная функция распределения атомов для значений / , лежащих в окрестности диаметра атомов с1ц, изменится д (Я, р, Т) будет точнее соответствовать экспериментальной радиальной функции распределения атомов, поскольку в реальных системах возможны межатомные расстояния, мепьшие, чем диаметр одного атома. [c.123]

Понятие о методе молекулярных орбиталей. Более универсальным квантово-химическим методом описания химической связи является метод молекулярных орбиталей (ММО), развитый в трудах Леннарда—Джонса, Гунда и особенно Малликена. В этом методе состояние электронов в многоатомной системе описывается молекулярными орбиталялт (МО), подобно тому, как электроны в атомах характеризуются атомными орбиталями (АО). При этом и. АО и МО представляют собой одноэлектронные волновые функции атома или молекулы соответственно. Разница заключается в том, что АО — одноцентровые, а МО — многоцентровые орбитали. Итак, ММО — квантово-химический метод описания химической связи, рассматривающий молекулу и любую многоатомную систему как многоядерный атом , в котором электроны заселяются по молекулярным орбиталям. [c.88]

Более обоснованный количественный подход был найден Пратом и Чандлером при проведении исследований на молекулярном уровне [23]. При этих исследованиях была определена энергия системы, состоящей из сферической неполярной молекулы растворенного газа, окруженной большим количеством молекул воды. Взаимодействие между молекулой неполярногО газа и молекулами воды было рассчитано по потенциалу Леннард — Джонса, поскольку в этом случае водородные связи и дипольные силы не имели значения. В расчете была использована корреляционная функция распределения молекул чистой воды, полученная экспериментаторами. [c.163]

На первый взгляд теория молекулярных орбиталей не дает какого-либо простого объяснения приближенного постоянства свойств связи. Это, возможно, было одной из причин того успеха среди химиков, которым пользовалась на протяжении первых двадцати лет существования квантовой химии альтернативная теория химической связи, известная как метод валентных схем. Но в 1949 г. Леннард-Джонс показал, что постоянство свойств химической связи можно объяснить и в рамках метода молекулярных орбиталей — необходимо лишь учесть детермииантиый характер многоэлектрониых волновых функций. [c.167]

Уравнение Ми определяет потенциальную энергию ф изолированной пары частиц, как функцию расстояния между ними а и некоторого числа постоянных. Минимальное чис.чо их равно четырем. Чаще всего целые числа тип можно считать известными, так что остается только выразить ф через а и две постоянные. В исходной работе Ми в качестве этих постоянных были выбраны А и В из уравнения (23). В ряде других работ (например, Герцберга, Леннард-Джонса) предпочтение отдавалось постоянным фе и из уравненпя (27). С помощью уравнений, приведенных в предыдущем разделе, потенциальную энергию ф при желании можно выразить через А и ф,. или через В и ф . Сейчас используется другая удобная форма этого уравнения. В ней ф выражено через — фе (или и расстояние а, пртг котором центры частиц сближены настолько, что эпергия взаимодействия равна нулю (рис. 10). Из уравнения (27) видно, что а определяется соотношением [c.283]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология