Ряды и преобразование Фурье

При решении многих задач пределы интегрирования являются конечными, тогда как во всех приведенных выше формулах преобразований пределы интегрирования бесконечные. Преобразования с конечными пределами интегрирования реализуются на практике через ряды преобразования Фурье двумерного случая - через ряды косинусов или синусов, преобразования Ханкеля - через ряды бесселевых функций. [c.20]

Выделяющая функция (рис. 5-12), очевидно, производит постепенное усечение временного ряда. Преобразование Фурье рассматриваемой выделяющей функции имеет небольшие боковые выбросы, амплитуда которых спадает по закону 1/ [—/ор. [c.219]

В данном случае речь о трехмерной периодической функции распределение электронной плотности повторяется в каждой ячейке во всех трех измерениях. Поэтому преобразование Фурье здесь имеет вид тройного ряда Фурье [c.99]

Ряды Фурье как преобразования Фурье [c.50]

Метод разделения переменных с использованием быстрого преобразования Фурье. Стремление уменьшить невязку решения уравнения Пуассона и избавиться в общей схеме от влияния сеточных параметров о, 8 побуждает обратиться к так называемым точным методам. Развитие вычислительной математики в последние годы привело к усовершенствованию ряда классических методов, казавшихся ранее малопригодными для численной реализации (например, метод потенциала, метод Фурье и др.). Мы кратко рассмотрим вариант метода Фурье (метод разделения переменных), приспособленный для расчетов на ЭВМ. Использование этого метода (см., папример, [14]) связано с представлением искомого решения в виде конечного ряда Фурье. Запишем выражения для функции тока и вихря в некотором узле сетки в виде [c.188]

Пограничный слой, возникающий при естественной конвекции вблизи полубесконечной вертикальной пластины конечной толщины, рассматривался в работе [42]. Предполагалось, что в пластине имеются произвольным образом распределенные источники тепла, причем выделяемая ими энергия рассеивается в жидкости за счет ламинарной естественной конвекции в установившемся режиме. Используя преобразование Фурье для уравнений теплопроводности и метод разложения в ряд для уравнений пограничного слоя, авторы работы [42] построили распределения температуры и теплового потока в пластине. Проведено исследование ламинарной естественной конвекции около конического, обращенного вершиной вниз ребра [54]. При этом процесс теплопроводности в ребре считался одномерным, а для описания течения использовались приближения типа пограничного слоя, что позволило получить соответствующие профили скоростей и температур. Исследовались течение около вертикальной пластины конечной толщины при постоянном тепловом потоке на ее поверхности и условия кондуктивной теплопередачи в пластине. Геометрическая схема этого случая представлена на рис. 17.5.1, в. Условие постоянства теплового потока приводит к появлению поперечного температурного градиента при у = О, который и обусловливает развитие процесса теплопроводности внутри пластины. [c.480]

Равенство (1.18) представляет собой прямое преобразование Фурье. Аналогичный предельный переход Т -> оо), выполненный по отношению к комплексной форме ряда Фурье (1.16), дает зависимость [c.21]

Важнейшие предположения о временных рядах заключаются в том, что соответствующий случайный процесс является стационарным и может быть адекватно описан с помощью младших моментов его распределения вероятностей Младшие моменты включают в себя среднее значение, дисперсию, ковариационную функцию и преобразование Фурье ковариационной функции — спектр мощности. Другой подход к вышеизложенной проблеме основывается на [c.17]

Предположим, что требуется найти преобразование Фурье Хт, т = О, , . , Л/ — 1, ряда Хь, / = I, 2,, Л/, где Л/— четное. Один из способов [6] заключается в расщеплении ряда хг на два вспомогательных ряда г/< и где [c.69]

Другой способ первичной обработки данных — преобразование Фурье (рис. 12.3-3). При обычной регистрации данных сигнал представляет собой функцию времени или длины волны. В результате преобразования Фурье та же информация оказьшается представленной в виде набора частот. В ряде практически важных случаев, в частности, при регистрации спектров с помощью интерферометров (ИК- и ЯМР-фурье-спектрометрия), первичная информация, как раз, представлена в виде набора частот для получения ее в традиционном виде функции от длины волны необходимо обратное преобргизование Фурье. Важным достоинством преобразования Фурье является наглядность представления информации и возможность выделения именно тех частот, которые составляют полезный сигнал либо, наоборот, шум. В частности, хорошо известно, что частота 50 Гц может наблюдаться в качестве помехи, если прибор плохо экранирован от сети переменного тока. [c.480]

Каждый из рядов уи содержит Л//2 членов, и преобразования Фурье этих рядов имеют вид [c.70]

Для рядов длины Л/ = 2 эту процедуру можно продолжать до тех пор, пока расщепление не приведет к рядам, состоящим из одного члена, в этом случае преобразование Фурье этого члена совпадает с ним самим В случае если N не равно степени двойки, расщепление на два ряда продолжается до тех пор, пока либо легко взять преобразование Фурье вспомогательного ряда, либо пока не встретится новый множитель Л/, скажем 3 Процедура при этом остается той же самой, что и выще, с той лишь разницей, что очередной вспомогательный ряд расщепляется на три ряда Подробности приведены в [2] Ниже разобран пример [c.71]

Опубликован ряд работ [263, 264] по совершенствованию и развитию метода СГ, а также исследованию оптимальных условий его применения [38, 260]. Показано [32, 38], что более эффективным, но значительно более сложным в вычислительном отношении, является сглаживание численных данных с помощью преобразования Фурье. [c.184]

Книга Дженкинса и Ваттса рассчитана примерно на тот же круг читателей, что и книга Блэкмана и Тьюки обе они не содержат строгих доказательств используемых математических предложений и основной упор делают на рецептурную сторону дела, т е на формулировку конкретных рекомендаций, предназначенных для практика Однако настоящая книга имеет то большое преимущество, что написана она относительно просто и ясно, хотя и достаточно строго и с учетом всех основных достижений математической теории, кое в чем она оказывается также заметно более современной, чем ее предшественница, со времени появления которой прошло уже более десяти лет (так, например, стоит отметить краткое изложение в приложении П7.3 очень важной для вычислений на современных вычислительных машинах техники быстрых преобразований Фурье , созданной при активном участии Тьюки, но заметно позже опубликования совместной с Блэкманом книги, в которой, естественно, эта техника никак не отражена) Следует также отметить, что содержание книги Дженкинса и Ваттса (опять же в отличие от книги Блэкмана и Тьюки) не ограничивается одним лишь вопросом о вычислении спектров в частности, весьма полезными являются также разделы этой книги, посвященные оценке корреляционной функции или каких-то параметров процесса по материалам наблюдений в течение конечного промежутка времени Надо надеяться, что появление этой книги в русском переводе будет приветствоваться широкими кругами читателей-прикладников различных специальностей, имеющих дело с рядами наблюдений, и даст им, наконец, в руки доступный источник сведений о том, как следует математически грамотно обрабатывать такие ряды для извлечения из них основной информации о статистических характеристиках исследуемого процесса [c.7]

Суть сплит-спектрального способа рассмотрена в [422, с. 589]. Принятую при контроле реализацию эхосигнала, образованную комбинацией помех, отраженных от структурных неоднородностей, и сигнала, отраженного от дефекта, подвергают прямому преобразованию Фурье. Полученный амплитудно-частотный спектр разбивают на ряд частотных полос. Каждую из них подвергают обратному преобразованию Фурье, а набор полосовых сигналов амплитудно взвешивают, после чего полосовые сигналы суммируют. В результате получают скорректированную реализацию эхосигнала, причем весовые коэффициенты подбирают таким образом, чтобы максимизировать отношение амплитуды сигнала от дефекта к амплитуде сигнала структурных помех. [c.232]

Уравнения типа [16] не раз были предметом математического анализа, причем, применяя ряд преобразований, их нетрудно привести к виду, легко поддающемуся решению. В частности, для таких уравнений нередко получают решение в виде интегралов Фурье или функций комплексного переменного. [c.100]

Ряды и преобразование Фурье [c.17]

Некоторые диаграммы рядов для или х могут быть получены объединением других. Например, диаграмма (см. рис. 1У.14, г) получается соединением центральной связью двух ее частей с последующим интегрированием по координате это связи. Для нахождения п. ф. корреляторов Ч " сначала определим набор базовых двухкорневых диаграмм, оба корня которых принадлежат одному в тому же циклу (рис. 1У.16). Нетрудно видеть, что эти же диаграммы могут быть получены с помощью определенной выше операции графического вычисления функциональных производных и замены переменных (см. рис. 1У.2,ж).С помощью описанной выше на примере рис. 1У.14, г операции соединения корней базовых графов можно получить любую диаграмму, корни которой расположены в разных листьях. Добавив к диаграммам базовые, получим полный набор диаграмм, суммирование которых (рис. 1У.17) приводит к уравнениям для Ч " . В случае пространственно однородной системы их решение находится с помощью преобразования Фурье и имеет вид [c.259]

Ряд, состоящий из дельта-функций, не является единственной функцией, симметричной относительно преобразования Фурье Более простая функция, обладающая этим свойством, дается примером 2 в табл 2 5прип=1 Таким образом, 5 (О = ехр (—преобразуется в 3 ([) = ехр (—пР). [c.52]

В предыдущих разделах обсуждены простые способы описания временных рядов с помощью их младших моментов Важнейшим из этих моментов является корреляционная функция Одно из многих применений корреляционной функции состоит в том, что она служит источником исходных идей при построении вероятностной модели механизма, породившего временной ряд В следующей главе будет показано, что временной ряд можно описать совершенно эквивалентным образом с помощью его спектральной плотносги, являющейся преобразованием Фурье от ковариационной функции [c.189]

Недавним новшеством в спектральном анализе является алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ). С помощью этого алгоритма дискретное преобразование Фурье вычисляется гораздо быстрее, чем с помощью прямого метода, приведенного в разд 2 1 2, и с той же самой точностью Так, используя прямой метод для вычисления дискретного преобразования Фурье ряда из N членов, потребовалось бы приблизительно операций, в то время как БПФ требует лишь 2Л/log2 операций Экономия времени вычислений может быть очень велика, если нужно проводить анализ Фурье длинных рядов Например, для вычисления с помощью БПФ коэффициентов Фурье ряда т N = 8192 членов [1] требовалось около 5 сек на вычислительной машине IBM 8094, в то время как для прямого метода нужно было около 30 мин. [c.68]

Следует отметить, что корреляционную функцию также можно вычислять с помощью БПФ гораздо быстрее, чем прямым методом Для этого нужно 1) вычислить с помощью БПФ коэффициенты Фурье исходного ряда, 2) снова с помощью БПФ вычислить преобразование Фурье от квадратов модулей этих коэффициентов и 3) пронормировать результат нужным образом. — Прим перев [c.69]

Для того чтобы найти спектр ЭПР, необходимо с помощью преобразования Фурье перейти от временного представлеаия к частотному. С другой стороны, преобразование Фурье переводит систему дифференциальных уравнений в систему лвненных алгебраических уравнений. После ряда алгебраических преобразованиа искомый спектр ЭПР нитроксильного бирадикала с точност .1й до несущественного козффициента будет выглядеть как [c.262]

Преобразование Фурье рядов у[, //", г" уже нетрудно вЕ)1чис-лить Каждое из них состоит из трех членов, как показано ниже [c.72]

В этом разделе мы рассмотрим описание двумерных временных рядов в частотной области Будет показано, что обсуждав-наяся в предыдущем разделе выборочная взаимная ковариационная функция имеет преобразование Фурье, называемое выборочным взаимным спектром. Этот спектр является комплексно-значной функцией, которую можно записать в виде произведения действительной функции, называемой выборочным взаимным амплитудным спектром, и комплексно-значной функции, называемой выборочным фазовым спектром Аналогично преобразование Фурье теоретической взаимной ковариационной функции называется взаимным спектром Его можно представить в виде произведения взаимного амплитудного и фазового спектров Взаимный амплитудный спектр показывает, как велики амплитуды связанных частотных компонент в двух рядах на определенной частоте Аналогично фазовый спектр показывает, насколько запаздывает или опережает по фазе такая компонента в одном из рядов соответствующую компоненту в другом ряде для данной частоты В следующем разделе приводятся примеры взаимных амплитудных и фазовых спектров,- полученные из взаимного спектра двумерного линейного процесса (8 1.14). Затем вводится несколько более полезное понятие, чем взаимный амплитудный спектр, а именно спектр когерентности Мы покажем, что спектр когерентности и фазовый спектр дают полное описание двумерного нормального случайного процесса. [c.98]

Переход от некоторой функции ХО к параметрам ее ряда Фурье (амплитудам и фазам гармоник) называется прямым преобразованием Фурье, а обратный переход — обратным преобразова-нием Фурье. В Matli ad использованы специальные методы быстрого (или дискретного) преобразования Фурье (БПФ или ДПФ). [c.78]

Если нужно получить распределение поля по всему сечению (j , г), то необходимо выполнять регисфацию и формирование образа для различных значений координаты Z. В практике измерение поля U (х, у, 0) проводится в ряде дискретных точек на поверхности х. В этом случае пользуются дискретным преобразованием Фурье, в котором операция интефирования заменена на суммирование по совокупности точек приема. Дпя уменьшения времени обработки данных применяют быстрое преобразование Фурье (БПФ), что, однако, требует постоянства расстояний между приемными точками. [c.295]

В. Я. Шкадов [108] предложил новый подход к анализу пленочного течения, основанный на методе преобразования Фурье. Путем представления профиля скорости в виде разложения в ряд Фурье оказалось возможным развить метод решения, отличный от общепринятого метода разложения в степенной ряд по малым волновым амплитудам. Однако в рамках этой методики два параметра из четырех, а именно числа Рейнольдса, толщины пленки, длины волны и фазовой скорости, остаются произвольными. Таким образом, в отличие от случая бесконечно малых амплитуд задача не может быть решена в замкнутой форме, без привлечения дополнительных физических гипотез. В качестве такой гипотезы было использовано условие минимума толщины пленки при заданной скорости расхода. Устанавливающийся в результате режим (для случая длин волн, значительно превышающих среднюю толщину пленки) был назван оптимальным волновым режимом на том основании, что, как это следует из проведенного тем же автором [108] анализа устойчивости методами нелинейной теории возмущений, он устойчив по отношению к возмущениям с основными волновыми параметрами, аналогичными таковым в начальном волновом режиме. Однако ряд строгих ограничений развиваемого метода имеет своей причиной использование уравнений пограничного слоя для описания распределения скорости в пленке. Можно показать, что применение системы уравнений пограничного слоя к пленочному течению обоснованно только в очень небольшом диапазоне чисел Рейнольдса [c.60]

IV. Методы, основанные на применении функци1 комплексного переменного. Решение интегрального уравнени [4,2] или эквивалентного ему уравнения [10] в строгой форме може быть получено при помощи преобразований Фурье, Лапласа или Мел лина. Уравнение [10] представляет собой известное уравнение Лапласг ряд решений которого приводится в специальных руководствах. [c.306]

Разложение в ряд Фурье и преобразование Фурье имеюг принципиальное значение для разработки и применения методов анализа, которым посвящена эта книга. Поэтому здесь приведены некоторые важнейшие соотношения из теории рядов [c.17]

Теория Майера развивалась далее в двух направлениях. Пуарье [34] проведены расчеты, учитывающие упомянутую выше поправку для коэффициента активности, поправку на зависимость диэлектрической постоянной от концентрации и т. д. В этом же направлении проведены расчеты Бенсона [35]. Сравнение с опытом [34, 35] указывает на хорошее согласие до концентраций 0,4 моль1л. В другом направлении развивается теория в работе Хага [36]. При помощи преобразования Фурье Хага заново вычисляет суммы, рассмотренные Майером, и учитывает ряд дополнительных членов. Им получена формула для осмотического коэффициента с учетом члена порядка [c.9]

Эти преобразования тесно связаны с преобразованиями Фурье и Лапласа. Из определения преобразований Меллина видно, что при целых значениях s = 1, 2,..., и (s) превращается в моменты порядка s — 1. Это обстоятельство в ряде случаев делает преобразования Меллина более удобными, чем преобразования Лапласа. Преобразование для производной с (t) выражается в этом случае следующим образом [c.182]

Метод моментов ншроко используется и для решения обратной задачи — задачи определения параметров процесса из опытных динамических выходных кривых [1, 3]. Наряду с методом моментов для решения обратной задачи определения коэффициентов переноса и параметров изотермы в случае линейной динамики адсорбции предложен ряд других методов взвешенный метод моментов, метод передаточной функции, метод, основанный ьа преобразовании Фурье.-Эти методы являются уже численными. Хотя в принципе они более точны, чем метод моментов (особенно это относится к последнему методу), но менее наглядны- [c.86]

Для изучения структуры аморфных полимеров, как и при исследовании низкомолекулярных аморфных веществ, применяется рентгенографич. метод радиального распределения. Метод заключается в том, что из кривой распределения интенсивности, полученной от аморфного вещества, с помощью преобразования Фурье получают кривую радиального распределения. Эта кривая показывает, как в среднем меняется плотность по мере удаления от какого-либо г(то-ма в структуре. Диализ кривой радиального распределения дает возможность сделать ряд заключений о конформации макромолекул и их взаимном расположении. Напр.,.в ряде случаев удается отделить максимумы, характеризующие межцепные расстояния, от максимумов, соответствуюпщх внутрицепным расстояниям. Так. обр. можно охарактеризовать ближний порядок в расположении макромолекул в аморфном полимере. [c.170]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология