Методы анализа нелинейных систем

В предыдущих главах рассматривались линейные модели систем автоматического регулирования и управления. Такие модели получаются в результате линеаризации уравнений, описывающих различные физические процессы в устройствах, входящих в систему. Если при линеаризации характерные черты физических явлений сохраняются, то благодаря развитой теории линейных дифференциальных уравнений имеется возможность сравнительно просто решать задачи устойчивости и качества регулирования, причем, как было показано, разработанные в теории автоматического регулирования и управления методы позволяют проводить не только анализ, но и синтез линейных систем. Однако не всегда допустима указанная идеализация реальных систем, так как при замене нелинейных уравнений линейными может не только уменьшиться точность расчетов процессов регулирования, но и исказиться или даже исчезнуть качественные особенности процессов, возникающих в нелинейных системах. Последнее связано с наличием в системе элементов с существенно нелинейными характеристиками, к которым относят характеристики, не линеаризуемые при переходе к малым отклонениям переменных. Многие существенные нелинейности, встречающиеся в системах автоматического регулирования и управления, могут быть представлены кусочно-линейными характеристиками. [c.168]

Метод исследования нелинейных систем, основанный на применении гармонически линеаризованных уравнений, называют методом гармонической линеаризации или методом гармонического баланса. Методом гармонической линеаризации решаются задачи, связанные с исследованием и определением параметров автоколебаний, проверкой отсутствия автоколебаний в системах, определением частотных характеристик замкнутых нелинейных систем, анализом качества регулирования и выбором корректирующих нелинейных устройств. [c.192]

Имея эквивалентную схему, можно произвести довольно быстро анализ многоэлектродной системы по хорошо разработанным в электротехнике методам анализа нелинейных цепей. [c.84]

Большинство современных теорий нелинейных систем автоматического регулирования основано на весьма старой теории анализа нелинейных механизмов и нелинейных электронных схем или непосредственно вытекает из нее . Хотя работы в этом направлении ведутся в течение 40 лет, наши знания о нелинейных системах значительно уступают сведениям о линейных системах. Причина этого состоит в отсутствии общих методов решения, таких, как, например, методы частного анализа линейных систем. [c.106]

Линейные системы. Модели потока используют не только при исследовании предполагаемой степени превращения в нелинейных системах, но и при анализе химического взаимодействия в линейных системах. Этот путь, хотя и не является прямым, тем не менее, находит применение потому, что параметры моделей часто коррелируют с такими критериями, как критерий Рейнольдса, критерий Шмидта и т. д. В дальнейшем указанными корреляционными зависимостями можно воспользоваться, чтобы в подобных условиях рассчитать степень превращения вещества, не прибегая к экспериментальному изучению характера течения жидкости в реакторе. Описанный метод применяют при анализе работы реакторов со стационарным слоем катализатора и реакторов трубчатого типа.- [c.251]

Расчет конкретных систем теперь обычно выполняется на аналоговых или цифровых вычислительных машинах. Однако, несмотря на то, что вычислительные машины позволяют рассчитывать сложные нелинейные системы, аналитические методы исследования имеют важное значение прн проектировании реальных систем. Это объясняется возможностью получения с помощью аналитических методов более общих результатов с хорошо обозримыми закономерностями, определяющими влияние различных параметров на поведение исследуемой системы. Кроме того, составление программы для расчета на вычислительной машине в случае несложной системы может потребовать больше времени, чем анализ одним из указанных выше методов. [c.174]

NL —нелинейная система L —линейная система DAM—метод динамического анализа L M — линейно-спектральный метод [c.479]

Поиск минимума функционала (критерия идентификации) на ЦВМ ведут стандартными методами. Эта задача является типичной задачей нелинейного программирования и должна решаться соответствующими приемами. Для конкретных полимеризационных систем описано применение методов Гаусса — Зайделя, случайного поиска [37], наискорейшего спуска [35] и др. Специфика получающейся математической системы, характер ограничений и, наконец, наличие стандартных подпрограмм поиска оптимума определяют выбор метода. Идентификация с помощью ЦВМ существенно ускоряется при использовании прямых интегральных уравнений (при получении которых велика роль качественных методов анализа и различных вспомогательных предположений, в том числе допущение стационарности там, где это возможно). [c.76]

Где бы ускоренные методы ни применялись, максимальная эффективность достигается только в том случае, если уровни возбуждения выбраны разумно. Механизм большинства факторов ускорения глубоко специален, и его обсуждение удобно отложить до последующих глав, а функциональный вид возбуждения имеет такое непреходящее значение и столь общую применимость, что это оправдывает дискуссию на раннем этапе. Математическая теория линейных систем обсуждается в разделе 3.2. Она вооружает нас важнейшим способом выбора наиболее полезных видов функции возбуждения для определения характеристик поведения полимера, даже в том случае, когда нелинейность системы, строго говоря, требует нелинейного анализа. [c.30]

Такой результат отнюдь не является неожиданным если бы у среды была конечная память, то информация о прошлом способствовала бы более точному предсказанию будущей стохастической эволюции системы. Эти эвристические соображения вплотную подводят нас к правдоподобному предположению относительно того, что система является марковской в том и только в том случае, если внешние флуктуации белые. Пока мы еще не в состоянии сформулировать свою гипотезу в виде математической теоремы. Напомним, что белый шум — чрезвычайно нерегулярный процесс, не обладающий непрерывными траекториями. Разложение в ряд Тейлора (3.32), призванное определить состояние системы в момент времени I + Л, вполне может оказаться не имеющим смысла. Иначе говоря, так как среда немедленно забывает, в каком состоянии она находилась в предыдущее мгновение, едва лп будет иметь какое-то отношение к состоянию системы в некоторый момент времени / + Л. Таким образом, для гауссовского белого шума эта ситуация оказывается еще более деликатной, и анализ ее требует большой осторожности. Кроме того, как уже подчеркивалось в разд. 1.5, необходимо тщательно следить за тем, в каком смысле надлежит понимать СДУ (3.30) и утверждение о том, что Хг — решение уравнения (3.30) . Для тех читателей, кто не желает оставаться в неведении до тех пор, пока не станет ясен исход строгого математического анализа, скажем, что справедлива следующая математическая теорема процесс удовлетворяющий уравнению (3.31), является марковским в том и только том случае, если внешний шум t белый. Эта теорема объясняет, почему так важна и чем так привлекательна идеализация белый шум . Если система, связанная с флуктуирующей средой, может быть описана марковским процессом, то мы сразу получаем в свое распоряжение целый арсенал математических средств, разработанных для анализа таких случайных процессов. Мы видим, что наши оптимистические надежды на успешное преодоление трудностей, с которыми сталкивается анализ влияния внешнего шума на нелинейные системы, имеют под собой известное основание. Но если бы система допускала описание только с помощью немарковского процесса, то шансы на успех были бы самые незначительные. Методы работы с немарковскими процессами того типа, который встречается в приложениях разработаны пока да- [c.92]

В общем случае, при нелинейных зависимостях К (0) и произвольных распределениях расходов и температур сушильного агента по длине аппарата система уравнений (6.93), (6.94) может быть решена лишь численными методами. Анализ показывает, что при создании такого рода процессов сушки целесообразно [32] максимально увеличивать высоту псевдоожиженного слоя, насколько это позволяют возможности тягодутьевого оборудования и соображения относительно качества гидродинамики псевдоожиженного слоя. При этом снижаются удельные энергозатраты на подогрев сушильного агента. [c.187]

Метод конечных элементов для нелинейных систем. Численный анализ нестационарного поля с помощью метода разделения области на конечные элементы можно распространить на нелинейные системы с помощью подхода, описанного в 3.7. Уравнения Лагранжа [c.111]

Однако если число переменных велико, а уравнения включают нелинейные члены, как это и имеет место в моделях биологических процессов, то поиски точных аналитических решений исходной системы дифференциальных уравнений встречают серьезные математические трудности. Ясно и то, что далеко не всегда сами по себе решения уравнений дают ответ на вопрос об обш их динамических свойствах и механизмах регуляции сложных систем. В этом отношении принципиальное значение в развитии математического моделирования сложных биологических процессов имел отказ от идеи обязательного нахождения точных аналитических решений соответствуюш их уравнений. Вместо этого на первый план выступают качественные методы анализа дифференциальных уравнений, которые позволяют раскрыть обш ие динамические особенности биологических систем. Сюда относятся прежде всего свойства стационарных состояний, их число, устойчивость, возможность переключения из одного режима в другой, наличие автоколебательных режимов. [c.10]

Такая процедура называется получением фазового портрета (методы анализа системы двух нелинейных дифференциальных уравнений с помощью фазовых портретов см. Рубин A.B. Кинетика биологических процессов. М., 1973). [c.661]

Мембраны в общем случае следует рассматривать как распределенные системы, кинетическая модель которых описывается дифференциальными уравнениями (1.26) или (1.27). В таких системах вдали от равновесия возмущения, являясь функцией времени и координаты, могут развиваться, конкурируя со стабилизирующими их диссипативными эффектами, обусловленными нелинейностью химических реакций. Анализ устойчивости подобных систем методом линеаризации достаточно сложен. В частности, для однородных в пространстве, но периодических во времени распределений концентраций в одномерной системе с одной переменной х получено следующее решение [4] для возмущения [c.37]

В этой главе рассмотрен ряд характерных примеров использования методов идентификации линейных систем для описания гидродинамической структуры потоков в технологических аппаратах на основе модельных представлений. При описании ФХС с помощью типовых моделей функциональный оператор ФХС обычно состоит из двух частей части, отражающей гидродинамическую структуру потоков в аппарате (как правило, линейная составляющая оператора), и части, отражающей собственно физико-химические превращения в системе (как правило, нелинейная составляющая оператора). Линейная составляющая оператора ФХС, соответствующая так называемому холодному объекту (т. 8. объекту без физико-химических превращений), допускает эффективное решение задач идентификации линейными методами. При этом поведение ФХС отождествляется с поведением такой динамической системы, весовая функция которой совпадает с функцией РВП исследуемого объекта. Такой подход открывает возможность при описании гидродинамической обстановки в технологических аппаратах широко применять метод нанесения пробных возмущений, который в сочетании с общими методами структурного анализа ФХС представляет эффективное средство решения задач системного анализа процессов химической технологии. [c.432]

Методы, основанные на реакции системы на некоторое возмущение, изложенные в главе IX, в данном случае неприемлемы. Более перспективны методы, включающие анализ изменения концентраций реагирующих веществ в очень малых по объему областях реакционной массы или, что то же самое, исследование фактической степени превращения веществ в нелинейных химических системах с известной кинетикой 64 [c.301]

На первый взгляд кажется, что использование этого метода позволяет достаточно просто решать задачу определения оптимума нелинейной функции многих переменных. Однако это не так. Существует ряд трудностей при его реализации и ограничений по сфере его применения. Во-первых, при большом числе оптимизируемых параметров рассматриваемый метод становится весьма сложным в части решения системы уравнений (3.1.1). Задача решения системы уравнений (3.1.1) только в простейших случаях оказывается легко разрешимой. В практических задачах оптимизации адсорбционных установок число переменных Х1, как правило, велико. Во-вторых, условие определения экстремума, выраженное зависимостью (3.1.1), является необходимым, но недостаточным для решения задачи. В самом деле, выражение (3.1.1) определяет положение стационарных точек внутри области, среди которых кроме экстремальных могут быть особые точки типа седла . Учет достаточных условий нахождения экстремумов функции многих переменных является весьма сложным как в алгоритмическом, так и в вычислительном плане [51—53]. В-третьих, рассматриваемый метод дает возможность найти экстремум только в том случае, если он лежит внутри, а не на границе области возможных значений аргументов. Между тем, как показывает соответствующий анализ, многие параметры и характеристики адсорбционных установок имеют свои оптимальные значения именно на границах допустимой области их изменения. Следовательно, требуется дополнительный анализ значений минимизируемой функции 3(х, х2.....х ) на границах допустимой области изменения параметров хи Х2,. . Наконец, четвертый недостаток рассматриваемого метода состоит в ограниченности его применения классом задач, в которых оптимизируемые параметры, определяющие значение минимума или максимума функции, независимы, т. е. хи Х2,. .., х [c.123]

Оптимизация без математической модели. В данном случае оптимальный режим находится поиском на объекте На объект подают искусственные возмущения и на основании анализа их результатов последовательно улучшают режим работы процесса. Для поиска оптимального режима используют один из методов нелинейного программирования, причем математической моделью здесь служит сам объект. Важным частным случаем являются системы экстремального регулирования [c.20]

Следующий важный этап оптимизации химических реакторов — выбор метода расчета оптимальных режимов. Широкое распространение получили как классические методы математического анализа и вариационного исчисления, так и новые методы — принцип максимума динамическое и нелинейное программирование. В системе автоматической оптимизации время расчета оптимальных режимов Тр должно быть существенно меньше среднего времени между двумя последовательными возмущениями, т. е. [c.21]

Определение в схеме комплексов , определение внутри комплекса оптимальной совокупности разрывных потоков — эти задачи решаются с помощью алгоритмов структурного анализа, рассмотренных в главе IV. Здесь же мы остановимся на собственно методах решения систем нелинейных уравнений, предполагая, что структурный анализ в схеме проведен и системы нелинейных уравнений, которые необходимо решать, получены. [c.33]

Известно, что расчет критерия оптимизации сводится к расчету статического режима системы [3, с. 13]. Повышение эффективности алгоритмов расчета статических режимов процессов достигается применением эффективных методов решения систем нелинейных уравнений, а также использованием методов структурного анализа [1, 3]. Методы решения систем нелинейных уравнений будут подробно рассмотрены в главе П. [c.19]

Последовательный подход. Вначале рассмотрим эту проблему применительно к последовательному подходу. Здесь уменьшение размерности задачи расчета ХТС достигается методами структурного анализа [47]. При этом решаются следующие задачи 1) в схеме выделяются комплексы — совокупности блоков охваченных обратными связями [3, с. 33] 2) определение внутри каждого комплекса оптимальной с точки зрения какого-либо критерия совокупности итерируемых переменных (II, 5). Обычно совокупность итерируемых переменных (II, 5) выбирается из условия, чтобы их суммарная размерность была минимальной. Положительные и отрицательные стороны такого выбора переменных (II, 5) обсуждаются в работе [3, с. 85]. Отметим здесь, что применительно к квазиньютоновским методам это более или менее оправдано, поскольку, как мы уже отмечали, можно считать при применении этих методов, что число итераций растет пропорционально размерности системы нелинейных уравнений. Уменьшаются требования и к размеру памяти, поскольку приходится хранить одну или две матрицы размерности fix/г. При использовании ориентированного на уравнения подхода так же, как и в предыдущем случае определяются комплексы, а внутри комплексов — оптимальные совокупности разрываемых потоков [48 17 18, с. 258]. [c.61]

Для ХТС с блоками, описываемыми нелинейными моделями, интересно выяснить, что лучше для разреженной системы нелинейных уравнений (I, 1), (I, 6) провести структурный анализ и свести дело к решению системы нелинейных уравнений (П, 8) и далее применять обычные квазиньютоновские методы, или же подойти к ней, как к системе с разреженной структурой и применять специальные квазиньютоновские методы, а структурный анализ применять для сжатия линейной системы (II, 22). [c.66]

Таким образом, методы теории графов находят применение и для анализа кинетических моделей нелинейных химических реакций. Более того, в последнее время А. Н. Ивановой [73] развиты методы анализа ряда критических явлений и для распределенных систем тина реакция + диффузия . Условия возникновения в таких системах диссипативных структур удается также сформулировать в терминах теорип графов, естественным образом учитывающих особенности структуры механизма сложной химической реакции. [c.137]

Эксперименты на пикосекундной временной шкале и более короткой требуют других подходов. Световая вспышка, вызывающая возбуждение или фотолиз молекул исследуемого вещества, генерируется лазером с пассивной синхронизацией мод, оснащенным системой выделения одиночного импульса из цуга. Хотя пикосекундная импульсная спектроскопия опирается на методику двух вспышек — возбуждающей и зондирую -щей,— импульс зондирующего света обычно получается за счет преобразования части света возбуждающей вспышки, а необходимая короткая временная задержка легко достигается благодаря конечной скорости света. Зондирующий световой пучок направляется по варьируемому более длинному оптическому пути. Для абсорбционных экспериментов спектр этого излучения может быть уширен (например, ССЬ преобразует малую часть излучения лазера на неодимовом стекле с длиной волны 1060 нм в излучение в широком спектральном диапазоне). Для других диагностических методик, например КАСКР, это излучение может быть преобразовано в излучение другой частоты. Существует также ряд специализированных методик для изучения испускания света в пикосекундном диапазоне. Одна из них связана с электронным вариантом стрик-камеры. Для регистрации временной зависимости интенсивности сфокусированного пучка или светового пятна в механическом варианте стрик-камеры используется быстро движущаяся фотопленка. В электронном варианте изображение вначале попадает на фотокатод специального фотоумножителя типа передающей телевизионной трубки. Под действием линейно изменяющегося напряжения, прилагаемого к пластинам внутри трубки, образующиеся фотоэлектроны отклоняются тем сильнее, чем позже они вылетели из фотокатода. Для регистрации мест попадания отклоненных электронов может использоваться фосфоресцирующий экран с относительно длинным послесвечением, изображение на котором фотографируется или преобразуется с помощью электроники для последующего анализа. Этот метод носит название электронно-оптической хроноскопии. В альтернативном методе для изучения флуоресценции с пикосекундным временным разрешением Используется затвор, основанный на эффекте Керра (вращение плоскости поляризации света в электрическом поле), индуцируемом открывающим лазерным импульсом. В еще одном методе (флуоресцентная корреляционная спектроскопия) часть света возбуждающего импульса проходит через оптическую линию задержки и смешивается с испускаемой флуоресценцией в нелинейном кристалле (см. конец разд. 7.2.3), давая на выходе [c.203]

В этом методе аппарат чаг.тотных характеристик, эффективно используемый для анализа и синтеза линейных систем, распространяется с некоторыми огргтичениями на нелинейные системы. Так, по гармонически линеаризованному уравнению (6.32) можно обычным способом определить для нелинейного звена передаточную функцию [c.192]

ФАРАДЕЕВСКОГО ВЫПРЯМЛЕНИЯ МЕТОД исследования и анализа электрохим. системы, основан на использ. ее нелинейных св-в (см. Импедансный метод). Эти св-ва обусловлены тем, что окислит, и восстановит, р-ции идут с разл. скоростями, в результате чего при нарушении электрохим. равновесия сист. изменяется потенциал АЕ на границе электрод — раствор или электрич. ток Дг. [c.609]

Юхневич [155] обсуждает противоречия, возникающие при попытке объяснить поведение воды в разных условиях изменениями ее структуры. В самом деле, большинство методов анализа не позволяют установить природу связей в воде и ее структуру эти методы, скорее, помогают понять поведение воды в отдельных избранных системах. В некоторых работах воду, удаляемую нз неорганических материалов при температуре ниже и выше 100 °С, называют минусовой водой и плюсовой водой соответственно На основе данных рентгеноструктурного анализа кристаллогидратов была сформулирована концепция о структурной воде , так как этот метод позволяет локализовать положение атомов в элементарной ячейке. Удаление воды из кристалла сопровождается изменением его структуры. Чидамбарам [28 ] исследовал водородные связи в некоторых кристаллогидратах методами рентгеноструктурного анализа, дифракции нейтронов и ЯМР. Он показал, что если молекула воды удерживается в кристаллической структуре водородными связями и угол с вершиной у донорного атома кислорода, связанного с акцепторными атомами, отличается по величине от угла Н—О—Н, характерного для газовой фазы, то при этом более вероятно образование нелинейных водородных связей, а не деформация угла Н—О—Н. [c.11]

Для описания математических моделей химико-технологических процессов используются системы дифференциальных уравнений в обыкновенных либо в частных производных с различного типа граничными и начальными условиями. Причем нелинейности, как правило, входят в свободные члены уравнений п описывают кинетические закономерности процессов, а коэффициенты перед производными зависят только от пространственных координат и времени либо вообще выбираются постоянными. В настоящее время [1, 2] достаточно полно разработаны и исследованы численные методы приближенного решения краевых задач такого вида. Однако численный анализ моделей химической технологии сталкивается со значительными трудностями, связанными с наличием у большинства процессов больших, сильно изменяющихся градиентов температурных и концентрационных нолей, вследствие чего применение традиционных конечноразностных методов решения задач с большими градиентами требует слишком мелкого шага дискретизации, что ведет к чрезмерно большому объему вычислительной работы и затрудняет численный анализ математических моделей каталитических процессов на ЭВМ. Большие градиенты искомых решений в задачах химической технологии возникают либо из-за малых параметров перед старшими производными (явление пограничного слоя), либо из-за наличия мощных источников тепла в случае сильноэкзотермических процессов. В вычислительной математике наметились два дополняющих друг друга подхода, позволяющих бороться с указанными трудностями. Первый из них состоит в построении [c.144]

Здесь б,у = 1 при г = / и = О при г Ф / две звездочки означают, что при вычислении производных учтены ограничения, накладываемые полной системой уравнений стационарности. Производные кинетического уравнения и д,г1/с1к1 должны быть определены с учетом системы = О (см. выше). В методе анализа концентраций ключевых веществ выполнены требования регрессионного анализа. Поэтому получаемые таким методом оценки кинетических параметров правильнее, чем в случае использования кинетических уравнений для обработки неравноточных экспериментальных данных. Однако расчеты по указанному методу более сложны и трудоемки, поскольку полная система уравнений стационарности всегда нелинейна. Кроме того, неявное задание расчетных аналогов наблюдаемых величин затрудняет применение преобразований параметров типа центрирования. [c.207]

При управлении неустойчивым процессом важно знать скорость удаления от стационарного режима, которая является главным фактором, определяющим требования к динамическим характеристикам управляющих устройств. Мерой скорости удаления от стационарного режима, очевидно, может быть значение действительной части наибольшего из чисеп Яд. Исследование поведения системы при бесконечно малых отклонениях от состояния равновесия оказывается недостаточным для проектирования систем управления реальным процессом. В работах [25, 26] к анализу поведения реактора идеального смешения во всей области изменения концентраций н температуры применены качественные методы теории нелинейных колебаний. В последнее время появились исследования устойчивости реакторов идеального смешения прямым методом Ляпунова [27—29] при этом отказ от линеаризации нестационарных уравнений позволяет учитывать влияние отклонений от стационарного режима, имеющих конечную величину. Неустойчивые режимы часто ео- [c.294]

Для каждого метода имеются математические модели, представляющие собой системы линейных или нелинейных уравнений. Если эти системы разрешимы относительно концентраций промежуточных соединений (для метода анализа скоростей реакции) или относительно концентраций ключевых веществ, то можно получить явные выран епия для скоростей реакции или концентраций ключевых ветцеств как функций условий проведения эксперимента и кинетических параметров. В дальнейшем рассматриваем только метод анализа скоростех реакций. [c.38]

На масс-спектрометре МИ-1305 форсированным режимом нужно считать ток эмиссии >0,5 ма, давление в системе напуска (при иатекателях с диаметром отверстий 0,02 мм) >2,5 мм рт. ст. При этих условиях часто наблюдаются нелинейные калибровочные зависимости. Применяя давление анализируемой смеси порядка 2,5 мм рт. ст., можно в некоторых случаях существенно увеличить чувствительность метода анализа по сравнению с чувствительностью, которая могла быть при линейной зависимости. Например, ранее было показано [5], что в случае анализа бинарной смеси силана с примесью арсина или моногермана получено увеличение чувствительности на полтора—два порядка, т. е. при применении ВЭУ на приборах МИ-1305 и МХ-1303 вместо расчетной чувствительности метода анализа 10 % получается 10- —10- %. [c.164]

Нелинейность кинетики важнейших биохимических процессов обусловливает возможность суш ествования в биологических системах наряду с триггерными режимами незатухаюш их периодических режимов (автоколебания), для исследования свойств которых применимы качественные методы анализа динамических систем. [c.71]

Исследование резких качественных изменений нелинейных ди- намических систем проводится в теории катастроф 12, 62-64/. По-, следняя имеет дело со сложными нелинейными системами. Мы по-лагаем, что метод КФР может и здесь оказаться весьма J перспективным. При анализе сложных нелинейных систем знание всех точных решений — избыточно, в реальных условиях они меняются за счет флуктуаций. Определяющее значение приобретает исследование качественного поведения нелинейных динамических систем при изменении описывающих их параметров. Теория катастроф изучает динамические системы, составляющие широкий класс нелинейных систем и описываемые уравнениями вида [c.266]

Это предположение основано на линейном подходе к анализу системы, согласно которому при малых возмущениях отклик ее линеаризуется. Известно, что только наиболее быстрые стадии трансформации энергии в хлоропластах связаны с большими энергетическими ступенями , как, например, процесс возбуждения хлорофилла (Рубин, Кренде-лева, 1975). По-видимому, эти процессы являются сильно нелинейными. Однако последующие стадии, сопряженные с переносом электронов по редокс-цепям, в частности Н+-транспорт, протекают как последовательность переходов по частным энергетическим ступенькам, высота каждой из которых невелика. Это дает основание полагать, что процессы Н+-транспорта являются по своим динамическим характеристикам линейными или, по крайней мере, не содержат существенных нелинейностей типа разрыва функции, порога насыщения и т. д. Отсюда проистекает возможность использования для описания Н+-транспортных процессов хорошо развитых методов исследования динамических систем. Существенно, что эти методы позволяют на основе анализа отклика системы (данных о параметрах Аг, N [c.180]

На основании анализа современных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и проведенных пробных расчетов выявлена схема, которая наиболее приемлема для решения рассматриваемой системы (7)-(12). Решение системы уравнений возможно только численными методами. В качестве метода решения применялся метод сеток с использованием явных и неявных схем для учета нелиней -ности исходных уравнений применялся метод последовательных приближений. Как правило, для нахождения исходных функций на одном временном слое достаточно 3-4 итераций. Для интегрирования во времени применяется схема предиктор-корректор. [c.25]

Алгоритмически задача выбора технологической схемы состоит в разработке или выборе методов ее анализа, оценки, оптимизации и синтеза. На этапе анализа составляются уравнения математического описания, задаются переменные процесса и схемы, и в результате решения получается информация о потоках, температурах, давлении, составах, размерах и т. д. Оценка состоит в совмест-ном использовании информации с предыдущего этапа и экономических данных для определения целевой функции. Оптимизация состоит в поиске наилучшего набора переменных процессов. Традиционно разработка технологических схем проводится на основании итерационного выполнения указанных этапов, и лишь в последнее время стало уделяться внимание этапу синтеза, который призван объединить в себе все предыдущие этапы на основе некоторого метода. Известно большое число методов синтеза [4, 52], основанных на различных подходах, и многим из них присуща необходимость использования некоторого метода решения систем нелинейных уравнений или метода оптимизации. Последние используются для сведения материального и теплового баланса схем. Задачи решения систем уравнений и минимизации некоторого функционала взаимосвязаны и могут быть сведены одна к другой. Например, условием минимума функции Р х) является равенство нулю частных производных дР1дх1 = О, 1 = 1, 2,. . ., п, а система уравнений f х) = О, I = 1, 2,. . ., п, может быть решена путем минимизации соответствующим образом подобранного функциона- [c.142]

Задача описания нелинейной диффузии очень сложна, и ни один из известных математических методов прямо неприложим к ее решению. Теория такого рода процессов предложена в последнее время только для стационарного дискового электрода мозаичного типа, т. е. впрессованного в бесконечную плоскость из неактивного материала (рйс. 4.5). Строгое решение удалось получить К. Аоки и Ж- Остер-Янг, которые применили к этой системе метод Винера Хопфа, обычно используемый для описания нелинейных процессов переноса тепла. Анализ показал,что для контролируемого диффузией процесса хроноамперометрическая кривая постепенно отклоняется от кривой, описываемой уравнением Котрелла для линейной диффузии, и приближается к кривой, характерной для сферической диффузии. В общем случае связь тока, текущего на мозаичный электрод со временем t), прошедшим от начала электролиза, выражается соотношением [c.139]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология