Уравнения задача краевая

Если [i( , т), с( , т)]-решение рассматриваемой задачи, то при любом значении а О величины [s(a , ах), с(а , ах)] тоже являются решением этой задачи. В этом легко убедиться прямой подстановкой в систему уравнений и краевые условия. Задача (10.11), (10.12), (10.19), (10.20), описывающая реальный физический процесс, имеет единственное решение. Поэтому для любого а О выполняются следующие равенства [c.308]

Рассмотренные выше вычислительные затруднения в получении окончательного решения при отыскании экстремалей функционала (У,48) в значительной степени возрастают при решении вариационных задач с функционалами от нескольких функций (У,117), особенно при наличии ограничений (У,118) или (У,121), когда решение задачи сводится к интегрированию системы нелинейных дифференциальных уравнений с краевыми условиями. [c.220]

В численных конечно-разностных методах дифференциальная задача заменяется или, как говорят, аппроксимируется системой разностных уравнений. Совокупность разностных уравнений и краевых условий, записанных в разностной форме, называется разностной схемой ). Методы решения системы разностных уравнений, возникаюш ей при записи разностных операторов для всех точек сетки, представляют самостоятельную проблему. [c.268]

Потенциальная энергия в уравнении Шредингера для ячейки подбирается таким образом, чтобы решение этого уравнения с краевыми условиями, отвечающими задаче атома (11300 = 0), правильно передало термы атома. Так, найденное потенциальное поле содержит приближенное описание эффективного отталкивания валентного электрона от электронов ионов. [c.646]

Идея метода сеток. Согласно методу сеток уиф-ференциальное уравнение и краевые условия заменяются сеточными уравнениями, связывающими значения искомой функции в узлах сетки сеточная краевая задача или с.хед/я). Построим сеточное уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (2.1.1). Воспользуемся равномерной прямоугольной сеткой t" = )гт, га = О, 1, 2,. .. Хш = тк, т==0, 1, 2,. .. Заменим производную du/dt в точке (гат, т/г) разностным отношением вперед [c.31]

О принимается в качестве главного практического критерия устойчивости схемы. Прежде чем применять этот критерий, схему подвергают некоторым преобразованиям. Сеточное уравнение, аппроксимирующее основное дифференциальное уравнение, линеаризуется. Для этого рассматриваются малые возмущения решения, вызванные малым возмущением начальных данных. Переменные коэффициенты линеаризованного уравнения замораживаются , т. е. заменяются их значениями в произвольной точке области определения решения исходной задачи. Краевая задача заменяется соответствующей задачей Коши. [c.44]

Для того же уравнения рассмотрим краевую задачу с условиями О X < +0О, и(0, х) = О, uit, 0) = 1. [c.76]

Существуюш ие в настоящее время методы численного анализа позволяют решать широкий круг задач математического моделирования. Тем не менее в некоторых случаях встречаются серьезные затруднения в применении общих методов численного анализа. К числу таких случаев прежде всего относятся следующие задачи математического моделирования 1) решение систем конечных нелинейных уравнений с большим числом переменных 2) интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями 3) интегрирование систем дифференциальных уравнений в частных производных. [c.129]

Уравнение с краевыми условиями может иметь неоднозначное решение (см. раздел 3.7). В результате перехода к нестационарной задаче можно получить только один из стационарных режимов, но решение не выйдет на неустойчивый стационарный режим процесса. [c.114]

Как известно, процесс нагрева твердого тела характеризуется для одномерной задачи краевым дифференциальным уравнением [c.260]

Имеюш,иеся в распоряжении инженеров расчетные методики позволяют уже сейчас успешно решать многие теплотехнические задачи, в частности рассчитывать рабочий процесс компрессора и двигателя, что стало возможным благодаря широкому внедрению в расчетную практику ЭВМ. Р спользование их предполагает наличие математической модели интересующего явления, иначе говоря, совокупности исходных уравнений и краевых (начальных и граничных) условий, причем решение задачи должно быть предельно детализировано. [c.3]

Называется еще инспекционным, так как исходная краевая задача аналитически сформулирована. Если рассматриваемая задача столь сложна, что исходные уравнения и краевые условия отсутствуют, то аналогичные переменные можно наметить с помощью размерного анализа параметров, определяющих процесс. Этот метод (называемый размерным анализом) подробно изложен в книге Л. И. Седова Методы теории подобия и размерности в механике (Гостехиздат, 1951) и в [19, 20]. [c.65]

Эти соотношения вместе с уравнениями равновесия, формулами Коши и граничными условиями представляют собой замкнутую систему уравнений и краеву задачу в переменных (/, х ). Ядра интегральных соотношений (t, 5, Хг) = / с [/ х ) — [c.81]

Теорема Кирпичева —Гухмана является обратной теоремой. Подобными оказываются те явления, для которых одинаковы краевые задачи, т. е. исходные уравнения и краевые условия, и численно равны безразмерные критерии подобия, составленные из размерных параметров, входящих в дифференциальное уравнение и краевые условия. [c.62]

Непосредственное решение зтой системы уравнений с краевыми условиями (5-а) представляет большие трудности. Удобным методом устойчивого решения стационарной задачи (Ь) является переход к нестационарной задаче [c.80]

Сравнение полученной системы уравнений и краевых условий с уравнениями для решения задачи теплообмена в неподвижном слое, известной также как задача Шумана, позволяет установить их аналогию. Можно заключить, что вид решения для данной системы будет таким же, как и задачи для неподвижного слоя. Следует лишь учи- [c.164]

Для того чтобы проверить справедливость предположения III с помощью инспекционного анализа, в принципе можно действовать следующим образом. Пусть известно, что некоторое течение жидкости можно приближенно рассчитать, решив соответствующую краевую задачу в смысле I. Тогда мсжно попросту проверить инвариантность дифференциальных уравнений и краевых условий относительно преобразований некоторой группы (скажем, преобразований (22)). Если они инвариантны и краевая задача корректно поставлена, то предположение III справедливо. [c.138]

Для решения этой новой задачи краевое условие (5.6) следует заменить новым условием. Основываясь на приведенных ранее рассуждениях, можно полагать, что это условие будет описываться уравнением Нернста. Однако в нем выступает концентрация формы Red. Поэтому в данном случае нужно решить систему уравнений уравнение (5.3) и аналогичное уравнение для формы Red. В результате решения обоих дифференциальных уравнений можно получить функции q (x, t) и Red (Х, /), которые описывают зависимость концентраций Ох и Red от времени и расстояния до электрода. [c.116]

Выражение Л (Bii, Bi2), определяемое формулой (3.179), аппроксимирует функциональную зависимость от двух переменных Bij, Bis квадрата первого корня jx i характеристического уравнения для краевой задачи нестационарной теплопроводности внутри пластины при несимметричных граничных условиях третьего рода [45] [c.115]

Условия однозначности, или единственности, однозначно определяют конкретное решение основного уравнения. Задача, решаемая с их помощью, называется краевой, или предельной. [c.14]

Для решения многих прикладных задач важно заранее оценить, будет ли данная жидкость смачивать данный твердый материал или нет. Использование для этой цели термодинамических уравнений равновесного краевого угла затруднено тем, что для большинства твердых тел поверхностные натяжения в широком интервале температур неизвестны, в особенности на границе с жидкостями (см. 1.2 и 1.6). Теоретические методы расчета поверхностного натяжения твердых тел развиты лишь для определенных систем, в особенности для твердых металлов (см., например [114, 115]). Поэтому на практике для прогноза смачивания широко применяются различные эмпирические признаки. Эти признаки установлены либо путем обобщения большого числа экспериментальных данных, либо на основе приближенного анализа зависимости межфазного поверхностного натяжения от природы контактирующих фаз. Эмпирические признаки смачивания не универсальны, они применимы не для любых сочетаний жидкостей и твердых тел, а лишь для вполне определенных условий. Поэтому при практическом использовании эмпирических признаков смачивания следует прежде всего установить основные физико-химические особенности данной системы для этого в свою очередь применяют рассмотренные в III. 1 классификационные схемы. [c.83]

Коэффициенты Ai, зависящие только от пространственных координат, и показатели степеней Яг (корни характеристического уравнения соответствующей краевой задачи) ряда (7.12), находятся из экспериментальных данных, например, с помощью графо-аналитической процедуры, предложенной еще М. П. Симою [155] и осуществляемой лад функцией, дополняющей h t) до единицы [c.308]

Прежде всего следует учесть, что элементы, расположенные на границах системы, взаимодействуют с окружающей средой. Это взаимодействие никак не отражено в основных уравнениях задачи, поэтому необходимо дополнительно задать граничные условия. В основных уравнениях не отражена и предыстория процесса, поэтому аналогично предыдущему вводится понятие о начальных условиях. Граничные и начальные условия вместе составляют краевые условия (условия на пространственно-временных краях системы). Кроме того, для решения задачи существенны физические характеристики (свойства) системы, которые образуют совокупность ее постоянных параметров. Вводя в условие задачи фиксированные значения этих параметров, можно однозначно определить каждое конкретное единичное явление. [c.32]

Другая причина вырождения критериев связана с ослаблением влияния одного или нескольких краевых условий. Например, слабо влияют условия, заданные в виде неравенств, в некоторых случаях можно не учитывать влияние кривизны и т. п. Иногда характерные значения переменных, отвечающих такого рода слабым условиям, вводятся в состав формируемой совокупности аргументов, создавая тем самым искаженное представление о степени влияния соответствующего критерия. Именно в этих условиях и оказывается полезным применение метода характеристических масштабов. Покажем это на примере задачи о теплообмене при свободной конвекции около вертикальной пластины. Если принять, что действием сил инерции можно пренебречь (это предположение соответствует реальным условиям), то основные уравнения задачи с соответствующими граничными условиями второго рода запишутся в виде [c.54]

Другой часто употребляемый подход в анализе уравнения ФП основан на применении вариационного метода /33, 34/, который хотя и не требует присутствия в задаче малого параметра, но оперирует с пробными функциями распределения. Он неудобен тем, что пробные функции распределения приходится угадывать. В рамках вариационного метода трудно определить само решение уравнения ФП, но оказалось возможным вычислить среднее время выхода на границу /35, 36/. Заметим, что это время впервые было найдено в работе /37/, которая обходится вниманием в зарубежной литературе. Среднее время выхода на границу приближенно определяет минимальное собственное значение соответствующей уравнению ФП краевой задачи и, следовательно, время установления равновесного состояния. [c.11]

Таким образом, решения интегральных уравнений, эквивалентных краевой задаче, приводят к сходящимся рядам и точному характеристическому уравнению на СЗ. [c.41]

На бесконечном интервале рассмотрения метод последовательных приближений в представленном виде может привести к трудностям, связанными с условием нормируемости СФ. Эти трудности преодолеваются путем использования разных интегральных уравнений, эквивалентных краевой задаче. Рассмотрим уравнение ФП с симметричным бистабильным потенциалом (см. рис. 1.1) и соответствующую ему краевую задачу (1.29). Симметрия потенциала и(х) позволяет разбить, как было уже отмечено, все СФ на две подсистемы четных и нечетных СФ. Такое разбиение удобно, так как автоматически выполняется условие ортогональности между СФ разных подсистем. Кроме того решение урав- [c.45]

Как указывалось выше, большинство уравнений математического описания представляют собой дифференциальные уравнения с краевыми условиями, заданными на разных границах слоя катализатора. Вообш,е говоря, решать такие уравнения можно как начальные задачи, подбирая ряд условий на одной границе, чтобы в результате расчета выполнить их на другой. Однако подбор краевых условий ( пристрелка ) связан с значительным числом решений одной задачи и поэтому не всегда целесообразен. Кроме того, описанный метод из-за возможной неустойчивости не всегда позволяет получить решение. Более эффективным методом решения стационарной краевой задачи является переход к сложной нестационарной. Оказывается, что при усложнении исходной системы уравнений нахождение решения в стационарном режиме значительно упрощается. В этом случае трудности, связанные с заданием краевых условий, отпадают, поскольку анализируется переходный процесс одновременно во всем слое катализатора из начального состояния в конечное стационарное, определяемое заданной исходной системой уравнений. При помощи рассмотренного метода удается создать общий подход к использованию численных методов, применение которых не зависит от числа уравнений, входящих в математическое описание встречающихся видов граничных условий, кинетических закономерностей процесса и знания приближенного решения. Помимо этого достигаются простота осуществления алгоритма на вычислительной машине, ограничение объема перерабатываемой информации, быстрая сходимость расчетов и т. п. Решение нестационарных задач дает также возможность рассчитывать переходные режимы и влияние различных возмущений на течение процессов. [c.486]

Таким образом, решенпе задачи существует лишь при условии, что правые части в уравнении и краевых условиях удовлетворяют соотпошенпю (4.25). [c.162]

Вывод условий оптимальности. Рассмотрим поставленную выше ладачу минимизации функционала (4.505) при ограниче-пиях (4.500), (4.501), (4.506). Преобразуем эту задачу к крае-нон задаче для системы дифференциальных уравпепий в частных производных (входящие в данную краевую задачу дифференциальные уравнения и краевые условия называются условиями оптимальности). Для вывода условий оптимальности используем метод множителей Лагранжа, общее описаппе которого приведено, в частности, в [15]. Обозначим через и множитель Лагранжа, отвечающий ограничению (4.500), — множитель Лагранжа для ограничения (4.501), ц — множитель (числовые параметры) для ограничений (4.506), и составим функцию Лагранжа (функционал) [c.272]

Модельные уравнения и краевые задачи. В этой главе рассматриваются простейшие уравпеиня математической физики, в частности такие [c.30]

Сюда, следовательно, можно отнести изучение тех или иных краевых условий как результата взаимодействия различных происходящих в печи теплотехничваких процессов. Поясним сказанное на следующем примере. Пусть имеется рабочая камера печи, в которой протекает целая оовокупность взаимосвязанных теплотехнических процессов. Для каждого из этих процессов могут быть написаны характеристические уравнения, опирающиеся на механизм данного процесса или на феноменологические представления о нем. Путем составления уравнений, характеризующих краевые условия, для каждого из этих процессов в отдельности формулируются задачи технической физики. Однако совокупность указанных уравнений не описывает еще процесс в целом, протекающий в рабочей камере печи. Для того чтобы охватить такой сложный процесс, все отдельные процессы должны рассматриваться комплексно и поэтому, различные параметры, входящие в уравнения для отдельных процессов, должны быть между собой связаны дополнительной системой уравнений. Эти связи нельзя найти в общем виде для печей всех видов они могут быть установлены для отдельных групп родственных печей. Таким образом, возникает необходимость классификации печей или, точнее, режимов их работы. [c.14]

При увеличении размеров сечений необходимо учесть изменение характеристик сопротивления деформациям и разрушению. Если элементы констрзтсции одержат зоны концентрации напряжений, то вместо зависимости Р - ё (рис. 5.6) необходимо получить зависимость между действующей нагрузкой Р и максимальной местной деформацией зоне концентрации (кривые 2 на рис. 5.6). Деформации ё ахк измеряются методами тензометрии или вычисляются по уравнениям рещения краевых задач. При этом величина номинальной деформации в зависимости от номинальных напряжений с учетом характеристик упрочнения материала определяется уравнениями нелршейной механики деформирования [140, 258]. Связь между и Р вытекает из рассмотренных выше условий равновесия и диаграмм деформирования для различных видов эксплуатационного нагружения. При заданном теоретическом коэффициенте концентрации напряжений а , и рассчитанном номинальном напряжении устанавливают коэффициенты концентрации деформаций далее по значениям ё и определяют аксималь-ную местную деформацию ё ахк Д я заданной нагрузки Р. При этом [c.170]

Найти точное аналитическое решение систем нелинейных дифференциальных уравнений для краевых задач обычно чрез вычайно сложно, а во многих случаях вообще невозможно Уравнения, описывающие процесс многокомпонентной ректифи кации, вместе с термодинамическими зависимостями представ ляют собой достаточно сложную систему, причем даже отель ные уравнения не могут быть решены аналитическим путем [c.26]

Автомодельная задача о движении вязкой жидкости в трубе с призматическим сечением приводит к нелинейному бигармони-ческому уравнению с краевыми условиями типа условия Дирихле [Найденов, Полянин, 1984] [c.261]

Нами рассмотрена массопередача в сплошной фазе при числах Ке 80 с учетом быстропротекающей необратимой бимолекулярной химической реакции. Распределение скоростей жидкости вокруг капли определено уравнениями Хамилека и Джонсона [22]. Задача решена в рамках теории диффузионного пограничного слоя. Система уравнений стационарной конвективной диффузии для экстрагента и хемосорбента при помощи преобразования Прандтля — Мизеса сведена к системе уравнений теплопроводности. Краевые условия записаны в предположении, что константа скорости реакции велика, реакция необратима и фронт ее совпадает с линией тока. На реакционной поверхности выполняется условие равенства материальных потоков. Для критерия Ки получено выражение [c.143]

Метод установления. В большинстве работ, посвященных численному решению прямой задачи теории сопла, используется метод установления (стабилизации), идея которого состоит в ис-иользованин для решения стационарной задачи нестационарных уравнений газовой динамики [152]. Для нестационарных уравнений решается краевая задача с граничными условиями, соответствующими граничным условиям стационарной задачи, не зависящим от временной координаты. Искомое стационарное решение получается как предел, к которому стремится нестационарный процесс с ростом Такой прием, повышающий на единицу размерность уравнений, тем пе менее для многих задач оправдан. К таким задачам относятся, например, задачи о течении газа в сонлах и струях, задачи обтекания тел газом, когда движение газа описывается уравнениями смешанного эллиптико-гиперболического тина. Введением временной координаты задача сводится к решению гиперболических уравнений. [c.103]

Учитьшая, что искомыми величинами являются СпНщ СхН 0. со. СОг> НгО температура Г, ламинарный фронт горейя о еси углеводородного топлива и воздуха с кинетической схемой (/ 1. .. 7) может бьггь описан системой из шести нелинейных алгебраических уравнений и краевой задачей для двух уравнений диффузии [c.31]

Масштаб рассмотрения определяется наряду с изучаемой площадью дробностью дискретной модели. С одной стороны, как и в прямых задачах, степенв дискретности должна отвечать моделируемому уравнению и краевым условиям, обеспечивая достаточно хорошую их аппроксимацию. С другой стороны, дробность модели должна соответствовать плотности информации о напорах и расходах потока ясно, например, что размеры модельн ой сетки (1 ) обычно не должны превышать расстояние между скван инами наблюдательной сети (1,,) причем отношение 1 /1 должно быть тем меньше, чем больше изменчивость аппроксимируемой функции (напора) и чем выше принятая в математическом методе точность аппроксимации. [c.284]

Укажем между прочим на то, что сравнение метода Ритца с нижеразбираемым приближенным методом выявило следующее интересное обстоятельство при решении краевых задач математической физики оказывается выгоднее (в смысле большей точности решения) брать как решения функции, удовлетворяющие точно граничным условиям и приближенно соответственным дифференциальным уравнениям задачи, чем наоборот. Следует еще отметить, что и нижеразбираемый приближенный метод имеет ряд дефектов, но, принимая во внимание сложность самой задачи и, по-видимому, отсутствие иного приближенного метода, лучше удовлетворяющего трем выставленным требованиям, приходится признать, что этот метод безусловно ценен и дает ряд интересных результатов. Этот метод основывается на ряде свойств преобразования с помощью инверсии. [c.35]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология