Приложение Е. Вывод уравнений

Имеются два общих подхода к выводу уравнения состояния первый — это определение давления из теоремы вириала (кинетическое давление) и второй — расчет давления на основании функций распределения, применяемых в статистической механике (термодинамическое давление). Можно ожидать, что оба подхода равноценны, и этому легко дать общее доказательство. Сначала представим вывод теоремы вириала в классической механике. Это достаточно общий вывод, относящийся только к усредненным по времени уравнениям движения. Здесь же обсуждается несколько простых приложений указанной теоремы, включая упрощенный вывод второго вириального коэффициента. В следующем разделе показано, что теорема вириала будет справедлива и в квантовой механике, если уравнения движения Ньютона заменить уравнениями Шредингера, а вместо классических переменных рассматривать их квантовомеханические аналоги. Одна из причин, по которым приводится теорема вириала (это не дань истории, так как именно из названия этой теоремы взято название вириального уравнения состояния), заключается в том, что эта теорема является достаточно общей и дает более обширную информацию в том случае, когда степенной ряд по плотности оказывается бесполезным. [c.23]

Принцип суперпозиции Больцмана. Примените принцип суперпозиции Больцмана для вывода уравнения ЛВУ (6.3-8) (при сдвиге) из уравнения (6.4-1). Рассмотрите приложенную деформацию у (t) как сумму дискретно приложенных малых смещений Ау. [c.177]

Первая часть содержи основные положения теории. Ее задача — предоставить физику и химику логически последовательное и достаточно полное изложение основ теории на понятном им языке. При этом глубокое интуитивное пони.мание материала считается более важным инструментом исследования, чем. математическая строгость и общность. Физические системы в лучшем случае лишь приближенно удовлетворяют математическим условиям, на которых основаны строгие доказательства, и физик должен постоянно сознавать приближенность своих выкладок. (К примеру, колмогоровский вывод уравнения Фоккера — Планка ничего не говорит о том, к каким реальным системам приложимо это уравнение.) Физику также не нужны самые общие формулировки, но глубокое понимание частных случаев позволит ему, когда в этом возникнет необходимость, распространить теорию на новые примеры. В соответствии с таким мнением теория в этой книге развивается в тесной связи с многочисленными приложениями и примерами. [c.8]

Вывод уравнения (2- 18) приведен в приложении III. Этот вывод является своего рода синтезом, в котором общая эффективность системы связана с эффективностью каждого хода. Здесь можно с успехом использовать известный метод графического расчета, в котором строится диаграмма с рабочей и равновесной линиями этот метод применяется при расчете процессов массообмена и позволяет с помощью элементарных геоме-трических соотношений выразить довольно сложные алгебраические зависимости. [c.27]

Теперь полезно напомнить предположения, использованные при выводе основных уравнений, особенно те, которые касаются массообмена. Итак, пренебрегалось вторичным влиянием градиента концентрации на термодиффузию и термодиффузии — на интенсивность массообмена. При выводе уравнения (6.1.5) предполагается, что диффузионный поток массы зависит только от градиента концентрацип. Однако известно, что диффузия обусловлена пе только градиентами концентрации, но и градиентами других параметров, например температуры, давления и массовых сил. Влияние градиентов двух последних параметров в общем случае пренебрежимо мало. Однако в ряде приложений градиенты температуры вызывают появление за- [c.336]

Следует обратить внимание, что в уравнении (5) и (56) скорость электрофореза не зависит от размера частиц и прямо пропорциональна приложенному градиенту потенциала, что подтверждается данными эксперимента. Основной недостаток этих формул заключается в том, что в уравнении (2) предполагается, что заряженная частичка изолирована в том смысле, что заряды противоионов, окружающих частичку, находятся в жидкости на расстоянии слишком большом, чтобы оказывать влияние на силу внешнего электрического поля, действующего на частицу. Это предположение ничем не оправдано. Любой фактор, приближающий противоположные заряды к поверхности частиц (см. стр. 130), т. е. уменьшающий 8, ослабляет влияние внешнего поля на частицу, что равносильно уменьшению величины заряда. При выводе уравнения заряд считался пропорциональным разности потенциалов между частицей и жидкостью, окружающей ее. Поэтому любо фактор, уменьшающий 8, приводит к уменьшению вычисленного значения -потенциала (электрокинетического). Таким образом, -потенциал можно рассматривать как меру эффективности [c.202]

Левая часть уравнения — это сила, действующая на частицу. Первый член правой части Р ) учитывает силу сопротивления движения частицы со стороны сплошной фазы. Второй член (/ г) обусловлен градиентом давления в жидкости, окружающей частицу. Третье слагаемое Ръ) выражает силу, ускоряющую присоединенную массу жидкости. Объем присоединенной массы жидкости принимается равным половине объема частицы. Четвертое слагаемое — Рц — сила Бассе) учитывает отклонение течения от установившегося состояния. Последний, пятый член (Р5) равен силе, приложенной со стороны внешнего потенциального поля сил тяжести. При выводе уравнения (1.119) предполагалось, что линейные масштабы изменения скорости несущего потока и давления в нем значительно превосходят размеры частицы. В условиях же кристаллизации не для всех кристаллов число Ке. характеризующее их обтекание, можно считать достаточно малым, чтобы возможно было применять уравнение [c.71]

ПРИЛОЖЕНИЕ. ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОТОКА С ПОМОЩЬЮ ТЕРМОДИНАМИКИ НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ [c.123]

Для обеих неполярных жидкостей имеется вполне удовлетворительное соответствие. Для воды, однако, данные расходятся и иногда отличаются знаком. Изменение энергии, сопряженное с образованием дырки, сравнительно мало и близко к нулю при температуре максимальной плотности. При этой температуре для образования дырки не требуется затраты энергии. Тем не менее для воды такой вывод не соответствует опытным данным. Сделанное выше заключение ие точно, так как оно основано на предположении о том, что отношение а/р не зависит от температуры. Приведенное рассуждение, однако, объясняет, почему при сравнительно низких температурах в воде растворяются такие крупные молекулы, как гемоглобин и крахмал, причем без заметного поглощения тепла [9, 26]. Вывод уравнения (1.25) приведен в Приложении I. [c.25]

Точкой плавления называется температура, при которой кристаллическое вещество и жидкость находятся в равновесии прн давлении 760 мм рт. ст. Температурой плавления называется температура, при которой кристаллическое вещество и жидкость находятся в равновесии при полном приложенном давлении Р. Для раствора, удовлетворяющего принятым ранее допущениям, уравнение изменения точки плавления (или точки замерзания) можно получить методом, совершенно аналогичным выводу уравнения (34.15) [c.149]

Вывод уравнений (22) и (23) см. в приложении 1.] [c.19]

ТО уравнение (19-10) сводится к уравнению (19-11). Решением (для сфер) станет уравнение (19-13), и это эквивалентно уравнению (24-2) для электрофоретической скорости сфер или уравнению (24-1) для частиц любой формы. Однако не все предположения, которые были сделаны при выводе уравнения Стокса, применимы к данной задаче, поскольку приложенное электрическое поле действует не только на центральную частицу, но также и на ионы в окружающей жидкости, как это указывалось выше. Таким образом, член рР в уравнении (19-10), который мог быть отброшен при выводе уравнения Стокса, так как тогда приложенная сила действовала только на центральную частицу, должен быть здесь оставлен. Все другие предположения, сделанные ири выводе уравнения Стокса (т. е. несжимаемость жидкости, низкая скорость потока и т. д.), могут считаться правильными. [c.474]

Для вывода уравнений (32-38)—(32-40) были использованы биномиальные ряды, данные в Приложении А. Уравнение (32-39) можно также получить, комбинируя уравнения (32-28) и (32-35). [c.681]

ПРИЛОЖЕНИЕ I Допущения, сделанные при выводе уравнений [c.136]

Экспериментальное наблюдение зоны контакта (рис. 4.23) подтверждает предположение о ее уменьшении с увеличением скорости качения сферы по вязкоупругой поверхности полимерной смолы. Вследствие постоянства приложенной нормальной силы при уменьшении контактной зоны с ростом скорости возрастает среднее давление. Из уравнения (4.56) следует, что при высоких скоростях уменьшение локальных деформаций 2, компенсируется увеличением Е г и 2. Использованная для вывода уравнения модель Фойгта позволяет объяснить увеличение среднего давления. Действительно, сохранение круглой формы контактной зоны и существенное уменьшение ее диаметра указывают на снижение гистерезисных потерь при высоких скоростях качения. Восемь интерференционных колец, представленных на рис. 4.23, отражают последовательно рост, пиковое значение и падение коэффициента трения с увеличением скорости качения. [c.83]

Интенсивный сдвиг в закрытом смесителе. В приложении дан вывод уравнений гидродинамики, описывающих процесс деформации вязкой жидкости, находящейся в пространстве между кромкой лопасти и стенкой камеры. При выводе приняты следующие предположения 1) материал—вязкая жидкость с постоянным коэффициентом вязкости 2) зазор между лопастью и стенкой к медленно меняется вдоль оси х 3) радиус кривизны камеры велик по сравнению с зазором /г 4) процесс течения—изотермический. [c.477]

Рассмотрим зону замкнутой в вершине оболочки, ограниченную параллельным кругом и находящуюся в равновесии под действием внешних сил, а также сил, приложенных к ее свободному краю. Для равновесия вдоль оси оболочки должно быть [см. вывод уравнения (13)] [c.48]

Приложение А содержит вывод уравнений неразрывности, движения и энергии. [c.76]

Приложение вывод уравнения Хилла для саморегулируемых линейных преобразователей энергии [c.295]

Приложение (6.39) или (6.40) к решению конкретных задач предполагает возможность установления характера диффузионного процесса и формулирования краевых условий. Ниже кратко рассматривается решение (6.39) применительно к двум проблемам, имеющим важное практическое значение. В обоих случаях используется одна и та же модель системы, в которой протекает линейная диффузия — полубесконечиая труба, ограниченная с левой стороны, но не источником вещества, как гри выводе уравнения (6.39), а его поглотителем. Труба в начальный момент целиком заполнена раствором некоторого вещества с концептрацией Со. Задача сводится к тому, чтобы выяснить, как изменяется концентрация во времени и ио длине трубы (по оси х). Начальные и краевые условия формулируются в следующем виде. [c.147]

Рассмотрим простейший случай уплотнения в цилиндре (рис. 8.14). Нормальная сила Fq, приложенная к верхнему поршню, создает в материале напряжения — нормальное т и радиальное т, . Из-за существования радиального напряжения возникает сдвиговая сила трения, которая действует в направлении, противоположном нормальной силе. Поэтому сила действующая на нижний поршень, окажется меньше, чем сила, приложенная к верхнему поршню. Составляя баланс сил, подобно тому как это было сделано при выводе уравнения Янсена, и предполагая, что трение о стенки существует, отношение осе-вого напряжения к радиальному постоянно для любой точки и коэффициент трения о стенку тоже постоянная величина, получим простое экспоненциальное соотношение между приложенной и передаваемой силами (подробно см. в разд. 8.11) [c.237]

Статистические веса можно рассчитать на основании геометрии и вандерваальсовых сил. Идея использования для предсказания методов статистической механики наиболее широко разрабатывалась Шерагой и сотрудниками. Котельчук и Шерага [363, 364] основывали свои предсказания на упрощенном методе, описанном в приложении при выводе уравнения (А.4). Они рассчитали статистические веса и z для каждого остатка кроме Gly и Pro, которые были рассмотрены отдельно. В расчетах они учитывали вандерваальсовы взаимодействия (гл. 3) между различными частями цепи. Поскольку рассматривалась система, состоящая из цепи и растворителя, был включен также член, учитывающий вклад свободной энергии растворителя. Для каждого остатка конформация с наибольшей величиной z принята за его склонность (табл. 6.1). Поскольку предпочтения состояния аь обнаружено не было, то выявились только спиральные (=ак) и случайные (клубок = = не ац) склонности. Отметим, что сделанные с помощью этих расчетов Оценки хорошо согласуются с экспериментальными данными по синтетическим полипептидам [328] и с эмпирическими данными, [c.136]

Мы привели в наиболее простой форме основы статистической физики макромолекулы, которая является разделом статистической физики вообще, а посему использует идеи и методы этого раздела теоретической физики. Рассматривается статистика линейных макромолекул в приближении модели сво-бодносочлененных сегментов. Выводится распределение свободной макромолекулы по расстояниям между ее концами. Это распределение подчиняется нормальному (гауссову) закону. Предлагается вывод уравнения состояния макромолекулы, связывающего растягивающую силу, приложенную к концам мак- [c.160]

Вычисление этого интеграла рассмотрено в приложении Б, Применимость предложенного в работе /47/ метода ограничена малыми значениями а, поскольку гфи выводе уравнений предполагалось, что а не изменяется гфи изменении состава вдоль ступени /51/, В работе /52/ отмечено, что метод Нэйлора и Бэккера при условии а = а сводится К методу Уэллера, В приложении А показано, что это имеет место при г = (р = 0). [c.335]

Практически единственным способом экспериментального приложения уравнения связи являются методы, основанные на измерении свойств растворителя в квазидвойной системе. Степанов [5] при выводе уравнения изотермы растворимости предложил исходить из закона постоянства изотермической растворимости, согласно которому при данной температуре отношение молей растворенного вещества к числу молей растворителя в насыщенном растворе постоянно. Учитывая постоянство состава растворителя, его можно независимо от сложности характеризовать при расчетах одной переменной — так же, как и в случае индивидуального растворителя. [c.429]

Излагаемый ниже вывод уравнения поляризационной кривой представляет собой приложение метода Парсонса [1] к более простому, чем рассматриваемый им, случаю. Обозначения и порядок изложения заимствованы из аналогичной работы Мохилнера и Делахея [1а], в которой, однако, учитывалась и специфическая адсорбция. Параллельно с изложением соответствующих основных идей рассматривается и история вопроса (см. также обзор Феттера [2]). Эти основные идеи вкратце уже были изложены ранее [3]. [c.166]

Величина ошибки, связанная с этими неточностями, была оценена Цахманом [43, 44]. Оказалось, что при не очень коротких участках цепей наличие кристаллитов не играет существенной роли. Что же касается влияния собственного объема сегментов цепей, то можно предположить, что величина ошибки в определении числа Й/ конформаций здесь такая же, как и в приложении I при выводе уравнения (18), Автор считает, что процент неосуществимых конформаций для незакристаллизовавшегося участка цепи с двумя закрепленными концами является таким же. Тогда влиянием указанных факторов на отношение ф = можно пренебречь и считать [c.20]

При выводе уравнения (14) иредиолагалось, что имеется максвелловское распределение ио скоростям. В нашем иоппом источнике это условие не выполняется ионы ускоряются но нанравлепию к выходной щели напряженпем, приложенным к выталкивающему электроду. Это обстоятельство должно быть учтено, если мы хотим получить соответствие теории с экспериментом. Для учета этого мы предположим, что иопы распределены по скоростям в двух паправлениях (х и z) по Максвеллу, а их распределение но скоростям в направлении оси у характеризуется эффективной температурой 0, определяемой из условия [c.313]

Электрофорез. При выводе уравнения (12) для электроосмо-тической подвижности при градиенте потенциала, равном единице, было сделано предположение, что движущаяся жидкость находится в капиллярной трубке. Другими словами, рассматриваемая система равнозначна цилиндру из движущейся жидкости, окруженному цилиндрической твердой стенкой. Если поменять местами положение жидкости и стенки, то это никак не отразится на выводе уравнения (12), и, следовательно, оно определяет скорость движения твердой цилиндрической частицы в жидкости под влиянием приложенного электрического поля с градиенто1и потенциала, равным единице. Эта величина представляет собой электрофоретическую подвижность Пе частицы. Следовательно, для цилиндрической [c.705]

Чтобы показать, почему можно заключить, что в случае кристалла а й)фу(п), используем аргумент, предложенный Шатлуер-том [9], Допустим, что упругое напряжение поверхности отдельной кристаллической грани составляет а п), а ее площадь равна А. Можно уравновесить поверхностное напряжение, прилагая извне к граням плоскости натяжения порядка а п). После этого обратимо и изотермически растянем поверхность на бесконечно малую величину с1А. Работа, произведенная приложенным натяжением, составляет а п)с1А. Изменение свободной энергии Гельмгольца грани кристалла составляет й у п)А]. Как и при выводе уравнения (5), вклады, внесенные членами 1гГг, аннулируются. Тогда имеем [c.104]

При выводе уравнения Фаулера — Нордхейма было использовано представление о классическом потенциале зеркального изображения. Поскольку пик потенциального барьера находится в пределах 10 А от поверхности, где потенциал зеркального изображения может существенно отличаться от его классического значения, справедливость этого уравнения вызывает определенные сомнения. Однако результаты экспериментальных проверок приложенного поля и (относительной) работы выхода электрона [149 находятся в хорошем согласии с уравнением Фаулера — Нордхейма, чтр указывает на то, что классический потенциал зеркального изображения остается действительным на расстояниях внлот до нескольких ангстрем (см. также рис. 32). [c.160]

Вывод уравнения (2) приводится в приложении к этой главе переменные, входящие в это уравнение, графически представлены на рис. 6,2. Однако практическое использование такого громоздкого уравнения затруднено. Кроме того, оно обладает рядом недостатков, обусловленных упрощающими предположениями. Уравнение (2) хорошо описывает поведение материала на выходе из зазора, но оно не учитывает местоположения входного сечения и для большинства значений не удовлетворяет граничному условию р=0. Поэтому описываемый ниже упрощенный метод расчета более удобен для практических целей. Однако использование современных вычислительных методов позволит, по-видимому, настолько усовершенствовать метод Гаскелла, что он сможет полностью вытеснить упрощенный метод Ардичвили. [c.436]

Приложение содержит вывод уравнений гидродинамики, обсуждавшихся в главе 2. Первая часть посвяш,ена тензорновекторным представлениям й операциям, употребляемым при выводах. Затем исследуется тензор напряжения и выводятся уравнения неразрывности, движения и энергии. Далее рассматривается общее выражение для тензора деформации, который разлага.егся на два тензора, один из тензоров характеризует собой объемные деформационные эффекты, другой — эффекты сдвиговых деформаций. Путем постулирования линейного соотношения между скоростью деформации и приложенными напряжениями получается реологическое уравнение ньютоновской жидкости. [c.405]

Электроосмос. Как указано выше, этот метод основан на изме рении скорости течения жидкости относительно твердой фазы. Движение жидкости вызывается приложением внешнего электрического поля тангенциально к поверхности раздела. Нашей целью не является давать строгий вывод уравнения электроосмоса, но просто изложить общие математические приемы. Это кажется нам полезным, так как дает понимание природы потенциала на границе раздела. Так как в сущности применяется одинаковый ход рассуждения для вывода уравнений и для трех других методов измерения электроки-нетического потенциала, то этот вывод будет служить в качестве образца для других случаев. Теория электроосмоса была впервые количественно дана Гельмгольцем и позже Смолуховским. [c.192]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология