План эксперимента линейные

Проводим ряд опытов, изменяя независимые переменные на величины выбранных приращений, и находим значение у, близкое к его локальному максимуму. В этой точке устанавливаем направление нового градиента (определяем полином, служащий линейной аппроксимацией, значения коэффициентов и новые значения приращений), находим следующий локальный максимум и Далее снова ставим серию опытов. После приближения к окрестностям максимума линейной аппроксимации недостаточно, и эту область исследуем в соответствии с планом экспериментов более высокого порядка, например композиционным ротатабельным. [c.34]

В качестве плана эксперимента выбран ПФЭ 2 . Безразмерное факторы Х] связаны с гj линейным преобразованием ( ЛЗ). Координаты центра плана и интервалы варьирования приведены в таблице. [c.243]

Эта зависимость включает линейное и парное взаимодействие факторов с функцией отклика. План эксперимента (матрица планирования) должен содержать М= 2" опытов, где п — количество измеряемых факторов. Для каждого фактора выбирается интервал [c.292]

Большое количество экспериментальных задач в химии и химической технологии формулируется как задачи экстремальные определение оптимальных условий процесса, оптимального состава композиции и т. д. Благодаря оптимальному расположению точек в факторном пространстве и линейному преобразованию координат, удается преодолеть недостатки классического регрессионного анализа, в частности кор реляцию между коэффициентами уравнения регрессии. Выбор плана эксперимента определяется постановкой задачи исследования и особенностями объекта. Процесс исследования обычно разбивается на отдельные этапы. Информация, полученная после каждого этапа, определяет дальнейшую стратегию эксперимента. Таким образом возникает возможность оптимального управления экспериментом. Планирование эксперимента позволяет варьировать одновременно все факторы и получать количественные оценки основных эффектов и эффектов взаимодействия. Интересующие исследователя эффекты определяются с меньшей ошибкой, чем при традиционных методах исследования. В конечном счете применение методов планирования значительно повышает эффективность эксперимента. [c.159]

В качестве плана эксперимента выбран ПФЭ 2 . Безразмерные факторы Xj связаны с линейным преобразованием (У.З). Координаты центра плана и интервалы варьирования приведены в таблице (см. с. 249). [c.248]

В соответствии с планом эксперимента (табл. 61) были получены кинетические кривые зависимости степени превращения исходных мономеров в полимер от времени. Зависимость степени превращения от времени аппроксимировалась линейным уравнением регрессии [c.248]

Поскольку область допустимых вариаций компонентного состава была невелика, связь между свойствами и концентрациями компонентов описывалась линейной формой (а не квадратичной, как в первых двух случаях). В качестве основного плана эксперимента была выбрана дробная реплика 2 - [c.124]

Решение. План эксперимента и результаты испытаний образцов приведены в табл. 24 (см. также табл. 23). Для выделения факторов, существенно влияющих на показатели качества, был проведен дисперсионный анализ результатов в предположении линейной математической модели (III.108). Дисперсионный анализ проводился в следующем порядке. Для /четырех показателей качества У1, У2, Уз it D подсчитывались Г) итоги для каждого фактора на всех уровнях (табл. 25). [c.119]

Свойства ортогональности н ротатабельности планов чрезвычайно удобны в практическом отношении, что способствует широкому применению этих планов в эксперименте. Линейные ортогональные планы и 2 обладают так е свойством ротатабельности. Композиционные ротатабельные планы, предложенные Боксом и Хантером, не ортогональны. Если же в качестве критерия оптимальности выбирать ортогональность, то неизбежны некоторые потери в точности Оценок параметров и регрессионной функции. [c.198]

Известно, что при исследовании вопроса о числе решений системы линейных алгебраических уравнений определяющую роль играет величина ранга матрицы коэффициентов системы [18]. Если ранг равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если же он меньше числа неизвестных и решение существует, то имеется бесконечное множество решений. В современной статистической теории оценивания большое внимание уделяется проблемам построения линейных по параметрам моделей неполного ранга [19]. Специфическая особенность этого вида моделей состоит в том, что они не позволяют однозначно оценивать все параметры, а допускают определение оценок некоторых линейных функций от параметров — линейных параметрических функций. Природа такой аномалии, по существу, не связана с планом эксперимента, а кроется в структуре самой модели, точнее, в линейных связях мен ду факторами (входными переменными модели), что, в свою очередь, проявляется в линейных связях между столбцами матрицы переменных. [c.142]

После реализации плана эксперимента производится аппроксимация функции отклика линейной моделью (полиномом 1-го порядка) [c.199]

На рис. IV-1 приведены данные расчетов величины Ч для различных планов экспериментов для линейных и степенных функций, показывающие существенное уменьшение числа опытов при использовании методов математического планирования экспериментов. [c.110]

Пример 11-7. Составить план дробного факторного эксперимента для исследования зависимости переменной у от трех факторов Хи и Хз, приняв, что достаточно установления значений х на двух уровнях и линейной аппроксимации [c.29]

Принятое предположение о линейной зависимости, т. е. отсутствии эффектов взаимодействия факторов, не всегда правильно, вследствие чего найденные значения коэффициентов Ь будут приближенными. Составленный в примере П-7 план дробного факторного эксперимента не единственно возможный другой план можно составить, вписывая в столбец Хз знаки, обратные уже использованным в предыдущем примере. Нетрудно заметить, что эти два плана составляют вместе план полного факторного эксперимента для трех независимых переменных из примера П-6 ). [c.29]

Применение описанного способа обеспечивает уменьшение объема работы не только благодаря тому, что оно приводит в точку, близкую к максимуму М, коротким путем, но еще и вследствие того, что для исследования изменений целевой функции достаточно линейной аппроксимации, а значит, выполнения небольшого числа опытов в соответствии с планом дробного факторного эксперимента. [c.33]

Полученные экспериментальные данные используются для нахождения предварительных оценок параметров модели, которые используются для анализа обусловленности системы, определения корреляционных зависимостей параметров и построения плана дополнительного эксперимента. С использованием найденных оценок определяются расчетные значения концентраций компонентов, и находится матрица А. Отметим, что матрица А может быть построена и на основании априорных значений параметров модели, если таковые имеются. Так как точную оценку погрешности е найти трудно, а известна только достаточно широкая область, в которой может быть заключено ее значение, то следует определить е-ранг матрицы (Q (е)) как целочисленную функцию от е в указанной области. Если окажется, что при некотором е матрица А содержит попарно зависимые с точностью до е столбцы, то это означает, что имеются попарно коррелированные между собой параметры. Если коэффициенты линейной зависимости соизмеримы друг с другом, то все параметры коррелированы и не могут быть достаточно надежно оценены раздельно. В первом случае необходимо изменить начальные концентрации тех компонентов, которые существенно входят в линейно зависимые с точностью до е столбцы во втором — для надежной оценки параметров желательно изменить начальные концентрации всех компонентов. Наилучшие условия можно подобрать, максимизируя максимальную величину е, при которой еще сохраняется В (е) = п. [c.451]

Дробные реплики. Если при получении уравнения можно ограничиться линейным приближением, то число опытов резко сокращается при использовании дробных реплик (см. гл. П1, 4) от полного факторного эксперимента, или дробного факторного эксперимента (ДФЭ). Чтобы дробная реплика представляла собой ортогональный план, в качестве реплики следует брать полный факторный эксперимент для меньшего числа факторов. Число опы- [c.165]

Поскольку число опытов в насыщенных планах равно числу определяемых коэффициентов, число степеней свободы остаточной дисперсии равно нулю. Для проверки адекватности линейного уравнения, полученного по-насыщенному плану, необходим дополнительный эксперимент. [c.171]

Для определения коэффициентов уравнения (У.165) методом планирования экспериментов можно использовать линейные ортогональные планы с числом опытов М т + 2. [c.242]

B. Обычно стартовые оценки констант получаются с неудовлетворительной точностью, поэтому требуется проведение уточняющего эксперимента (последовательно планируемого). В зависимости от дисперсионной матрицы оценок выбирается критерий оптимальности уточняющего плана. Обычно в качестве критерия используют А-, Д-, Е-критерии или их линейные или нелинейные [c.81]

Обычно стартовые оценки констант получаются с неудовлетворительной точностью, поэтому требуется проведение уточняющего эксперимента (последовательно планируемого). В зависимости от дисперсионной матрицы оценок выбирается критерий оптимальности уточняющего плана. Обычно в качестве критерия используют А-, Д-, Е-критерии или их линейные или нелинейные комбинации. Необходимо также осуществить проверку адекватности моделей по определенным статистикам и при необходимости выполнить направленную их коррекцию (после установления причин возможной неадекватности в результате выполнения дисперсионного анализа моделей). [c.17]

По плану, описанному выше, были поставлены эксперименты и получены регрессионные уравнения для Тд топливных композиций бензин-метанол-вода с различным содержанием ароматических углеводородов. Экспериментально установлено, что температура дестабилизации практически линейно понижается с ростом концентрации ароматических углеводородов (А) (рис 1.6). [c.14]

Факторный эксперимент в этом случае является дробным (ДФЭ). Здесь проводят опыты не для всех комбинаций двух уровней факторов. Принципы построения дробных реплик описаны в специальной литературе. Для трех факторов можно построить план 2 (четыре опыта). Связано это с тем, что число необходимых опытов зависит от числа параметров (коэффициентов) уравнения, аппроксимирующего функцию отклика. Так, если фактор х)—один, а функция отклика линейная [c.117]

Дробные реплики. Если при получении уравнения можно ограничиться линейным приближением, то число опытов резко сокращается при использовании так называемых дробных реплик от полного факторного эксперимента или дробного факторного эксперимента (ДФЭ). Для того, чтобы дробная реплика представляла собой ортогональный план в качестве реплики следует брать ближайший полный факторный эксперимент. Число опытов при этом должно быть больше, чем число неизвестных коэффициентов в уравнении регрессии. Допустим, что нам нужно получить линейное приближение некоторого небольшого участка поверхности отклика при трех независимых факторах [c.196]

Для описания зависимости отклика от величин факторов мы будем использовать или содержательные (физико-химические), или формальные (обычно полиномиальные) модели. В любом случае используемая математическая модель должна адекватно описывать как линейные, так и нелинейные поверхности отклика. Моделирование нелинейных зависимостей возможно лишь в том случае, если задавать значения факторов как минимум на трех уровнях. Поэтому трехуровневые факторные планы называют также планами построения поверхности отклика. Для обозначения трехуровневых планов используют ту же символику, что и для двухуровневых. Так, план полного А -факторного трехуровневого эксперимента обозначают как 3 . На рис. 12.4-6 изображена схема плана 3 . [c.503]

Свойства ортогональности и ротатабельности н,панов чрезвычайно удобны в практическом отношении, что способсхвует пшрокому ирнменению этих планов в эксперименте. Линейные ортогональные планы 2 и обладают также [c.198]

Для выделения существенных эффектов — линейных и парных взаимодействий — Саттерзвайтом предложен метод случайного баланса. В этом методе план эксперимента предлагается делать сверхнасыщенным — число опытов N в матрице планирования меньше числа рассматриваемых эффектов, т. е. в начале исследования число степеней свободы /<0. Метод случайного баланса не обосновывается теоретически, а носит в основном эвристический характер. Основная предпосылка эффективного применения метода случайного баланса среди большого числа рассматриваемых эффектов лишь несколько действительно существенно влияют на процесс, а все остальные могут быть при- [c.241]

В качестве плана эксперимента выбираем полуреплику от ПФЭ 2 с генерирующим соотношением Х4=Х1ХгХз (табл. П1-14). Выбор генерирующего соотношения обусловлен тем, что нас интересуют оценки для линейных эффектов. Каждый опыт в матрице планирования был повторен дважды. [c.94]

Размеры г эллипсоида зависят, кроме указанных факторов, также от взаимного расположения экспериментальных точек. Неудачное расположение последних приводит к тому, что доверительный эллипсоид имеет вытянутый, сплюснутый вид, то есть отношение /. /// значительно превышает единицу. Обычно это бывает, когда точки расположены в изучаемой, области резко неравномерно, например, для двухмерного пространства приблизительно на одной прямой. Следует подчеркнуть, что указанные недостатки приводят в конечном итоге к значительным ошибкам при пользовании формулой (1), что подробно рассмотрено ниже. Как доказымется в математическом анализе, кривизна поверхности Я Ь) в окрестности минимума (и, соответственно, размеры доверительного эллипсоида) определяется значениями вторых частных производных (первые производные в точке минимума равны нулю). Для уравнения (1), линейного относительно коэффициентов Ь, значения вторых частных производных функции С зависят только от плана эксперимента и не зависят от того, какие величины будут получены в результате его [c.92]

Для определения браковочных критериев смазочной среды была использована идея симплексного планирования. Методика проведения исследованич включала выполнение следующих работ выбор параметров оптимизации и факторов выбор пределов H iMeHeHHH значения факторов выбор интервалов варьирования и порядка математической модели (линейная, квадратичная) составление матрицы (определение состава и числа образцов) подготовка опытных образцов проведение исследований по намеченному, комплексу лабораторных методов обработка результатов исследований (расчет коэффициентов регрессии, проверка значимости коэффициентов, проверка адекватности математических моделей) использование математических моделей с необходимыми свойствами. Такой план эксперимента предполагает, что значения факторов связаны между собой соотношением [c.235]

Решение. Принято линейное влияние изменений содержания компонентов без эффектов взаимодействия. Для определения коэффициентов б полинома составлен план дробного факторного эксперимента типа 2 - (т. е, в принципе такой же план, как в примере П-б, но с подстановками = —Х2Х3, х = —X2X , Х7 = —Х Х4, Х = Х2Х3ХС кроме того, изъят столбец дго)- [c.34]

Необходимое число независимых экспериментов N в матрице планирования составляет 25 кроме того, были поставлены четыре дополнительных опыта в центре плана для оценки адекватности получаемых уравнений регрессии, длина кодированного звездного плеча а = 1,414. Сокращенная мат-рица планирования без ввода в нее набора парных, тройных и четверного взаимодействий представлена в табл. 4.4. В матрице приведены как кодированные значения параметров X, (X, = Н, Х2 = У, Хз=уиХ4=М), так и их кодированные псевдо-линейные значения Х . [c.132]

Факторный эксперимент первого пфядка проводится по определенному плану (матрица планирования) при одновременном варьировании всех факторов, представлении математической модели в виде линейного полинома и исследовании его методами математической статистики. [c.9]

Для я = 3 и /г = 7 эксперименты в вершинах регулярного симплекса образуют при соответствуюпдей ориентации план, совпадающий с ДФЭ типов и 2 -, отсюда следует, что по данным этих экспериментов легко могут быть вычислены коэффициенты линейной модели. [c.486]

Планы, минимизирующие приведенные выше критерии, наз. соотв. -оптимальными,. 4-оптимальными и т.д. Как правило, не удается построить план, одновременно удовлетворяющий неск. критериям. Исключение составляют линейные планы напр,, планы ПФЭ и ДФЭ не только ортогональны и ротатабельны, но еще и 0-, 0-, А- и -опти-мальны. Поэтому, если цель исследования-построение нек-рой описательной мат, модели, аппроксимирующей опытные данные, рекомендуют использовать планы, отвечающие О-критерию если модель должна обладать наилучшими предсказательными св-вами, используют планы, соответствующие О- или 2-критерию. Если, наконец, цель эксперимента-поиск оптим. условий функционирования объекта, часто применяют ротатабельные планы. [c.559]