Плотности оператор, разложение

Пусть есть физически реализуемое преобразование матриц плотности Т /э 1-> Tmt VpV ). Тогда Т Со /ь(е) р Тг ((1/ 0 1д)р У Й также является физически реализуемым преобразованием и поэтому обладает разложением в операторную сумму. Следовательно, Т 0 1ь(д) переводит неотрицательные операторы в неотрицательные. [c.182]

Возможны многочисленные варианты разложения оператора плотности по полному набору ортогональных базисных операторов (fis) в соответствии с (2.1.45). Выбор подходящего базиса позволяет существенно упростить решение конкретной задачи. В разд. 2.1.5—2.1.10 мы представим различные наборы базисных операторов, которые оказываются наиболее удобными для интерпретации импульсных экспериментов. [c.47]

Если для разложения оператора плотности используются операторы поляризации, то воздействие РЧ-импульсов описывается с помощью следующих преобразований [c.57]

В простейшем варианте фурье-спектроскопии РЧ-импульс прикладывается к системе, находящейся в состоянии термодинамического равновесия (<т(0-) = ао]. В высокотемпературном приближении (Л Ж < кТ) можно ограничиться двумя первыми членами разложения в ряд равновесного оператора плотности (2.1.25) [c.202]

Различные члены в разложении оператора плотности по произведениям декартовых операторов Ikx, hy и hz имеют простой физический смысл. Для системы, состоящей из N слабо взаимодействующих спинов 1/2 к, I, т,. .. ), можно выделить следующие классы операторов произведения [4.132] [c.215]

Выражение (6.2.6) может быть вычислено посредством явного матричного представления или, что равносильно, разложением оператора плотности по операторам, каждый из которых связывает только два уровня энергии (однопереходные операторы). Для получения результатов, которые можно было бы без труда объяснить, может оказаться необходимым принятие упрощающих предположений часто пренебрегают процессами химического обмена и кросс-релаксацией во время интервалов А и /г (но не во время возможного расширенного периода смешивания) и полагают, что линии спектра не перекрываются. В этом случае супероператоры и Г коммутируют и могут быть разделены. [c.349]

Разложение оператора плотности по операторам отдельных переходов [c.351]

Соотношение между мультиплетными структурами и произведениями декартовых операторов, содержащихся в разложении оператора плотности, мы рассматривали для 1М-спектроскопии в разд. 4.4.5 (см. рис. 4.4.6). [c.414]

Эту ситуацию можно понять, если вспомнить, что решение стохастического уравнения Лиувилля для матрицы плотности мы ищем в виде ряда по собственным функциям оператора диффузии [1, 2]. Число членов ряда, которые необходимо учесть в этом разложении, зависит от анизотропии магнитных тензоров, выбранной вращательной модели (броуновское вращение, свободная диффузия или модель скачков) и скорости вращательной диффузии. В работе [3] приводится ряд критериев, позволяющих оценить размерность исходного базиса для построения оператора —(Ь-Ь +г ), т. е. выбрать максимальные значения индексов Ь и К. [c.233]

Здесь ) — проективный оператор — возмущенная часть оператора Лиувилля, Ь = />о + 1 где — невозмущенная часть этого оператора. Ядро к — чисто детерминистическая динамическая величина, так как оно получено прямым применением проективного оператора к оператору Лиувилля. Уравнение (2.3.5) выведено для специально выбранных начальных условий, а именно при некотором времени С = О матрица плотности диагональна. Такое начальное условие, которое обычно называется допущением начальных случайных фаз, включает в себя утверждение, что фазовые корреляции в момент времени С = О отсутствуют. Если же задать более общие начальные условия, то кинетическое уравнение эволюции элементов матрицы плотности (а также плотности в фазовом пространстве или ее фурье-разложения) не моя ет быть записано в форме (2.3.5). Вероятностный аспект входит в уравнение (2.3.5) только через это начальное условие случайных фаз при некотором времени С = 0. [c.41]

I — постоянный вектор, пропорциональный матричному элементу оператора плотности тока спонтанного атомного перехода, в результате которого излучается гамма-квант) и оставить только главный член (порядка г ) в асимптотическом разложении напряженности поля, можно получить следующие выражения для электромагнитного поля в волновой зоне излучения [c.148]

Xt не содержит членов dWt, то в общем случае невозможно получить точные аналитические выражения для стационарного решения УФП, именно (8.45), или для плотности вероятности р (х). Последняя же функция представляет главную цель нашего исследования, поскольку именно она описывает стационарное состояние системы. Сталкиваясь с невозможностью получения общего выражения для стационарного решения (8.45), мы должны прибегнуть к приближенной процедуре для исследования влияния шума, близкого к белому шуму. В нашей задаче имеется очевидный малый параметр — масштабный множитель е, измеряющий степень отклонения шума от белого. Вид оператора Фоккера — Планка предполагает следующее разложение для плотности вероятностей переходов [c.274]

В разд. 8.4 мы установили возможность анализа систем в терминах белого шума и, изучив поведение составного процесса в окрестности белого шума с помощью разложения плотности вероятности по теории возмущений, определили количественно те изменения, к которым приводят отличные от нуля корреляции внешнего шума. Эта систематическая процедура приближений по степеням времени корреляции была сформулирована в рамках марковской теории. Как разъяснено в начале этой главы, цена, которую надо заплатить за то, чтобы описывать системы, взаимодействующие с цветным шумом окружения, в терминах марковских процессов, заключается в расширении пространства состояний. Лишь парный процесс, состоящий из переменной состояния системы X/ и шума является марковским. В силу структуры оператора ФП для эволюции плотности вероятности парного процесса удобным способом исследования поведения системы в данном случае является теория [c.290]

Таким образом, если второй сомножитель становится отрицательным на [61,62], то пространство состояний должно быть ограничено интервалом, расположенным между нулями этого сомножителя. Очевидно, что эти искусственные границы приближаются к физическим границам в пределе белого шума Эти нефизические границы возникают здесь по той же самой причине, по которой плотность вероятности при разложении по параметру спектральной ширины принимает малые отрицательные значения в окрестности физических границ, приводя к неодно родной сходимости на [61,62]. В отличие от разложения по параметру спектральной ширины вопрос об области применимости приближенного оператора эволюции (8.143) в данный момент остается открытым. Довольно трудно установить ее в общем случае, используя данный подход по следующим причинам член с разложении функции отклика содержит вы- [c.296]

Операторы представляют собой (известные) комбинации операторов эволюции 5 . . 5 . Разложение (13.1.7) было получено на основе метода групповых разложений, который заимствован из равновесной статистической механики. Вследствие этого плотность п использовалась как параметр разложения, а к сходимости разложения не предъявлялось никаких требований. В 3.5 было последовательно показано, что если принять гипотезу молекулярного хаоса и, сверх того, пренебречь пространственными неоднородностями на расстояниях порядка радиуса действия межмолекулярных сил, то член нулевого порядка дает в первом уравнении цепочки (13.1.5) столкновительный член уравнения Больцмана. Именно это обстоятельство заставляет верить, что можно обобщить столкновительный член уравнения Больцмана, сохраняя в разложении (13.1.7) большее число членов и используя затем идеи, развитые в 3.5. Кроме того, поскольку последовательные члены рассматриваемого разложения имеют все более высокие порядки по плотности, такое обобщение будет соответствовать газу более высокой плотности. Разумеется, можно считать, что существование пространственных неоднородностей на расстояниях порядка радиуса действия межмолекулярных сил не приводит к каким-либо серьезным трудностям однако следует хотя бы знать, как учитывать поправку на эти неоднородности, включая в рассмотрение члены, линейные по пространственным гра- [c.371]

Очень многие физические состояния нельзя считать чистыми, и поэтому для их описания требуется вводить матрицу плотности. Групповое разложение матрицы плотности включает в себя как частный случай групповое разложение волновой функции чистого состояния, но является более общим. Для наших целей здесь достаточно рассмотреть только простейшее разложение, подобное разложению, предложенному Синаноглу для волновой функции (50). Это разложение получается с использованием проекционных операторов (41), которые можно также представить в эквивалентной форме [c.59]

Для описания трехмерных вращений иногда оказывается более предпочтительным разложение оператора плотности по неприводимым тензорным операторам Ты- Особое значение эти операторы имеют для описания изолированных спинов I > 1/2, хотя для связанных спинов они также могут применяться. Удобство использования этих операторов с математической точки зрения объясняется тем, что они преобразуются по неприводимым представлениям трехмерной группы вращений. Применительно к спиновой динамике их широко использовал Санктьюари [2.18]. [c.64]

Операторы произведений, входящие в разложение оператора плотности, непосредственно связаны со спектром, получаемым в результате фурье-преобразования сигнала свободной индукции. Комплексный сигнал, наблюдаемый при квадратурном детектиро- [c.218]

Суммирование ведется в пределах -2 < р < 2Z-, где L = И/ является суммой квантовых чисел всех спинов. Для системы из К спинов с / = 1/2 суммирование по р выполняется от -К до +К. В тех случаях когда оператор плотности представлен в виде разложения по однопереходньш операторам сдвига (например, / ), по произведениям операторов сдвига (например, 1/1к) или по неприводимым тензорным операторам (например, 7 ), обсуждаемая классификация может быть выполнена в явном виде. [c.354]

Следовательно, групповое разложение для волновой функции, в котором в качестве базисных выбираются брукнеровские орбитали, характеризуется обращающимися в нуль одночастичными групповыми функциями. Как это установили Синаноглу и Туан [22], в случае занолненных оболочек не должно быть сильного различия между хартри-фоковскими и брукнеровскими орбиталями. Теорема Шмидта — Голомба может быть использована такн е в подходе, оперирующем с матрицами плотности. Наилучшие одноэлектронные операторы ы, получаются из соотношений [c.65]

Поскольку процедура полностью аналогична разложению теории возмущений, проведенному в предыдущем разделе, и отличается лишь другим масштабным преобразованием, то поправочные члены более высокого порядка к плотности распределения могут быть систематически вычислены. Однако на практике вычисление встречается со следующими трудностями. Оператор низшего порядка в разложении по возмущению — это оператор, фигурируюпдий в уравнении непрерывности, описывающем детерминированное движение [c.290]

Это выражение действительно совпадает с формулой, полученной с помощью теории возмущений, разложением по малому спектральному параметру (8.106), т. е. в линейном по Ткорр приближении метод разложения по параметру спектральной ширины и немарковская приближенная схема Санчо и Сан Мигуэля эквивалентны. Отсюда следует, что использование приближенного оператора типа ФП дает в общем случае хорошее приближенное выражение (в первом порядке от Ткорр) для стационарной плотности вероятностей немарковской системы. Этот результат апостериори оправдывает те процедуры, которые использовались при выводе выражения для оператора типа ФП. Провести сравнение при учете членов более высокого порядка оказывается невозможным. Оператор эволюции в этом случае отличается от фоккер-планковского типа, и функция р1(х) явно не вычисляется. [c.298]

Для классической системы p=p q, р, i) — есть функция распределения в фазовом пространстве, для квантовой системы р — матрица плотности с элементами р , . В обоих случаях р представляет собой Ж-частичную функцию распределения. Уравнение (III. 2. 5) — детерминистическое уравнение движения, описывающее временную эволюцию величины р. Олератор Лиувилля Е — чисто динамическая величина, вид которой целиком определяется гамильтонианом рассматриваемой системы. Все выводы обобщенного основного уравнения химической кинетики основаны на разложении оператора Лиувилля на невозмущенную и возмущенную части [c.313]

Эти уравнения были получены Хессельбергом [324] и Брантом и Дугласом [95]. В последней работе показано также, что правые части представляют собой первые члены разложения в бесконечный ряд для u,v). В линейном случае операторы D/Dt заменяются иа d/dt, плотность р заменяется ее значением ро в невозмущенном состоянии, а р можно заменить его возмущением р, т. е. [c.389]

Заключительный этап расчета состоит в вычислении коэффициентов приведенных вьппе разложений и, таким образом, в получении окончательных формул для коэффициентов переноса. Мак-Корт [152] развил вариационный принцип, на основе которого можно рассчитать коэффициенты переноса, однако расчет не завершил. Он проделал первую итерацию описанного выше разложения по а и получил вьфажения для коэффициентов в этом приближении. Он обнаружил, что вид коэффициентов сдвиговой вязкости, объемной вязкости и теплопроводности не отличается от найденных методом Ванг Чанг—Уленбека. Для коэффициентов вращательной диффузии 0 =1, 2, 3) и Л были получены новые выражения. Все другие коэффициенты в этом приближении оказались равными нулю. Интересная особенность всех этих расчетов состоит в том, что интегралы, входящие в выражения для новых коэффициентов, нельзя свести к интегралам, содержащим сечение рассеяния (11.4.8). Вернее, они содержат комбинации г-матриц и операторов момента импульса /. Появление таких новых сечений будет иметь серьезное значение для дальнейшего рассмотрения. Если бы озникла возможность измерить коэффициенты вращательной диффу-взии, то анализ этих данны дал бы гораздо больше информации о природе межмолекулярного взаимодействия, чем дают современные измерения коэффициентов переноса. Действительно, даже простой учет этих новых свойств значительно расширяет возможности получения информации из измерений коэффициентов переноса. К сожалению, на сегодняшний день не существует экспериментальных методов измерения плотности момента импульса и неясно, возможно ли оно во-обше. Правда, очень похожие эффекты наблюдаются в газе, находящемся в магнитном поле измеряя коэффициенты переноса в этих условиях, можно получать сведения, подобные только что описанным. [c.345]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология