Ограничения экстремальной задачи

Замечание. Введением дополнительных ограничений экстремальные задачи, в которых на пере.менные наложены ограничения типа неравенств, можно свести к задачам, на переменные которых наложены ограничения типа равенств. Следовательно, для таких задач также можно использовать метод неопределенных множителей. Лагранжа, хотя предлагае.мый здесь прие.м значительно усложняет вычисления. [c.33]

Здесь целесообразно отметить, что нелинейное программирование как новое математическое направление возникло и развилось за три последних десятилетия из-за невозможности учета ограничений — неравенств на оптимизируемые параметры и на нелинейные функции с помощью классических методов решения экстремальных задач. [c.121]

Анализ возможностей использования двух методов слепого поиска для решения многофакторных экстремальных задач показал, с одной стороны, ряд их положительных свойств, а с другой —ограниченность их применения кругом задач с небольшим числом оптимизируемых параметров. Второй весьма важной областью применения методов слепого поиска является их использование в алгоритмах, сочетающих в себе ряд методов, в частности для определения абсолютного оптимума в многоэкстремальных задачах и для оптимизации дискретно изменяющихся параметров. [c.127]

Пусть решение х исходной задачи существует. Введем пространство Z (= " + ), содержащее значения функций f (д ), ф1 М. фр (л ), Ц>р+1 х),. .., Ф , (л )), которое будем рассматривать как прямое произведение пространства значений функции [ (х) и пространства Ч (= + ) значений функций фь = 1,. ... .., т, определяющих ограничения (IV, 3), (IV, 5). Пространство 2 использовалось для решения различных экстремальных задач [74, 75]. Элементы 2 2 имеют вид г = (/, ф), где f — число, а ф Обозначим через 0 = (О, Очг) нулевой элемент пространства Е, а через ё = (I, О-р) — единичный вектор в направлении оси О/. Введем множество [c.107]

В которых излагаются приближенные методы решения экстремальных задач с ограничениями, насчитывает десятки книг и сотни статей, поэтому здесь будут приведены лишь идеи некоторых классов методов, иа основе которых строятся практические алгоритмы решения оптимизационных задач механики деформируемого твердого тела, в том числе механики полимеров и композитов. [c.284]

Ограничения к задаче. Теперь задача ставится таким образом найти наилучшие значения величин O, Р и а, чтобы целевые функции Мс и (или) G достигали экстремального значения при заданных величинах Mpj, Kj и числе аппаратов т. Решение задачи необходимо выполнить при ограничениях по материальному балансу [c.243]

Для решения экстремальных задач с такими ограничениями в классическом анализе разработан и используется метод неопределенных множителей Лагранжа [1], сводящий задачу с ограничениями к обычной экстремальной задаче без ограничений, что позволяет применить для ее решения приемы, рассмотренные в главе III. В этом смысле настоящая глава является логическим продолжением предыдущей. Метод же множителей Лагранжа дает возможность иногда использовать более эффективные приемы, ведущие к решению исходной оптимальной задачи. [c.148]

Если число т условий (IV, 2) меньше числа независимых переменных п, то принципиально для решения экстремальной задачи может быть использован следующий прием.- Из систем т уравнений (IV, 2) можно выразить m независимых переменных Хг как функции остальных п — т переменных, т. е., другими словами, представить ограничения (IV, 2) в виде [c.149]

Сле,[дующим вопросом, который следует обсудить при постановке экстремальной задачи с ограничениями, является вопрос о связи между числом т ограничений (30) и п размерностью пространства независимых переменных X. Здесь возможно несколько ситуаций. Первая состоит в том, что т > п [c.27]

Предметом линейного программирования является разработка различных математических методов для решения так называемых экстремальных задач с линейными связями и ограничениями. [c.254]

Метод множителей Лагранжа используется для решения задач такого же класса сложности, как и в аналитическом поиске экстремума, но при ограничениях типа равенств на независимые переменные. При этом добавляется требование возможности получения аналитического выражения для производных от аналитического вида ограничительных уравнений и вводится некоторая вспомогательная функция, содержащая неопределенные множители Лагранжа. Использование указанной функции по определенной процедуре позволяет свести задачу с ограничениями к обычной экстремальной задаче без ограничений. [c.247]

Иерархический характер управления водными ресурсами и необходимость поэтапной детализации планов и проектов обусловливает потребность в разработке математических моделей разной детальности. В предыдущих разделах отмечалось, что на верхнем уровне принятия решений (регион, крупный речной бассейн) обычно используются оценочные модели, учитывающие лишь основные зависимости между параметрами. Применение таких упрощенных соотношений между параметрами и сильная степень агрегирования информации позволяет не только уменьшить размерность решаемых задач, но и провести многовариантные расчеты, сопоставив множество альтернатив. Поэтому модели верхнего уровня формулируются как экстремальные задачи. Оптимальные или близкие к ним решения отыскиваются чаще всего с применением экономических целевых функций (типа минимума приведенных затрат на реализацию комплекса необходимых мероприятий). Агрегированный характер исходных данных таких моделей приводит к упрощению большинства параметрических связей, допускает их линеаризацию, а также позволяет пренебречь многими условиями и ограничениями. [c.64]

Прежде чем перейти к изложению отдельных задач оптимального проектирования, необходимо хотя бы коротко коснуться основных. математических методов оптимизации. К классическим методам решения экстремальных задач относятся методы дифференциального и вариационного исчислений. С помощью дифференциального исчисления можно решать дискретные задачи (т. е. задачи с конечным числом параметров) как при отсутствии ограничений, так и при наличии ограничений типа равенств (метод множителей Лагранжа) . [c.129]

Для определения физически достижимых величин ограничений У2 зад и 3 зад решались локальные экстремальные задачи [c.185]

Характерной особенностью указанных экстремальных задач является наличие в них разнообразных типов связей (математических моделей объектов), ограничений, критериев, что затрудняет переход от формулировки задачи к условиям оптимальности и вычислительной процедуре нахождения решений. Другая особенность многих экстремальных задач заключается в некорректности их постановки, что приводит к необходимости регуляризации, без которой их нельзя решать на ЦВМ. Наконец, третьей особенностью экстремальных задач, возникающих при создании АСУ, является их высокая размерность и связанная с этим проблема декомпозиции. Рассмотрению этих особенностей экстремальных задач будет уделено основное внимание. [c.5]

Однако во многие экстремальные задачи входят разнотипные связи и ограничения, которые к тому же могут претерпевать изменения в процессе созда.ния и наладки АСУ. В таких случаях приходится каждый раз заново выводить необходимые или достаточные условия оптимальности с учетом свойств и особенностей критерия и всех видов связей, ограничений и условий. Подобный путь получения условий оптимальности связан с большим объемом кропотливых математических исследований. [c.35]

Критерии оптимальности и ограничения в экстремальных задачах [c.100]

Значительно лучшими характеристиками в этой области обладают алгоритмы типа Ньютона, в которых строится последовательность вспомогательных экстремальных задач о максимуме функции, аппроксимирующей целевую функцию в окрестности точки поиска, причем в отличие от алгоритма проекции градиента эта аппроксимация содержит линейные и квадратичные члены. Аналогично предыдущему алгоритму связи и ограничения линеаризуются. т. е. окрестность точки поиска у , для которой решается вспомогательная задача, принадлежит Пь- [c.149]

Рассмотрим класс экстремальных задач, в которых имеются ограничения на суммарное количество некоторого ресурса. Формально такое ограничение отражено в задаче условиями интегрального типа (см. табл. 11,2 строка 1) или их конечномерными аналогами. Выделение этого класса задач оправдано тем, что задачи такого рода весьма часто встречаются в технике и, в частности, в химической промышленности. Кроме того, это рассмотрение позволяет дать примеры конкретизации вычислительных алгоритмов, приведенных ранее в канонической форме. Наконец, для этих задач очень полезна специфическая комбинация алгоритма исключения зависимых переменных и алгоритма проектирования градиента. [c.156]

В данной модели свойства подсистем будут описаны решением экстремальной задачи при заданном виде локальных целевых функций и всех ограничений, действующих в системе. Влияние случайных факторов на решение задачи имитировалось путем воздействия случайного сигнала на выходные координаты системы, а также отбрасывания некоторых переменных задачи. [c.369]

Поляк Б. Т. Итерационные методы, использующие множители Лагранжа, для решения экстремальных задач с ограничениями типа равенства. — Журнал вычислительной математики и математической физики , 1970, т. 10, № 5, с. 167—176. [c.377]

Поскольку при заданной производительности осадительной карбонизационной колонны время пребывания суспензии в абсорбционной части определяется параметрами, характеризующими основные габариты аппарата, то необходимо более четко сформулировать задачу оптимизационного расчета осадительной карбонизационной колонны, а именно решить экстремальную задачу нахождения максимума величины 0 при варьировании параметров С/ ,, Тпп, используя зависимости (9) с учетом следующих ограничений [c.70]

В последнее время для решения многомерных экстремальных задач (при наличии ограничений на области изменения переменных) применяют методы математического программирования. В наибольшей степени разработаны методы линейного программирования, предусматривающие нахождение экстремума линейных и целевых функций. Следует отметить, что зависимости полезного эффекта и затрат от параметров элементов проектных решений системы пожарной защиты, как правило, нелинейны, что требует использования специальных методов нелинейного программирования, реализация которых возможна лишь при использовании современных электронно-вычислительных машин. [c.99]

КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ И ОГРАНИЧЕНИЯ В ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ [c.57]

Система уравнений (22) позволяет по заданным значениям давления в пласте находить функции дебитов отдельных скважин, выраженных в дискретной форме. При решении экстремальных задач разработки газовых месторождений выражение (22) может рассматриваться как система технологических ограничений. [c.239]

Если число т условий (IV,2) мешлие числа независимых переменных п, то принципиально для решения экстремальной задачи может быть использован следующий прием. Из системы гп уравнений (IV,2) мо кно выразить т независимых переменных Х как функции остальных п—т переменных, т. с., другилш словами, представить ограничения (IV,2) в виде [c.140]

Следовательно, метод нодонтимпзации сводит задачу большей размерности к двум экстремальным задачам меньшей размерности. Часто основная задача сводится к нескольким экстремальным задачам меньшей размерности. Иногда методом подоптимизации удается значительно упростить задачу с ограничениями. [c.200]

Таким образом, имеется тМ варьируемых переменных и (/), и т. варьируемых переменных 2,, т. е. общая размерность экстремальной задачи равна тМ + т. На варьируемые переменные 2, наложено ограничение (VIII,23) кроме того, ограничения можно накладывать на переменные и (]).. [c.201]

Математическое ошсание потокораспределешя в г.ц. в виде задач на услов-ньш экстремум позволяет сделать следующий шаг и перейти к эквивалентным задачам нелинейного программирования, которые можно отнести или к классу задач выпуклого программирования с линейными ограничениями, или к классу нелинейных сетевых транспортных задач. При этом необходимо ввести неотрицательные переменные, как этого требует каноническая формулировка этих задач, что, кстати, позволяет одновременно решать и проблему определения истинного направления течения на ветвях цепи. Рассмотрим такой переход на примере экстремальной задачи с минимизируемой функцией в виде (7 7). где / - (х.) = х.-1х/1 х,- (в > 1) при Ах = 0. [c.99]

Решение экстремальных задач с ограничения.-аи такого типа обычно осу-шествл.четс.ч при помощи метод.а неопределенных. множителей Лагранжа. Это классический. метод и суть его состоит в то.м. что он позволяет перейти от задачи с ограниченкими гтиха равенств к задаче без ограничений. [c.27]

Примерами отраслевого использования методов и стандартных программ ЛП были работы [Вайнштейн и др., 1968 Пряжинская, 1985 Кардаш, 1989] и др. Указанные работы посвящены проблеме выбора орошаемых площадей и их сельскохозяйственной направленности в привязке к бассейнам рек в рамках крупных регионов или страны в целом. Выделение ирригации в качестве самостоятельного блока в общей системе водопользования стало возможно благодаря ее экономической изолированности относительно других потребителей воды и четко определенным в экономических терминах целям развития и функционирования. Это позволило сформулировать внутриотраслевую экстремальную задачу выбора наилучших плановых вариантов размещения и развития ирригации. В модели более общей экологоэкономической системы (например, ВХС речного бассейна) с варьируемыми входами и локально оптимальными выходами модель оросительной системы можно рассматривать как автономный блок. Реализация задач большой размерности (сотни переменных и линейных ограничений) потребовала применения специальных методов решения задач ЛП с диагонально-блочной матрицей и специализированных стандартных программ ЛП. [c.31]

С помощью линейного протраммирования можно отыскивать экстремумы линейных функций при линейных ограничениях . Нелинейное программирование - дает (возможность обобщить классические методы решения дискретных экстремальных задач и применить их к практически важному случаю, когда ограничения задаются системой неравенств (теорема Куна и Такера). Метод динамического программирования разработан Бёллма-ном и др. он может использоваться для решения широкого круга дискретных и непрерывных задач. Метод основан на так называемом принципе оптимальности оптимальная стратегия [c.129]

Декомпозиция задачи оптимизации. Экстремальная задача типа (1-11) или (1-10) при z= onst часто имеет большую размерность, что может обусловить значительные вычислительные трудности при отыскании ее решения и. (Для простоты записи опустим в дальнейшем индекс i у всех переменных ж, и, z.) Чтобы уменьшить размерность векторов х, и, z уравнений связей и ограничений и упростить поиск U, часто применяют декомпозицию задачи (1-11), обладающей аддитивным критерием типа [c.33]

Важным и полезным для исследования задач условной оптимизации является понятие о расширении экстремальной задачи. Оно позволяет подчеркнуть взаимосвязь таких различных подходов, как метод Лагранжа, метод штрафов, переход к осред-ненной постановке и др. Основное внимание будет уделено изложению и пояснению методики перехода от условий задачи (критерия оптимальности, связей и ограничений) к условиям, выделяющим оптимальные решения. Конструкции, которые будут приведены, позволяют провести такой переход по определенным правилам для произвольной задачи из очень широкого класса задач оптимизации. Важно и то обстоятельство, что изменения в постановке задачи легко учесть при составлении условий оптимальности решения. [c.47]

Вообше часто возникает такая ситуация, когда одно или несколько ограничений типа равенств (Д. 9) существенно усложняют решение экстремальной задачи. Тогда, используя подобный прием, можно избавиться от этого ограничения. При решении за-дачи оптимизации с. х.-т. с. ) такая ситуация часто встречается, например, тогда, когда с экономической точки зрения или с точки зрейия качества готового продукта задаются какие-либо ограничения на выхЬд ые продукты с. х.-т. с. [c.374]

При подготовке исходной технико-экономической информации для решения экстремальных задач необходимо не только обеспечить сопоставимость сравниваемых вариантов, но и создать такую систему оценок, при которой результаты расчетов по оптимизации отраслевых планов были бы возможно ближе к народнохозяйственному оптимуму. В связи с этим методика исчисления исходных технико-экономических показателей для задач оптимизации отрасли отличается от системы расчетов, характерной для сегодняшней практики расчетов планово-учетных показателей. Так, в качестве затрат на перевозку в оптимизационных расчетах принимают показатели, рекомендуемые для этой цели Институтом комплексных транспортных проблем (ИКТП) при Госплане СССР, а оплата перевозок при хозрасчетных отношениях предприятий производится по тарифам. То же касается оценки сырья, материалов, топлива, энергии по приведенным затратам и по существующим ценам. Вследствие этого отдельные предприятия, включенные в схему размещения в результате оптимизационных расчетов, могут впоследствии оказаться даже нерентабельными. Однако это не порочит результаты расчетов, так как они должны определить минимальную сумму приведенных затрат на производство и транспортирование всей продукции. Вследствие же введения в расчет различных ограничений в схему могут входить и объекты производства с большими затратами. Например, из-за ограниченности ресурсов апатитового концентрата в план входят варианты производства фосфорсодержащих удобрений на фосфатном сырье пониженного качества и на дорогостоящей термической фосфорной кислоте. Такие варианты производства при действующих отпускных ценах нерентабельны, но это не значит, что подобные заводы не следует строить. Наоборот, в зависимости от выбранного в оптимизационных расчетах варианта размещения производства должны быть установлены объективно обусловленные оценки, которые послужат основой для разработки перспективных оптовых цен. [c.254]

Исследование операций, результатом которого будет предоставленная чиновнику объективная оценка наркоситуации, начинается тогда, когда для обоснования правильности решений чиновник может использовать результаты применения специалистами по математическому моделированию современного математического аппарата. Исследование операций - молодая наука. Известно, что авторство первой научной работы по исследованию операций принадлежит русскому математику Л.В. Канторовичу (1912-1986), который в 1939-40 гг. положил начало теории линейной оптимизащш - методам решения экстремальных задач с ограничениями. Однако впервые название "исследование операций" появилось в годы Второй Мировой войны, когда в вооруженных силах [c.106]

Приведенные выше задачи исследования (анализа, синтеза, оптимизации функционирования) ГАХТС представляют собой сложные линейные или нелинейные экстремальные задачи большой размерности, с разреженной структурой, а также наличием дискретных (в частности, целочисленных, булевых) и смешанных (непрерывно-дискретных) переменных. Из-за ограниченного объема работы здесь отмечены лишь основные направления по созданию эффективных математических методов исследования ГАХТС, [c.89]