Единственность решения

При фиксированной температуре мы получим теперь В совместных уравнений, которые должны быть разрешены относительно Л равновесных степеней полноты реакций. Интересно отметить, что любое предварительное упрощение этих уравнений путем возведения их в различные степени и умножения друг на друга эквивалентно линейному преобразованию исходной системы реакций. Таким образом, как и следовало ожидать, эквивалентные системы реакций приводят к одним и тем же равновесным составам. Можно показать, что эти уравнения всегда имеют единственное решение, так как их якобиан существенно положителен. Общее доказательство этого утверждения связано с применением неравенства Коши однако в случае двух реакций доказательство элементарно и будет дано ниже как упражнение. Поскольку при расчете равновесия сложного процесса вычисления могут быть громоздкими, важно следить за тем, чтобы число расчетных уравнений было минимальным. Для этого следует рассматривать только независимые реакции и использовать в качестве переменных их степени полноты. [c.58]

При нормальных условиях этот ряд сходится и определяет единственное решение уравнения в соответствии с начальными данными. Это справедливо для всех начальных кривых Гд, исключая некоторые особые кривые, на которых первую и высшую производные нельзя рассчитать по данному дифференциальному уравнению. [c.411]

Если [i( , т), с( , т)]-решение рассматриваемой задачи, то при любом значении а О величины [s(a , ах), с(а , ах)] тоже являются решением этой задачи. В этом легко убедиться прямой подстановкой в систему уравнений и краевые условия. Задача (10.11), (10.12), (10.19), (10.20), описывающая реальный физический процесс, имеет единственное решение. Поэтому для любого а О выполняются следующие равенства [c.308]

Выбор граничных условий, которые определяют единственность решения дифференциальных уравнений, описывающих диффузионную модель, рассмотрим на примере химического процесса с единичной реакцией, протекающей в изотермическом проточном реакторе с продольным переносом (рис. 14). [c.43]

Интегрируя уравнения (III.12)—(III.14) в общем виде, а затем отыскивая с помощью граничных условий (111.15)— (И 1.20) константы интегрирования, получим решения этих уравнений, которые для данного процесса будут единственными. Однако, такое нахождение единственности решения является громоздким. К тому же аналитическое решение из-за нелинейности уравнения реакционной зоны можно получить лишь в немногих случах. [c.45]

В качестве условий, определяющих единственность решения дифференциальных уравнений системы (IV.16), могут быть приняты либо начальные условия, соответствующие мгновенному вводу вещества-индикатора на входе в первую ступень [44, 1391 при г = О [c.85]

Уравнения этого типа имеют единственное решение вида [c.145]

Хп)х=о = Хпо, принадлежащих области С. имеет единственное решение, описываемое функциями [c.23]

Эти кривые называются фазовыми траекториями. Из единственности решения системы (1,26) следует, что через каждую точку фазового пространства проходит одна, и только одна, фазовая траектория. [c.24]

Очевидно, что этот вывод совместим с предыдущим лишь при условии, что знаки неравенства не имеют значения, т. е. что единственное решение—это равенство к. п. д. двух машин [c.82]

При значениях х = х уравнение (1.49) имеет единственное решение, т. е. произвольные задания Т , Р полностью и однозначно определяют х = x(i). Чтобы выяснить связь X с основными характеристическими функциями, т. е. вид зависимостей U = /(S, У, х), Н = H(S, Р, х) F = F(T, Т, х), G = G(T, Р, х), введем в уравнения (1.26), (1.29), (1.32), (1.37) массовый член по независимой химической переменной х, учитывающий изменение числа молей веществ. Соответственно но-лучим [c.34]

В [10] сформулирована и доказана следующая теорема для заданных начальных условий (температуры Т и составов А ) равновесная функция распределения (1.88) единственна. Докажем ее. Очевидно, что теорема справедлива, если система (1.90) имеет единственное решение Ий, f = 1,. . I. Докажем, что она справедлива, если множество решений (1.90) — бесконечность. Пусть множества ( xj,. . ., i,I) и (иа,. .., fij) — два различных решения системы (1.90). Умножим левые части (1.90) [c.46]

Таким образом, система равновесных кинетических уравнений (1.88) или (1.95) для заданных начальных условий и при выполнении законов сохранения вещества независимо от способа установления равновесия (т. е. механизма процесса) имеет одно-единственное решение. [c.47]

В более общем случае минимизация позволяет пайти лишь одно из возможных значений вектора параметров. Задача при этом заключается в нахождении той реальной информации о коэффициентах скорости, которая может быть получена из эксперимента. Мы уже рассматривали возможные причины вырождения минимума. Сначала необходимо установить, какие именно причины препятствуют ползгчению единственного решения. Если вырождение вызвано неудачным планом эксперимента, то, перепланировав эксперимент и проведя новые опыты, необходимо вернуться к решению обратной задачи. Если вырождение носит физический характер, как бывает в большинстве обратных кинетических задач, то технически мы [c.229]

М у<1 — при Л/ < 1. Поэтому в указанном интервале всегда существует единственное решение уравнения (VII.145). Очевидно, при М С 1 активность катализатора не может падать ниже определенной величины, соответствующей средней величине безразмерной константы скорости реакции у = 1— М, асимптотически приближаясь к ней при увеличении длины слоя. [c.317]

Поведение функции / уа) качественно то же, что и функции / у) в уравнении (VII. 145). Уравнение (VI 1.164) всегда имеет единственное решение, лежащее в интервале О <С Уо 1 при Л/ 1 и в интервале 1 — М < г/о 1 при М < 1. При ЛГ > 1 и X > 1 величина у о и концентрация непрореагировавшего исходного вещества на выходе реактора с (к) приближенно равны [c.322]

При постоянной температуре теплоносителя Тс распределение концентраций реагентов и температуры по длине реактора определяется решением системы уравнений ( 111.38), ( 111.39) с граничными условиями СДО) = С, д, Т (О) = Т , заданными на входе аппарата, т. е. решением задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Известно, что в случае, когда правые части уравнений зависят от переменных непрерывным образом, задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений всегда имеет единственное решение (см., например, [2]). Более того, это решение всегда устойчиво, так как в реакторе идеального вытеснения возмущение стационарного режима в некотором сечении реактора не влияет на реагирующую смесь в соседних сечениях и любое бесконечно малое возмущение вымывается из реактора за конечное время, не успевая разрастись до макроскопических размеров. Таким образом, всегда имеется единственный устойчивый стационарный режим реактора идеального вытеснения. [c.336]

Не все найденные таким образом стационарные режимы являются устойчивыми относительно малых возмущений. Если считать, как обычно, что в случае, когда существует единственное решение, оно всегда устойчиво, а в случае, когда стационарных решений три, устойчивы только два крайних — высоко- и низкотемпературное решения, то выявляется следующая картина перехода между режимами процесса при постепенном увеличении параметра [х. При (X < (Ха существует единственное низкотемпературное решение. При 2 < <С М существуют два устойчивых режима — высоко- и низкотемпературный. Так как, однако, для перехода между этими режимами необходимо возмущение большой амплитуды, реактор будет оставаться в низкотемпературном режиме вплоть до значения параметра [х = [х , выше которого существует только высокотемпературный режим. При обратном ходе (уменьшение параметра (х) реактор скачком перейдет из высокотемпературного режима в низкотемпературный при Х = х . [c.357]

Во всех случаях появление неустойчивых режимов тесно связано с нарушением единственности решения уравнений, описывающих стационарный режим процесса. Для любой технологической схемы реактор — теплообменник можно доказать следующие утверждения [171 1) по крайней мере, один стационарный режим существует всегда 2) при изменении условий процесса могут попарно возникать дополнительные стационарные режимы, причем один режим из [c.357]

Очевидно, в общем случае не существует единственного решения при к < / и наличии других допущений. Поэтому можно задать другие условия, которым должны удовлетворять параметры ту. Если данные анализируются с помощью метода наименьших квадратов, таким условием является минимальное значение функции Р, определяемой зависимостью [c.233]

Основные свойства определителя. Величина определителя в матричном исчислении используется для установления существования и единственности решения систем линейных уравнений. Рассмотрим основные его свойства. [c.231]

Совместная система линейных уравнений может иметь одно или бесконечное множество решений. Система, имеюш ая единственное решение, называется определенной, а в противном случае — неопределенной. Например, если бы для системы (10—25) столбец сво- [c.248]

Система уравнений (11—14) имеет единственное решение, если ее определитель [c.300]

В прикладных задачах приходится решать дифференциальные уравнения, для которых условия выбора единственного решения заданы в нескольких точках интервала определения интегральной кривой. Например, может оказаться, что для системы п уравнений первого порядка [c.379]

Система уравнений (2.23) содержит столько же уравнений, сколько неизвестных коэффициентов а , а , а , , а входит в уравнение регрессии, и обычно называется системой нормальных уравнений. Величина / 0 при любых ао, а , а , следовательно, должен существовать хотя бы один минимум. Если система нормальных уравнений имеет единственное решение, то оно и является минимумом /. Для примера зададимся конкретным видом функции ф и рассмотрим методику более подробно. [c.93]

Условия (3.100) после подстановки в них выражений для скоростей Уу и из (3.98) представляют собой систему сингулярных интегральных уравнений Фредгольма первого рода относительно величин Y,,,. Для выделения единственного решения этой системы необходимо задание особенностей функций (1 ) в точках , =0, ГД значения (IJ совпадают с особенностями функции скорости в этих точках пластин. Имеет смысл искать решение, ограниченное в точках 1, =0 и неограниченное на других концах при так как в этих точках функция скорости обращается [c.179]

Для получения единственного решения при интегрировании этой системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно давлений р ир2та ней необходимо добавить начальные и граничные условия (см. гл. 2, 7). [c.357]

Составные предложения и логическая решетка L4. Теперь функция g не будет просто примером монотонной функции на решетке А4 приближаемых и противоречивых истинностных значений. Фактически она представляет собой отрицание, которое порой называют первородным грехом логики , но, если мы хотим иметь достаточно богатый язык, что необходимо нашему компьютеру, чтобы тот мог отвечать на простые йа-нет-воиросы. Для того чтобы понять, почему g действительно является отрицанием, заметим, что значения Т и F, представляющие простой случай, должны быть подобны обычным истинностным значениям Истина и Ложь , поскольку мы, разумеется, хотим, чтобы выполнялись соотношения T=F и F=T. Теперь же тезис Скотта предоставляет нам единственное решение задачи продолжения отрицания до значений на другой паре элементов. Если отрицание есть хорошая монотонная функция на аи-проксимационной решетке А4, то мы должны иметь No-ne=None и Both=Both. [c.217]

Доказательство существования и единственности решения системы (1,26) можно наР1ти, например, в монографии [c.23]

I) веществ, т. е. выбор ключевых веществ произволен. Это означает, что система (3.25) или (3.31) имеет не единственное решение. Механизм, содержащий максимально возможное для данной системы число линейно-независи-мых стадий и состоящий только из них, определим как максимальный базовый механизм Г . [c.131]

Отметим [36], что для некоторых механизмов асимптотика может иметь не единственное решение, т. е. при условии 6 О не существует предела. Такое положение, в частности, может возникать из-за того, что вследствие малости концентраций не все реакции с большими коэффициентами скорости kJ будут действительно быстрыми и отнесение их к быстрой подсистеме является чисто формальным. В этом случае на первом этапе необходимо, во-первых, предварительно выявить малые концентрации и, во-вторых, определить порядок их малости по е с тем, чтобы в дальнейшем подходящим образом их нормировать, не вводя комбинаций типа (3.61) в медленной подсистеме. Это позволяет сразу получить нужную асимптотику, дающую главный, ненулевой член разложения по е. Тогда [c.157]

Илмепно в такой постановке и существовала обратная задача в течение ряда лет. Однако, как уже отмечалось, такая постановка задачи оказывается некорректной, так как минимум (3.142) может достигаться не при единственном векторе кинетических параметров 0, а при множестве векторов, то есть задача оценки параметров в общем случае не имеет единственного решения. Рассмотрим основные причины появления неединственности. [c.203]

Другая важная задача — установление связи между вектором экспериментальных невязок 8 и параметрической чувствительностью модели (иными словами, ов-ражностыо ОКЗ). Гладкость функционала рассогласования локально определяется спектральным числом обусловленности гессиана к А) = >итахт. е. разбросом его собственных значений. Овражность означает большую величину этого разброса к А) 1. ОКЗ становится математически некорректной при вырождении гессиана Л, т. е. при выполнении условия к А) > 1/А, где в простейшем линейном случае А-точность представления коэффициентов уравнения Л6 = Ь. Экспериментальный вектор невязок и точность представления связаны обратной связью (е 1/А) и предельный случай очевиден — если компоненты вектора е малы и задача не слишком овраж-на , то мон ет случиться и так, что эксперимент сразу обеспечивает единственность решения. Ухудшение точности эксперимента и наличие разномасштабных во времени элементарных процессов ведут к выполнению условия А (Л)> 1/А и ОКЗ теряет единственность. В конкретном исследовании важно иметь хотя бы приблизительное представление, когда наступает такая ситуация — это помогает, с одной стороны, сформировать конкретные требования к эксперименту, а с другой — облегчает постановку ОКЗ. [c.358]

Одну из попыток математически описать поведение системы, в которой наблюдаются хаотические колебания, представляет теория бифуркаций [141]. Бифуркцию можно определить как возникновение при некотором критическом значении параметра нового решения уравнений но мере удаления системы от состояния равновесия. В общем случае при возрастании некоторого характеристического параметра р происходят последовательные бифуркции. На рис. 7.15 показано единственное решение при р = р , но при р = Рч единственность уступает место множественным решениям [80]. [c.320]

Но Qi и Qa зависят от Г, причем зависит нелинейно [в кинетической области W = onstj-exp (— onsta/r)], а Q, — линейно Kj, FIV и Гдн — постоянны). Для характерных кривых Qi(T) и Q2 (Т) хможем получить графики, приведенные на рис. V-3. В общем случае возможны отсутствие решения (линии и не пересекаются), единственное решение (одна точка пересечения), два или три решения (две или три точки пересечения). Расчетная множественность стационарных состояний означает лишь, что реальный процесс выберет одно из них, наиболее устойчивое, которое и следует определить при расчете. При анализе физико-химических процессов с несколькими стационарными состояниями важно также изучить возможность перехода из одного стационарного состояния в другое при небольшом изменении состава или характеристик сырья. [c.158]

Система уравнений с 6 неизвестными является замкнутой Kni и тог известны) и имеет единственное решение, имеющее физический смысл. Заметим в заключение, что условие постоянства чисел атомов элементов в химической реакции 2vijAi = О можно [c.112]

Единственным решением уравнения (III.64) при условии (III.65) является и>ц = onst = и, следовательно, концентрации всех [c.121]

В частности, если варьируемым параметром П является температура исходной смеси Гвх.то ,(0) = 0 ( = 1,2,..., К), Со (0) = 1, а производные по параметру в правой части уравнений (VIII.40), ( 111.41) пропадают, так что последние становятся однородными. Если варьируемым параметром является температура теплоносителя Тс, то все величины (0) ( = О, 1.. . ., К) равны нулю обращаются в нуль и производные дг дП, дг /дП, и только в правой части уравнения ( 111.41) остается член дд/дТс, делающий задачу неоднородной. Задача ( 111.40)—( 111.42) всегда имеет единственное решение и, если это решение найдено, то изменение значений переменных на выходе аппарата при малом отклонении параметра П от его исходного значения определяющего исследуемое стационарное решение (Сгсп Т ), может быть вычислено по формулам [c.338]

Если же средц столбцов матрицы А не найдутся линейно зависимые, то в первом приближении можно считать, что задача поставлена корректно, т. е. имеет единственное решение. Проведенный анализ, однако, еще не свидетельствует о хорошей обусловленности нормальной матрицы А А, поэтому при оценке параметров желательно избежать получения последней в явном виде. Для этого можно использовать следующий прием [И]. [c.447]

Величина Ф О при любых Ьо, Ь, . .., следовательно, у нее об1зательно должен существовать хотя бы один минимум. Поэтому ес.1и система нормальных уравнений имеет единственное решение, то оно и является минимумом для величины Ф. Решить систему (IV.23) в общем виде нельзя. Для этого надо задаться конкретным внаем функции /. [c.132]

При обработке экспериментальных данных иногда получается система уравнений, в которой число неизвестных меньше числа уравнений. Такая система называется переобусловленной. Вопрос существования и единственности решения должен рассматриваться после приведения ее к нормальному виду, т. е. виду, когда число уравнений равно числу неизвестных. [c.249]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология