Распределение выборочных статистик

Даже если распределение выборочной статистики неизвестно, доверительный интервал для любой случайной переменной X можно определить, используя неравенство Чебышева [4]. Оно устанавливает, что вероятность получить значение нормированной переменной, одинаковое с числом Н или меньше его, по крайней мере равна [1 - (1// )] [c.47]

Выводим выборочное распределение этой статистики при условии, что нулевая гипотеза верна В нашем примере это будет /-распределение Стьюдента с у = и—1 степенями свободы [c.132]

Рассмотрим статистики, имеющие х -распределение. С данным законом распределения тесно связано распределение выборочной дисперсии =5 (Х1,Х2,...,Х ). [c.25]

Каждая из выборочных статистик, в отличие от нормального распределения, зависит от числа степеней свободы. Этим термином обозначается число независимых способов описания исследуемой выборки. Так, если значение математического ожидания заранее известно (например, если производят анализ стандартного образца состава, имеющего государственную аттестацию, с целью проверки правильности методики анализа), то число степеней свободы / для п параллельных замеров будет равно п, т. е. общему объему выборки. Если же значение оценивается на опыте как среднее арифметическое х этих же п измерений, то число степеней свободы будет равно п— 1, так как из общего числа случайных величин вычитается дополнительная связь между всеми элементами выборки, затраченная при определении значения X. [c.65]

Выборочные статистики и их распределения [c.36]

В принципе термином выборочная статистика или просто статистика обозначается некоторое число, рассчитанное по выборке из наблюдений или измерений случайной переменной. Таким образом, оценки параметров плотности распределения вероятности, распределения накопленной вероятности, моделей процесса или оценки характеристик ансамбля, полученные из экспериментальных наблюдений, являются статистиками. Однако слово статистика имеет двойной смысл оно означает и правило вычисления статистики (т. е. некую функцию), и значение этой статистики. Нужный смысл будет ясен из контекста. Помните, что статистики — случайные переменные. [c.36]

Если проводятся наблюдения над двумя или большим числом переменных и для каждой переменной на индивидуальной карте откладывается некоторая выборочная статистика, то можно считать, что процесс вышел из-под контроля, если на какой-нибудь карте контрольные условия оказались нарушенными. Однако такое правило приводит к необоснованному решению в том случае, когда эти переменные обладают некоторым совместным распределением, что, кстати, случается очень часто. [c.133]

Результаты химического анализа, как и присущие этим результатам погрешности, можно рассматривать в качестве случайных. Свойства случайных величин описываются законами математической статистики. В соответствии со сказанным, выборка, состоящая из результатов анализа (или выборка погрешностей), характеризуется определенной вероятностью Р и объемом п (или кратностью анализа). Выборка — дискретная (3-5 значений в случае химического анализа), конечнозначная и ограниченная величина с неравномерным распределением составляющих ее вариант. Распределение отклонений в выборочной совокупности несколько отличается от нормального распределения небольшие отклонения появляются реже, большие — чаще. Такое распределение отклонений называют 1-распределением, или распределением Стьюдента (статистика малых выборок). С увеличением числа параллельных определений -распределение все больше приближается к нормальному распределению, а выборочное стандартное отклонение — к стандартному отклонению генеральной совокупности (при генеральной совокупности и>20). [c.130]

Сравнение выборочного распределения и распределения генеральной совокупности. Проверку гипотез относительно параметров распределения генеральной совокупности проводили в предположении нормального распределения наблюдаемой случайной величины. Гипотезу о нормальности изучаемого распределения в л атематической статистике называют основной гипотезой. Проверку этой гипотезы по выборке проводят при помощи критериев согласия. Критерии согласия применяются для проверки гипотезы о предполагаемом виде закона распределения. Критерии согласия позволяют определить вероятность того, что при гипотетическом законе распределения наблюдающееся в рассматриваемой выборке отклонение вызывается случайными причинами, а не ошибкой в гипотезе. Если эта вероятность велика, то отклонение от гипотетического закона распределения следует признать случайным и считать, что гипотеза о предполагаемом законе распределения не опровергается. [c.58]

Определяются выборочные функции распределения (и некоторые связанные с ними статистики) обработок по эффекту и продолжительности эффекта для различных объединений и типов коллекторов. [c.47]

Естественно, что временные ряды, подверженные нерегулярным флуктуациям, можно изучать только статистически — на основе широкого использования аппарата теории вероятностей и математической статистики. При таком подходе ряд x t) рассматривается как одна реализация, выбранная нз статистического ансамбля функций, описываемого определенным распределением вероятностей в функциональном пространстве, т. е. как выборочная функция случайного процесса X t), зависящего от непрерывного или дискретного аргумента. Тем самым, анализ временных рядов оказывается частью [c.5]

Содержание большей ее части известно инженерам, но весь материал собран здесь в том виде, в каком он нужен для спектрального анализа В гл 3 мы вводим некоторые основные понятия теории вероятностей, являющиеся фундаментальными для последующих глав В гл 4 вводятся многие важные понятия теории статистических выводов и обсуждается использование выборочных распределений в теории оценивания и теория наименьших квадратов, а также дается краткое изложение способов получения статистических выводов с помощью функции правдоподобия Не весь этот материал необходим для понимания спектральных методов, обсуждаемых ниже, и читатели-инженеры могут при желании пропустить последнюю часть этой главы при первом чтении Для спектрального анализа наиболее существенными из этой главы являются разделы о применении выборочных распределений в теории оценивания и теория наименьших квадратов Последняя является важнейшим оружием в арсенале статистики и, как показывает наш опыт, часто неправильно понимается инженерами [c.10]

Эта глава содержит краткое описание тех понятий теории вероятностей, которые необходимы для понимания задач с временными рядами. Разд 3.1 иллюстрирует подход, с помощью которого статистик описывает физические явления, пользуясь выборочным пространством, случайной величиной и распределением вероятностей. В разд. 3.2 рассматриваются способы приближения распределения вероятностей с помощью его первых моментов Наконец, в разд. 3 3 обсуждаются выборочные распределения некоторых полезных функций от случайных величин, таких как среднее значение и дисперсия [c.78]

Функция правдоподобия была введена в статистику Фишером, но, как отмечалось в разд 4 2, Фишер использовал ее главным образом для получения оценок максимального правдоподобия, которые можно было бы затем использовать для оценивания в методе выборочных распределений Использование же метода правдоподобия для выводов ведет свое начало от работ Барнарда [7, 8] и представляет собой совершенно другой подход к статистическим выводам. Подход Барнарда можно коротко сформулировать в утверждении, что распределения вероятностей полезны прп описании данных до того, как они собраны, в то время как функции правдоподобия полезны при описании данных после того, как они собраны [c.146]

Выборочный параметр представляет собой случайную оценку соответствующего параметра генеральной совокупности (функции распределения) последний является константой, т. е. не случайной величиной. Оценивание параметров распределений — наиболее важная задача статистики. [c.422]

Использование аттестованных стандартных образцов —не единственно возможный способ проверки правильности методики. В частности, можно сравнивать результаты анализа одного и того же образца, полученные с помощью испытуемой (А) и какой-либо другой (В), достаточно надежной, методики. Соответствующие выборочные средние —Хд (оценка для / д) и Хв (оценка для Нв) — следует сравнивать с помощью статистического теста. Способ вычисления соответствующей тестовой статистики покажем на следующем примере. Пусть Ха и ЛГв распределены независимо, имеют одинаковую дисперсию и средние На и нв соответственно. Тогда Ха N fXA,o /па) и Хв АГ(/ в,о 2/пв)- в силу свойства аддитивности нормального распределения (заключающегося в том, что если Х N 11,01) и Х2 N 12,02), то линейная комбинация Х1 Х2 распределена как N 1 2,01+02) разность Ха — Хв) имеет распределение N lA — 1в,о 1/па + 1/пв))- Следовательно, тестовая статистика, рассчитываемая по уравнению (12.1-26), имеет стандартное нормальное распределение N 0,1) [c.442]

К началу обработки результатов химического анализа методами математической статистики систематические погрешности должны быть выявлены и устранены или переведены в разряд случайных. При этом данные анализа — случайные величины с определенным распределением вероятности. Прежде чем рассматривать оценку случайных погрешностей, остановимся на двух понятиях генеральная совокупность — гипотетическая совокупность всех мыслимых результатов от -да до + выборочная совокупность (выборка) — реальное число (л) результатов, которое имеет исследователь. [c.42]

Одна из основных задач аналитика при оценке случайных погрешностей химического анализа — нахождение функции распределения, которой описываются экспериментальные данные. Из математической статистики следует, что случайная величина считается заданной, если известна функция ее распределения. Эта функция может быть представлена функциональной зависимостью или графически. Данные большинства аналитических определений при наличии генеральной совокупности результатов химического анализа подчиняются закону нормального распределения (распределение Гаусса). Однако закон нормального распределения неприменим для обработки малого числа измерений выборочной совокупности (п < 20). Для обработки таких выборок в химическом анализе используют распределение Стьюдента, которое связывает между собой три основные характеристики ширину доверительного интервала, соответствуюш ую ему вероятность и объем выборки. Прежде чем рассматривать распределение Стьюдента и его применение для обработки данных химического анализа, остановимся на некоторых основных характеристиках выборочной совокупности. [c.269]

Если выборочное распределение статистики имеет среднюю, равную соответствующему параметру генеральной совокупности, то говорят, что статистика является истинной оценкой параметра. Выборочная дисперсия случайной выборки в среднем равна [c.586]

В аналитической работе часто приходится ограничиваться сравнительно небольшим числом определений. Это небольшое количество наблюденных величин можно рассматривать как случайную выборку из некоторого гипотетического бесконечного множества—генеральной совокупности, которая является математической моделью реально наблюдаемых величин. Задача свертывания информации с математической точки зрения сводится в этом случае к тому, что по выборке определяют некоторые величины (выборочную дисперсию и среднее арифметическое значение случайной величины), которые являются оценкой неизвестных параметров (соответственно дисперсии и математического ожидания) функции распределения этой генеральной совокупности. При оценке (определении) параметров генеральной совокупности по выборке, естественно, вносится известный элемент неопределенности, который можно учесть методами математической статистики. Среди экспериментаторов распространено совершенно неправильное мнение о том, что математическая статистика применима только к большому цифровому материалу. Современная математическая статистика дает возможность оценивать параметры генеральных совокупностей и устанавливать для них доверительные пределы даже по весьма малым выборкам,—в некоторых случаях всего по двум измерениям. Но при этом, естественно, что чем меньше экспериментальный материал, тем менее точно может быть произведена оценка параметров генеральной совокупности по их выборочным значениям. Таким образом, математическая статистика, с одной стороны, дает возможность компактным образом представить результаты эксперимента, а с другой стороны, позволяет количественно оценить тот элемент сомнения, который сопутствует каждому эксперименту при малом числе опытов. [c.12]

В качестве примера получим интервальную оценку для неизвестного среднего по ансамблю случайной переменной X, распред ленной по нормальному закону, используя выборочное среднее X и выборочную дисперсию 8х. В разделе 2.1.5 где описано /-распределение, отмечалось, что статистика / = (X — М-х)/ х является случайной переменной с известной плотностью распределения вероятности. Отсюда следует, что еще до получения выборки можно сделать некоторые вероятностные утверждения относительно величины t, такие как [c.45]

Все рассмотренные до сих пор критерии явно включали предположение о том, что исследуемые случайные переменные распределены по некоторому хорошо известному закону, обычно по нормальному. Эти критерии называются параметрическими. Существуют другие типы критериев, включающие ранговую корреляцию и проверку знаков, которые не требуют таких предположений и называются непараметрическими критериями или критериями с произвольным распределением. (Непараметрическая характеристика реально применима только к уровню значимости критерия и лишь для выборок непрерывных переменных. Во многих непараметрических критериях вероятностные соотношения в действительности зависят от распределения вероятности случайной переменной.) Непараметрические методы могут быть использованы при проверке гипотез для того, чтобы найти интервальную или даже точечную оценку параметров и т. д. Например, непараметрической оценкой среднего по ансамблю является медиана случайной выборки (Центральное значение переменной для нечетных п и среднее двух центральных значений для четных га) непараметрической оценкой стандартного отклонения служит размах (абсолютная величина разности между наибольшим и наименьшим значениями в выборке). Ни одна из этих статистик не является такой эффективной, как выборочное среднее и выборочное стандартное отклонение, которые описывались выше. [c.65]

Рассмотрим теперь точные распределения выборочных характеристик, т.е. законы распределения статистики Q, справедливые при любом п. Предположим, что имеется выборка объемом п из одномерной генеральной совокупности с функцией распределения Р(х), и требуется определить закон pa пpeдe Jeния статистики 2(хь Хг,..., с ). Эта задача сводится к отысканию закона распределения функции 2(- ь 2, —. х ) от и независимых случайных величин Ху, Хг,. ... Х с одной и той же функцией распределения Р(х). [c.24]

Суть статистических предположений (гипотез) заключается в том, что положительный или отрицательный ответ при сравнении реальной выборки с теоретической позволяет сделать заключение о характере распределения либо о той или иной закономерности изучаемой случайной величины и принять необходимые решения. Большинство задач, которые решаются математической статистикой, сводится к сравнению таких реальных выборок с некоторыми теоретическими распределениями. При этом делаются предположения о соответствии выборки генеральной совокупности, подчиняюшейся какому-либо конкретному распределению. Процесс такого сравнения носит название статистической проверки гипотез. Критерии соответствия выборочного распределения предполагаемой статистике называются критериями значимости. [c.69]

Выборочные оценки. Очевидно, что точное измерение какой-либо интересуюшш нас величины на практике невозможно. Результаты в отдельных опытах (значения измеряемой величины) всегда несколько отличаются друг от друга. Эти результаты можно рассматривать как случайную величяну , которая характеризуется некоторой не известной нам функцией распределения. С другой стороны, как следует из предыдущего раздела, точным значением измеряемой величины является ее математическое ожидание, и в формулу для расчета М входит функция распределения этой случайной величины. Возникает естественный вопрос об определении из опытных данных (по существу — из недостаточного количества сведений) наиболее достоверного значения измеряемой величины. Эта задача в математической статистике решается на основе центральной предельной теоремы теории вероятностей. [c.56]

В практике статистических исследований и при обработке ре-.зультатов химического анализа распространенной является ситуация, когда случайная величина имеет заведомо нормальное или близкое к нормальному распределение, но представляющая -ее выборочная совокупность имеет малый объем, т. е. не является достаточно представительной. Поскольку при этом генеральные параметры не могут быть надежно оценены, возникает необходимость статистической оценки по выборочным параметрам. Раздел математической статистики, посвященный обработке мало-представительных выборок (2 <20), условно называют микростатистикой. [c.92]

Если предположить, что при нормальном распределении данных в двух выборках их генеральные дисперсии равны (а, = о1 нулевая гипотеза), то отношение выборочных дисперсий должно подчиняться распределению Фишера-Снедекора (10.8). Поэтому проверка равенства дисперсий сводится к проверке попадания статистики в допустимые пределы, которые табулированы для разных уровней значимости. Если Е > Еа, нулевая гипотеза о равенстве дисперсий должна быть отвергнута. [c.235]

Это ПОСТОЯННО наблюдаемое явление легко объяснить, исходя из нормального закона, согласно которому вероятность появления малых отклонения значительно больше, чем вероятность появления больших отклонений. Вероятность появления погрешностей по абсолютной величине, превышающих 2а, равна 0,05, поэтому, если мы сделаем 20 измерений, то здесь можно будет ожидать появления одного такого отклонения. Если же экспериментатор сделал всего два измерения, то естественно ожидать, что среди них таких больших отклонений не будет. Подсчет выборочных дисперсий производится простым суммированием квадратов отклонений, поэтому естественно, что ошибка, подсчитанная по малой выборке из генеральной совокупности, в большинстве случаев будет меньше, чем ошибка соответствующей ей генеральной совокупности. Если мы в выражение (4.13) подставим вместо а ее оценки, полученные по малым выборкам, то не получим нормального распределения. В силу этих обстоятельств классическая теория ошибок, основанная на нормальном распределении, неприменима для обработки малого числа измерений. Она нашла очень широкое применение в метрологии, астрономии и геодезии, где всегда выполняется большое число измерений, и ока.зывалась мало полезной при анализе вешества, где, как правило, делается небольшое число параллельных определений. Только с начала XX века стало развиваться новое направление в математической статистике, которое можно назвать статистикой малых выборок или микростатистикой. [c.79]

Одна из важнейших теорем математической статистики — центральная предельная теорема она утверждает, что при весьма обш,их условиях распределение суммы п независимых случайных переменных стремится к нормальному распределению при п оо. Таким образом, плотность распределения вероятности выборочных средних значений независимых случайных переменных, не подчи-няюш,ихся нормальному закону распределения, будет более симметричной, чем плотность исходного распределения вероятностей, и иметь меньшую дисперсию, как показано на рис. 2.7. [c.37]

В качестве общей статистики, которая вычисляется по значениям многих переменных и может откладываться на какой-либо контрольной карте, Джексон [8 ] предложил использовать статистику Т , введенную ранее Хоттеллипгом [9]. Статистика Г Хоттелинга представляет геометрическое место точек эллипса доверительной области и для двух совместно распределенных нормальных случайных переменных X и У выражается через объем выборки п, выборочные средние и выборочные дисперсии следующим образом [c.134]

При низкой интенсивности флуоресценции или, другими словами, при малом числе фотонов, даже если все остальные па-ра.метры системы являются устойчивыми и наше наблюдение точно синхронизовано с импульсами флуоресценции, мы заметим колебание не только от импульса к импульсу, но и в пределах одного и того же импульса (вследствие статистики фотонов, см. разд. 7.4.1). Это случайный процесс, где каждая выборочная функция множества есть случайная функция времени (рис. 7.2,6). Для того чтобы описать данный случайный процесс, мы должны рассмотреть более чем одну случайную переменную и точно определить, насколько различные случайные переменные (т. е. амплитуды в различное время /) связаны друг с другом. Это означает, что вероятностное описание процесса такого вида дает точное определение не только функции плотности марпшального распределения вероятности для каждой переменной, но и функции плотности совместного распределения вероятности двух или более переменных. [c.454]

Среднее квадратнческое отклонение служит показателем вариа- бельности признака. В математической статистике доказывается, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, поактически не отклонится от х генеральной совокупности более чем на гЬЗ О- ( правило плюс — минус трех сигм ). По этому правилу в пределах х а находится 68,28% вариант выборочной совокупности, распределяющейся по закону распределения случай-т1х величин, в пределах х 2а заключено 95,45%, а в пределах л Зо—99,73% всех вариант (рис. 76). [c.180]