Естественные независимые переменные

Поскольку естественные независимые переменные для G — температура и давленпе, то свободная энергия Гиббса играет ведущую роль ири расчете химических равновесий. К этому вопросу мы еще [c.44]

В качестве независимых переменных здесь выступают 5, V, е, Й и т. д., т. е. те величины, которые использованы в качестве координат при расшифровке теплоты и различного вида работ в первом и втором законах термодинамики. Их называют естественными независимыми переменными для внутренней энергии. При такой записи внутренняя энергия рассматривается как функция ее естественных переменных 11=11(5, V, е, й...). [c.82]

Концентрация специфически адсорбированных ионов является естественной независимой переменной в соотношениях, включающих внутренний двойной слой. На рис. 17 показана зависимость [c.252]

Каждая термодинамическая функция зависит от своего набора переменных. Эти переменные называются естественными независимыми переменными. Если термодинамическая функция задана [c.142]

Принцип Бокса [6] заключается в следующем. Независимые-иеременные х, у, г,.. . промышленной установки или комплекса установок во время действия поддерживаются па определенном , соответствующем установленной технологии уровне Хо, / 2о,.. . Эти переменные, естественно, обнаруживают во время работы случайные колебания около основного уровня (обозначаемого индексом О ). Установленные при этом значения могут изменяться в обоих направлениях от основного уровня с малым, но хорошо-определенным по отношению к направлению и величине значением. Например, через х х обозначено значение независимой переменной X на единицу ниже основного уровня. Единица должна быть подобрана таким образом, чтобы, с одной стороны, быть достаточной для установления и измерения отклонения от основного уровня,, а с другой стороны, чтобы не мешать производству и не вызвать -заметных потерь. Затем должно быть измерено, как влияет этог сдвиг (от основного уровня) на важную для производственного процесса зависимую переменную ю. Измерения для каждого независимого параметра должны быть произведены в направлениях 1 и —1 от основного уровня. [c.259]

Коэффициенты ац в соотношениях (VIИ,2) принимаются действительными числами, положительными или отрицательными, среди которых могут быть равные нулю. Естественно, что число ограничений типа равенств т — Шд не должно превышать число независимых переменных п оптимальной задачи. Общее же число неравенств (Vni,2a) и (VH1,26) может быть произвольным. [c.414]

Поскольку в реакторе идеального вытеснения каждый из элементов реагирующей смеси ведет себя, как замкнутая реакционная система, то естественно, что соотношение (1,11) играет роль уравнения материального баланса не только для реактора идеального вытеснения, но и для реактора периодического действия, работающего в условиях идеального смешения. Однако, если для реактора периодического действия уравнение (1,11) описывает изменение концентрации со временем, то для реактора идеального вытеснения оно позволяет также судить о распределении концентрации по длине реактора. Для этого нужно произвести замену независимого переменного по формуле I = = //у. [c.18]

Допустим, что по технологическим соображениям давления Р1 и Рз на входе и выходе системы являются независимыми переменными. Тогда к зависимым переменным следует отнести потоки и Q2, а также давление Р - Информационный поток системы можно организовать тремя различными способами (см. схему 3.7, б). Каждая из трех представленных блок-схем математически корректна, однако с физической точки зрения имеет смысл только первая схема. В этой блок-схеме порядок решения уравнений соответствует естественной форме физических связей в системе. Изменение расходов и 2 оказывает непосредственное влияние на величину давления Р , которое, в свою очередь, определяет входной [c.206]

Вполне естественно, что экспериментальные точки должны, по возможности, равномерно покрывать весь объем изучаемого факторного пространства, т. е. все независимые переменные в эксперименте должны варьироваться равномерно во всем диапазоне своего изменения. В самом деле, если определено, что для построения какой-то эмпирической зависимости достаточно иметь 20 точек, то их следует разместить во всем изучаемом диапазоне. Если же это будут лишь точки из одной половины всего интервала, то ясно, что от зависимости, которая будет по ним построена, нельзя ожидать сколько-нибудь достоверного предсказания поведения интересующей нас функции на другой половине интервала. [c.276]

Классификация независимых переменных. Круг вариантов, из которых выбирается оптимальный аппарат, может быть различным в зависимости от постановки конкретной задачи. Чем шире ставится задача, тем больше варьируемых независимых переменных и, естественно, больше рассматриваемых вариантов. [c.289]

Традиционно задачи многокритериальной оптимизации решали так, что один из критериев выбирали в качестве главного, а на остальные критерии накладывали определенные ограничения. Цель оптимизации — достижение экстремума главного критерия с учетом ограничений на остальные критерии. Это упрощало и облегчало решение проблемы, но, естественно, приводило к снижению эффективности полученного решения. В последнее время методы многокритериальной оптимизации получили дальнейшее развитие [65— 70]. Разработаны методы нахождения оптимальных компромиссных решений с учетом степени важности каждого из рассматриваемых критериев, а также функций чувствительности критериев к изменениям независимых переменных [71]. [c.180]

Обобщение этого рассуждения на функцию (19.1) п независимых переменных требует перенесения рассмотрения с плоскости в (л + 1)-мерное пространство, что, впрочем, не представляет трудностей. Не будем это приводить подробно, а дадим лишь формулы. Рассмотрим особенно важный для применения случай преобразования только под-набора х ,. .., х полного набора х .....х . Геометрически это значит, что преобразование проводится в ( + I)-мерном подпространстве (п + 1)-мерного пространства, причем, естественно, подпространство должно содержать координату у. При таком г-кратном преобразовании Лежандра переменные. .... х следует рассматривать [c.88]

В данном случае теплоотдача зависит от формы и размеров твердой поверхности нагрева (или охлаждения), температуры этой поверхности, температуры жидкости, коэффициента объемного расширения р и других се физических свойств (л, а, V, р), а также от ускорения силы тяжести. Вместе с тем скорость движения жидкости не оказывает влияния на теплоотдачу, так как она является функцией независимых переменных, указанных выше. Поэтому критерий Рейнольдса исключается из обобщенного уравнения теплоотдачи при естественной конвекции, в котором определяющими критериями подобия являются критерии Ог и Рг. Соответственно обобщенное уравнение для а выражается степенной функцией [c.287]

Свойство характеристичности теряется, если вместо естественных используются иные независимые переменные. Например, при рассмотрении внутренней энергии в качестве независимых переменных можно использовать Т и V или Т VI Р (вместо естественных 5 и У), Но в этих случаях функции И Т, V) или и(Т, р) не будут характеристическими. Для описания свойств системы потребуется привлечь уравнение состояния. Это вовсе не означает, что такие функции не нужны. Например, функция и (Т, V) была использована при выводе соотношения между Ср и Су. [c.92]

Независимые переменные в этих уравнениях называются естественными переменными функции. Выпишем уже известные выражения для [c.106]

Как видно, существует полная аналогия между изменениями потенциалов О я Р, если в качестве независимых переменных выбрать их естественные переменные. [c.109]

С формальной точки зрения, если в число независимых (варьируемых) переменных при оптимизации вовлекаются новые переменные, которые ранее либо были зафиксированы, либо не были учтены, то, естественно, увеличивается степень свободы системы. Это создает предпосылки для дальнейшего улучшения показателей, характеризующих оптимальность процесса. Но это чисто формально, ибо при этом получается, если можно так выразиться, полная уравниловка между всеми независимыми переменными. А по существу, независимые переменные необходимо разбить, по меньшей мере, на две группы. Одна из них будет включать параметры, непосредственно влияющие на ход процесса и вызывающие в нем качественные изменения. Назовем пх интенсивными переменными. К таким параметрам относятся температура, катализатор, давление и соотношение реагирующих веществ. В другую группу входят параметры, которые не могут непосредственно [c.7]

Метод сканирования заключается в последовательном просмотре значений критерия оптимальности в ряде точек, принадлежащих области изменения независимых переменных, и нахождении среди этих точек такой, в которой критерий оптимальности имеет минимальное (максимальное) значение. Точность метода, естественно, определяется тем, насколько густо располагаются выбранные точки в допустимой области изменения независимых переменных. . [c.508]

Доказано [5], что при применении правильных симплексов направление движения в симплексном методе совпадает с направлением градиента, если, естественно, симплекс достаточно мал. Вместе с тем, реализация данного метода не требует существенного увеличения вычислительных затрат с повышением размерности решаемой задачи, поскольку на каждом шаге рассчитывается только одно значение целевой функции независимо от числа переменных. В то же время при использовании градиентных методов поиска с возрастанием числа независимых переменных соответственно увеличивается число вычисляемых значений целевой функции при расчете производных по всем переменным. [c.515]

Естественно, можно было бы не вводить отдельно переменные центров масс ядер и электронов, а сразу ввести единую систему координат Якоби для всех частиц молекулы. Выше это сделано не было по следующей причине. В гамильтониане (10) после отделения переменных центра масс можно вместо трех независимых переменных X подставить три независимые переменные Л, что формально эквивалентно совмещению начала системы координат с центром масс ядер. Существенно подчеркнуть, что такая эквивалентность в действительности формальна, поскольку при этом центр масс всей системы полностью не отделяется, так что волновая функция должна была бы иметь сомножитель рассмотренного выше типа (е ), причем в этой новой системе координат полный импульс системы уже не должен быть сохраняющейся величиной, а волновая функция - обладать интегрируемым квадратом модуля. Введение же указанной подстановки проводится при условии, что она не меняет характера получаемого решения, и ищется такая волновая функция, которая интегрируемым квадратом модуля обладает. Найдя такое решение, в нем далее необходимо выделить переменные Л, заменить их на после чего полученная подобным образом функция и будет представлять собой искомую волновую функцию исследуемой молекулярной системы. [c.235]

Метод сканирования — один из методов многомерной оптимизации, Суть метода заключается в последовательном просмотре значений критерия оптимальности в ряде точек, принадлежащих области изменения независимых переменных и нахождения среди этих точек такой, в которой критерий оптимальности имеет минимальное (максимальное) значение. Точность метода, естественно, определяется тем, насколько густо располагаются выбранные точки в допустимой области изменения независимых переменных. Основное достоинство метода состоит в том, что есть гарантия отыскания глобального оптимума, т. к. анализируется вся область изменения независимых переменных поиск не зависит от вида оптимизируемой функции. Недостаток метода в необходимости вычисления критерия оптимизации для большого числа точек. [c.398]

В принципе по МНК можно оценить коэффициенты регрессии и нелинейных моделей, т. е. уравнений, в которых независимые переменные х имеют степени, отличающиеся от единицы, или коэффициенты при членах взаимодействия. Вычисление значений коэффициентов не представляет особого труда. Естественным достаточным требованием для этого является необходимость иметь число уравнений, равное числу определяемых коэффициентов, или больше. Во мно- [c.97]

Таким образом, мы получаем, вообще говоря, два уравнения регрессии (8.62) и (8.63), которые отвечают двум различным математическим формулировкам задачи в первом случае минимальное значение имеет сумма квадратов отклонений, взятых параллельно оси ординат, во втором случае — сумма квадратов отклонений, взятых параллельно оси абсцисс. Выбор того или иного из этих двух уравнений для описания наблюдаемой статистической связи является, конечно, совершенно произвольным. Он онределяется тем, которую из двух величин, х или у, считаем заданной. Например, если изучаем зависимость параметров градуировочных графиков от колебания температуры окружающего воздуха, то естественно, что физический смысл может иметь только одно уравнение регрессии, которое выражает зависимость величины изучаемого параметра от температуры, рассматриваемой в данном случае как заданную величину. Если же изучается зависимость между двумя показателями качества продукции, то оба уравнения регрессии имеют физический смысл. Здесь для дальнейшего практического применения выбирается то уравнение, в котором независимой переменной является наиболее точно определяемая величина. [c.301]

В каждый момент времени система (или одна из подсистем) м. б. охарактеризована средними удельными (по объему или по массе) ф-циями состояния, стремящимися к экстремуму при достижении равновесия (обладающими экстремальными св-вами). Изменение состояния системы (подсистемы) во времени (эволюция системы) исследуется по изменениям этих ф-ций. Используется гл. обр. ф-ция Гиббса (энергия Гиббса) 0 (р, Т, X,), где р-давлете, Т-т-ра, X,-обобщенная сила (любой интенсивный параметр состояния, за исключением давления) для сложной системы О = и + рУ Х,х, — Т5, где 1/-внутр. энергия, К-объем, X,-обобщенная координата (любой экстенсивный параметр состояния, за исключением объема), X-энтропия величины р, Т я X, являются естественными независимыми переменными ф-ции О. Для открытой системы полный дифференциал записьшается в виде [c.536]

Отметим, между прочим, что объем 2 является функцией объема 7, занимаемого системой, и энергии Е этой системы. Тогда соотношение (5.146) дает 5=5 ( , 7), где Е и 7—это так называемые естественные независимые переменные для энтропии (ш. (5.147а)). [c.313]

В общем случае термодинамическая функция L естественных независимых переменных х, у, г,. . . имеет следующий полный дифференциал (пфаффова форма) [c.146]

Однако в те времена многих клавишей не хватало. Было известно 63 элемента из 92 естественно существующих. Многие клавиши издавали фальшивые звуки . Так, Д. И. Менделееву пришлось изменить атомные массы урана и тория, которые тогда принимали равными 116 и 120 (вместо 232 и 240) и атомную массу циркония, принимавшуюся в то время равной 138 (вместо 91). Д. И. Менделеев сумел увидеть (вернее, предвидеть) основной закон, согласно которому многие свойства элементов (валентность, атомные объемы, коэффициенты расширения и др.) изменяются периодически с возрастанием атомной массы элементов. Открытие периодического закона затруднялось из-за его сложности. Размеры периодов не одинаковы. Если в первом периоде (Н, Не) содержится всего два элемента, то во втором (Е1—Ые) — восемь, в третьем (Ма—Аг) — снова восемь, в четвертом (К—Кг)—восемнадцать, в пятом (КЬ—Хе)—тоже восемнадцать, в шестом (Сз—Кп)—тридцать два и, наконец, седьмой период оказывается недостроенным. Отметим, что числа элементов в периодах (2, 8, 8, 18, 18, 32) подчиняются общему закону 2п . При п = это выражение дает 2 при л = 2—8, при я=3—18 и при =4— 32. Кроме того, в середине периодической таблицы элементов находится 14 редкоземельных элементов, многие свойства которых (например, валентность) практически не изменяются, несмотря на увеличение атомной массы Трудность открытия периодического закона заключа лась и в том, что истинной независимой переменной, оп ределяющей свойства элементов, должна быть не масса а число электронов в атоме, т.е. заряд ядра. Д. И. Мен делеев, естественно, принял массу за такую переменную так как в механике она в значительной степени опреде ляет движение частиц. Атом был электрифицирован много позднее. Если бы были известны изотопы (атомы с одинаковым зарядом ядра и разными массами, например, водород и тяжелый водород), то, располагая их в ряд по величине массы, вряд ли можно было бы открыть периодический закон. Это удалось потому, что между массовым числом и зарядом ядра имеется определенная связь. Так, в начале таблицы элементов массовое число приблизительно в два раза больше заряда ядра. Атомная масса элемента определяется также его изотопным составом. При расположении элементов по их массовым числам Д. И. Менделееву при составлении таблицы при- [c.312]

Эволюционное планирование эксперимента. Планирование эксперимента в условиях крупномасштабных производств, цехов и заводов, где недопустимы сильные раскачивания процессов, осуществляется при помощи так называемого эволюционного планирования (ЕУОР), предложенного Боксом Такое название метод получил по аналогии с биологической эволюцией, так как в нем используются небольшие изменения независимых переменных в производственных условиях аналогично мутациям в процессе естественного отбора. [c.214]

В литературе отсутствуют работы по изучению несимметричных эффектов при горении капель однокомпонент-ного топлива, связанных с вынужденной или естественной конвекцией, поэтому рассмотрение будет ограничено случаями сферической симметрии. При этом единственной независимой переменной, входящей в уравнения, описывающие течение газа, является координата г — расстояние от центра капли. Эксперименты показывают, что в случае капель однокомнонентного топлива естественная конвекция производит значительно менынее искажение зоны пламени, чем в случае капель горючего в атмосфере окислителя. Можно, следовательно, заключить, что в случае однокомпонентных топлив конвекция играет небольшую роль. [c.309]

В классической механике вращение системы определяется ее угловой скоростью в данный момент времени, если используется лагранжев формализм, и моментом импульса (т.е. моментом количества движения, угловым моментом), если используется гамильтонов формализм, на базе которого строится и квантовая механика. Если угловой момент равен нулю, то вращение системы отсутствует. Казалось бы, наиболее естественный путь отделения вращательных переменных заключается в том, чтобы перейти от исходной инерциальной лабораторной системы координат к новой системе, вращающейся относительно исходной, а потому - неинер-циальной, в которой угловой момент равнялся бы нулю. Однако сделать это не так-то просто. Действительно, для перехода от одной системы координат к другой у нас должны быть уравнения, связывающие переменные одной системы с переменными другой, например уравнения вида = ,(г,, Г2,..., Гд,), / = 1, 2,..., ЗМ. Если среди переменных г,, Гз,..., Гд, есть зависимые, а независимые переменные, то г может быть и меньще ЗЛ , причем тогда должны существовать уравнения связи вида / (г,, Г2,..., Гд,) = О, / = 1, 2,..., /, которые и позволяют выделить независимые переменные. Как уже сказано, хотелось бы ввести такую систему координат, в которой выполнялись бы условия 1 = = 1 = О, т.е., например [c.237]

Термодинамическими потенциалами, или характеристическими функциями, называют термодинамические функции, посредством которых и их производных по соответствуюпдим независимым переменным естественным) могу т быть выражены в явном виде все термодинамические свойства системы. Это означает, что характеристические функции содержат в себе всю термодинамическую информацию о системе. Наибольшее значение имеют четыре основных термодинамических потенциала [c.50]

Очень часто сигнал или группа сигналов могут быть интерпретированы несколькими способами. Так, два сигнала равной интенсивности можно рассматривать как дублет с соответствующей константой расщепления и как два синглета с соответствующими химическими сдвигами. Среди всех способов интерпретации следует придерживаться того, который оперирует с минимальным количеством независимых переменных (факторов). Эту интерпретацию естественно назвать простейшей. Простейшая интерпрета- [c.182]

Соотношение Каданова (10.7) является более тонким (и даже может потребовать некоторых небольших поправок при (1 = 3). Мы можем, однако, получить известное представление о его природе с помощью следующей процедуры. Вблизи т становится более реалистичным выбрать в качестве элементарных единиц не индивидуальные атомные моменты, а последовательные области размера Внутри каждой такой области корреляции сильны, так что единственной независимой переменной оказывается полный момент этой области. Вычисляя затем функцию распределения и свободную энергию ЛF для этих полных моментов, естественно предположить экстенсивность ДF, т.е. ее пропорциональность числу скоррелированных областей на единицу объема, которое равно (в (I измерениях) [c.302]

В аналитической работе как при рассмотрении ошибок воспроизводимости, так и при рассмотрении методических ошибок мы имеем дело с большим количеством независимых переменных факторов законы распределения этих переменных нам неизвестны, но мы можем полагать, что по крайней мере для хорошо отработанных методик и в хорошо организованных лабораториях, как правило, должны отсутствовать доминирующие факторы,—это дает возможность полагать, что аналитические ошибки должны, вообще говоря, подчиняться нормальному распределению. Но в то же время в аналитической работе, естественно, могут встретиться случаи, когда нарушаются условия, вытекающие из центральной предельной теоремы Ляпунова, и тогда неизбежно появляются неслучайные отклонения от нормального распределения. В некоторых случаях приходится даже констатировать появление распределений, существенно отличающихся от нормального распределения. В силу этого обстоятельства в литературе, посвященной проверке гипотезы нормальности в аналитической работе, имеются весьма противоречивые сведения. В работе Клэнси [67] было изучено 250 распределений для различных аналитических методов, включающих в общей сложности 50 ООО отдельных определений, и показано, что с практической точки зрения только в 10—15% [c.122]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология