Лапласа потока

Рассмотрим поля потоков, исходя из картины, изображенной на последнем фотоснимке. Линии тока стационарны, т. е. неизменны во времени, поскольку наблюдатель неподвижен относительно данного объекта (пузыря). Такая картина потока соответствует уравнению Лапласа. Потоки можно также анализировать с позиции наблюдателя, неподвижного по отношению к невозмущенной жидкости, и тогда картина, разумеется, будет иной. В атом случае движение, описываемое уравнениями Лагранжа, будет функцией времени. [c.148]

Оценим X как среднее расстояние, на котором скорость течения и уменьшается от максимального значения в ядре потока до нуля на его границах, образуемых внешней поверхностью зе- рен. Тогда градиенты скорости (первые производные) будут порядка и1Ь, а оператор Лапласа (вторые производные) — порядка / 2. [c.22]

Распределение давления и потенциала в установившихся потоках несжимаемой жидкости описывается уравнением Лапласа, которое для плоских течений имеет вид [c.105]

Математический смысл метода суперпозиции заключается в том, что если имеется несколько фильтрационных потоков с потенциалами ФДл , > ), Ф,(х, >),..., Ф (д , V ), каждый из которых удовлетворяет уравнению Лапласа, т.е.. [c.105]

Все рассмотренные в настоящем разделе результаты получены для сферических частиц. Сферическая форма частицы, находящейся под действием сил поверхностного давления, соответствует минимуму свободной энергии. Величина поверхностного давления, определяемая формулой Лапласа, прямо пропорциональна поверхностному натяжению о и обратно пропорциональна радиусу капли Р1 а1К. Если частица обтекается потоком, то сила лобового давления Рг стремится ее [c.17]

Уравнения Лагранжа обычно гораздо сложнее и труднее для решения, нежели уравнения Лапласа. По этой причине большинство гидродинамических задач решают на основе уравнения Лапласа, хотя некоторые свойства потока могут быть описаны только на основе теории Лагранжа. Обе теории давно известны, но до настоящего времени в большинстве учебников по гидродинамике рассматривается преимущественно стационарное состояние, т. е. уравнения Лапласа. Нестационарное состояние и некоторые характерные его свойства изучены далеко не в той степени, в какой они того, вероятно, заслуживают. [c.148]

Зависимости (5.21), (5.27) и (5.28) устанавливают связь между скоростями W-O (до решетки) и w oo (за решеткой) и характеристиками решетки tg 0 и Со при заданных условиях потока на границах решетки, т. е. через величины к)р и u+p. Чтобы получить прямую связь между скоростями tei+a И характеристиками решетки tg 0 и Се. величины Шр и V/ следует исключить, используя для этого уравнение Лапласа (5.18). Для простоты решения этого уравнения будут приведены для различных условий течения в отдельности. [c.124]

Здесь l — концентрации веществ, участвующих в реакции Т — температура г — скорость реакции в единице объема пористого катализатора D , % — эффективные коэффициенты диффузии и теплопроводности в пористом зерне v — стехиометрический коэффициент -го вещества (v,- < О для исходных веществ и > О для продуктов реакции) h — теплота реакции V — оператор Лапласа g = С (Г), То= Т (Г) — концентрации реагентов и температура на внешней поверхности зерна oo, T a— значения соответствующих переменных в ядре потока, омывающего частицу катализатора Р,, а — коэффициенты массо- и теплопередачи из ядра потока к внешней поверхности зерна п — направление внешней нормали к поверхности Г. [c.131]

Простейшая циркуляционная модель — ячеечная модель с рециклом [106, 107] материал возвращается в первичный поток (рис. 226,а). Эта модель — однопараметрическая (число ячеек — п) и ее передаточная функция (р — оператор Лапласа) [c.446]

Действительно, пусть С (р) есть изображение по Лапласу С-кривой, т. е. функции отклика системы на импульсное возмущение по концентрации индикатора в потоке [c.336]

Затем решим уравнение (9.219) для температуры и выразим это решение через поток ф(г, результат подставим в равенство (9.220), а потом в (9.217). Уравнение для температуры может быть найдено методом преобразований Лапласа или обычными методами решения дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных [И, 65]. [c.444]

Если в системе силы тяжести полностью уравновешены силами диффузии, наступает так называемое седиментационное равновесие, которое характеризуется равенством скоростей седиментации и диффузии. При этом через единицу поверхности сечения в единицу времени проходит вниз столько же оседающих частиц, сколько их проходит вверх с диффузионным потоком. Седиментационное равновесие наблюдается не только в коллоидных растворах, но и в молекулярно-дисперсных системах. Это равновесие характеризуется постепенным уменьшением концентрации частиц в направлении от нижних слоев к верхним. Распределение частиц в зависимости от высоты столба жидкости подчиняется гипсометрическому (или барометрическому) закону Лапласа в применении к золям при [c.307]

Если электрод имеет конечные размеры, то решение уравнений нестационарной диффузии усложняется, так как из-за наличия краевых эффектов приходится учитывать потоки диффузии также вдоль координат у к г. Практический интерес представляет нестационарная диффузия к сферическому электроду радиусом г . При этом удобно воспользоваться сферической системой координат, в которой оператор Лапласа имеет вид [c.177]

В работе [П показано, что через очень короткое время (да 5 сек) после начала фильтрации (оттока) через конусообразное перфорационное отверстие поток становится квазистационарным. Сложный поток можно заменить полусферическим, пренебрегая влиянием ствола скважины. Все это позволяет при решении задачи использовать уравнение Лапласа вместо уравнения Фурье. Однако для этого необходимо перейти от конусообразного источника к эквивалентному сферическому источнику, т. е. ввести понятие приведенного радиуса сферического источника — г р. Тогда дебит конусообразного источника можно записать в виде [2]. [c.117]

Здесь г — безразмерная (отнесенная к радиусу частицы) радиальная координата, 0 — угловая координата (которая отсчитывается от направления набегающего потока), Д — оператор Лапласа, D — коэффициент диффузии, г]) — безразмерная (отнесенная к a Uoo) функция тока, С — концентрация диффундирующего вещества. Граничные условия имеют вид на бесконечности [c.207]

Решение краевых задач теории нестационарного диффузионного пограничного слоя на внешней или внутренней поверхностях капли в принципе может быть получено разными методами. Так, для определения диффузионного потока к поверхности капли в установившемся стоксовом потоке при внезапном включении реакции в [61] было использовано преобразование Лапласа по времени. Анализ конвективной теплопередачи к криволинейной стенке при потенциальном обтекании проводился в [183] при помош и синус-преобразования Фурье по поперечной координате. Однако наиболее удобным и быстро ведущим к цели является метод введения вспомогательных функций координат и времени в качестве новых переменных. Эти функции выбираются таким образом, чтобы удовлетворялись определенные дифференциальные соотношения. В результате для отыскания зависимости искомого поля концентрации или температуры от вспомогательных функций получаем более простое, по сравнению с исходным, дифференциальное уравнение. Очевидно, что в каждой конкретной задаче число этих функций и сами они могут выбираться по-разному — важно лишь, чтобы как промежуточные дифференциальные соотношения, так и итоговое уравнение для искомой функции имели достаточно простую структуру. [c.276]

При колебаниях рабочей среды в трубопроводе или в каком-либо другом напорном канале распределение скоростей течения по сечению потока отличается от закона, описывающего это распределение в случае установившегося движения среды. Так, при колебаниях ламинарного потока жидкости в круглой цилиндрической трубе нарушается параболическое распределение скоростей, которое, как известно из гидравлики, является характерным для ламинарного установившегося движения жидкости в трубе. При гармоническом изменении градиента давления вдоль трубы распределение скоростей можно найти с помощью формулы (9.42). Для этого в формулу следует вместо (s) подставить изображение по Лапласу гармонического закона изменения градиента давления и затем выполнить обратное преобразование. Полученная таким образом функция (t, г) приведена в работе [28]. [c.251]

Затем эта система уравнений с граничными и начальными условиями (7.2.4) — (7.2.6) решалась методом преобразования Лапласа. Были получены решения при различных законах изменения температуры стенки F x) и плотности теплового потока G(t), которые представлены вместе с решениями в табл. 7.2.1. [c.440]

Считается, что тепловой контакт жидкости с цилиндром на его внешней поверхности является идеальным, а коэффи-циент теплопроводности материала цилиндра бесконечно велик. Предполагается, что цилиндр внезапно нагревается при помощи внутреннего тепловыделения с постоянной плотностью теплового потока на единицу длины д. Используя преобразование Лапласа, можно получить два решения в виде рядов, (7.3.1) и [c.464]

При выводе передаточной функции по потоку жидкой фазы будем исходить из уравнений (13.4), которые приведем к уравнениям в отклонениях от установившегося значення. Затем, используя преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, получим соотношение [c.470]

Существует иной срез модификации уравнений переноса, связанный с конфигурацией потоков субстанции, объекта (технологического аппарата, его рабочей зоны), в которых перемещается субстанция. В расчетно-аналитическом плане проблемы здесь прежде всего связаны с выражением лапласиана, записанного ранее в декартовых координатах [c.91]

Автор стремился во втором издании подробнее изложить теорию вопроса и еще теснее связать ее с практическими применениями. Даны основы термодинамической теории процессов переноса и подробно развита гидродинамическая теория многокомпонентной диффузии, включающая приближенный метод описания термодиффузии. Для решения нестационарных задач диффузионной кинетики применено преобразование Лапласа. Дано строгое математическое обоснование метода равнодоступной поверхности для ламинарного потока. Очень многие результаты, которые в первом издании настоящей книги получались приближенными методами, были с тех пор проверены и подтверждены с помощью трудоемких расчетов на быстродействующих вычислительных машинах. Результаты таких расчетов отражены во втором издании. [c.6]

Заканчивая рассмотрение метода Дэвидсона, следует отметить, что последний приложим не только к сферическим или круглым пузырям. Скоростные потенциалы твердых частиц и ожижающего агента удовлетворяют также уравнению Лапласа, и в случае двухмерной системы их можно рассматривать как действительнвге части функции комплексного переменного г = х + где х иг/ — координаты точки в прямоугольной системе координат, центр которой совпадает с центром пузыря, а ось х направлена вертикально вверх. Это комплексные потенциалы для полей потоков твердых частиц и ожижающего агента, и их мнимые части дают соответствующие функции тока. В соответствии, с методом Дэвидсона, комплексные потенциалы можно представить как [c.101]

Здесь переменные давления и потока представляют собой изображения Лапласа для изменений соответствующих величин относительпо значений при г = О (х оо) [c.142]

Для разностной аннроксимацпи конвективных членов системы (8) — (10) используется несимметричная разностная схема первого порядка точности, ориентпрованная против потока [2]. Согласно этому подходу, информация в ячейку передается только от ячеек, расположенных выше по потоку от данной, и, наоборот, информация от ячейки передается только ячейкам, расположенным ниже но потоку. При изменении знака скорости, например вблизи узла, схема модифицируется в соответствии с законами сохранения в каждой ячейке. Разностные соотношения для диффузионных членов строятся следуюш им образом оператор Лапласа интегрируется по площади ячейки, соответствующей выбранной разностной сетке, и полученные в итоге однократные интегралы вычисляются по формуле трапецией, а нормальные к контуру производные заменяются центральными разностями. Источниковые члены аппроксимируются аналогичным образом. В результате получается система нелинейных алгебраических уравнений для искомых функций в узлах сетки. Она замыкается граничными условиями в конечно-разностном виде. Полученная алгебраическая система уравнений решается методом последовательных смещений Гаусса — Зейделя. Анироксима-ция строится на неравномерной сетке, которая сгущается в области больших градиентов. Использовались разностные сетки 21 X 21 и 31 X 31. Изменение числа линий сетки практически не сказывалось на результатах решения. Выход из итерационного процесса осуществлялся при выполнении условия [c.59]

В случае частицы несимметричной формы дифференциальные операторы Лапласа и Гамильтона в задаче (5.1), а также раснределения скорости V и концентрации 2 зависят от трех пространственных координат. Переход от сферы к частице другой формы приводит к значительному усложненйю задачи, связанному в первую очередь с более слоншым видом поля течения. Для некоторых частных случаев формы частиц (например, эллипсоидальных) могут быть определены в замкнутом аналитическом виде как поле обтекания (в стоксовом приближепии), так и выражение для распределения концентрации, позволяющие найти локальный и интегральный потоки реагента на поверхность частицы. Соответствующий анализ будет отличаться от проведенного в 1 большей громоздкостью выкладок из-за необходимости выбора более сложных [c.250]

Для установившегося движения величина М = onst. Выражение (4.4) для потенцпала скорости несжимаемой жидкости при изотермическом потоке должно удовлетворять уравнению Лапласа. [c.122]

Сотряженные функции в уравнении Лапласа обычно называются потенциальной функцией и функцией тока. Здесь это соответствует температуре и потоку тепла соответственно. [c.92]

С математической точки зрения метод "термического четырехполюсника" принадлежит к классу аналитических методов решения линейР1ых дифференциальных уравнений в простых геометриях. Он использует такие аналитические инструменты как интегральное преобразование Лапласа (во времени) и пространственные интегральные преобразования Фурье и Ханкеля, связанные с методом разделения переменных. Уравнения теплопроводности выражают в виде линейных матричных связей между трансформированными векторами температуры и тепловых потоков на границах многослойной системы. Это позволяет получать решения, общий вид которых не зависит от граничных условий. [c.37]

Определение моментов распределения злементов потока по времени пребывания через передаточную функцию объекта. Оценка моментов функции распределения по времени пребывания для аппаратов со сложной гидродинамикой представляет собой весьма трудоемкую задачу. Часто в таких случаях удобно воспользоваться передаточной функцией аппарата по рассматриваему каналу. В общем случае передаточную функцию можно Н0,йти как отношение преобразованного по Лапласу сигнала на выходе (р) к преобразованному по Лапласу сигналу на входе 2 х [c.71]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология