ХАОС В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Таким образом, для колебаний уровня Каспийского моря характерна не только внешняя непредсказуемость, создаваемая климатическими изменениями, но и внутренняя, обусловленная неустойчивой динамикой водного баланса. В связи с этим подчеркнем, что в нелинейной динамической системе с тремя состояниями равновесия возможен хаос даже при детерминированном внешнем воздействии. Имея нелинейную модель колебаний уровня, можно объяснить резкое увеличение времени релаксации моря в определенном диапазоне отметок уровня. На основе решения дискретного уравнения нетрудно построить две реализации случайного процесса (см. рис. 2.2). [c.88]

ХАОС В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ [c.42]

Вторая часть курса лекций включает в себя введение и четыре из семи разделов курса Турбулентность модели и подходы (три первых раздела Основы , Хаос в динамических системах и Полуэмпирические модели вошли в первую часть курса). В четвертом разделе излагаются модели однородной и изотропной турбулентности, начиная с теории Колмогорова и кончая современными моделями перемежаемости в развитой турбулентности. Пятый раздел посвящен некоторым специальным турбулентным потокам. Рассмотрены особенности поведения двумерной турбулентности и турбулентности, вызванной силами Архимеда. В шестом разделе излагаются модели, основанные на применении специальных функциональных базисов, названных иерархическими, и дается краткое изложение вейвлет-анализа, с примерами его применения к гидродинамическим системам. Последний, седьмой раздел посвящен каскадным моделям турбулентности -простейшим моделям развитой турбулентности, доказавшим свою эффективность в моделировании свойств турбулентности в инерционных интервалах при очень высоких числах Рейнольдса. [c.2]

Курс состоит из двух частей. Первая часть включала три главы 1.Основы, 2.Хаос в динамических системах, 3.Полуэмпирические модели. Первая глава содержала базовые сведения об уравнениях движения идеальной и реальной жидкости и краткий обзор методов и некоторых результатов исследования устойчивости гидродинамических систем. Во второй главе обсуждались методы и подходы теории динамических систем, позволившей значительно углубить понимание процессов перехода от детерминированного поведения к хаотическому. Третья глава кратко знакомила с подходом Рейнольдса к описанию средних полей в развитых турбулентных течениях и вытекающими из него полуэмпирическими моделями турбулентности. [c.4]

Для реакции каталитического окисления водорода этот подход реализован Слинько и Чумаковым в [413,414]. Заметим, что хаос как квинтэссенция свободы возникает в динамических системах размерности 3 и выше. Оказывается 2 и 3 — это две большие разницы . С топологической точки зрения движения на фазовой плоскости и в фазовом пространстве имеют принципиальное отличие. Действительно, на плоскости две любые прямые с вероятностью 1 пересекутся, а в пространстве — не пересекутся. Исключение составляют параллельные прямые, которые малым шевелением параметров переводятся в общее положение. Поэтому теорема о единственности решения системы дифференциальных уравнений (непересечение фазовых траекторий) на плоскости существенно ограничивает разнообразие поведения фазовых траекторий, а в пространстве свободы движения значительно больше. [c.133]

Хаотическое состояние, в котором могут находиться динамические системы без источников случайных шумов, получило название детерминированного (или динамического) хаоса. [c.26]

Детерминированный хаос отличается от обычного (или шумового) хаоса, понимаемого как состояние полной дезорганизации. Хаос в динамических системах относится к ограниченной случайности, им можно управлять и даже прогнозировать на короткие промежутки времени вперед. [c.26]

Во-первых, если в некоторой динамической системе диагностируется динамический хаос, то можно надеяться, что некоторым изменением параметров (настройкой) можно упорядочить ее движение. [c.27]

Таким образом, обычный шумовой случайный процесс можно рассматривать как движение системы на аттракторе бесконечной размерности. Конечная размерность V означает, что данный сигнал можно воссоздать с помощью динамической системы. При решении задач управления технологическими процессами важно отличать детерминированный хаос от обычных шумов или помех. Дело в том, что наличие внутреннего порядка в детерминированном хаосе позволяет, в принципе, управлять им, в то время как шумовой хаос неуправляем. [c.46]

Возможность развития динамических структур такого типа заложена в коренных свойствах объектов микромира, о которых шла речь в первых главах этой книги. С этой точки зрения уникальность определенного химического набора исходных вешеств ( органогенов ) заключается в том, что только они способны создать структуры типа РНК, ДНК и белков и могут обеспечить выход эволюционирующих диссипативных организаций на тот путь развития, на котором индивидуальные химические свойства и термодинамические параметры составных частей системы постепенно утрачивают свое значение, уступая место информационным, кодовым механизмам управления потоком энергии. Развитие потенциальных возможностей интеллекта раскроет перед человечеством пути преодоления сил хаоса и создания гармонии в природе. [c.396]

Перечень достижений естествознания XX в. фундаментальной важности был бы неполным без еще одного эпохального события, которое произошло совсем недавно - в конце 70-начале 80-х годов. Речь идет о возникновении нелинейной неравновесной термодинамики, или физики открытых систем. Ее становление обязано прежде всего И.Р. Пригожи-ну, разработавшему теорию динамических состояний макроскопических систем особого типа - диссипативных самоорганизующихся структур -и теорию бифуркаций, дифференцирующую беспорядочные флуктуации на обратимые (равновесные) и необратимые (неравновесные). Они составили основу для изучения явлений, суть которых определяется неразрывной связью макроскопических свойств большого ансамбля с индивидуальными свойствами микроскопических составляющих. В открытых системах, находящихся вдали от положения равновесия, могут протекать процессы, приводящие к спонтанному возникновению порядка из хаоса. Источником самопроизвольного конструирования пространственного и пространственно-временного порядка на всех уровнях структурной организации системы является необратимость бифуркационных флуктуаций. [c.10]

Так как биологические машины действительно заслуживают названия машин, настолько тонко и сложно они организованы, то речь, следовательно, идет о самопроизвольном образовании надмолекулярных механизмов, построенных так, что и в каждой их надмолекулярной части нет молекулярного хаоса. Порядок можно обнаружить и в чередовании аминокислотных остатков в белковых молекулах, и в расположении этих молекул в органеллах клетки, и в правильном размещении самих клеток. Порядок царствует и во временной последовательности включения тех или иных ферментных процессов, и в строгом соответствии строения реагирующих молекул, и в передаче наследственных признаков при репликации клетки и т. п. Попытаемся понять, каким образом, в силу какого закона в открытых системах наряду с естественной хаотизацией части среды и диссипацией энергии возникает сам собой динамический механизм, поражающий совершенством своей организации [c.75]

Другой круг связан с проблемой динамического хаоса, т. е. с возникновением стохастичности в детерминированных системах (см., например, [ПЗ]). Здесь желательно подчеркнуть два момента. В отсутствие начального шума в системе действительно возможно возникновение хаотического состояния, но этот хабе достаточно сложен он, вообще говоря, неоднороден и неизотропен. Вторая особенность, на которую хотелось бы обратить внимание,— роль малого шума. Конечно, получить шум без шума элегантно и по существу важно. Но дело в том, что в системе всегда имеется малый шум и пренебрежение им фактически основывается на предположении о его неагрессивном поведении. Однако в [П4, П5] обнаружен новый тип хаотического состояния — флуктуационный хаос с экспоненциально быстро или даже взрывным образом нарастающей дисперсией, инициированный малыми флуктуациями среды в условиях, когда динамический хаос еще невозможен. Необходимо также обратить внимание на такие интересные физические явления, как обращение знака флуктуирующих коэффициентов переноса [П6], а также ускоренное развитие неустойчивостей под влиянием турбулентности или шума (см., например, [П5]). [c.6]

Возможность проявления детерминированного хаоса в динамических автономных системах вида (1.6) существенно зависит от их размерности. Можно показать, что в двумерном пространстве хаотические траектории невозможны, поскольку в нем могут существовать только такие аттракторы, как точки равновесия, бесконечность и предельные циклы. Допустим, например, что диссипативная система имеет (рис. 1.11) два инвариантных множества точку равновесия Р и предельный цикл С [c.36]

В данной главе мы остановимся на базовых понятиях теории динамических систем, рассмотрим основные виды бифуркаций и основные сценарии перехода от упорядоченного движения к хаосу. Мы подробно разберем свойства системы Лоренца, не только сыгравшей важнейшую роль в становлении науки о хаосе, но и имеющей самое прямое отношение к теме нашего курса. Далее мы приведем пример еще одной динамической системы, имеющей отношение к гидродинамическим системам - это простейшая модель земного динамо Рикитаке. В завершение будут приведены некоторые результаты лабораторного исследования стохастизации конвективного движения в замкнутой полости. [c.43]

В данной главе мы начинаем рассштривать подходы к описанию развитой турбулентности, то есть течений, возникающих при значительном превышении критических значений управляющих параметров (числа Рейнольдса, если речь идет об изотермическом течении в отсутствии дополнительных силовых полей). Такие течения характеризуются наполненными спектрами Фурье, причем не только временными, но и пространственными. Напомним еще раз, что именно в этом и есть основное отличие турбулентности от хаоса в динамических системах невысокого порядка в турбулентном потоке хаос и пространственный, и временной, а хаотическое поведение маломодовых систем (соответствующих например конвективным течениям при невысокой надкритичности) представляет собой хаотическую во времени эволюцию мод с относительно простой пространственной структурой. [c.92]

Во второй главе мы видели, насколько полезными оказались маломодовые динамические системы для понимания путей перехода от детерминированных движений к хаосу. В этой главе мы познакомимся с простейшими моделями развитой турбулентности, по сути, также представляющими собой динамические системы, но относительно высокой размерности (несколько десятков обыкновенных дифференциальных уравнений). [c.109]

Обратимся теперь к развитой Пригожиным в 1970-1980-е годы нелинейной термодинамике неравновесных процессов, важнейшими составными частями которой являются теории диссипативных систем и бифуркаций. На первый взгляд может показаться, что рассмотренные на ее основе системы существенно отличаются от выбранной системы структурной организации белков. Конвекционные ячейки Бенара, когерентное излучение лазера, турбулентное движение жидкости, реакция Белоусова-Жаботинского, модель Лотке-Вольтерра, описывающая взаимоотношения между "хищником и жертвой", - все это открытые диссипативные структуры. Динамические процессы перечисленных и подобных им неравновесных макроскопических систем, действительно, приводят при достижении условий, превышающих соответствующий критический уровень, к спонтанному возникновению из беспорядка высокоорганизованных пространственных, пространственно-временны х и просто временных структур. Однако во всех случаях поддерживание возникшего из хаоса порядка в стационарном режиме оказывается возможным только при постоянном энергетическом и/или материальном обмене между окружающей средой и динамической системой. Совершающийся в такой открытой системе неравновесный процесс вдали от положения равновесия связан с диссипацией, т.е. с производством энтропии, или, иными словами, с компенсируюпщм это производство потреблением негэнтропии из окружающей среды. Перекрытие внешнего потока негэнтропии автоматически приводит к прекращению системой производства энтропии и, как следствие, распаду созданной диссипацией структуры. У открытых диссипативных систем аттрактором является не равновесное состояние, а расположенное далеко от него состояние текущего равновесия. [c.462]

Проблема возникновения хаоса в динамических системах является в настоящее время одной из самых интересных проблем в динамической теории. Широко известны так называемые странные атракторы , т, е, пц)едельные множества весьма сложной структуры, отличающиеся и от точек, и от циклов, и от множеств на торе. Проблеме хаоса в экологических системах посвящен ряд статей Р, Мэя с соавторами [c.112]

Выдвинутая синергетикой концепция самоорганизации служит естественно-научным уточнением принципа самодвижения и развития материи. В противовес классической механике, синергетика рассматривает материю как массу, приводимую в движение внешней силой. В синергетике выявляется, что при определенных условиях и системы неорганической природы способны к самоорганизации. В отличие от равновесной термодинамики, признавшей эволюцию только в сторону увеличения энтропии системы, то есть беспорядка, хаоса и дезорганизации, синергетика впервые раскрыла механизм возникновения порядка через флуктуации, то есть отклонения системы от некоторого среднего состояния. Флуктуации усиливаются за счет нерав-новесности, расшатывают прежнюю структуру и приводят к новой из беспорядка возникает порядок. Самоорганизующиеся процессы характеризуются такими диалектическими противоречивыми тенденциями, как неустойчивость и устойчивость, дезорганизация и организация, беспорядок и порядок. По мере выявления общих принципов самоорганизации становится возможным строить более адекватные модели синергетики, которые имеют нелинейный характер, так как учитывают качественные изменения. Синергетика уточняет представления о динамическом характере реальных структур и систем и связанных с ними процессов развития, раскрывает рост упорядоченности и иерархической сложности самоорганизующихся систем на каждом этапе эволюции материи. Ее результаты имеют большое значение для установления связи между живой и неживой материей, а также раскрЕлтия процессов возникновения жизни на земле [179-185]. [c.169]

Книга посвящена анализу эффектов самоорганизации — возникновения, развития и гибели макроскопических структур в неравновесных открытых физико-химических системах. Рассмотрены аналогии между явлениями самоорганизации и фазовыми переходами в равновесных системах. Кратко обсуждены проблема зарождения турбулентности и динамические модели хаоса. Р1з-ложена теория автоволновых процессов в активных средах. Проанализировано влияние флюктуаций внешних полей на кинетику неравновесных химических реакций. Книга содержит также обзор экспериментального материала по явлениям самоорганизации в различных физико-химических системах. [c.2]

Простейшая модель такого рода, описывающая двумерную (валиковую) конвекцию тремя переменными, известна как модель Лоренца. Две из этих переменных — амплитуда поля скоростей, соответствующего системе валов, и амплитуда поля температурного возмущения с тем же пространственным периодом. Третья переменная — амплитуда гармоники температуры, которая является второй в разложении вертикальной зависимости и нулевой в разложении горизонтальной зависимости. Она описывает, таким образом, однородное по горизонтали температурное возмущение, ответственное за возникновение температурных пофаничных слоев вблизи горизонтальных границ слоя. Численное исследопапис этой системы позволило Лоренцу [132] впервые обнаружить странный аттрактор в ее фазовом пространстве и явление динамического хаоса и открыть тем самым новую эпоху в исследовании динамических систем. Аналогичные системы, содержащие большее число амплитудных переменных — например, систему, рассмотренную в [13]] — иногда называют обобщеииьши моделями Лоренца. [c.81]

Значительный прогресс в понимании природы и свойств турбулентности произошел в последние десятилетия благодаря успехам теории динамических систем, позволившим понять как хаотическое поведение возникает в детерминированных системах. Этим результатам посвящена вторая глава, в которой приводятся базовые сведения из теории динамических систем и обсуждаются некоторые приложения. Вводится понятие фазового пространства и даны примеры фазовых портретов некоторых простых динамических систем. Обсуждаются особенности эволюции консервативных и диссипативных систем. Для диссипативных систем вводится понятие аттрактора, обсуждаются свойства аттракторов стохастических систем. Излагаются краткие сведения из теории фракталов, дается понятие обобщенной размерности и описаны алгоритмы определения размерности аттракторов стохастических систем. Даны основы теории бифуркаций, рассмотрены некоторые методы исследования перехода к хаосу и характреистики динамических систем при периодическом и хаотическом поведении (сечения Пуанкаре, показатели Ляпунова, энтропия Колмогорова, спектры Фурье). Описаны и обсуждены основные сценарии перехода от порядка к хаосу сценарий Ландау, сценарий Рюэля и Таккенса, субгармонический каскад. В заключение главы рассматриваются примеры гидродинамических систем, демонстрирующих хаотическое поведение. Проведен подробный анализ поведения модели Лоренца, уравнения которой выведены в первой главе. Рассмотрена также простейшая модель генерации магнитного поля Земли (динамо Рикитаки), воспроизводящая эффект случайных перебросов направления магнитного поля. Показаны и обсуждены также результаты [c.5]

Бурно развивающийся раздел теории динамических систем изучает возникновение хорошо описанных коллективных явлений - упорядочение, турбулентность, хаос, нарушение симметрии, фрактальность и др. в системах, состоящих из большого числа частиц, взаимодействующих друг с другом нелинейно цели исследований и их математический аппарат здесь больше похожи на присущие макроскопической физике и материаловедению. Клеточные автоматы обеспечивают богатую и непрерывно растущую коллекцию типичных моделей, в которых эти явления могут быть изучены относительно легко [66, 15, 5]. Систематическое использование клеточных автоматов в этом контексте энергично проводилось С. Вольфрамом [70-73, 43] его сборник статей по теории и применениям клеточных автоматов [74] содержит обширную библиографию. [c.15]