Шредингера уравнение для атома водорода

Квантовомеханическое объяснение строения атома водорода. Атом водорода устроен наиболее просто — он имеет только один электрон, движущийся в поле ядра. В этом случае входящая в уравнение Шредингера функция потенциальной энергии и принимает вид (см. стр. 19) [c.37]

Водородоподобная система (атом водорода или любой одноэлектронный ион) является единственной химической системой, для которой известно точное аналитическое квантовомеханическое решение. Проблемы, связанные с многоэлектронными атомами и молекулами, приходится решать другими методами. Наиболее очевидный из них заключается в прямом решении уравнения Шредингера численными способами. Многие исследователи посвятили массу времени и усилий для развития этого подхода. Однако проблема оказывается очень сложной. Хотя с помощью электронно-вычислительных машин удалось получить результаты для сравнительно простых систем, в большинстве работ, посвященных системам, которые представляют интерес для химии, используются приближенные методы. Наиболее распространенные методы, используемые в квантовой химии, основаны на применении либо вариационного принципа, либо теории возмущений. [c.102]

Первым химическим объектом приложения уравнения Шредингера был атом водорода. Для того чтобы лучше представить, какой огромный скачок должен был произойти в мышлении химиков, привыкших почти исключительно к качественным представлениям о строении атомов и молекул, мы приведем ниже результаты расчета волновой функции правда — не для атома водорода, а для водородоподобного атома, т. е. атома, содержащего ядро с положительным зарядом Z и один электрон Волновое уравнение в случае водородоподобного атома удобно выражать в сферических координатах, поэтому и волновая функция есть функция сферических координат, а именно произведение трех функций, каждая из которых зависит только от одной координаты, принимаемой в качестве независимой переменной [c.165]

Молекулярные орбитали (МО) образуются из атомных орбиталей (АО). Атомная орбиталь выражается через собственную функцию (волновую функцию) я]) элeкtpoнa в пространстве, т. е. в зависимости от ко-орди[1ат X, у и Z, причем ядро атома находится в начале системы координат. Простейшим примером является атом водорода. Его АО определяются из независимого от времени уравнения Шредингера (1926 г.) [c.53]

Точное решение стационарного уравнения Шредингера (1-27) возможно только для простейших систем (атом водорода, молекулярный ион водорода, гармонический осциллятор и т. д.). Большинство задач квантовой химии и механики решается с помощью приближенных методов. Наиболее важными подходами к получению приближенных решений являются вариационный метод и теория возмущений. Вариационный метод основывается на следующей [c.17]

Точный расчет волновых функций многоэлектронных атомов становится затруднительным вследствие большого числа электрон-электрон-ных отталкиваний, которыми мы до сих пор для простоты пренебрегали. В 1927 г. Хартри для разрешения этой проблемы при расчете волновых функций атомов предложил метод, который теперь известен как метод самосогласованного поля (ССП) и который позднее был видоизменен Фоком с учетом принципа Паули. В этом методе предполагается, что каждый электрон движется в сферически-симметричном потенциальном поле, создаваемом ядром и усредненными полями всех других электронов, за исключением рассматриваемого. Расчет начинают с приближенных волновых функций для всех электронов, кроме одного. Определяют средний потенциал, который обусловлен другими электронами, а затем решают уравнение Шредингера для этого одного электрона, используя средний потенциал, обусловленный другими электронами и ядром. С полученной волновой функцией проводят более точный расчет среднего поля и затем из уравнения Шредингера определяют приближенную волновую функцию для второго электрона. Этот процесс продолжают до тех пор, пока набор вычисленных волновых функций будет незначительно отличаться от предыдущего набора. Тогда говорят, что данный набор волновых функций самосогласован. Для расчета волновых функций многоэлектронного атома требуются трудоемкие вычисления. Обсчет какого-либо конкретного атома методом самосогласованного поля дает ряд атомных орбиталей, каждая из которых характеризуется четырьмя квантовыми числами и характеристической энергией. В противоположность атому водорода в этом случае орбитальные энергии зависят как от главного квантового числа п, так и от орбитального квантового числа I. [c.396]

Химическая связь, как показали в свое время на примере молекулы водорода Гейтлер и Лондон, образуется за счет увеличения (но сравнению с невзаимодействующими атомами водорода, находянщмися на том же расстоянии, что и в молекуле) электронной плотности между атомами. Это увеличение в расчетах по методу МО учитывается с помощью так называемых интегралов перекрывания. Электроны в основном состоянии молекулы занимают орбитали с наи-низшей энергией. На каждой орбитали может находиться по два электрона с нротивополоншыми спинами. Здесь к этой общеизвестной школьной модели добавляется одна тонкость. Вследствие электростатического взаимодействия электроны отталкиваются, в результате чего даже два электрона, находящиеся на одной и той же молекулярной орбитали, имеют тенденцию двигаться по возможности на большем удалении друг от друга. Решение уравнения Шредингера для атома водорода облегчается тем, что единственный электрон 1 этого атома обладает сферической симметрией. В атоме гелия атомная орбиталь вследствие взаимного отталкивания двух электронов 1 уже не обладает сферической симметрией, и с этим связаны трудности в расчетах распределения электронной плотности в атоме гелия. Энергия корреляции движения электронов может достигать примерно 20% общей электронной энергии молекулы и в расчетах учитывается с помощью интегралов электрошого отталкивания . Кроме того, в молекуле существует еще конфигурационное взаимодействие — взаимодействие между самими молекулярными орбиталями. Волновая функция, учитывающая конфигурационное взаимодействие, аналогична по своей записи уравнению для волновой функции, приведенному в 1 этой главы, однако вместо <рг волновых функций атомных орбиталей в ее выражение входят Ф, — волновые функции атомных или молекулярных конфигураций . Под конфигурацией понимается способ распределения электронов по атомным (в атоме) или молекулярным орбиталям (в молекуле). Поясним это понятие на простом примере атома лития, имеющего 1 и электрона. В зависимости от того, находится ли атом в основном или в возбужденном состоянии, электроны по-разному располагаются на двух орбиталях 1 22х и 1 2 2. Таким образом, полная волновая функция, учитывающая конфигурационное взаимодействие, для атома лития будет иметь вид [c.91]

Простейшей атомной системой является атом водорода, состоящий из ядра, в составе которого имеется один протон с зарядом е, и одного вращающегося вокруг него электрона с зарядом —е. Поскольку масса ядра значительно больше массы электрона, движением ядра можно пренебречь и включить в уравнение Шредингера лишь кинетическую энергию электрона и производные гр-функции по его координатам. [c.19]

Теперь мы рассмотрим решения уравнения Шредингера для четырех простых систем 1) частица в ящике, 2) гармонический осциллятор, 3) жесткий ротатор и 4) атом водорода. Эти примеры показывают, насколько предсказания квантовой механики отличаются от результатов классической механики. [c.375]

Подробное рассмотрение уравнения Шредингера и его решение являются предметом курса физики и требуют значительной математической подготовки и поэтому в нашем курсе не приводится. Это очень сложное дифференциальное уравнение, которое дает точные решения лишь для очень простых систем, какой, например, является атом водорода. [c.41]

Формы атомных орбиталей. Рассмотрим простейшую модель — атом водорода В этом случае единственный электрон вращается вокруг ядра, находящегося в начале координат При этом он может находиться на различных энергетических уровнях и соответственно этим уровням может существовать в нескольких энергетических состояниях, причем основное состояние отвечает минимуму энергии Для атома водорода в основном состоянии полученные решения уравнения Шредингера (Ч ) имеют сферическую симметрию Существует несколько способов их изображения Мы рассмотрим наиболее наглядные [c.42]

Поле центральных сил — кулоновского типа оно включает притяжение электронов к центральному положительно заряженному ядру, и эти силы гораздо больше всех остальных, как и должно быть, чтобы атом был стабильным. Прототипом в этой части проблемы является атом водорода или водородоподобный ион, а поэтому решение уравнения Шредингера для атома водорода дает схему одноэлектронных орбит, которые могут заполняться электронами поочередно в соответствии с принципом заполнения и принципом Паули [32, 46, 152]. [c.218]

Лэмбовский сдвиг ). Несмотря на такое, казалось бы, прекрасное согласие теории и эксперимента, изучение тонкой структуры водородных уровней продолжалось, причем с привлечением все более и более совершенной техники. Это связано с тем, что атом водорода представляет собой единственную систему, для которой и уравнение Шредингера и уравнение Дирака допускают точное решение. По этой причине экспериментальная проверка теории атома водорода имеет крайне важное значение для теории Расхождение теории с экспериментом в этом случае не может быть отнесено за счет плохого приближения или неточности вычислений. Поэтому когда в 1934 г. появились первые указания на то, что в противоречии с теорией уровень лежит примерно на 0,03 см" выше уровня Т [c.32]

Из уравнения Шредингера без каких-либо добавочных требований вытекает, что атом водорода (и сходные с ним ионы) может находиться лишь в ряде прерывных энергетических состояний со значением энергии, даваемым выражением (1155). [c.483]

I. Строение атома водорода. Атом водорода имеет наиболее простое строение один электрон движется в поле ядра. Для такой системы функция потенциальной энергии, входящая в уравнение Шредингера, имеет вид [c.23]

Атом водорода. Первым успехом волновой механики явилась последовательная теория атома водорода, основанная на решении уравнения Шредингера с потенциальной энергией, равной — е /г. Как ни удивительно, Шредингер знал ответ. Дело в том, что Нильс Бор, исходя из законов классической механики и навязав ей, казалось бы, незаконные требования, нашел дискретные электронные энергетические уровни в атоме водорода, а предположив, что излучение и поглош,ение световых квантов есть результат перехода электрона с уровня на уровень, получил правильную картину спектра. Не придерживаясь исторической последовательности событий, заметим как оказалось в дальнейшем, подход Бора совпадает с квазиклассическим приближением, справедливым в случае, когда действие велико по сравнению с Н. (Действие — механическая характеристика движения той же размерности, что и постоянная Планка [эрг -с]). Несомненной удачей и Бора, и Шредингера было то, что задача об атоме водорода принадлежит к редкому классу задач, в которых решение, полученное в квазиклассическом приближении, совпадает с точным (по крайней мере для уровней энергии электрона). [c.192]

Так вот, уравнение Шредингера ничем не лучше уравнений классической механики при решении проблемы многих тел. Атом водорода, содержащий всего два заряженных тела—протон и электрон, поддается полному расчету. А для молекулы водорода нужно решать задачу приближенно. Такое решение было получено Гайтлером и Лондоном в 1927 году. [c.118]

Уравнение Шредингера представляет собой сложное дифференциальное уравнение, и его можно решить точно только для очень простых систем. Одной из таких систем является атом водорода. [c.21]

Мы начнем изложение с рассмотрения несложной задачи, на примере которой можно проиллюстрировать методы нахождения точных решений уравнения Шредингера для простых систем и в то же время показать, почему для других систем получить точные решения не удается. Рассмотрим, атом водорода — систему, состоящую из двух частиц, протона и электрона, движущихся под действием взаимного кулоновского притяжения. Для простоты примем, что атом закреплен так, что протон жестко фиксирован в начале нашей системы координат впоследствии мы рассмотрим уточнения, которые необходимо ввести для учета свободного движения атома (см. рис. 2.1). [c.41]

Эту процедуру можно применить к атому водорода, если преобразовать уравнение Шредингера в сферические координаты. В такой системе координат ) оператор Гамильтона приобретает вид [c.43]

Теперь очередь дошла и до Эрвина Шредингера, который занимался математической физикой и мог за завтраком на салфетке записать и решить волновое уравнение для осциллятора. Он сопоставил уже известные факты — то, что атом водорода дает линейчатый спектр (подобно колеблющейся струне) и что электрон способен к дифракции, подобно волне (это было предсказано де Бройлем). Дважды два — четыре,—сказал Шредингер,—а линейчатый спектр атома водорода показывает, что уравнение движения электрона в атоме должно быть уравнением волнового типа с граничными условиями, определяющими возможные значения энергии . Это смелое решение и было рождением квантовой механики. [c.29]

Мы уже знаем, что атом водорода может содержать только определенные количества энергии. Эти определенные энергии, именуемые уровнями энергии, а также карту электронной плотности дает уравнение Шредингера. Как энергия, так и вероятность распределения электронов зависят от целых чисел, аналогичных тем, которые [c.35]

Атом водорода —простейший из всех, которые изучает химия. Решение уравнения Шредингера для него позволило определить стационарные состояния атома, рассчитать его спектр и распределение электронного заряда внутри атома и обьяснить на основе этого его химическое поведение. Обобщение получеггных выводов в сочетании с некоторыми добавочными принципами позволило понять физическую сущность периодического закона и объяснить химические свойства элементов. Поэтому знакомство с химическими системами начинаем с атома водорода и водородоподобных атомов (одноэлектронных атомов с зарядом ядра 4-Ze). Примером водородоподобных систем служат ионы Не , Li +, Ве - и т. д. [c.16]

Волновое уравнение Шредингера для атома водорода описывает электрон как волну в трех измерениях. Совершенно естественно поэтому, что для]полной характеристики каждого такого состояния энергии атома водорода необходим набор из трех целых чисел. Эти величины называются квантовыми числами. Каждый набор квантовых чисел соответствует одной из возможных энергий атома, а также картине распределения вероятности, по которой можно судить о положении электрона. На рис. 1.11 и 1.12 изображен атом в низшем энергетическом состоянии. Более высоколежащие уровни энергии соответствуют более сложному пространственному распределению. Пространственные распределения в случае атома соответствуют орбитальным траекториям, которые описывают классическое движение планет в солнечной системе. Если бы можно было сжимать солнечную систему до любого размера, то, когда Солнце достигло бы массы протона, орбитальная траектория превратилась бы в квантовомеханическое распределение вероятности и выражалась бы через Поэтому такую картину распределения вероятности ученые также называют орбиталью. Однако следует помнить, что под орбиталью теперь подразумевается картина, аналогичная рис. 1.11, а представления о траектории термин орбиталь уже не содержит. [c.36]

Атом водорода — первая химическая электронная система, которую мы будем изучать при помощи квантовой механики. Мы будем опираться на три основных принципа, изложенные в разд. 3.6, которые применимы ко всем таким системам закон сохранения энергии (уравнение Шредингера), учет спина и принцип Паули. [c.53]

Уравнение Шредингера является основой всей квантовой механики. Однако решение этого уравнения связано с некоторыми трудностями. Как видно, уравнение Шредингера представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение, т. е. нахождение такой функции г)), которая в данном случае описывает движение электрона в атоме (молекуле), возможно только в простейших случаях. Примером таких простейших систем является атом водорода (один электрон движется в поле одного протона), водородоподобные ионы (He" " и т. п.) и ион (электрон движется в поле двух протонов). В остальных случаях, вследствие необходимости учета взаимодействия всех частиц системы, уравнение Шредингера принимает настолько сложный вид, что его решение невозможно даже с помощью современной мощной вычислительной техники. Поэтому в квантовомеханических расчетах, как правило, прибегают к различным упрощениям, в результате чего получают уравнения, математическое решение которых уже возможно. Таким образом, создаются приближенные квантовомеханические теории строения атомов и молекул. Характер этих теорий и границы их применения зависят от характера допущенных упрощений. [c.79]

Атомные орбитали и их заполнение электронами. Для более тяжелых атомов, чем атом водорода, могут быть написаны уравнения Шредингера, но их нельзя решить точно из-за математических трудностей. Однако воз-можны приближенные решения, из которых можно сделать важные выводы. Многие сведения о строении электронных оболочек атома могут быть получены, как это первым показал Бор (1922), при исследовании оптических спектров и химических свойств. [c.81]

Лучше всего это проиллюстрировать на конкретном примере. Возьмем атом водорода в низшем (основном) состоянии. Для этого случая решение уравнения Шредингера приводит к волной функции вида 14 = (1/мо ) ехр(-гЛзо), где ао=0.5Ъ А - раднус Бора, г - расстояние от центра ядра. С помощью этого уравнения можно рассчитать, что вероятность (пропорциональная найти электрон внутри небольшой сферы объемом 1 им (около 1/100 объема атома) в точке, отстоящей на 0.5 А от ядра, составляет 15% от вероятности найти электрон у самого ядра, а вероятность найти электрон иа расстоянии 1 мм от ядра столь мала (десять в стенеин -(10 )), что ею можно полностью пренебречь. Однако конечная вероятность найти электрон даже в 1 км от ядра не равна нулю. [c.8]

Атом водорода трехмерен, ноэтом уравнегше Шредингера должно включать кинетическую энергию во всех трех измерениях и будет иметь несколько более сложный вид, чем представленное в разделе 1.1 этой главы уравнение для одномерного движения. При его решении с наложершем граничных условии, которые вытекают из вероятностной интерпретации волновой функции, бьши получены следуюшде выводы. [c.10]

При этом атомные волновые функции считаются известными и соответствующими невозбужденному атому водорода Затем про изводят уточнения Но уже в нулевом приближении квантово химически обосновывается существование ковалентной связи Поскольку общее решение уравнения Шредингера как дифференциального уравнения второго порядка должно содержать две произвольные постоянные Гайтлер и Лондон составили это решение в виде линеиной комбинации частных решений [c.29]

В рассмотренных простых случаях (например, атом водорода) удается решить уравнение Шредингера точно К сожалению, такая ситуация является скорее исключением, нежели правилом Известно лишь небольшое число задач, для которых возможно точное решение уравнений Шрёдингера Большинство задач, представляющих именно практический интерес, приводится к таким уравнениям, которые точно не решаются В 1 6 очень кратко обсуждался вопрос о принципе нахождения приближенного решения уравнения Шрёдингера Сейчас несколько более детально рассмотрим один способ, который имеет наибольшее распространение в теории электронных оболочек многоатомных молекул Пофобно вся математическая сторона дела будет изложена в гп 6 [c.71]

Главные и побочные квантовые числа в волновой механике. Значения е, получающиеся из уравнения (32) или (33), являются собственными зна->чениями уравнения Шредингера в применении к атому водорода. С каждым из этих собственных значений, характеризующихся главным квантовым числом га, связано несколько собственных функций. Эти функции отли- [c.121]

Метод валентмых свя- В 1927 г. Гейтлер и Лондон на примере образования молекулы водорода из свободных атомов впервые предложили научно обоснованную теорию химической связи. Они решили, хотя и приближенно, уравнение Шредингера для молекулы водорода, используя при этом принцип Паули. Оказалось, что образование молекулы водорода из свободных атомов может осуществиться путем обобществления обоими атомными ядрами двух электронов свободных атомов, причем оба электрона должны иметь противоположно направленные спиновые моменты. Этот вывод в дальнейшем привел к рассмотрению образования любых молекул из атомой путем обобществления двумя атомными ядрами двух электронов по одному от обоих химически связывающихся атомов. Эта обобществленная двумя атомными ядрами пара электронов осуществляет химическую связь между атомами и ее назвали связью ковалентной. В формировании этой химической связи должны принимать участие так называемые неспаренные электроны свободных атомов — электроны с одинаковыми значениями целочисленных квантовых чисел, но с противоположным по знаку спиновым квантовым числом. Таким образом,, число связей, которые может сформировать атом, равно числу его неспзренных электронов. В соответствии с этим валентнр- [c.26]

Рассмотрим подробно уравнение Шредингера для простейшей системы, представляющей собой микрочастицу ( микроволницу ), которая находится в центральном поле, создаваемом электрическим зарядом. Будем считать систему стационарной, т. е. не изменяющейся во времени. Такой системой является атом водорода. В нем электрон движется в центральном поле, создаваемом протоном. Для электрона [c.19]

Волновое уравнение Шредингера представляет собой дифференциальное уравнение 2-го порядка с частными производными. Волновая функция должна удовлетворять следующим условиям. Она должна быть однозначной и конечной во всем пространстве, быть непрерывной и иметь непрерывную производную, а также удовлетворять определенным граничным условиям. Решения волнового уравнения, отвечающие этим условиям, существуют лишь при некоторых определенных значениях соответствующего параметра уравнения, которым для наших задач служит полная энергия Е. Такие значения параметров называют собственными значениями El, Ei, Ез,. .. а отвечающие им значения волновой функции tlJi, фг, ips, . — собственными функциями, причем совокупность таких значений энергии называют энергетическим спектром. Можно показать (см. ниже), что условием существования дискретного спектра служит ограниченность пространства, в котором находится частица. В противном случае энергетический спектр является непрерывным. Так, рассматривая атом водорода, можно убедиться, что уравнение (XVni, 1) имеет непрерывные, всюду конечные и однозначные решения только при определенных значениях полной энергии Е. Причем эти значения одинаковы со значениями энергии соответствующих стационарных состояний атома водорода по теории Бора. Таким образом, волновое уравнение (XVIH, 1) приводит [c.702]

Раз уж мы удостоверились, что квантовая механика объясняет свойства атомов и молекул, то нам подобает приспособить ход наших рассуждений к этой модели. Атом водорода —это пример, из которого можно получить наибольшее количество информации, ибо для него возможно точное решение уравнения Шредингера. Ни для какой другой системы из атомов (или молекул), включающей два или более электрона, точного решения нет, хотя можно ввести приближения, которые позволят подойти очень близко к истинным решениям. Такие многоэлектронные атомы будут рассмотрены в гл. 2, когда можно будет воспользоваться всемиТпреимуществами четкого понимания строения атома водорода. [c.35]

Атом водорода с его единственным электроном — наиболее удобная модель для применения уравнения Шредингера к описанию свойств электрона в атоме. Чтобы репшть уравнение, надо разделить его переменные. Такая математическая операция оказывается возможной при замене декартовых координат на сферические (рис. 2). [c.30]

Книга Козмана начинается с изложения основных математических нонятий и методов, используемых в квантовой механике. Сюда относятся элементы алгебры операторов, решение дифференциальных уравнений, разложение функций в ряды и т. д. Далее подробно излагается классическая теория колебаний, аналогии с которой широко используются в квантовой химии. Вторая часть книги посвящена рассмотрению основных принципов квантовой механики, сформулированных в виде законов и следствий, и применению уравнения Шредингера к большому числу конкретных задач (осциллятор, частицы в ящиках, прохождение через потенциальные барьеры, атом водорода и т. д.). Детально изложен вопрос об угловых моментах. В третьей части рассматриваются многоэлектронные атомы. После всей этой большой подготовительной работы автор переходит к рассмотрению молекул. При этом детально рассматриваются сравнительно простые молекулы, вопросы теории направленных валентностей, расчет молекулы бензола и т. д. Автор не ставит своей целью изложение всего огромного материала, который имеется в настоящее время по расчету различных молекул, а подробно рассматривает простейшие примеры, что хорошо подготовляет читателя для самостоятельной работы и понимания оригинальной текущей литературы. [c.6]

Основными характеристиками спектра поглощения являются частоты, интенсивности и форма линий поглощения. В принципе эти величины могут быть точно рассчитаны для атомных и молекулярных переходов. Практически это сделать невозможно для систем более сложных, чем атом или молекула водорода, поэтому прибегают к различным приближениям. Детальное рассмотрение этого вопроса выходит за рамки данной книги. Заметим просто, что решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к ряду собственных значений с дискретным набором состояний, энергия которых зависит в основном от главного квантового числа и имеет порядок величины, показанный на диаграмме энергий Гротриана (рис. 2-2). Положение линии в спектре поглощения определяется энергией, требуемой для перевода атома из низшего в верхнее состояние. Например, линии серии Лаймана для атома водорода начинаются от 1216 А и простираются в область вакуумного ультрафиолета. Вторая серия (Бальмера) начинается от 3970 А и продолжается в видимой области. [c.42]

Главные и побочные квантовые числа в волновой механике. Значения 8, нолучаюш иеся из уравнения (32) или (33), являются собственными значениями уравнения Шредингера в примеиенни к атому водорода. С каждым из этих собственных значений, характеризующихся главным квантовым числом п, связано несколько собственных функций. Эти функции отличаются еще двумя квантовыми числами I и т, которые также являются целыми и называются побочными квантовыми числами. [c.109]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология