Единственно возможное стационарное состояние

Очевидно, что устойчивое стационарное распределение температур в зерне возможно только в том случае, когда уравнение (111,84) разрешим. Если правая часть этого уравнения Тт)—монотонная функция Тт, то оно при всех обстоятельствах имеет одно решение, определяющее единственное устойчивое стационарное состояние системы. Если же у функции [c.144]

Для обоих модельных уравнений было найдено, что каждому е соответствуют единственные значения волновых чисел ж- и у-валов кх = к. и ку = ку, при которых возможно стационарное состояние. Если вначале [c.144]

Из уравнения (12.П16) сразу же становится ясно, как можно построить требуемую функцию. Правая часть — не что иное, как произведение входной мощности и эффективности. Теперь уравнение (12.П14) охватывает все возможные траектории между заданными пределами и, следовательно, те траектории, которые включают стационарные состояния из совокупности, описываемой уравнением (12.П16). Другими словами, среди траекторий, описываемых уравнением (12.П14), имеются и такие, которые встречаются или пересекают кривую ар. Во всех таких точках правая часть уравнения (12.П14) должна совпасть с правой частью уравнения (12.П16). Это означает, что всякий выбор пределов для выходного потока и силы связан с единственной совокупностью стационарных состояний, в которых уравнение (12.П14) в основном выражает взаимосвязь между мощностью на входе, выходе и нагрузочным сопротивлением. В этих состояниях каноническая форма уравнения (12.П14) сводится к характеристической форме, включающей простую функцию переноса — эффективность, и потому следует ожидать, что во всех других состояниях она должна содержать существенные черты математической структуры этой функции. [c.305]

Рис. 111-23 иллюстрирует возможность появления нескольких стационарных состояний. Возле входа в реактор частицы могут находиться в единственном стационарном состоянии, так как прямые [c.266]

Высокой чувствительности, связанной с множественностью стационарных состояний, следует избегать, если только возможные единственные состояния удовлетворяют требованиям к степени превращения. Стационарное состояние, которое определяется линией А на рис. П-2а, например, соответствует очень низкой степени превращения. Более приемлемый уровень реакции основан на единственном стационарном состоянии, определяемом линией С, однако в этом случае при расчете предполагается, что необходимый наклон, а также параметры точки пересечения будут экономически выгодны. Вопрос о множественности стационарных состояний затронут здесь, чтобы показать необходимость согласованности различных противоречащих друг другу задач. [c.33]

Любое большее значение, чем это, тоже будет приемлемо с точки зрения предотвращения размыва всех свободных радикалов в реакторе по-видимому, возможны и несколько меньшие значения. Значительное снижение этого уровня, вероятно, слишком приближает к единственному стационарному состоянию при = 0. Время пребывания при = 100 мин равно У1д 20 мин. [c.49]

В первом разделе этой главы со ссылкой на рис. -1 отмечалось, что установление единственности и устойчивости в малом стационарного состояния еще не обеспечивает необходимой формы траектории. То же можно сказать об области асимптотической устойчивости, поскольку установление ее существования еще не обеспечивает возможности численного расчета. Действительно, система с областью асимптотической устойчивости может быть практически бесполезной, если ее траектории выходят за допустимые пределы, в то время как неустойчивая в малом система может удовлетворять инженерным требованиям, если ее траектории остаются внутри допустимой области. С этой точки зрения требуется новое определение устойчивости, которое полностью отвечало бы практическим целям расчета. [c.102]

Даже когда учитываются такие явления, как противоток, и допускается возможность неединственности решений, появление множественных стационарных состояний в общем не обязательно и зависит от значений параметров, характеризующих изучаемую систему. Численные исследования уравнения (VI, 12), проведенные Раймондом и Амундсоном (1964 г.) дают единственное либо множественные решения в соответствии с выбранными значениями параметра. Предполагается, что кинетика описывается уравнением реакции первого порядка, которое с учетом линейного соотношения (VI, 11) дает [c.130]

Предполагается, что концентрация субстрата для первой стадии реакционного пути постоянна и скорость на этой стадии пропорциональна нелинейной управляющей функции /. Обычная функция / для управления с отрицательной обратной связью имеет вид 1/(1 -I- К5Р ), где р — коэффициент ингибирования первой реакции. Предполагается, что все другие реакции в последовательности, указанной на схеме, являются реакциями первого порядка, обычно благодаря тому обстоятельству, что соответствующие ферменты при нормальных условиях весьма далеки от насыщения. Для таких функций имеется единственное стационарное состояние и может быть получено соотнощение между рил, гарантирующее, что это состояние асимптотически устойчиво при всех выборах констант скорости. Кроме того, когда при некоторых значениях параметров возможна неустойчивость, могут быть получены аналитические оценки области в пространстве параметров, в которой стационарное состояние глобально асимптотически устойчиво численные расчеты показывают, что эти оценки оказываются довольно точными [13, 19]. [c.324]

По сравнению с данным значением Ul(q p) = 1,6, при котором возможны множественные решения, определение (а) очень грубое, а определение (б) вполне приемлемое. Переход от единственности к множественности стационарного состояния происходит, вероятно, при U/(q p) 2. Большая точность расчетного определения (б) обусловлена тем, что температура реактора в стационарном состоянии близка к значению, которое соответствует максимуму dR/dT. Подтвердить это можно путем вычисления Т из уравнения (II. 86) [c.46]

Второй класс автоколебательных систем характеризуется тем, что автоколебания в них существенно зависят от скорости подачи исходных реагирующих веществ в реактор. В этом случае колебательное поведение системы обусловливается соотношением скоростей транспорта реагирующих веществ в реактор и собственно химической реакцией. Для описания динамического поведения реактора идеального смешения наряду с системой уравнений типа (7.18), описывающей протекание процессов на элементе поверхности, необходимо рассматривать уравнения, описывающие изменения концентраций реагирующих веществ в газовой фазе [116, 131]. Взаимодействие реакции, скорость которой нелинейна, с процессами подачи реагирующих веществ в реактор идеального смешения обусловливает при определенных значениях параметров возникновение нескольких стационарных состояний в режимах работы реактора. При наличии обратимой адсорбции инертного вещества (буфера) в системе возможны автоколебания скорости реакции. При этом на поверхности сохраняется единственное стационарное состояние, и автоколебания обусловлены взаимодействием нелинейной реакции и процессов подвода реагирующих веществ в реактор. [c.319]

Пусть среда является ждущей, т. е. стационарная точка Р единственна и лежит на устойчивой (для определенности — левой) ветви -образной изоклины (см. рис.5.21). Для одиночного импульса переключение на фронте происходит при значении v == Uq, отвечающем стационарному состоянию элементов среды. Поскольку точка Р лежит выше А, фронт может быть лишь триггерной волной. Чтобы переключение было вообще возможным, необходимо, чтобы Q (vq) было положительным, т. е. [c.168]

Работа [7.22] по моделированию адиабатических реакторов с неподвижным слоем, посвященная коксообразованию, упоминалась в связи со случаем, когда зерна катализатора имеют единственное квазистационарное состояние. При этом была также рассмотрена возможность существования не единственного квазистационарного состояния для зерна катализатора было найдено, что эти состояния возникают, когда парциальное давление реагента увеличивается от 0,07 до 0,16 (другие данные были аналогичны тем, которые приведены в табл, 7.1). Если существуют не единственные стационарные состояния, то результирующие профили зависят от начальных условий, а также от условий проведения процесса. Для следующих приме- [c.179]

Как следует из (3.73), для того чтобы был возможен единственный стационарный режим, величина (3.82) должна быть достаточно малой. Таким образом, наиболее вероятно, что единственное стационарное состояние возможно в случае реакции с малыми значениями энергии активации и (или) малыми значениями теплоты реакции. Увеличение этих параметров приводит к возможности появления множественных стационарных режимов. [c.170]

Из рис. 3.9 можно видеть, что область возможной неединственности стационарных состояний увеличивается с ростом среднего времени пребывания частиц в реакторе. Так, при /°=100 сек множественные режимы возможны вплоть до 2аь=9,4 см при больших значениях эффективного диаметра существует единственное решение, которому отвечают низкие значения концентрации реагента в газе плотной фазы. В частности, при 9,4 см<2аъ< см концентрация практически равна нулю. [c.173]

ПО условиям протекания химической реакции. Тогда единственным устойчивым конечным состоянием, соответствующим стационарному режиму распространения детонации, оказывается точка J фиг. 44, и детонация распространяется со скоростью, соответствующей этой точке, т. е. с минимальной из всех возможных скоростей. [c.292]

Непомнящий с соавторами [243, 244] проанализировали систему связанных амплитудных уравнений (3.24) для случая, когда единственная структурная граница ж = О разделяет две полубесконечные структуры, каждая из которых сама по себе устойчива. В частности, для двух систем валов, волновые векторы которых к (I = 1,2) образуют углы Oj с осью х (причем ни один из углов i не близок к тг/2), было найдено, что стационарное состояние возможно, лишь если ki = кс для обеих систем. Для однородной стационарной системы прямых валов с волновым числом k кс- - q, согласно (3.22), [c.145]

Приведенный нами пример подтверждает, что самое непосредственное обобщение детерминированных понятий на стохастический случай дает наилучшие результаты. Качественное изменение стационарного состояния однозначно отражается на экстремумах плотности вероятности. Единственным исключением является переход от вырожденной к подлинно случайной величине. В этом случае наилучшим индикатором перехода служит дисперсия. Во избежание возможных недоразумений подчеркнем, что мы не сосредотачиваем все внимание на экстремумах плотности вероятности рз(х), т. е. на наиболее вероятных значениях. В частности, мы отнюдь не утверждаем, что максимумы определяют стационарное распределение вероятности. Внешний шум имеет макроскопическую природу и не мал по сравнению с внутренними флуктуациями, что, естественно, приводит к расширению переходной зоны и уширению пиков, но не исключает возможность экспериментального наблюдения. Ввиду важности [c.162]

Из (16) следует, что ири фиксированных внешних параметрах (V, к , к ) существует единственный независимый параметр (R), определяющий возможное стационарное состояние. Из (16) также видно, что при заданном значении К могут существовать два действительных значения хд . Следовательно, в системе реализуются два стационарных состояния, соответствующих полной конверсии реагента А. Приравнивая к нулю подкорешое выражение в (16) получим выражение для минимального потока рецикла, необходимого для полного исчерпывания реагента А [c.131]

Смена возможных стационарных состояний рассматриваемой нелинейной системы и их устойчивости бифуркация), которая происходит при прохождении параметра R через точку R = R , проиллюстрирована на рис. 2,0. Два нетривиальных состояния, возникающие (или, как говорят, ответвляющиеся) в точке бифуркации R = R , существуют в области R> R , где, согласно линейной теории, первичное неподвижное состояние неустойчиво. Это — случай надкритической, или прямой, или нормальной бифуркации. Если же такие нетривиальные состояния системы возможны (хотя и неустойчивы) в той области значений управляющего параметра, где первичное состояние линейно устойчиво, то имеет место подкритическая, или обратная, бифуркация — см. рис. 2, . Оба типа бифуркаций иногда объединяются названием симметричные бифуркации (или бифуркации типа вилки, в англоязычной литературе — pit hfork bifur ations), в общем случае единственное устойчивое состояние, существующее по одну сторону от точки бифуркации, — не обязательно неподвижное состояние. [c.26]

Но Qi и Qa зависят от Г, причем зависит нелинейно [в кинетической области W = onstj-exp (— onsta/r)], а Q, — линейно Kj, FIV и Гдн — постоянны). Для характерных кривых Qi(T) и Q2 (Т) хможем получить графики, приведенные на рис. V-3. В общем случае возможны отсутствие решения (линии и не пересекаются), единственное решение (одна точка пересечения), два или три решения (две или три точки пересечения). Расчетная множественность стационарных состояний означает лишь, что реальный процесс выберет одно из них, наиболее устойчивое, которое и следует определить при расчете. При анализе физико-химических процессов с несколькими стационарными состояниями важно также изучить возможность перехода из одного стационарного состояния в другое при небольшом изменении состава или характеристик сырья. [c.158]

Проведенный анализ показал, что при избытке реагента А на входе в сис-те.му в случае одной реакции фиксирова1гаому объем реактора н потоку рецикла соответствует единственное стационарное состояние, отвечающее неполной конверсии реагентов. При учете побочной реакции возможно существование еще двух стационарных состояний, соответствующих полному превра-щеншо реагентов и отличающихся составом рециркулирующего потока. [c.181]

Выражение (IV, 47) идентично неравенству (II, 47), которое было определено ранее как достаточное условие единственности стационарного состояния и интерпретировалось как температурная зависимость тепловыделения и теплоотвода. Условие единственности касается всех возможных температур, представляющих интерес, в то время как условие устойчивости должно относиться только к стационарному состоянию. В результате проточный реактор с перемешиванием может иметь единственное стационарное состояние, которое неустойчиво [если, например, неравенство (IV, 47) справедливо при всех температурах, но условие (IV, 40а) нарушается при стационарном состоянии], или устойчивое стационарное состояние, которое не будет единственным стационарным состоянием [если неравенство (IV, 47) удовлетворяется при стационарном состоянии, но нарушается при других температурных условиях]. Представление о необходимости теплового баланса более раннее, чем произведенный здесь анализ устойчивости стационарного состояния, и восходит по крайней мере к Ван Хирдену (1953 г.). [c.86]

Так как термин стационарное состояние означает только условие, при котором все производные по времени от переменных состояния равны нулю, то для исследования устойчивости и множественности решений необходимо более точно определить систему. Выше было показано, что для трубчатых реакторов идеального вытеснения возможны только единственные профили. Однако когда процессы в реакторе более сложны, существует возможность появления множественных стационарных состояний [Ван Хирден (1958 г.)1. Противоточное движение может быть результатом не только рецикла или управления с обратной связью, но и эффектов обратного перемешивания, как это показано в экспериментальных работах Вика и Вортмейера (1959 г.). Вика (1961 г.), Падберга и Вика (1967 г.), а также Вика, Падберга и Аренса (1968 г.). [c.130]

Один из аспектов динамики химических реакций связан с предсказанием качественной динамики реакционной смеси на основе информации о топологии реакционной сети и зависимости скоростей от концентраций различных соединений. Для этой проблемы естественным оказывается теоретико-графовый подход, поскольку структура реакционной сети может быть закодирована в направленном графе, ребра которого взвешены в соответствии с внутренними скоростями реакций. Это в свою очередь приводит к факторизации управляющих уравнений, в результате которой эффекты стехиометрии, структуры сети и феноменология скорости реакции могут быть изучены раздельно. На этой основе легко получить некоторые результаты, связанные с динамикой нестационарных и стационарных состояний, при использовании известных или легко доказываемых результатов теории графов. В частности, возможно классифицировать стационарные состояния и разработать алгоритм для определения того, какие из различных типов стационарных состояний, если они вообще возможны, могут существовать в данной системе. Этот подход ведет также к полному описанию глобальной динамики подмножества того, что называется вершинноуправляемыми сетями. Может быть показано, что уравнения для таких систем всегда имеют единственное стационарное состояние, являющееся глобально асимптотически устойчивым. Кроме того, когда такой тип системы периодически возмущается внешним источником, отклик всегда асимптотически периодичен с периодом, равным периоду возмущающей функции. Следовательно, система этого типа может служить в качестве совершенного преобразователя частоты — свойство, необходимое при решении многих биологических задач. [c.322]

Значительный прогресс в понимании особых классов реакционных сетей был достигнут другими исследователями. Ранняя попытка получить глобальные результаты для открытой системы с идеальной кинетикой действующих масс была предпринята Широм [17]. Однако, как отмечено Хиггинсом [6], Я-функция Шира, которая фактически характеризует термодинамическую возможность системы достичь предполагаемого стационарного состояния, не является для всех систем функцией Ляпунова, как это утверждал. Шир. В статье, явившейся поворотной вехой, Хорн и Джексон [9] показали, что, если строго положительное стационарное состояние существует, возможность достижения его характеризуется локальной функцией Ляпунова в том случае, когда поток для стационарного состояния уравновешен. Если можно также установить, что на границах симплекса равновесия отсутствуют, и если точка равновесия находится во внутренней области симплекса, то она единственная и глобально устойчива. Наша формулировка первоначально мотивировалась стремлением распространить эти результаты на системы с кинетическим законом действующих масс в общем случае неидеальных растворов и определить другие классы систем, для которых могут быть сделаны аналогичные выводы. Примеры трудностей, возникающих в случае неидеальных систем, указаны в работе Отмерз [14]. Результаты предшествующего раздела дают представление о том, как могут быть рассмотрены другие классы систем и кинетические уравнения для скорости реакции. [c.347]

Ниже исследуется влияние некоторых параметров реактора на единственность стационарных состояний. Рассматриваются только высокоэкзотермические реакции, при которых возможно появление множественных режимов. Величины физических констант и параметров реактора выбраны в соответствии с работой [106]. Пористость каталитических частиц полагается равной Еве = 0,4 [c.171]