Энтропия как функция вероятности

Общий ход рассуждений, который привел к выводу этого уравнения, можно продемонстрировать на следующем примере. Предположим, что система состоит из двух независимых подсистем, характеризуемых вероятностью U7, и К а. Общая вероятность в соответствии с уравнением (366) равна 1F=W i-W 2. Энтропия системы складывается из значений энтропии подсистем s=si-l-s2. Таким образом, необходимо найти функцию /, связывающую энтропию и вероятность s=f(W). Из свойств вероятности и энтропии системы следует [c.292]

Энтропия, выражаемая в Дж/(моль-К), — одна из термодинамических функций, характеризующих состояния и возможные изменения состояний материальных систем. Каждому состоянию системы соответствует определенное значение энтропии. Следовательно, вероятность различных состояний вещества (газ, жидкое, твердое) можно описать как некоторое его свойство, т. е. количественно выразить значением энтропии. Иногда пользуются и энтропийной единицей (э. е.) 1 э. е. = 4,184 Дж/(моль-К). [c.240]

Из ранее изложенного материала ( 43) известно, что процессы, протекающие в изолированной системе, сопровождаются ростом энтропии в свою очередь все естественные процессы заключаются в переходе системы из менее вероятного в более вероятное состояние, т. е. в постепенном переходе к состоянию равновесия, отвечающему наибольшему значению термодинамической вероятности. Исследуя все это, Больцман сформулировал очень важный принцип современной физики энтропия системы есть функция вероятности ее состояния [c.106]

Вид функции ) можно найти следующим образом (по Планку). Энтропия двух систем при их соединении складывается. Вероятность состояния объединенной системы равна произведению вероятностей состояния отдельных систем. Таким образом, если имеются две системы с энтропиями 51 и 52 и термодинамическими вероятностями 11 1 и 1 2, то энтропия и вероятность объединенной системы соответственно равны [c.43]

Другой важной термодинамической функцией, вводимой вторым началом термодинамики, является энтропия 5 - физическая величина, характеризующая тепловое состояние тела (или системы тел). В термодинамике понятие энтропии было введено для определения меры необратимого рассеяния энергии С. молекулярно-кинетической точки зрения энтропия - мера вероятности осуществления данного состояния системы. [c.58]

Исходя из этого и пользуясь уравнением Больцмана для изменения энтропии как функции вероятности состояния [c.51]

Сказать, что энтропия есть фактор экстенсивности, недостаточно для понимания физического содержания этого важнейшего понятия термодинамики реакций. Обратимся к статистическому толкованию функции 8, впервые предложенному Больцманом в 1897 г. Ученый связал энтропию с вероятностью состояния V системы в данных условиях 8 = ИпК, где к — константа Больцмана, численно равная отношению газовой постоянной к числу Авогадро (/с = Л / = 8,314-10 /6,024-10 = 1,38- 10- эрг / г). [c.32]

Избранные функции распределения, отличающиеся от равновесных, быть может отвечали условию минимума производства энтропии. Вопрос, но-вндимому, нельзя рещить, налагая только это ограничение. Функции, вероятно, должны были служить задачам создания аппаратов регулирования и поэтому могли существенно отклоняться и от этого условия. [c.63]

Энтропия как функция вероятности. Если разные макросостояния газа равновероятны, то совершенно естественно допустить, что газ, предоставленный самому себе, стремится принять наиболее вероятное состояние, т. е. то, которому отвечает наибольшее возможное число микросостояний. Дальше будет доказано, что такое предположение находится в согласии со вторым началом термодинамики. В нашем примере, как было показано, наиболее вероятным состоянием будет равномерное распределение молекул в объеме. Если первоначально все молекулы занимали например лишь левую часть трубки, то через короткое время они распределятся по всей трубке. Если последнюю соединить с другой пустой трубкой, то газ равномерно распределится между обеими. Одним словом, газ стремится равномерно распределиться по всему объему и, как частный случай, расширяться в пустоту. [c.136]

Энтропии отдельно взятых систем являются функциями вероятностей [c.96]

Небезынтересно отметить, что мы пришли к знаменитой задаче об определении вида функции, связывающей энтропию с вероятностью, на основании принципа Больцмана , согласно которому энтропия есть функция вероятности, [c.291]

Очевидно, энтропия сложного опыта Я(аР) должна быть выше энтропии обоих опытов. Я —это аддитивная функция вероятностей [c.23]

Уравнение Больцмана. Л. Больцман сделал допущение, что энтропия есть некоторая функция вероятности, 5 = / ( ). В классической термодинамике доказывается, что в самопроизвольном процессе энтропия возрастает. С точки зрения статистической термодинамики этот же процесс сопровождается возрастанием вероятности W. При равновесии 5 и принимают свои максимальные значения. Вид функции 8 = f (1 ) выводят, исходя из принципа аддитивности энтропии, согласно которому энтропия 5 = / (1 0 системы, составленной из двух независимых систем с энтропиями 81 = f (1 1) и 5 = / (ТУ г). р вна сумме последних, 5 = 4- или [c.102]

Л. Больцман сделал допущение, что энтропия есть некоторая функция вероятности S=/(tt7). Форму этой функции выводят, исходя из принципа аддитивности энтропии, согласно которому энтропия S=f(W) системы, составленной из двух независимых систем с энтропиями и S =f W2), равна сумме последних [c.115]

Критерием равновесия в термодинамике служит такая функция вероятности, которая связана с тепловой характеристикой системы. Эта функция должна обладать сюйством аддитивности и принимать экстремальные значения при равновесии. Такому условию удовлетворяет энтропия. Л. Больцман показал, что энтропия 5 пропорциональна логарифму термодинамической вероятности ш состояния системы [c.56]

Удлинение и напряжение должны рассматриваться в определенном направлении, т. е. в направлении положительной -с-оси. Энтропия как функция вероятности W равна S = k nW. Увеличение х может быть рассматриваемо как соответствующее увеличение длины ). Напряжение соответственно выражается [c.246]

Таким образом, равновесная термодинамика не отводит самопроизвольным неравновесным процессам какой-либо конструктивной роли в структурной организации макроскопической системы. П. Гленсдорф и И. Пригожин отмечают Классическая термодинамика есть, в сущности, теория разрушения структуры, а производство энтропии можно рассматривать как меру скорости этого разрушения [319. С. 9]. Согласно уравнению Больцмана 5 = 1пИ , где X — энтропия, к — постоянная Больцмана, V/ — термодинамическая вероятность. Чем больше число идентичных микроскопических состояний и, следовательно, беспорядочнее макроскопическое состояние системы, тем больше ее энтропия и вероятность реализации. В своем образном сравнении термодинамических функций состояния Зоммерфельд отводит принципу энтропии в гигантской фабрике естественных процессов роль директора , который предписывает вид и течение всех энергетических сделок, а закону сохранения энергии — роль бухгалтера , приводящего в равновесие дебет и кредит. [c.437]

Между тем в рамках термодинамики важно найти критерий сия, определяемый из измерений термических величин. Поэтому образно найти такую функцию вероятности, которая была бы с тепловыми характеристиками и, таким образом, могла быть испо в термодинамике. К такой функции предъявляются два требова должна обладать свойством аддитивности и принимать экстремальные значения при равновесии. С этой целью введем новую функцию — энтропию 3 = к п аи, которая, очевидно, аддитивна. Действительно, для системы, состоящей из двух частей, на основании уравнения (П-1) [c.33]

Состояние системы и направление процессов, протекаюш,их в системе, можно определить с помощью изменения новой термодинамической функции — энтропии. Это понятие было введено в термодинамику Клаузиусом. Энтропия может определяться как мера беспорядка в системе, мера ее однородности в распределении частиц по системе. Чем выше хаос в системе, тем выше значение энтропии, и наоборот. В изолированной системе могут протекать только спонтанные процессы, переводя систему из менее вероятного в более вероятное состояние. [c.82]

Энтропия, как функция термодинамической вероятности системы, характеризует хаотичность расположения ее элементов. В нашем случае, энтропия активации вязкого течения представляет собой разность энтропий активированного и исходного состояний. [c.23]

Соотношение (IV, 17), полученное Больцманом, является основным уравнением статистической термодинамики. Это уравнение связывает основную функцию второго начала классической термодинамики — энтропию — с основной величиной статистической термодинамики— термодинамической вероятностью. Уравнение (IV, 17) позволяет объяснить статистический характер второго начала термодинамики и вывести второе начало термодинамики как следствие постулатов статистической термодинамики. [c.153]

По указанной выше причине в термодинамике вместо термодинамической вероятности пользуются функцией, называемой энтропия и связанной с вероятностью соотношением [c.79]

С термодинамической вероятностью состояния связана функция состояния системы, называемая энтропией S. Эта величина определяется формулой Больцмана [c.188]

Вероятность состояния оценивается энтропией, особой функцией состояния, связанной с теплотой. В изолированной системе, где общая энергия постоянна, развитие любого самопроизвольного процесса обусловлено только энтропийным фактором. В этих условиях энтропия — универсальный критерий возможности, направления и предела протекания процесса. В закрытых и открытых системах в общем случае изменяется как энергия, так и энтропия, и о возможности самопроизвольного процесса судят по другим функциям состояния. [c.90]

Изобарный потенциал 0 = 11—7 5 изохорный потенциал Г = = и—Т8, [ де Н — энталышя (теплосодержание системы) и — внутренняя энергия Т — температура по щкале Кельвина 5 — энтропия , функция вероятности системы (мера хаотичности системы [c.36]

Какая же связь существует между энтропией состояния и его термодинамической вероятностью Как известно, вероятность сложного события пропорциональна произведению вероятностей простых событий, его составляющих. Если представить себе данную систему, состоящую из подсистем, и приписать каждо11 подсистеме вероятность Ю1, то вероятность всей системы будет равна произведению всех Но если энтропия каждой подсистемы 8 , то энтропия всей системы равна не произведению, а сумме всех . А так как задача состоит в том, чтобы найти связь между энтропией и вероятностью, то следует считать, что энтропия пропорциональна такой функции от вероятности, которая удовлетворяла бы условию, что вероятность мультипликативна, а энтропия аддитивна. Такая функция — логарифм. Поэтому (конечно, в результате более строгих математических рассуждений) Л. Больцман пришел к следующей формуле [c.43]

При совместном рассмотрении уравнения изотермы реакции А=КТ1пК, выражения для изменения свободной энергии —АР = ДН — ТДЗЛ и определения энтропии, как функции вероятности состояния Д5 = Й1п У можно установить, что константа равновесия по существу адэкватна вероятности K=W [3]. [c.219]

Следующий важнейший шаг как с точки рения построения кинетической теории газов, так и одновременно с точки зрения развития обш,ей проблемы статистических закономерностей в физике был сделан Больцманом, который, исходя из конкретных представлений механики о взаил5одейстиии молекул га.чл посредством парных столь новений, вывел свое основное интегро-дифференциальное ураипепие для функции расиределения частиц но скоростям. Это уравнение, называел5ое кинетическим уравно нием Больцмана, представляет собой математическую формулировку статистического закона изменения во времени и пространстве распределения молекул газа но скоростям, обусловленное как внешними воздействиями сил и полей па газ, так и взаимодействием молекул газа между собой благодаря их столкновениям. Кинетическое уравнение позволило с помощью /-теоремы Больцмана дать атомистическое истолкование второго начала термодинамики. При этом был вскрыт статистический смысл понятия энтропии, установлена связь энтропии с вероятностью состояний ансамбля частиц газа. [c.14]

Энтропия и вероятность. Выше был рассмотрен с статистической точки зрения вопрос о наиболее вероятном распределении молекул по объему. Этот же вопрос можно рассмотреть также с термодинамической точки зрения. Расширение газа и рарномерное заполнение им всего объема сосуда есть процесс необратимый, протекающий спонтанно, так как он сопровождается увеличением энтропии 2. Только что было показано, что этот же процесс сопровождается увеличением вероятности W состояния. Рассматривая другие термодинамические процессы одновременно с макроскопической и микроскопиМеской точек зрения, можно установить, хотя и не всегда столь просто, как в разобранном примере, что все необратимые процессы, идущие с увеличением энтропии системы, идут вместе с этим и с увеличением вероятности ее состояния. Это приводит к одному из фундаментальных принципов современной физики, открытому Больцманом энтропия системы есть функция вероятности ее состояния [c.408]

Вид этой функции легко найти. Для этого рассмотрим две тепмодинамические системы с энтропиями и вероятностями 5,. [c.408]

Обшая формулировка. Эта функция введена физиком Клаузиусом в 1851 г. Вследствие абстрактного характера ее она всегда служила пугалом для начинающих изучение термодинамики написано много томов в попытках объяснить ее физическое значение и придать ей более конкретный смысл. В данной книге мы будем рассматривать энтропию прежде всего как математическую функцию, дающую простейший путь для количественных приложений второго закона. Сначала рассмокрим классический вывод Клаузиуса, данный почти с той же точки зрения. Более поздние работы Больцмана, Планка, Льюиса и других обнаружили связь энтропии с вероятностью и придали ей ббльшую физическую определенность. Эта трактовка будет рассмотрена очень кратко но автор уверен, что для целей прикладной термодинамики достаточно считать энтропию удобной математической функцией, а не делать упор на ее физическую интерпретацию. Инженер, который интересуется главным образом переходом тепла в полезную работу, может найти удобным рассматривать энтропшо как меру той части превращенной энергии, которая является беспо [c.110]

Недостатком энтропии является ее недостаточная наглядность. Физикам удалось придать энтропии наглядность, связав ее с термодинамической вероятностью состояния в виде уравнения (66). Однако инженерной практике это ничего не дает. Но. оказывается, можно ввести вместо энтропии функцию состояния более нагляд- [c.97]

Все три описанные выше реакции протекают, несмотря на необходимость поглощения при этом теплоты, потому, что их продукты обладают большей внутренней неупорядоченностью, чем исходные реагенты. Пары воды характеризуются большей неупорядоченностью и, следовательно, имеют большую энтропию, чем жидкая вода. Гидратированные ионы NH4 и I имеют большую энтропию, чем кристаллический NH4 I. Газообразные NO2 и О2 обладают большей неупорядоченностью и имеют большую энтропию, чем твердый N2O5. Химическая система стремится не только к состоянию с минимальной энергией или энтальпией, но также к состоянию с максимальной неупорядоченностью (вероятностью, или энтропией). На этом основании следует ввести новую функцию состояния, называемую свободной энерг ией, G. [c.68]

Для объяснения такого монотонного поведения энтропии Больцман, а затем Планк выдвинули гипотезу, что каждому макроскопическому состоянию с заданной энергией можно приписать определенный статистический вес (термодинамическую вероятность), под которым следует понимать число микросостояний, совместимых с указанным макросостоянием. Для системы, находящейся в определенном энергетическом состоянии с уровнем энергии каждая линейнонезависимая функция определяет одно микросостояние, а поэтому статистический вес следует определить, как число линейно-независимых функций, соответствующих данному уровню Если энергия системы определена макроскопически, т. е. задана средней энергией Е, под статистическим весом следует понимать совокупность микросостояний, которые соответствуют этой средней энергии. Разные макросостояния будут иметь разные вероятности их реализации, и процесс достижения термодинамического равновесия, следуя Больцману и Планку, в замкнутой системе можно интерпретировать в среднем как переход от менее вероятных состояний к более вероятным, т. е. [c.289]

Уравнение (367) связывает вероятность с термодинамической функцией состояния — энтропией далее прежде всего следует установить, каким образом в наиболее доступной форме можно выразить вероятность системы многих молекул, учитывая их свойства и параметры. Для этой цели имеет смысл все так называемые фазовые пространства, включающие все молекулы системы, разделить на некоторые подпространства. Так как молекулы отличаются значениями координат пространства и импульсов, оказалось целесообразным представить фазовое пространство (соответственно подпространство) как матгематическое пространство с гфактически бесконечным числом указанных координат. Представим себе, что это большое число молекул разделено на группы, причем в каждой группе значения независимых переменных находятся в некоторых узких границах, например пространственные координаты от X до х+11х, от у до у+(1у, от 2 до г+с12, а в координатах импульсов от рх до рх+(1р,, от ру до ру+йру, от Рг ДО Рг + с1рц, ГДе Рх, Ру К Р — Проекции импульса молекулы на оси координат. Фазовый пространственный элементарный объем, который приписывается отдельной молекуле (называемый также р,-пространством) равен [c.292]

Представим себе один моль воды (18 г НгО) при комнатной температуре и атмосферном давлении. Пусть W (ж) — термодинамическая вероятность состояния этой системы. При понижении температуры до 0° С вода замерзает, превращается в лед при этом молекулы НгО как бы закрепляются в узлах кристаллической решетки и термо-динамическая вероятность состояния системы уменьшается W (к) < энтропия системы 5н,о(к) < < 5н,о(ж). Наоборот, при повышении температуры до 100° С вода закипает, превращается в пар при этом термодинамическая вероятность состояния системы увеличивается (молекулы НгО в паре имеют большую скорость, чем в жидкой воде) W (г)> W (ж). Следовательно, растет и энтропия системы 5н,о<г) >5нгО(ж). Итак, при. р = onst энтропия НгО является функцией температуры Г, [c.105]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология