Состояние детерминированное стационарное

Вместе с тем нельзя не отметить, что экстремумы плотности вероятности рз х) имеют с физической точки зрения более существенное значение. Приведенные выше соображения относительно шумов малой интенсивности о <С 1 показывают, что соответствующие состояния системы могут, рассматриваться как продолжение детерминированных стационарных состояний. В пользу такой интерпретации свидетельствует тот факт, что диффузионный процесс Xt становится эргодическим, если плотность вероятности Рз(х) нормируема. Как известно, из эргодичности процесса Xt следует, что произведение р5(х)(1х равно доле времени, которое произвольная траектория диффузионного процесса проводит в бесконечно малой окрестности точки х. Следовательно, максимумы плотности вероятности Рв х) являются [c.162]

Заметим, что степень многочлена (6.60) на единицу больше по сравнению со степенью многочлена, определяющего детерминированные стационарные состояния. Для простоты рассмотрим сначала случай Я=0. Стационарное решение детерминированного феноменологического уравнения (6.51) есть величина [c.176]

Рис. 7.13. Детерминированное стационарное состояние как функция Р (решение уравнения (7.47)) при различных значениях (сплошные кривые). Штриховые кривые — зависимость экстремумов рз( ), соответствующих случаю а = 4,5 > ас и указанным на рисунке значениям

Рис. 9.15. а—Положение экстремума Ps(g) для калиевой системы как функция V 1фи двух типичных значениях амплитуды Д. Штриховые линии — минимумы сплошные — максимумы, б — Координата экстремумов Рз( ) для натриевой системы как функция у при двух типичных значениях амплитуды Д. При А = 50 мВ единственный экстремум области О почти совпадает (при приведенных значениях у) с нижней границей и. Однако при у о приближается к детерминированному стационарному состоянию = 0,5 Штриховые линии минимумы сплошные — максимумы. [c.361]

На нетермодинамической ветви в области неустойчивых стационарных состояний свойства системы зависят от конкретного вида дифференциальных уравнений, описывающих ее поведение при значениях параметров за точкой бифуркации. Например, система может вести себя как химическая машина с четко детерминированным начальными условиями поведением, однако это поведение может соответствовать и хаосу , при котором малейшие флуктуации вызывают сильные и нерегулярные изменения состояния системы. [c.371]

В приближении детерминированного процесса, полученном пренебрежением L t), можно показать, что при а<с (скорость накачки меньше потерь) поле стремится к нулю. В стационарном состоянии имеется только поле, вызванное флуктуирующим членом. При больших скоростях накачки (а > с) поле возрастает до стационарного значения [c.309]

Разумеется, было бы очень удобно, если бы стохастическая эволюция системы в будущем была предсказуема на основе только той информации, которой мы располагаем в настоящий момент времени I относительно состояния х системы и условий в среде (вся эта информация содержится в вероятности значений <). На более строгом математическом языке вероятность того, что система будет находиться в некоторый будущий момент времени / -Ь Л в состоянии у, должна зависеть только от состояния х системы в настоящее время и от стационарной вероятности (плотности вероятности) Р г), описывающей среду, но не от предыстории. Такая ситуация является самым непосредственным стохастическим аналогом детерминированной ситуации, когда решение Х( ) уравнения (3.1) полностью определено, если задано начальное условие Х(0). Указанное свойство является словесным описанием отличительной особенности марковского процесса. Прежде чем переходить к строгому определению этого важного класса случайных процессов, заметим, что система может обладать указанным выше свойством только при условии, если среда полностью характеризуется одномерной плотностью вероятности ps(г), а не бесконечной иерархией п-мерных плотностей вероятности, как в общем случае. Единственным классом [c.91]

Рассмотрим теперь нелинейную макроскопическую систему, которая достаточно долго была связана со средой, для того чтобы выйти на стационарное состояние. Если среда не изменяется, то стационарные состояния системы определяются нулями правой части детерминированного феноменологического [c.155]

Но вернемся к нашей основной задаче и попытаемся выяснить, как изменяется под действием флуктуирующей среды стационарное поведение системы. Состояние системы определяется случайной величиной. Для того чтобы мы могли описывать детерминированное и стохастическое стационарное поведение в единых терминах, условимся считать, что в детерминированном случае система описывается вырожденной случайной величиной вида [c.157]

Проанализировав предельный случай шума чрезвычайно малой интенсивности а , перейдем теперь к исследованию стационарного поведения макроскопических систем при шуме произвольной интенсивности. В частности, нас будут интересовать явления перехода под действием внешнего шума. В этой связи возникают по крайней мере два вопроса что следует понимать под переходом в макроскопической системе, взаимодействующей со случайной средой, и каким образом можно детектировать такой переход Явление неравновесных фазовых переходов в системе с детерминированными внешними связями ныне хорошо известно и было рассмотрено в гл. 1. Поведение нелинейной системы как функции внешнего параметра лучше всего описывать с помощью соответствующей бифуркационной диаграммы. В определенном диапазоне значений внешних параметров стационарные состояния претерпевают только количественные изменения (или остаются инвариантными). Но при некоторых критических значениях внешних параметров происходят качественные изменения в виде неравновесного фазового перехода второго и первого рода (см. гл. 1). Если внешние связи флуктуируют, то [c.160]

Приведенный нами пример подтверждает, что самое непосредственное обобщение детерминированных понятий на стохастический случай дает наилучшие результаты. Качественное изменение стационарного состояния однозначно отражается на экстремумах плотности вероятности. Единственным исключением является переход от вырожденной к подлинно случайной величине. В этом случае наилучшим индикатором перехода служит дисперсия. Во избежание возможных недоразумений подчеркнем, что мы не сосредотачиваем все внимание на экстремумах плотности вероятности рз(х), т. е. на наиболее вероятных значениях. В частности, мы отнюдь не утверждаем, что максимумы определяют стационарное распределение вероятности. Внешний шум имеет макроскопическую природу и не мал по сравнению с внутренними флуктуациями, что, естественно, приводит к расширению переходной зоны и уширению пиков, но не исключает возможность экспериментального наблюдения. Ввиду важности [c.162]

В случае аддитивного внешнего шума вероятностный потенциал Т(х) и детерминированный потенциал Уя(л ) совпадают с точностью до несущественной постоянной. При этом экстремумы плотности вероятности в точности соответствуют долинам и вершинам ландшафта, задаваемого детерминированным потенциалом. Приведенные выше соображения позволяют обосновать, почему мы отождествляем экстремумы стационарной плотности вероятности с макроскопическими стационарными состояниями системы. Максимумы соответствуют устойчивым стационарным состояниям, минимумы — неустойчивым стационарным состояниям. Подчеркнем, что подобное отождествление экстремумов с стационарными состояниями законно лишь при условии, если поток вероятности /з в стационарном состоянии обращается в нуль. Но как уже отмечалось выше, в рассматриваемых нами системах (а для приложений, как правило, важны только такие системы) встречаются границы, поток вероятности через которые равен нулю. Следовательно, /з действительно тождественно равен нулю. Все это говорит о том, что проводимое нами отождествление экстремумов стационарной плотности вероятности рз(х) с макроскопическими стационарными состояниями имеет под собой прочную основу. Как и в случае равновесных переходов и неравновесных переходов с внутренними флуктуациями, экстремумы плотности вероятности соответствуют фазам системы. Действительно, если стационарная плотность вероятности имеет только один максимум, то система флуктуирует относительно одного макроскопического состояния, т. е. существует в одной фазе. Если же стационарная плотность вероятности имет два или более максимума, то система при одних и тех же внешних условиях может находиться в двух фазах. Вследствие [c.163]

СОСТОЯНИЯ асимптотически глобально устойчивы. С термодинамической точки зрения стоит заметить, что асимптотическая глобальная устойчивость стационарных состояний системы сохраняется при любой интенсивности связей, наложенных средой на систему. Иначе говоря, термодинамическая ветвь является единственной устойчивой ветвью стационарных состояний, возможных в детерминированной среде. При любых, даже очень больших, отклонениях реального значения отношения продукт/субстрат [c.175]

Таким образом, при > 4 стационарная плотность вероятности имеет три экстремума, из которых Хт — максимумы. Детерминированное состояние Хт = 1/2 (наиболее вероятное состояние) при < 4 превращается в минимум (рис. 6.4). Возвращаясь к исходной схеме реакции, мы можем придать переходу следующий наглядный смысл (рис. 6.4) при а - О в реакторе имеется одинаковое количество частиц Хм Y. Это означает, что если частицы X и Y были бы разного цвета, например желтого и [c.176]

Уравнение (6.78) описывает также изменения частоты аллели в диплоидной популяции в отсутствие доминантности, т. е. в том случае, когда свойства гетерозиготы Аа являются средним от соответствующих свойств гомозигот АА и аа [6.10, с. 148, 150]. Если скорости мутаций va и Юг равны, то уравнение (6.78) переходит в уравнение (6.57) при простом изменении масштаба времени. Интерпретируя результаты разд. 6.5.2 с генетической точки зрения, мы приходим к несколько неожиданным выводам. Даже если в среднем обе аллели одинаково пригодны (X = 0) (в детерминированной среде в этом случае никакого отбора не происходило бы), в случайной среде при условии > 4 следует ожидать преимущественно лишь одну из аллелей. Действительно, в случайной среде популяция будет находиться в каком-то одном из наиболее вероятных состояний Хт+ или Хт- = 1 — Хт+ — экстремумов стационарной плотности вероятности случайного процесса (6.78). Иначе говоря, несмотря на отсутствие систематического давления отбора в ансамбле популяций (при достаточно большой интенсивности флуктуаций среды) будут доминировать сравнительно бедные популяции. [c.185]

ЦИКЛОМ, соответствующим временным, пространственно-однородным колебаниям концентраций реагентов. Следовательно, переход происходит между колебательным состоянием А с низкой концентрацией Ь и стационарным состоянием Б с высокой концентрацией 2 (рис. 7.9). Эти две фазы различаются визуально. В состоянии А реагирующая смесь имеет коричневато-желтую окраску, а в состоянии В — сине-фиолетовую. Как видно из рисунка, при детерминированных внешних параметрах ) химическая система находится в колебательном состоянии Д, если реактор не освещается или освещается слабо ). Вертикальные [c.228]

В окрестности бифуркационных значений Т, Т2 устойчивое и неустойчивое стационарные состояния близки, поэтому небольшие флуктуации могут относительно быстро вывести систему из окрестности стационарного состояния с малой областью притяжения (в этом случае можно говорить об индуцированном шумом переходе с одного стационарного состояния на другое). Из окрестности нового стационарного состояния с большой областью притяжения за ограниченный промежуток времени при малых флуктуациях система не уйдет. Значит, наблюдаемые размеры гистерезиса будут уже по сравнению с детерминированной ситуацией. Здесь можно говорить, что флуктуации приводят к уменьшению наблюдаемой области множественности стационарных состояний (эффект затирания критического явления). При этом существенное значение имеют как характеристики флуктуаций, так и время наблюдения. [c.197]

И детерминированное стационарное состояние, порождаюш,ее наибольший максимум функции 1 (х), не обязательно совпадает с самой глубокой потенциальной ямой в детерминистическом описании. Между этими фактами и данными относительно внутренних флуктуаций в макроскопически больших, но конечных системах имеется тесная аналогия [6.2]. Она свидетельствует о том, что критерий абсолютной устойчивости для детерминированных стационарных состояний явно зависит от природы воздействующих на систему случайных возмущений. Абсолютная устойчивость и точка сосуществования фаз, т. е. точка в фазовом пространстве, в которой два пика плотности вероятности ръ(х) имеют одинаковую высоту, не могут быть определены на основе одного лишь детерминистического описания. Это обстоятельство подчеркивал еще Ландауэр [6.3]. [c.159]

В асимметричном случае Я Оситуация качественно остается такой же. Даже его детерминированное стационарное решение лежит вблизи любой из двух границ пространства состояний, плотность вероятности всегда становится бимодальной, как только интенсивность внешнего шума превосходит некоторое пороговое значение, возрастающее с увеличением Х. Таким образом, в генетической модели любой переход всегда является чисто шумовым эффектом. При Х=0 переход мягкий. При 0 =4 точка Хт = 1/2 есть двойной максимум, а расстояние между Хт- - и Хт- при О стремится к нулю, как (а- — о1у> . [c.177]

Система Хонглера симметрична относительно л = 0. Действительно, так как f x)— нечетная функция, g(j )— четная функция, стационарная плотность вероятности psM симметрична относительно л = 0. Во избежание всяких ложных переходных эффектов мы начнем поэтому с распределения, симметричного относительно детерминированного стационарного состояния. Выберем для простоты (не ограничивая обш.ности) б-образный пик, сосредоточенный в точке j = 0. [c.207]

Поставим задачу об определении точек Я, соответствующих экстремуму плотности вероятности (вероятностному потенциалу). Обычно такая точка единственная, например гауссовское распределение имеет единственный максимум, однако существуют системы, в которых возможны по крайней мере два устойчивых состояния. Такие системы широко применяют на практике, в частности упомянутым свойством обладают переключающие и накопительные устройства в компьютерах. В последнее время открыт класс радиоэлектронных, физических, химических и биологических систем. В соответствии с [Хорстхемке, Лефевр, 1987] в качестве индикаторов, сигнализирующих о переходах в стохастических системах, будем рассматривать экстремумы вероятностного потенциала. Во-первых, это прямое обобщение детерминированных понятий, которое оптимально по сравнению с другими вариантами (моментами распределения, так как моменты не всегда однозначно определяют распределение вероятности), а во-вторых, при осреднении теряется информация. Если плотность вероятности имеет два или более максимума, то водоем при одних и тех же условиях может иметь несколько равновесных уровней. Здесь и далее под равновесными состояниями будем понимать уровни, связанные с экстремумом стационарной плотности вероятности, а под уровнем [c.117]

Этому вряд ли приходится удивляться, если, помимо того что индуцированный шумом переход в модели Ферхюльста не может быть непосредственно отождествлен с критической точкой, мы учтем то, о чем говорилось в разд. 6.3. Как подчеркивалось там, состояние системы описывается случайной переменной Хг. Именно с этой фундаментальной величиной, а не с моментами, даже не всегда характеризуюпдими случайную величину, необходимо иметь дело. Распространенное мнение о том, будто моменты полностью характеризуют случайную величину, восходит к анализу систем с внутренними флуктуациями, которые макроскопически малы. Некритическое распространение понятий, развитых для описания малых ситуаций, на ситуации с внешним шумом чревато опасностью и препятствует подлинному пониманию всего круга явлений, связанных с внешним шумом. Если в системе имеются флуктуации, то единственным надежным отправным пунктом служит то тривиальное обстоятельство, что состояние системы описывается случайной величиной. В разд. 6.3 мы показали, что стационарный случай удается строго обосновать, опираясь на этот твердо установленный факт. Переход происходит при условии, если случайная величина — индикатор состояния системы, а не какая-то производная от нее величина (например, моменты) претерпевает качественное изменение. Это качественное изменение функциональной зависимости для отображения, действующего из пространства элементарных событий в пространство состояний, в силу принятого нами соглашения (2.15) эквивалентно качественному изменению в распределении вероятности. Как лучше отследить такое качественное изменение — вопрос, представляющий несомненный практический интерес. В разд. 6.3 мы показали, что по аналогии с детерминированным случаем это лучше всего делать, исследуя поведение экстремумов стационарной плотности вероятности рзМ. (Единственным исключением является переход от вырожденной к подлинно случайной величин е,, при котором в качестве наиболее подходящего параметра выступает дисперсия. Мы видели также, что экстремумы имеют особый физический смысл. Их можно отождествить с макроскопическими фазами системы и использовать для задания параметра порядка перехода (как было показано в разд. 6.5). Короче говоря, для того чтобы уста новить, наблюдается ли критическое замедление в индуцированных шумом критических точках, нам необходимо исследовать динамику случайной. личины X , т. е. релаксацию одной функциональной зависимости к другой По причинам, подробно изложенным в разд. 6.3 и повторенным выше, это удобнее всего делать, прослеживая динамику экстремумов. Неудивительно поэтому, что, как будет показано ниже, критическое замедление [c.206]

Рис. 9.1. Зависимость стационарных детерминированных значений лгз, описывающих стационарные состояния в модели Ферхюльста от X. Пространство состояний для случайного процесса (X lt) (для состояний случая Я. — Д < О

В других экспериментах изучалось движение в слоях жидкости в накрытом крышкой сосуде, который подогревали снизу. При большой разности температур АГ между верхним холодным и нижним горячим слоями стационарное конвективное движение исчезает и наблюдается переход к хаотическому движению (рис. IV. 12) (неустойчивость Бенара). В реакции Белоусова-Жаботинского стационарное пространственное распределение окрашенных реагентов (ионов церия) нарушается при определенных скоростях протока реакционной смеси через реактор, и в системе устанавливается хаотический режим. Все эти процессы описываются системами автономных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Аналитическое исследование позволило найти количественные характеристики хаотического движения, которое наступает при изменении внешнего управляюш его параметра (амплитуда вынуждаюш ей силы Iq, разность температур АГ). Здесь возникает ряд вопросов суш ествуют ли обилие закономерности перехода детерминированных систем в хаотические состояния можно ли предсказать по виду дифференциальных уравнений детерминированной модели возможность хаоса какова роль хаоса в поведении и эволюции детерминированных систем [c.106]

Влияние флуктуаций на динамику системы наиболее ярко прояв-X ляется для рассмотренного случая безразличного равновесия. Однако более типична ситуация, характеризующаяся просто множественностью стационарных состояний. Здесь зависимость, например, стационарной скорости реакции ги от какого-либо параметра (для определенности примем температуры Т), имеет 5-образный вид. При бифуркационных значениях Т, Т2 в детерминированной постановке значения ги Т) скачком переходят с одной ветви устойчивых ста- [c.196]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология