Стационарные состояния в системах с распределенными параметрами

В главе 3 выявлена роль различных макрокинетических факторов и неидеальности в проявлении критических эффектов, прежде всего, множественности стационарных состояний. На моделях изучено влияние широкого спектра физических факторов, осложняющих наблюдение критических явлений на кинетическом уровне. Так, указаны возможные особенности динамики реакторов идеального смешения и вытеснения при протекании в них реакции, допускающей несколько стационарных состояний в изотермических условиях. Показано, что вблизи критических условий заметное влияние могут оказывать даже малые флуктуации. В сложной реакции может существенную роль играть малый по скорости нелинейный маршрут. Значительное усложнение наблюдаемой картины может произойти при протекании каталитической реакции на двух видах активных центров. Большое разнообразие проявления химической нелинейности связано с диффузией. Здесь в системе появляется новое качество — распределенность, дающая возможность возникновения пространственных структур и фронтальных явлений. В первом случае на примере простейшего каталитического триггера вскрыт один из механизмов появления неоднородных стационарных состояний — диссипативных структур . Во втором — показана специфика фронтальных явлений в системах с гистерезисом в зависимости скорости распространения волны от параметра появляется целый интервал нулевых значений скорости фронта. Приведенные рассуждения показывают, что стоячий фронт является устойчивой структурой. [c.16]

Полезно напомнить, что стационарное состояние системы с сосредоточенными параметрами — это точка в пространстве состояний, которая определяется решением совокупности алгебраических уравнений, получаемых приравниванием нулю всех производных по времени в обыкновенных дифференциальных уравнениях модели системы. Так, при рассмотрении проточного реактора с перемешиванием стационарное состояние системы, описываемое уравнениями (I, 1) и (I, 3), было определено решением алгебраических уравнений (I, 5). Подобное рассуждение применительно к системам с распределенными параметрами приводит к выводу, что стационарное состояние должно быть функцией положения в пространстве, так как [c.116]

Некоторые общие и частные вопросы кинетики реакций в проточной системе рассматривают многие исследователи (иапример, А. А. Баландин [482, 672], А. В. Фрост [647, 760], Г. М. Панченков [21, 759], X. Холь-борт [761], А. А. Введенский [762], С. Я. Пшежецкий и Р. Н. Рубинштейн [763], М. Ф. Нагиев [484]. В работах С. 3. Рогинского и О. М. Тодеса [593, 594, 764] дается анализ динамики каталитического процесса на длинном слое катализатора в условиях постоянства его активности, а также в ходе старения катализатора и его отравления. Авторы рассматривают условия установления стационарного состояния потока для разных кинетических зависимостей, распределение концентраций вдоль слоя катализатора, зависимости их от разных параметров, в основном ограничиваясь случаем малых концентраций, когда можно пренебречь изменением объема при реакции. [c.369]

Для выявления механизма мембранного переноса и целенаправленного синтеза мембран необходимо установить возможные состояния мембранной системы и их взаимные переходы при различных значениях управляющего параметра а. В качестве управляющего может быть использован любой параметр, вызывающий возмущение в системе, отклонение ее от исходного равновесного или устойчивого стационарного состояния. Поскольку основным неравновесным процессом являются химические реакции, естественно в качестве управляющего параметра использовать величины, влияющие на состав реагентов в каждой точке мембраны. Обычно используют концентрации переносимого компонента на границах мембраны в газовой фазе (С ) или (С/)", изменение которых влияет на приток или отток реагентов и вызывает возмущение как в распределенной системе в целом, так и в локальной области мембраны. [c.30]

Алгоритм решения этой системы и программа разработаны сотрудником ВЦ СО АН СССР О. А. Махоткиным. При численном анализе было найдено, что в определенной области параметров существуют два устойчивых стационарных решения (рис. 14). Распределения параметра состояния [c.63]

СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ В СИСТЕМАХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ [c.116]

Так как системы с распределенными параметрами отличаются от систем с сосредоточенными параметрами зависимостью от пространственных переменных, использовать для них обычные фазовые плоскости нельзя. В гл. VI было отмечено, что элемент потока ( поршень ) трубчатого реактора идеального вытеснения может рассматриваться как микрореактор периодического типа, перемещаю-Ш.ИЙСЯ вдоль оси трубы. Ванг [1968 г. (а)] показал, что это свойство модели трубчатого реактора идеального вытеснения не ограничивается стационарным состоянием, а служит основой для создания фазовой плоскости специального вида, удобной для использования при определении областей устойчивости. Обсуждаемое здесь преобразование формально получается путем сведения системы дис ерен-циальных уравнений в частных производных (1,7) к эквивалентной системе обыкновенных дифференциальных уравнений [c.188]

Т. е. независимыми являются градиенты N—1 компонентов. Таким образом получается система из N уравнений с N неизвестными, которая может быть решена. Это означает, что в системе действительно может быть реализовано стационарное состояние с полным балансом по зарядам и по веществу и с однозначными значениями параметров (напряженности, распределения концентрации). [c.75]

На рис. 6.8 показана форма стационарного распределения вероятности Рст х) в зависимости от интенсивности внешних флюктуаций для случая, когда единственное стационарное состояние детерминистической системы есть Видно, что при 5 =3/2 максимум распределения расположен в точке как и следовало ожидать из детерминистического описания. Однако уже при 8 — 5/2 распределение вероятности обладает тремя экстремумами, из которых два максимума и один минимум. Последний расположен как раз в точке х , и его глубина возрастает с увеличением интенсивности флюктуаций внешнего параметра М. Таким образом, варьируя лишь интенсивность этих флюктуаций, т. е. интенсивность внешнего шума, мы можем вынудить систему перейти к эффективному бистабильному режиму и кардинально изменить свое поведение по сравнению с предсказаниями детерминистической модели. Важность этого вывода с точки зрения биохимических приложений очевидна. Переход к бистабильному поведению под воздействием внешнего шума изучался также в работах [23, 24]. [c.208]

В клеточной мембране. Известно, что анизотропия — характерная черта обеих систем. Однако важно также рассмотреть среду, которая является локально-изотропной, но пространственно неоднородной [6]. Например, в мембране может быть несимметричное распределение связанного фермента. Разумно ожидать, что такое неоднородное распределение транспортных и/или реакционных параметров — непрерывное или прерывистое—может влиять на общее поведение мембраны, и можно показать, что асимметрия такого рода приводит к специфическим проявлениям скалярно-векторного сопряжения даже в локально-изотропных системах. Коэффициенты сопряжения в этом случае всегда скорее связаны с системой в целом, чем с ее локальными элементами. Такая связь возникает в условиях, приводящих к сопряжению в стационарном состоянии , и будет обсуждаться в разд. 3.5. [c.33]

В других экспериментах изучалось движение в слоях жидкости в накрытом крышкой сосуде, который подогревали снизу. При большой разности температур АГ между верхним холодным и нижним горячим слоями стационарное конвективное движение исчезает и наблюдается переход к хаотическому движению (рис. IV. 12) (неустойчивость Бенара). В реакции Белоусова-Жаботинского стационарное пространственное распределение окрашенных реагентов (ионов церия) нарушается при определенных скоростях протока реакционной смеси через реактор, и в системе устанавливается хаотический режим. Все эти процессы описываются системами автономных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Аналитическое исследование позволило найти количественные характеристики хаотического движения, которое наступает при изменении внешнего управляюш его параметра (амплитуда вынуждаюш ей силы Iq, разность температур АГ). Здесь возникает ряд вопросов суш ествуют ли обилие закономерности перехода детерминированных систем в хаотические состояния можно ли предсказать по виду дифференциальных уравнений детерминированной модели возможность хаоса какова роль хаоса в поведении и эволюции детерминированных систем [c.106]

Если принять, что параметры Р, г, и а не меняются по толщине мембраны, то для стационарного состояния второе уравнение системы (2.72) представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка и может быть легко проинтегрировано [21, 34], позволяя найти распределение концентраций в мембране [c.88]

Принцип распределения вещества между двумя фазами, находящимися в равновесии, лежит в основе всех важнейших процессов разделения, осуществляемых в области экстракции, дистилляции, нротивоточного расиределения и в различных методах хроматографии. В колоночной хроматографии одна фаза находится в неподвижном состоянии внутри колонки, а другая совершает поступательное движение. При этом происходит перенос вещества вдоль колонки со скоростью, которая определяется равновесием распределения вещества между двумя фазами. В газожидкостной хроматографии стационарной фазой является жидкость, нанесенная в виде пленки на тонкоизмельченном, инертном, твердом носителе, а подвижной фазой — газовый поток, протекающий над неподвижной жидкой пленкой. Поведение вещества, проходящего через такую колонку, описывается теорией теоретических тарелок, первоначально разработанной для жидкостной хроматографии Мартином и Синджем [7 ]. Эта теория была позднее применена к газо-жидкостной хроматографии Джеймсом и Мартином [5]. Многие расчеты, произведенные на основе теории, хорошо согласуются с экспериментально найденным распределением вещества в статических системах. Кроме того, расчет эффективности колонки на основе теории распределения позволяет вычислять различные экспериментальные параметры колонки и сравнивать их влияние на разделение. Рассматриваемая теория имеет еще и то преимущество, что она делает возможным сопоставление газо-жидкостной хроматографии с другими методами разделения, которые могут быть описаны на основе концепции теоретических тарелок. [c.75]

Читателю важно понять, что каждая точка пространства х (z) дает единственные профили х- (г) и (г). Эту операцию называют иногда отображением. Для случая п = 2, разобранного выше, z-, и являются корнями полинома (г ) = О и необходимы только четыре компонента вектора (VIII, 25), чтобы фиксировать Ьгидва профиля. С течением времени изменения х (z) дают траекторию, как и для любой модели с сосредоточенными параметрами. Следовательно, профили изменяют вид и положение. Поскольку любая траектория в области асимптотической устойчивости должна обязательно идти к началу координат х (z) = О, то соответствующие профили возмущений должны стремиться к стационарному состоянию системы с распределенными параметрами [c.206]

Это уравнение описывает поведение динамической системы с распределенными параметрами в фиксированных точках г,, пространства при входных возмущениях произвольного вида. Граничные и начальные условия для распределенной системы при построении ее частичной реализации должны удовлетворять следующим требованиям до нанесения импульсного возмущения система находится в стационарном состоянии стационарное состояние устойчиво функции отклика допускают представление в виде степеннйх рядов по переменной измеряемые переменные выбраны так, что их значения в стационарном состоянии равны нулю. Минимальная реализация строится одним из стандартных методов. Как показано выше, исходными данными для процедур построения точной минимальной реализации (алгоритма Хо) или минимальной частичной реализации служит совокупность конечного числа марковских параметров СА В, где число к принимает значения /с=а,. . ., р, причем на а и р существенных ограничений не накладывается. Однако можно показать, что при к О последовательность СА В приводит к более точному описанию поведения системы в начальные моменты времени, а при /с О удовлетворительная точность достигается в среднем по всей кривой отклика. Например, при построении минимальной частичной реализации многих систем с распределенными параметрами, встречающихся в химической технологии, можно рекомендовать следующую последовательность значений к=.. . , —2, -1, О, 1, 2,.. . . [c.117]

Второй метод Ляпунова применяется такисе при исследовании устойчивости систем с распределенными параметрами, для которых стационарным состоянием является линия (траектория системы) в фазовом пространстве [16]. [c.580]

На практике обычно нет необходимости в нахождении полного распределения вероятности. Интерес представляют корреляции < 8x1 (г) 8xj (0)> вокруг стационарных состояний. Вычисление их производится в два этапа 1) определяются статические корреляции при одном и том же времени i8xi ( ) 8xj ( )> 2) находятся динамические корреляции, для чего используются уравнения движения. Определение статических корреляций полезно начать с так называемого 1/Л -разложения, где N — некоторый принадлежаш ий системе экстенсивной параметр. Как показали ван Кампен [53] и авторы,,[54], для макроскопической системы должна быть экстенсивной ве -личиной, пропорциональной 7 , а так как N пропорционален объему У, то [c.102]

Переход от стационарного состояния к автоколебательному режиму, индуцированный внешним шумом, изучался в работе [27]. В этой работе была рассмотрена модель Лоренца (см. (4.5.1)) при значениях параметров, когда она еще не обладает собственным хаотическим поведением, а имеет два устойчивых стационарных состояния l ж Сявляющиеся устойчивыми узлами-фокусами, так что малые отклонения от них затухают с осцилляциями. Чтобы учесть тепловые флюктуации, в правые части уравнения (4.5.1) вводились дельта-коррелированные случайные функции (шумы), и получающаяся система исследовалась на ЭВ1И. Было обнаружено, что при малых интенсивностях шумов стационарное распределение вероятности имеет максимумы в точках и g, где были расположены устойчивые стационарные состояния детерминистической модели. Если, однако, увеличивать интенсивности шумов, то при превышении некоторого критического значения происходит качественная перестройка функции распределения. В точках i и С2 стационарное распределение вероятности достигает теперь уже минимума, и они окружены кольцевыми максимумами вероятности. Рассмотрение траекторий движения системы под воздействием внешнего шума Показало, что она совершает возмущенные периодические колебания, проводя почти все время в области кольцевых максимумов вероят- [c.209]

Случай 1. Динамика установки неизвестна, но система находится в стационарном состоянии с 2 = О и. 1 = onst. Следовательно, Z — это выборочный вектор шуада ё с некоторым неизвестным аддитивным параметром Xi, добавленным к центру распределения накопленной вероятности F. [c.72]

Этому вряд ли приходится удивляться, если, помимо того что индуцированный шумом переход в модели Ферхюльста не может быть непосредственно отождествлен с критической точкой, мы учтем то, о чем говорилось в разд. 6.3. Как подчеркивалось там, состояние системы описывается случайной переменной Хг. Именно с этой фундаментальной величиной, а не с моментами, даже не всегда характеризуюпдими случайную величину, необходимо иметь дело. Распространенное мнение о том, будто моменты полностью характеризуют случайную величину, восходит к анализу систем с внутренними флуктуациями, которые макроскопически малы. Некритическое распространение понятий, развитых для описания малых ситуаций, на ситуации с внешним шумом чревато опасностью и препятствует подлинному пониманию всего круга явлений, связанных с внешним шумом. Если в системе имеются флуктуации, то единственным надежным отправным пунктом служит то тривиальное обстоятельство, что состояние системы описывается случайной величиной. В разд. 6.3 мы показали, что стационарный случай удается строго обосновать, опираясь на этот твердо установленный факт. Переход происходит при условии, если случайная величина — индикатор состояния системы, а не какая-то производная от нее величина (например, моменты) претерпевает качественное изменение. Это качественное изменение функциональной зависимости для отображения, действующего из пространства элементарных событий в пространство состояний, в силу принятого нами соглашения (2.15) эквивалентно качественному изменению в распределении вероятности. Как лучше отследить такое качественное изменение — вопрос, представляющий несомненный практический интерес. В разд. 6.3 мы показали, что по аналогии с детерминированным случаем это лучше всего делать, исследуя поведение экстремумов стационарной плотности вероятности рзМ. (Единственным исключением является переход от вырожденной к подлинно случайной величин е,, при котором в качестве наиболее подходящего параметра выступает дисперсия. Мы видели также, что экстремумы имеют особый физический смысл. Их можно отождествить с макроскопическими фазами системы и использовать для задания параметра порядка перехода (как было показано в разд. 6.5). Короче говоря, для того чтобы уста новить, наблюдается ли критическое замедление в индуцированных шумом критических точках, нам необходимо исследовать динамику случайной. личины X , т. е. релаксацию одной функциональной зависимости к другой По причинам, подробно изложенным в разд. 6.3 и повторенным выше, это удобнее всего делать, прослеживая динамику экстремумов. Неудивительно поэтому, что, как будет показано ниже, критическое замедление [c.206]

В простейшем случае темновые и световые процессы переноса электронов характеризуются одинаковыми наборами констант скорости, отличаясь лишь световой константой скорости ко. Поэтому начальные условия должны быть согласованы с системой дифференциальных уравнений в том смысле, что они должны быть уже решениями исходной системы уравнений с параметрами, соответствующими предыдущему режиму освещения. В частности, стационарное световое распределение электронов является начальным для последующей темповой релаксации и обратно, равновесное темповое распределение электронов может являться начальным для последующих фотоиндуцированных изменений редокс-состояний переносчиков электронов. [c.195]

Перечислим теперь важнейшие выводы настоящего раздела. Исходя из классической концепции структурных неустойчивостей системы траекторий детерминистической модели, проведено обобщеме стохастической модели. Это обобщение основано на исследовании локального поведения стационарного распределения вероятностей, к которому стремится система при 00. Стационарное распределение можно представить некоторой вероятностной поверхностью в пространстве состояний и области определения параметров и исследовать эту поверхность методом теории катастроф Тома. Структурные неустойчивости вероятностной поверхности соответствуют локальным вырожденным экстремумам или точкам перегиба стационарного [c.258]

Смотреть страницы где упоминается термин Стационарные состояния в системах с распределенными параметрами: [c.131] [c.160] [c.130] [c.190] [c.206] [c.181] [c.130] [c.190] [c.206] [c.142] [c.181] [c.83] [c.83] [c.101] [c.131] [c.409] [c.259]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология