Поглощающее состояние

Тогда для самого простого варианта — случайных блужданий с двумя крайними поглощающими состояниями — матрица перехода, описывающая возможные состояния системы (в данном случае игры), будет иметь вид [c.47]

Упражнение. Пусть У и.меет вид 5.2.7), а элементы матрицы О неотрицательны и никакие другие условия на матрицу О не налагаются. Тогда либо все состояния Ь являются переходными, либо У является расщепляющейся или даже разложимой. Имеется по крайней мере одно переходное состояние, если только О 0. Все состояния Ь являются переходными, когда у О имеется хотя бы один не равный нулю элемент в каждом столбце. Упражнение. Ветвящийся процесс в 3.6 не является марковским и поэтому не удовлетворяет основному кинетическому уравнению, если только 7 не является независимой от т. Запишите основное кинетическое уравнение для этого частного случая. Что можно сказать о переходных и поглощающих состояниях [c.108]

Упражнение. Убедитесь в том, что использование понятий поглощающее и переходное в 4.6 не противоречит настоящим определениям. Упражнение. У-матрицу можно представить в виде графа, в котором вершины представляют состояния, а прямая линия проводится из одной вершины п в другую п при Wn n > 0. Каким образом в таком графе можно изобразить переходное и поглощающее состояния [c.108]

Система уравнений (7.5.4) и (7.5.5) является сохраняющим вероятность основным кинетическим уравнением. Диссоциированное состояние является поглощающим состоянием л следовательно, /з (оо) = 1, Ру(оо)=-0. Химиков, однако, интересует, как быстро произойдет эта диссоциация. Предположим, удалось решить (7.5.4) с начальным условием Pv(0) = Syo, которое означает, что молекула в начальный момент времени находится в основном состоянии. Тогда вероятность того, что она диссоциирует в течение времени от I до ( + сИ, есть р (()<а. Среднее время диссоциации есть (ср. с. (6.7.5)) [c.183]

Системы с поглощающими состояниями. Здесь возможны следующие состояния работающие аппараты, ремонтируемые аппараты и аппараты, вышедшие из строя. В этом случае матрица строится как [c.648]

Наша задача — определение закона распределения случайной величины 0 (/ (О < 6п < О — Рга(О) где — случайный момент времени, когда система первый раз приходит в поглощающее состояние EJ . В исследованиях по кинетике нуклеации закон распределения /(О <С 6 < 1) обычно называется функцией распределения времени ожидания появления первого центра кристаллизации, которая равна вероятности возникновения хотя бы одного центра кристаллизации в интервале времени (О — Ь) [129]. Решение системы уравнений (77) находим методом операционного исчисления в соответствии с общей формулой решения конечного случайного процесса гибели и размножения с поглощающим состоянием [137, 138] [c.32]

Коэффициент поглощения некоторой населенности атомов или других поглотителей в общем случае зависит не только от длины волны и силы осциллятора или эйнштейновских коэффициентов перехода, но и от доли атомов, находящихся в низшем (поглощающем) состоянии. Поток фотонов, создаваемый обычными источниками света, так мал, что атом, поглотивший фотон, обычно возвращается на низший энергетический уровень задолго до того, как придет другой фотон, который может быть поглощен этим же атомом. Следовательно, доля атомов на пил нем энергетическом уровне очень мало отклоняется от равновесного значения независимо от величины плотности падающего излучения, создаваемой источником. Поэтому кажется, что коэффициент поглощения не зависит от освещенности при низких плотностях падающего излучения. [c.161]

Имеются различные аспекты получения заданных молекулярных уровней. Во-первых, селективное заселение заданных возбужденных уровней путем настройки частоты лазера иа частоту молекулярного перехода Е - Ек. Благодаря высоким интенсивностям лазерного излучения можно получить довольно высокую плотность населенности Ек, сравнимую с плотностью нижнего поглощающего состояния , . Был проведен ряд экспериментов, основанных на селективном заселении уровней, например измерение спектров флуоресценции с уровня Ек, измерения времен жизни илн спектроскопические исследования столкновительных процессов. [c.287]

Подстраивая частоту излучения лазера с интенсивностью h к двум различным переходам i k и т, мы получаем возможность определить относительную населенность двух поглощающих состояний i и / из выражения [c.303]

В общем случае число поглощающих состояний может быть любым. В нащем примере они соответствуют всякой остановке игры (нарушение правил, вылет шайбы за пределы площадки и т. д.). Поскольку при попадании в поглощающее состояние процесс случайного блуждания прекращается, то, очевидно, вероятность перехода из него в любое другое состояние будет равна нулю. А так как согласно определению и выход из поглощающего состояния невозможен, то вероятность пребывания системы в нем (то есть перехода из него в него ) будет равна единице. Математически это условие для поглощающих состояний записывается так [c.47]

Выделим тонкими линиями часть матрицы (блок, подматрицу). соответствующую поглощающим состояниям 5 и 52. Тогда даже в этом простейшем случае видно, что блоки матрицы образуют определенные классы состояний. Так, верхний левый угол (блок) соответствует поглощаю- [c.49]

Так же, как и ранее (см. матрицу 1.13), блоки канонической формы соответствуют определенным классам. Так, блок Е состоит из единственного элемента и представляет класс поглощающих состояний. Блок Q описывает возможные переходы системы в невозвратном классе, блок / отвечает переходам системы из невозвратного класса в поглощающее состояние. [c.54]

Таким образом, получив фундаментальную матрицу и найдя ее элементы, мы всегда сможем определить, как общее среднее число шагов до попадания в поглощающее состояние, так и распределение этого среднего числа между отдельными невозвратными состояниями. [c.56]

Вернемся к первоначальным условиям нашего примера. Помните, ведь сначала мы расположились с Джимом на противоположных берегах заливчика и участвовали в охоте вдвоем. В этом случае цепь имела два поглощающих состояния. Пусть теперь появляются новые варианты пари кто поймает лягушку раньше или кто наловит их больше. На языке теории это означает ответы на вопросы в какое поглощающее состояние система попадет раньше и в каком из поглощающих состояний процесс будет останавливаться чаще, а в каких реже Оказывается, ответы на эти вопросы можно получить с помощью все той же фундаментальной матрицы М. [c.56]

Поскольку эти вероятности, конечно, будут зависеть от того, какое из состояний является начальным (да и самих поглощающих состояний несколько), то соответствующий набор вариантов снова образует матрицу, столбцами которой являются поглощающие состояния, а строками — невозвратные. Эта матрица снова определяется внешне очень просто [c.56]

Объясняется же это тем, что р> д, иначе говоря, различие вероятностей перемещения вправо и влево влияет на конечный результат блуждания сильнее, чем начальное расстояние до поглощающих состояний. Эта закономерность подтверждает хорошо известное всем игровое правило сильный игрок может позволить себе роскошь давать фору (иногда даже значительную), и все равно его шансы на выигрыш будут выше, чем у более слабого противника. Правда, здесь нужно уметь правильно оценить допустимую степень приближения противника к левой точке , т. е. к поглощающему состоянию, дающему ему победу, но это уже вопрос интуиции или разумного риска. [c.58]

Посмотрим в заключение все-таки более внимательно на полученные нами результаты. Ведь в конце концов выяснилось, что вероятность окончания процесса случайных блужданий в том или ином поглощающем состоянии зависит, по существу, от двух причин начальных условий и соотнощения вероятностей движения из той или иной точки влево или вправо. Для такого случая употребляется понятие вероятностного уклона. Действительно, это как бы наклон поверхности, на которой происходит процесс случайных блужданий. Кроме того, как уже говорилось, на итог процесса оказывает влияние и начальное удаление точки старта от правого или левого конца. Можно строго доказать, что степень этого влияния ослабевает с ростом превыщения вероятности р над д. Оказывается, что при р = 2д расположение стартовой точки практически не сказывается на вероятности поглощения в том или ином состоянии. Эту интересную закономерность марковской модели случайного блуждания с поглощением часто иллюстрируют задачей о разорении игрока. [c.59]

Допустим, что два соперника А и В) играют на деньги в некоторую игру, состоящую из ряда партий. Вероятность выигрыша игрока А в каждой партии равна р при ставке I руб. Пусть общий начальный капитал равен К руб., из которых игрок А имеет в начале игры 5 руб., а его противник К —5 руб. Математической моделью этой игры будет только что рассмотренное случайное блуждание с двумя поглощающими состояниями. Поглощение в правом граничном состоянии означает, что А выиграл всю сумму, поглощение в левом граничном состоянии — что он разорился. Если силы противников равны н р = д, т. е. уклона нет, вероятности разорения игроков будут пропорциональны долям их начальных капиталов (расстояниям от стартовых точек до краев). Если же игрок А более искусен, т. е. р>д, то картина меняется. В частности, при р—2д он может начинать игру при любом капитале противника, имея в наличии всего лишь 1 руб. для старта, все равно у него будет больше шансов разорить противника, чем проиграть самому. Это значит, что, имея двойное превосходство над противником в силе игры, можно давать ему практически любую фору [c.59]

Кроме того, ни в одной из клеток нет единиц, то есть поглощающие состояния отсутствуют. [c.63]

Раньше мы уже говорили, что каждый элемент матрицы (1.15) выражает среднее число попаданий системы в соответствующее состояние до наступления поглощения, если процесс начался в каком-то произвольном состоянии. К примеру, возьмем элемент с индексом 2,3. Он равен среднему числу наступлений состояния Аз до окончания процесса в поглощающем состоянии, если начальным было состояние Лг. Тогда, если считать, что мы начинаем стыковку кораблей из начального состояния Л5, то в последней строке фундаментальной матрицы находятся числа, выражающие собой средние значения попаданий системы в эти состояния до полного успеха операции. Для нас это чрезвычайно важно. Ведь с каждым состоянием связаны те или иные затраты ресурсов (и времени). Так, например, затраты на изготовление и ремонт АБ будут пропорциональны среднему числу попаданий системы в состояния Аз и Л5 до того, как наступит состояние Л Рассуждая аналогично по отношению к затратам на ПБ, можно также найти затраты на их замену и ремонт. [c.69]

Но не будем торопиться. Во-первых, поскольку общее количество участков (звеньев) в полимере очень велико, то наша прогулка будет продолжаться очень долго, настолько долго, что мы можем забыть, с какого звена мы начали наше путешествие. Это, конечно, шутка, а говоря серьезно, получается следующее. Если уменьшать вероятности переходов в поглощающее состояние, т. е. принять [c.140]

Существует и другой способ — он использует фундаментальную матрицу поглощающих цепей. В самом деле, когда речь шла о поглощающих цепях, с помощью фундаментальной матрицы определялось количество шагов, за которое процесс переходит из начального в поглощающее состояние. Но ведь можно любые состояния эргодической цепи выбрать в качестве начального и поглощающего. Пусть начальным будет состояние Ль а поглощающим — Ви Тогда переходная матрица приобретет вид [c.148]

Во-первых, если известно среднее число щагов до попадания в поглощающее состояние и время, затрачиваемое на каждый шаг, то легко определяется среднее время, в течение которого процесс должен прекратиться. Если это время очень велико, то можно предположить, что процесс будет длиться бесконечно (/- -оо). т. е. поглощения вообще не будет. [c.154]

Этой матрице соответствует поглощающая цепь Маркова с двумя поглощающими состояниями — 5, и 52- При попадании в эти состояния одна нз соперничающих команд выигрывает очко, а ведь выигрыш очка и есть конечная цель игры на предварительной стадии. Другие два состояния — 5з и 54 согласно нашей классификации будут невозвратными. [c.174]

В главе 1 мы написали и прокомментировали формулу (1.16) для вектора М математических ожиданий полного числа переходов через невозвратные состояния (включая начальное состояние) до попадания в одно из поглощающих состояний. Напомним, как выглядит эта формула [c.177]

Напомним, что числа в табл. 4.4, так же как и результат в только что рассмотренном примере, характеризуют лишь среднюю продолжительность игры на предварительной стадии. Фактически же это время может отклоняться от среднего как в большую, так и в меньшую сторону. Характеристикой такого отклонения является дисперсия полного числа переходов через невозвратные состояния до попадания в поглощающее состояние. Однако формулу [c.178]

При расчетах состава и строения сополимеров, описываемых цепями Маркова, можно пренебречь конечностью степени полимеризации макромолекул и вычислять указанные статистические характеристики для полимерных цепей бесконечной длины. Это соответствует тому, что мы пренебрегаем переходами системы в поглощающее состояние и вместо поглощающих цепей Маркова рассматриваем эргодические цепи. Соотношения, приведенные [c.48]

Что же можно порекомендовать родителям на основании анализа матрицы Вспомним, что из нее легко можно получить фундаментальную форму, каждый элемент которой является не чем иным, как средним числом попаданий в то или иное состояние до окончания процесса, т. е. достижения поглощающего состояния. Применительно к нашему случаю это будет означать ответ на вопрос сколько (примерно) семья будет иметь детей до тех пор, пока не появится долгожданный мальчик. Элементарные выкладки показывают, что при взятоМ нами соотношении 0,516 это число будет равно 1,74, округляя которое до целого, будем иметь 2. Значит, если родители непременно хотят, чтобы у них в семье был мальчик, им придется примириться с тем, что у них в семье могут быть еще две девочки. [c.185]

Таким образом статистическое описание смеси очень большого числа различных индивидуальных соединений, молекулы которых построены из двух типов звеньев К и 8, сводится к описанию некоторого случайного процесса условного движения вдоль цепи сополимера. Этот процесс характеризуется двумя невозвратными состояниями К, 8 и одним поглощающим состоянием Т. Для полного описания случайного процесса необходимо знать вероятность любой из возможных его реализаций, т. е. любой траектории. Эти вероятности могут в принципе быть выражены через априорные вероятности К , Р<о) 8 того, что данная траектория начнется с состояния К или 8, и условные вероятности переходов на каждом шаге траектории. Например, вероятности траекторий, изображенных на рис. 1.1, соответственно равны [c.16]

Зная вероятности всех траекторий, можно определить любые статистические характеристики случайного процесса, а следовательно, и описываемого сополимера. Для каждой отдельной траектории можно однозначно сказать, какое время при движении по этой траектории процесс находился в состоянии И или 8 до того, как он перешел в поглощающее состояние Т. Чтобы получить среднее время пребывания процесса в каком-либо невозвратном состоянии, необходимо усреднить его значение по всем возможным траекториям с учетом их вероятностей. Вычисленные таким образом времена для состояний К и 8 будут, очевидно, равны н и т. е. средним количествам звеньев К и Б, приходящимся на одну молекулу сополимера, а их сумма равна среднечисловой степени полимеризации I = ( к + /з)- При уменьшении вероятностей переходов в поглощающее состояние эти величины воз- [c.18]

Приближение, когда можно считать длины молекул бесконечно большими и пренебрегать при расчетах влиянием их концов, будет достаточно хорошим при вычислении не только состава сополимера, но и его строения. Случайный процесс, описывающий в этом приближении цепи сополимера, называется стационарным. Он характеризуется отсутствием как поглощающих состояний, так и зависимости вероятностей обнаружить звено R или S от его положения в цепи. Эти вероятности Р R и S равны, очевидно, доле звеньев R и S в сополимере, т. е. они определяют его состав. [c.19]

Формула (5.4) допускает простую вероятностную интерпретацию, основанную на использовании теории марковских цепей. Например, рассмотрим марковский процесс движения вдоль макромолекул, выбирая в качестве невозвратного состояния (г ) звено мономера, имевшего функциональные группы г-го и -ого типов, причем группа г-го типа прореагировала, а относительно группы -го типа это не предполагается. Так как звено, отвечающее мономеру с отличающимися функциональными группами типов г и /, может находиться в двух различных состояниях ( у) и (/г), то число состояний может превышать число типов мономерных звеньев. Под начальным состоянием цепи Маркова будем понимать такое же звено, только с непрореагировавшей группой типа г. Переходом в поглощающее состояние будем считать выход за пределы макромолекулы. [c.131]

Вероятность перехода V( /) (о) из невозвратного состояния (г/) в нулевое поглощающее состояние равна вероятности того, что группа /-Г0 типа — концевая, т. е. 1 — р . Компоненты вектора начальных состояний пропорциональны, по определению, [c.132]

Аналогичным образом получаются выражения (5.9) для вероятности перехода в поглощающее состояние и вектора начальных состояний. Сравнение формул (5.65) и (5.74) приводит к связи [c.155]

Рассмотрим, в соответствии со статистическим подходом, условный процесс движения вдоль цепей сополимеров в направлении их формирования. Обозначим 8, вероятность того, что в образовавшейся в определенный момент макромолекуле на/-ом месте от ее начала находится звено 8 , где г = 1, 2,. . ., т. Кроме того, введем еще поглощающее состояние 89, означающее отсутствие всякого звена и вероятность 8 этого состояния. Для того чтобы перейти к вероятностям < Р(0 8, > обнаружить на /-ом месте звено -го типа в произвольно выбранной к моменту I макромолекуле, безотносительно ко времени ее образования, необходимо усреднить соответствующие значения мгновенных вероятностей [c.256]

При использовании более высоких соотношений H2N2/N2 наблюдалась новая система полос в диапазоне 5500—9500 А-Очевидно первичный продукт фотолиза поглощает при больших длинах волн, но быстро разлагается с образованием триплета, поглощающего при 1415 А- Вращательная тонкая структура всех трех полос показала, что поглощающая молекула является изогнутой с валентным углом около 103° (расстояние С — Н=1,12 А) и линейным высшим состоянием. Триплетное расщепление спектральных линий обнаружить не удалось, несмотря на то, что в аналогичном спектре NH2 существует очень четкое дублетное расщепление. Поэтому кажется очевидным, что поглощающим состоянием будет [c.283]

Итак, с помощью фундаментальной матрицы можно прогнозировать результаты процессов, моделируемых в виде схемы случайных блужданий с двумя поглощающими состояниями. Конечно, если бы речь шла только об итогах различных пари или придуманной нами лягушачьей охоты, то вряд ли стоило обращать на это столь бапьшое внимание. Однако уже говорилось, что модели случайных блужданий в самых различных вариантах находят себе [c.58]

Следует отметить, что марковский случайный процесс движения вдоль макромолекулы может быть введен и другими способами, каждый из которых также полностью описывает исследуемые полшлеры. Например, в качестве невозвратных состояний (г/) могут быть выбраны внутренние функциональные группы (связи) Ql , а переходом в поглощающее состояние (г) — переход на концевую группу А . Начальным состоянием при этом будет вторая концевая группа данной макромолекулы. Такую цепь назовем процессом движения по функциональным группам. Поскольку концевые группы могут быть т различных типов, то марковская цепь будет иметь столько же различных поглощающих состояний. Хотя общее число состояния цепи при этом обычно увеличивается, процесс движения по функциональным группам в некоторых случаях оказывается более удобным для расчета, чем аналогичный [c.132]

Сравнение (5.45) с (Д.1У.6) доказывает возможность описания продуктов интербиполиконденсации сомономеров с независимыми группами и интермономера, имеющего зависимые группы, с помощью цепи Маркова. Переходными вероятностями этой цепи между невозвратными состояниями будут v,/, из невозвратного в поглощающее состояние v,o = 1 I,-, а вектор начальных состояний имеет компоненты у, — а, (1 — р, + 1г)- [c.142]

Значения 8у при больших I определяются асимптотическим поведением величин V . при I оо, которое, согласно формуле (Д.1.13), определяется собственными значениями и собственными векторами переходной матрицы Q. Эта матрица стохастическая, так как все ее элементы неотрицательны и сумма их в каждой строке равна единице. Из общей теории цепей Маркова следует, что все собственные числа такой матрицы не превосходят по абсолютному значению единицы, а по крайней мере одно из них равно единице. Цепи Маркова, которые описывают молекулы разнозвенных полимеров, имеют одно поглощающее состояние БдЖт невозвратных состояний За,.. -, Переходную матрицу Q для таких цепей можно записать в следующем виде [c.347]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология