Обсуждение граничных условий

См. Дирак, стр. 164, где приведено обсуждение граничных условий. Это обсуждение не является полным основным является то, что находится полная ортогональная система решений ( .62). [c.34]

ОБСУЖДЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИИ [c.235]

В этом издании увеличено число библиографических ссылок, что может быть использовано научными и инженерно-техническими работниками для углубленного изучения ряда вопросов. Ввиду включения нового материала, для сохранения целесообразного объема автор счел возможным сократить некоторые математические операции в ходе выводов однако во всех случаях исходные положения, граничные условия, путь доказательства и обсуждение результатов были сохранены со ссылкой на авторитетный источник. [c.6]

Тогда оптимальные задачи с заданными и неопределенными пределами интегрирования в выражении функционала (VII, 67) будут различаться между собой только заданием или отсутствием граничных условий для переменной xm+i- Более детально этот вопрос рассмотрен при обсуждении вычислительных аспектов принципа максимума (см. стр. 340). [c.326]

Величины VI в уравнениях (61) и (62) определяются через градиенты концентрации на поверхности либо при помощи уравнения (7), в котором последние три члена опущены, либо, если сделаны дополнительные упрощающие предположения (см. 4), при помощи закона Фика. Величина ди в уравнении (61) учитывает радиационный вклад в поток тепла д этот член здесь сохранен вследствие того, что радиационные тепловые потери с поверхностей раздела часто оказываются существенными. Уравнение (60) в дальнейшем непосредственно использоваться не будет, тогда как уравнения (59), (61) и (62) будут часто использоваться в качестве граничных условий для уравнений (1) — (4). Подробное обсуждение значения отдельных членов уравнений (59) — (62) в различных частных случаях можно найти в литературе ). [c.35]

В этой главе мы установим общее неравенство, справедливое во всей области макроскопической физики при постоянных граничных условиях в предположении, что выполняется локальное равновесие. Обладая высокой степенью общности, такое неравенство представляет собой по существу универсальный критерий эволюции. Линейная теория устойчивости, развитая в предыдущих главах, здесь оказывается простым частным случаем, соответствующим движению вблизи рассматриваемого состояния, как было показано Б работах [142, 153]. Поэтому здесь мы не будем останавливаться на обсуждении устойчивости при малых отклонениях от равновесия, за исключением вывода некоторых дополнительных ре- [c.109]

Динамика сорбционных процессов рассматривает пространственные или пространственно-временные распределения компонентов между фазами системы (одна пз которых — твердая), возникающие при перемещении этих фаз относительно друг друга. Исходя нз механизма взаимодействия вещества с твердой фазой, начальных и граничных условий, различают динамику ионного обмена, хроматографии и адсорбции. Предметом нашего обсуждения является только динамика адсорбции. [c.206]

Вначале (раздел 16.1) формулируются в общем виде правила составления баланса массы для тонкого слоя вещества и характеризуются типы граничных условий, которые могут возникнуть при решении диффузионных задач. В разделе 16.2 рассматривается процесс диффузии в неподвижной пленке, что необходимо для понимания пленочных теорий диффузионных процессов. В разделах 16.3 и 16.4 приведено несколько элементарных примеров диффузии, осложненной химической реакцией (гомогенной и гетерогенной). Эти примеры иллюстрируют роль, которую играет диффузия в химической кинетике, и важное значение наблюдаемого, как правило, различия между скоростью химической реакции и скоростью сложного диффузионно-реакционного процесса. В разделе 16.5 основное внимание уделено массообмену при принудительной конвекции, т. е. при наложении на диффузию поля скоростей. В данный раздел можно для полноты включить и массообмен при свободной конвекции, что отвечало бы обсуждению материала по теплообмену при свободной конвекции в главе 9. Наконец, в последнем разделе 16.6 рассматривается диффузия в пористых катализаторах. [c.456]

В настоящем разделе при обсуждении вопроса об интенсивности внешнего массообмена для простоты примем граничные условия первого рода. [c.20]

До сих пор мы говорили о стационарной скорости химической реакции, которая реализуется при определенной корреляции во взаимном расположении молекул. Если молекулы распределены в пространстве каким-либо иным способом, скорость будет другой и будет зависеть от времени. Общий случай первоначально равномерного распределения молекул в пространстве, когда скорость реакции зависит от времени, рассмотрен в работе [6], и мы не будем на нем останавливаться. Заметим лишь, что при к = О начальная скорость реакции при граничном условии (1У.21) оказывается конечной в отличие от начальной скорости диффузии в обсужденном ранее случае поглощающей сферы ( 12), в котором она была бесконечно большой. При достаточно больших значениях t первоначально равномерное распределение приводит к стационарному распределению молекул. [c.99]

Анализ электрохимических систем, вообще говоря, включает следующие этапы вывод основных уравнений, постановка граничных условий, решение краевой задачи и, наконец, обсуждение полученных решений. В той или иной мере в книге нашли отражение все эти вопросы. Вывод уравнений основывается на материале частей А и В, а граничные условия формулируются с помощью результатов части Б. Сравнительно мало внимания уделено математическим методам решения краевых задач. Отчасти это вызвано тем, что в последнее время с этой целью широко применяется вычислительная техника. [c.6]

В магнитогидродинамических течениях нередко пренебрегают индуцированным магнитным полем, и поэтому граничные условия для этой компоненты почти не рассматриваются в литературе. Значение этого поля на границе жидкости можно найти, если рассматривать движущуюся жидкость в виде отдельных трубок тока, каждая из которых генерирует магнитное поле. Если течение является симметричным, то-и индуцированное магнитное поле также будет симметричным. Если источники тока не являются точечными или линейными, то результирующее магнитное поле на бесконечности не должно стремиться к нулю. Таким образом, без анализа характера течения невозможно обсуждать граничные условия для индуцированного магнитного поля, что накладывает дополнительную связь на систему уравнений. Поэтому более подробное рассмотрение индуцированных полей мы приведем при обсуждении конкретных задач (разделы 1У,А,2 и У,А,1). [c.14]

Граничные условия требуют некоторого обсуждения. Если положить длину пластины равной Ь, то уравнения (2.19) можно будет записать в несколько более детализированном виде [c.100]

До сих пор наше обсуждение касалось поступательного коэффициента трения. Такой же подход применим при рассмотрении торможения вязкой жидкостью вращательного движения частиц. Если к частице в жидкости приложен постоянный вращающий момент т, то по прошествии какого-то времени угловая скорость частицы достигнет некоторого постоянного значения ш. Параметр, связывающий скорость частицы с вращающим моментом, является вращательным коэффициентом трения / = т/ы. Показано, что для граничных условий смачиваемой поверхности вращательный коэффициент трения сферической частицы равен [c.194]

При обсуждении в 2.8 модели молекулярного кластера мы видели на примере алмаза, что с ростом кластера результаты расчета стабилизируются очень медленно даже для кластера из 70 атомов не удается получить надежную оценку для ширины запрещенной зоны, если не используются те или иные граничные условия. Поскольку в кластерной модели симметрия кристалла искажена, то изменение получаемых в ней результатов с ростом кластера часто оказывается немонотонным, причем для большего кластера вследствие этого не всегда получаются уровни, более близкие к зонным. [c.205]

На основании проведенного обсуждения у читателя может создаться впечатление, что из-за огромного разнообразия видов решения дифференциальные уравнения в частных производных не могут дать нам много сведений об изучаемых системах. Однако в действительности это не так. При практическом применении дифференциальных уравнений в частных производных мы почти всегда заранее располагаем некоторыми сведениями о решении. Так, например, при рассмотрении колеблющихся тел мы знаем, что некоторые участки жестко закреплены или что некоторые участки не испытывают натяжения. В квантовой механике мы знаем, что решения должны быть хорошими . Эти условия, которые мы называем граничными условиями, обычно достаточны для того, чтобы резко ограничить возможные решения, так что решения дают нам весьма полное описание возможного поведения систем. [c.32]

При обсуждении закономерностей кинетики органических ионов в ионитах следует сравнивать эффективные коэффициенты диффузии, полученные нри одинаковых начальных и граничных условиях и одинаковых степенях заполнения ионита. Ограничение только начальными значениями коэффициентов лишь в небольшой степени уменьшает неопределенность смысла рассчитываемых величин, так как различие в подвижностях ионов и влияние изменения размеров зерна сказываются даже в самом начале процесса. [c.267]

Линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка (4. 49) может быть проинтегрировано при соответствующих граничных условиях как для фронтального, так и для элютивного процесса. Одно из таких решений будет дано при обсуждении элютивной хроматографии. Поскольку предполагается отсутствие избирательности, т. е. отсутствие равновесных факторов, обостряющих границу, решения уравнения (4. 49) описывают нестационарные, размывающиеся границы. Теория развита также для случая, когда отличается от 1 на малую ве- [c.300]

Граничные условия. Для решения уравнений пограничного слоя, кроме начальных профилей, необходимо знать условия на граничных поверхностях / и Е. Обычно задают изменения величин зависимых переменных вдоль граничной поверхности иногда задаются градиенты этих переменных. В частном случае совпадения границы с линией симметрии градиенты на ней. в направлении, перпендикулярном линии симметрии, равны нулю. Если граница совпадает с неподвижной стенкой, скорость жидкости на самой стенке всегда равна нулю. Для пористой стенки необходимо указать интенсивность массопереноса (вдува — отсоса) сквозь нее. При обсуждении метода решения мы [c.26]

В случае парового пузырька граничные условия на равновесной (см. обсуждение (1.3.93)) межфазной границе, когда температуры фаз на ней совпадают и равны температуре насыщения Та(р2), имеют вид [c.111]

Книга состоит из 15 глав. Гл. 1 и 2 содержат историю вопроса и обсуждение основных свойств газов. В гл. 3, кроме интуитивного больц-мановского вывода кинетического уравнения Больцмана, приводится его вывод, принадлежащий Н. Н. Боголюбову. Этот [вывод основан на решении цепочки уравнений для приведенных функций распределения с граничным условием ослабления корреляций между соударяющимися молекулами в отдаленном прошлом. Такая постановка задачи уточняет больцмановскую гипотезу о числе столкновений. Здесь же обсуждается проблема построения высших приближений для кинети- [c.5]

В связи с обсуждением вопроса о роли критериев гомохронности рассмотрим задачу о моделировании процесса охлаждения (нагревания) твердого тела как один из наиболее характерных случаев применения метода модели к исследованию нестационарного процесса. Считая, что задача поставлена в граничных условиях третьего рода, имеем одно ограничительное уравнение [c.203]

Как видно из уравнений (84) и (85), здесь все еще имеет место двухточечная граничная задача с т условиями для каждого конца. Для каждого нового условия для Xi T) соответствующее условие для г1)г(7 ) отбрасывается. Поэтому обсуждение, проведенное в разд. 6.3, здесь ничего не дает. К тому же из обсуждения динамического программирования в разд. 6.4 видно, что условия для (7 ) просто исключают некоторые траектории из общего пучка, которые было необходимо рассчитать. Это упрощает вычисления. [c.331]

Глава 2 содержит детальное описание конечно-разностного метода решения. Сначала разбирается новое положение данного метода ( 2.1), а именно согласование выбора системы координат с требо-гзанием, чтобы размеры сетки всегда были скоррелированы с нараста-ппем или убыванием толщины пограничного слоя. В этом случае возможна удобная трансформация дифференциальных уравнений ( 2.2). В 2.3 выводится важная формула для степени увлечения жидкости через границу слоя, с помощью которой регулируется и контролируется ширина сетки. Остальная часть главы посвящена разбору различных деталей конечно-разностного метода составлению разностных уравнений, обсуждению граничных условий, решению результирующих алгебраических уравнений и т. д. [c.23]

Физическая интерпретация уравнений (4.2) дана в разделе 1.2. Данквертсом [1] дано решение уравнения (4.1) для частного случая, когда Со = с = О, основанное на решении аналогичной проблемы теплопроводности, обсужденной Карлслоу и Джигером [2]. Астарита и Бик [3], а также Лайтфут [4] решили уравнение (4.1) при общих граничных условиях (4.2). Решение уравнения включало значительные алгебраические манипуляции, основанные только на обычных приемах преобразования Лапласа. Поэтому решение приводится здесь без доказательства [c.50]

Приведенные выше соотношения были получены для системы, состоящей из N атомов. В реальном случае приходится иметь дело с образцами, содержащими настолько большое число атомов, что можно считать N— оо. Обсуждение динамики решетки бесконечно большого кристалла сильно упрощает построение теории, так как полная периодичность идеальной решетки является следствием отсутствия границ. Однако в этом случае величйны, относящиеся ко всему кристаллу, оказываются бесконечно большими. Но такие величины можно нормировать на конечный объем надлежащим выбором граничных условий [2, 3]. Для этого необходимо рассмотреть бесконечно протяженный кристалл, разделенный на макрокристаллы, каждый из которых содержит Ь ХЬ ХЬ=М элементарных ячеек. Любой из этих макрокристаллов можно рассматривать как физический кристалл, колебательные свойства которого мы исследуем. Циклические граничные условия (условия Борна — Кармана) представляют собой требование периодичности смещений атомов в соответствии с периодом макрокристалла, т. е. [c.15]

Если образец представляет собой тонкий слой с тангенциальными граничными условиями, приводящими к плоской текстуре, можно приложить поле Н, параллельное первоначальной оси спирали, несмотря на положительную диэлектрическую анизотропию ). В этом случае выше некоторого критического поля возникает периодическое искажение плоскостей холестерика (фиг. 6.15). Эта возможность была предложена Хельфрихом [47] в основном в связи с эффектами, вызванными электрическим полем, включая аккумуляцию зарядов. Более детальное вычисление, содержащее обсуждение [c.290]

Следует отметить, что используемое ниже уравнение, насколько нам известно, впервые приведено в [97] без обсуждения деталей его отличия от известного уравнения Зельдовича [43]. Чтобы с помош ью уравнения (I 3.24) вычислить скорости зарождения и роста кристаллов механизмом формирования двумерных зародышей, необходимо к уравнению (1 3.24) добавить конкретные начальное и граничное условия. Последние должны явиться предметом особого рассмотрения, так как одновременно желательно и получить аналитически относительно простое решение, и описать как можно полнее физическую картину процесса. [c.172]

Кроме того, при расчетах по методу М-К большую роль играют способ обрезания потенциала и периодические граничные условия [12]. В расчетах уже использовалось много различных потенциалов вода — вода. Поиск их ведется с помощью квантовохимических расчетов аЬ initio водных агрегатов из небольшого числа молекул, а также с использованием данных о термодинамических свойствах льда. Обсуждение вопросов использования того или иного потенциала можно найти в работах [4, 9, 13, 14]. [c.14]

Кинетические уравнения для парной матрицы плотности р(г, ) были уже приведены выще в связи с обсуждением геминальной рекомбинации. Теперь их надо решать при других краевых условиях и только граничное условие на радиусе рекомбинации сохра-ияехся прежним. Для гомогенного раствора радикалов в началь- [c.47]

Решение этого уравнения впервые было выполнено Данквер-стом [2] на основании решения аналогичной проблемы теплопроводности, обсужденной Карслоу и Джигером [3]. Решение уравнения (У1.5) для параллелепипеда, один из размеров (I) которого, намного меньше двух других при граничных условиях Скат = с2ат [c.159]

Решение уравнения диффузии зависит от геометрии образца и начальных и граничных условий исследуемой задачи. Из-за многочисленности возможных вариантов диффузии в этой главе не делается какой-либо попытки дать обзор частных решений. Плодотворное обсуждение математических методов решения уравнения диффузии и решений многих общих задач можно найти в монографиях Баррера [36], Иоста [178] и Кранка [96]. Классическая трактовка теплопроводности, по Карслоу и Егеру [78], позволяет решить большое число проблем диффузии. При этом температуру и коэффициент теплопроводности, входящие в тепловые задачи, можно заменить концентрацией и коэффициентом диффузии соответственно. [c.231]

Однако Тиссе не удалось построить количественно правильной и последовательной гидродинамической и термодинамической теории гелия II. Макроскопической теории посвящена в основном также и его последняя статья [10]. Необходимо отметить, что значительная часть этой статьи посвящена термодинамическому выводу гидродинамических уравнений, граничным условиям к ним, термодинамической формуле для скорости второго звука, обсуждению опытов по измерению вязкости и т. д., однако без упоминания, что все это было сделано Ландау (между тем как в предыдущих статьях Тиссы соответствующих формул не было). [c.427]

Роль анализа, основанного на куэттовской модели течения. Нами дана достаточная информация относительно начальных и граничных условий и законов переноса для решения (хотя бы в принципе) уравнений сохранения, приведенных в разд. 1.1-3. До обсуждения в 1.5 решения этих уравнений мы остановимся на трудностях исследования пристенной области течения. Как уже упоминалось ранее, зависимые переменные и коэффициенты эффективного обмена в этой области резко изменяются, поэтому, какой бы численный метод решения мы ие использовали, хорошая точность для этой узкой области обычно может быть достигнута лишь при больших затратах труда вычислителя. [c.30]

И е (особые точки в плоскости zJijJ, в которой ое является сепаратрисой), нужно исследовать поведение решения в малой окрестности начальной точки о. Пример такого аналитического исследования, основанного на линеаризации системы дифференциальных уравнении в малой окрестности точки о и позволяющего выйти из особой точки о вдоль искомой сепаратрисы, дан в 3—5 и 10 гл. 6 применительно к исследованию структуры ударных волн в жидкости с пузырьками газа. Интегральную кривую ое можно найти и численно с помощью пристрелки по двум параметрам по следующей схеме. Так как х не входит в правые части дифференциальных уравнений (4.4.15), интегральные кривые допускают произвольное смещение вдоль осп х. Поэтому фиксируем для Xf = 0 некоторое v,f, такое, что < l ol и Vif мало отличается от (для размытой волны индекс / внизу относится к начальной точке интегрирования, в которой производится пристрелка). Далее при фиксированном v f подбираем такие Mzf и pf (как указано в обсуждении после (4.4.17), остальные искомые функции однозначно определяются по значениям Vif, Mzf, Pf] при этом Mzf и Pf должны быть такими, чтобы Vifl < Vzfl < Ivo ), чтобы интегральная кривая с этими граничными условиями в точке Xf имела при х оо в качестве предела начальное состояние. [c.345]

Уравнение Толмэна [10], имеющее н сокращенном виде форму уравнения (9), долгое время служило для расчета зависимости поверхностного натяжения от кривизны при условии известности величины характеристического параметра межфазной толщины 6. Однако не было никаких методов измерения б в однокомпонентных межфазных системах жидкость — пар. Приводим метод измерения б для однокомпонентных границ жидкость — пар. Основан он на экспериментах по впитыванию жидкости в жесткие мезопор истые среды, где скорость впитывания непосредственно связана с движущим капиллярным давлением и, следовательно, с поверхностным натяжением. Параметр межфазной граничной толщины может быть рассчитан из уравнения [10], если восемь экспериментально полученных переменных в правой части уравнения заранее определены для интересующей системы жидкость — пористая среда. Однако оценка некоторых из этих переменных в мезопорах является непростой задачей и заслуживает более детального исследования. Поэтому наше обсуждение будет сначала касаться оценки переменных в уравнении (10), а затем уже эффекта кривизны. [c.256]

Рассматривая обратимость эффекта введения добавок в зависимости от температуры, следует снова отметить, что реакция при низких температурах является самоотравляющейся (раздел И, Г). Помимо этого, изменения удельной активности, наблюдавшиеся Кейер и др. [95], оказались очень значительны. Возможно, что наблюдаемую при этих температурах пониженную активность закиси никеля, содержащей литий, следует объяснить исходя из того, что такой окисел адсорбирует те или иные частицы, участвующие в реакции, гораздо интенсивнее, чем чистая закись. Что это за частицы, сказать нельзя. Кейер и Куцева [99] сообщили, что введение добавок лития (при условии не слишком, больших количеств) способствует повышению адсорбции кислорода и углекислого газа при комнатной температуре. Винтер [75] получил аналогичные результаты для кислорода. Наши работы [100] по хемосорбции на закиси, никеля с добавками также указывают, что кислород при комнатной температуре интенсивно хемосорбируется на образцах, содержащих литий (которые были приготовлены при 1000° и обезгажены при 500°), но слабо хемосорбируется на образцах с добавками хрома.. Эти результаты не согласуются с доводами, приведенными в конце предыдущего раздела. Поскольку нельзя считать, что адсорбция кислорода при какой-либо температуре может быть не акцепторной реакцией, то при обсуждении результатов теорию граничного слоя не следует принимать в качестве основы, по крайней мере в случае низкой температуры. Кейер и Куцева [99] обнаружили при комнатной температуре более слабую адсорбцию СО, когда в окисел вводили литий, а Винтер [97] привел для закиси никеля, содержащей литий, некоторые данные, которые указывают на повышение при 150° адсорбции СО по сравнению с адсорбцией на чистом окисле. Некоторые новые доказательства явлений отравления в низкотемпературном интервале были получены при исследовании Белянским и др. [101] окисления СО эти авторы наблюдали зависимость энергии активации ниже 250° от парциального давления СО в реакционной смеси. Абсолютная активность падала с возрастанием давления [c.351]