Распределение вероятностей в непрерывных моделях

Три основных элемента характеризуют случайный процесс характер пространства состояний, множество допустимых значений индексного параметра 6 и функциональная зависимость между случайными переменными До сих пор мы по существу рассматривали лишь первых два элемента случайных процессов, используемых как математические модели флуктуаций среды. Множество допустимых значений параметра 0 во всех случаях тривиально это не что иное, как ось времени. Что касается пространства состояний, то мы проводили различие между непрерывно изменяющимися и дискретными внешними параметрами. Опираясь на центральную предельную теорему, можно утверждать, что моделью непрерывно изменяющихся внешних параметров может быть случайный процесс с гауссовским распределением вероятности. В качестве основных примеров гауссовских случайных процессов мы рассмотрели в предыдущей главе два способа описания движения броуновской частицы винеровский процесс и процесс Орнштейна — Уленбека. [c.81]

Системы с дискретным пространством состояний всегда носят стохастический характер. Они не имеют детерминистических аналогов. Построение соответствующей детерминистической модели возможно лишь в том случае, когда допустимо приближенное представление системы в непрерывных переменных. Примерами таких непрерывных переменных могут служить концентрации, которые мы рассматривали в гл. 6 и 7. Использование концентраций оправдано при большом числе частиц. Однако в общем случае переход к непрерывным переменным оказывается невозможным. Поэтому некоторые положения, обсуждавшиеся в предыдущем разделе, теряют смысл. Описанные методы классификации вероятностных поверхностей применимы к исследованию дискретной сетки вероятностей лишь в том случае, когда точки дискретного распределения вероятностей можно аппроксимировать поверхностью. [c.259]

Колебательная теория конформационных состояний нуклеотидов, вообще говоря, является более общей, чем статистическая теория (разумеется, если в первой не ограничиваться моделью гармонического осциллятора), поскольку она соответствует непрерывному спектру конформаций. Если в нуклеотидах предполагается отсутствие кооперативности, то наиболее вероятным распределением по амплитудам будет гауссово. При этом может оказаться, что модель, согласно которой некоторая часть оснований будет находиться в полностью разупорядоченном состоянии, а все другие — в полностью упорядоченном, станет неплохим приближением к истине. Таким образом, отношение между рассмотренными двумя моделями примерно такое же, как между поворотно-изомерной теорией для конформационных состояний полимеров и более общей теорией, основанной на непрерывном спектре конформаций. [c.199]

Изложенные выше расчеты в случае квантового распределения энергии дают несколько большую высоту барьера ( Дх X 10 эрг), чем в случае непрерывного распределения энергии (Е = 1,6 10 эрг). Тем не менее значения ширины барьера для трех исследованных вариантов барьера (а = О, а = п и а = 1) в обоих случаях почти одинаковы. При этом ширина 21 4,8 А барьера Эккарта (а = л) значительно больше, чем толщина двойного слоя (1,5—2,5 А). Параболический барьер (а = 0) имеет ширину такого же порядка величины (21 1,65 А), что и толщина двойного слоя, но эта модель плохо описывает ход самого нижнего участка истинного барьера. Промежуточный барьер (а = I) имеет ширину (2/ж 2,1 А), которая сравнима с вероятной толщиной двойного слоя — приблизительно 2,5 А. Итак, можно принять, что эта модель аппроксимирует истинный барьер значительно лучше, чем две другие. К аналогичному заключению автор пришел еще раньше [7]. [c.36]

При построении жестких моделей используют различные классические методы математики дифференциальные уравнения, линейные разностные уравнения, интегральные уравнения н операторы для сведения к алгебраическим моделям. Вероятностные модели отражают законы распределения дискретных н непрерывных переменных, а также распределение статистик (выборок). Эти методы рассматриваются в теории вероятностей и математической статистике. [c.20]

Это уравнение отражает эволюцию любого начального распределения дисперсных частиц по размерам У к равновесному состояншо. Картина, описываемая уравнением Фоккера — Планка, согласуется с уравнением Ланжевена (7.5.4.1), рассматриваемым совместно со статистическими допущениями относительно г р,(х). Однако в уравнении (7.5.4.5) информация об изучаемом процессе представлена в значительно более компактной форме. Статистическое обоснование полного кинетического уравнения (7.5.3.5) можно найти в работе [83]. Непосредственное его решение возможно только для довольно ограниченного числа частных случаев [59], При решении многих прикладных задач нет необходимости рассматривать непрерывный процесс как таковой, поскольку при некотором приближении можно интересоваться не точным объемом частицы, а вероятностью того, что частица пршгадлежит заданному интервалу объемов. Такой подход оправдан тем, что решение задачи проводится с помощью ЭВМ. Возникает задача разработки дискретной модели непрерывного процесса. В связи с этим рассматривают систему, имеющую конечное число возможных состояний Ух, Уп, Для системы дисперсных частиц в качест- [c.686]

В работах Патрикеева [6.11, 7.116—7.118] предложен молекулярный механизм разрыва эластомеров при кратковременных испытаниях, когда термофлуктуационные и вязкие процессы не успевают ярко проявиться. Особенностью теории Патрикеева является попытка учесть роль надмолекулярных структур в эластомерах — упруго растянутой пачки макромолекул. Он нред-лон ил схему перехода от молекулярных характеристик связей в цепях полимера к прочности образца в целом. Лишь небольшая часть упруго растянутых макромолекул образует непрерывную систему — прочный каркас, армирующий растянутый полимер. Напряжение, приводящее к разрыву, зависит от небольшого числа упруго растянутых макромолекул, образующих каркас, воспринимающий практически всю внешнюю нагрузку. Вот почему, но Патрикееву, прочность эластомеров не соответствует модели цепей с равномерно распределенной нагрузкой. В отличие от теории А. Бикки и Ф. Бикки и модели Куна, неравномерная нагрузка падает пе на отдельные полимерные цепи сшитого полимера, а на упруго растянутые пачки цепей. При этом температура и межмолекулярное взаимодействие существенно влияют па число упруго растянутых полимерных цепей. Каркасная связанность деформируемых полимеров играет существенную роль и в прочности стеклообразных и кристаллических полимеров. В концепции Патрикеева интересна попытка выявить структурные причины неравномерного распределения напряжений по отдельным элементам структуры в варианте кратковременной прочности, близкой к атермическому механизму разрушения. Кроме того, Патрикеев предложил характеризовать структуру полимеров вероятностью образования каркасных связей при деформировании и рассматривать каркасную связанность как условце жесткости и прочности полимеров. Хотя концепция Патрикеева не объясняет временные эффекты прочности, она представляет интерес как один из подходов, позволяющих учесть реальную структуру полимера. [c.227]

Расплав как макроскопическая система состоит из большого числа N/ n + 1) гомогенных микроскопических ячеек, объем которых практически равен объёму критического зародыша п. Естественно предположить, что вероятности зарождения центров кристаллизации в микроскопических ячейках одного сорта независимы между собой, малы и имеют одну и ту же непрерывную функцию распределения гиперэкспоненциального типа (83). Вероятность возникновения центров кристаллизации во всёй системе является конечной величиной, вероятность же одновременного зарождения более чем одного центра кристаллизации за малый промежуток времени бесконечно мала. Вероятность зарождения первого центра кристаллизации в указанной выше модели определяется наименее надежной микроскопической ячейкой. При постоянном переохлаждении число ячеек до наступления кристаллизации сохраняется неизменным. В соответствии с теоремой Гнеденко—Гумбеля о предельном распределении для минимального значения группы п положительных величин функция распределения времени ожидания появления первого центра Кристаллизации асимптотически Приближенно подчиняется закону Вейбулла — Гнеденко (90) [c.36]

В современных взглядах на люминесценцию модельные представления о механизме свечения основаны преимущественно на случаях возбуждения светом. С изрест-ными поправками они могут быть распространены и на все остальные виды люминесценции. В основе всех моделей для кристаллолюминофоров лежит картина зонального распределения энергетического спектра кристалла, обусловленная существованием в нём периодического потенциального поля. В идеальном кристалле все атомы решётки кооперируют друг с другом. В результате взаимодействия с соседями энергетические уровни валентных электронов каждого атома расщеплены на соответствующее число подуровней. Последние энергетически расположены близко друг к другу и дают начало как бы непрерывным полосам разрешённых энергий. Вероятность распределения в них имеет периодический характер и ведёт к конечной вероятности нахождения электрона в любой точке решётки. Эти полосы разделены друг от друга областями запрещённых энергий, что придаёт энергетическому спектру кристалла зональный характер. [c.276]

Для вычисления вероятностей Zp,, Zr, Zb необходимо привлечь какую-нибудь модель среды. Мы будем пользоваться описанной выше моделью ветвящихся пор переменного сечения. Радиус каждой поры г непрерывно меняется случагшым образом. Распределение случайной величины г дается плотностью вероятности /(г). Изменения радиуса норы будем описывать с помощью величин Ха, которые определяются следующим образом. Произведение Xn,dx равно вероятности того, что пора, принадлежащая классу г, на длине dx перейдет в класс к. Иногда будут встречаться символы типа Xfk, означающие, что нас интересует не целый класс i, а лишь определенная пора радиуса г. [c.164]

Из теории дифференциальных уравнений в частных производных следует, что только при определенных значениях входящего в уравнение параметра Е можно найти однозначное, конечное и постоянное решение. Эти величины Е называются собственными значениями дифференциального уравнения. Встречающаяся в уравнении Шредингера общая энергия системы Е представляет собой подобное собственное значение. Соответствующие решения дифференциального уравнения (так называемые собственные функции f) занимают при описании атомных процессов место стационарных орбит старой модели атома по Резерфорду—Бору. Положение движущегося электрона как функции времени теперь не может быть указано точно величина у> , квадрат собственной функции, представляет собой вероятность нахождения электрона в определенном месте. Эта фу11кция характеризует, следовательно, в известном смысле распределение плотности заряда электронного облака , которое можно представить как бы непрерывно размазанным в пространстве. [c.15]

Примеры типа двумерной модели Изинга показывают, что при р = сг предельное распределение Гиббса для гамильтониана единственно, но случайные величины <р(х) нельзя ни в каком смысле считать слабозависимыми случайными величинами, изучаемыми в классической теории вероятностей. Широко распространенное в физической литературе допущение состоит в том, что совместное распределение подобных случайных величин удовлетворяет определенным условиям масштабной инвариантности или подобия. Это допущение представляет и гораздо более общий интерес, ибо оно показывает, что нарушение непрерывности или гладкости морфологических процессов часто сопровождается появлением величин, подчиняющихся гипотезе подобия. [c.134]

Прохождение частицы через потенциальный барьер является прямым аналогом движения плотности вероятности через "узкое место" на спектре энергетических уровней при квантовомеханическом рассмотрении реакции /29, 40/. Как было показано, для расстояний гь между реагирующими частицами высота потенциального барьера меньше энергии диссоциации на величину порядка температуры, В задачах поуровневой кинетики именно таким значениям энергии, расположенным ниже границы непрерывного спектра на величину порядка Т, соответствует положение узкого места на спектре энергетических уровней. Эта область энергий (или в терминах стохастической теории область расстояний между реагентами вблизи вершины потенциального барьера) является главной в определении константы скорости реакции. Фигурирующая в модели граница между связанными и свободными состояниями выбирается таким образом, чтобы результаты вычислений не зависили от К. Введение границы К аналогично заданию числа По рассматриваемых уровней в квантовомеханическом анализе. При этом результаты вычислений не зависят от выбора по, если энергия, соответствующая числу по, расположена в области энергетического спектра выше узкого места. Таким образом, данный подход содержит все основные черты поуровневой кинетики. Из равновесной функции распределения следует закон действующих масс, согласованный с квазиклассическими статсуммами и, как следствие, принцип детального равновесия для скоростей прямых и обратных процессов. [c.107]

Введенные характеристики и соотношение (12.2) можно интерпретировать следующим образом. Исследуемай система состоит из т элементов. Процесс 2/ определяет режим, в котором используется /-й элемент в момент /, а (/, х) — интенсивность отказа этого элемента при t) = х. Тогда (/, 2/ i))dt — вероятность отказа /-го элемента в интервале (/, I + й ) при условии, что используется режим 2/ ( ). Если в момент I произошел отказ /-го элемента, то режим его использования в момент / + О пересчитывается согласно распределению Q] х, А). Отметим, что описанная модель позволяет учитывать распределения, отличные от экспоненциального. Действительно, пусть Р (х) — произвольная непрерывная функция распределения, Ру (+0) = О, которую интерпретируем как функцию распределения времени работы /-го элемента. Если этот элемент включен в работу в момент то его отказ наступит в момент 5, определяемый из уравнения [c.197]

Из соотношения (9.2) следует, что в рассматриваемой модели флотационные свойства каждой частицы не зависят от фракционного состава пульпы и содержания в ней твердого, т. е. в процессе флотации взаимное влияние частиц отсутствует. Кроме того, принимается, что вероятность элементарного акта флотации пропорциональна удельной поверхности пузырьков в объеме пульпы и не зависит от их дисперсности. Сепарационная характеристика, описываемая выражением (9.2), не учитывает распределенность концентраций частиц и пузырьков по объему камеры и вторичное обогащение в пенном слое. Слагаемое akh, выражающее влияние уровня пульпы на показатели процесса, не имеет теоретического обоснования. Более того, оно противоречит физическому смыслу, так как в соответствии с выражением (9.1) еще до начала флотации (i=0) имеется ненулевое извлечение в концентрат, а при продолжительности процесса, превышающей некоторое значение, расчетное извлечение превышает 100%. Уравнение (9.1) отражает в указанном приближении кинетику флотации в аппарате периодического действия, когда все частицы находятся в камере одинаковое время t. В аппаратах непрерывного действия продолжительность пребывания частицы в камере — случайная величина (вследствие перемешивания пульпы), поэтому целесообразно рассчитывать плотность распределения времени пребывания (РВП) f t). Если переход от периодического к непрерывному режиму работы не влияет на флотащюнные субпроцессы, то справедливо соотношение [c.186]