Значение дифференциальных уравнений

С учетом их значений дифференциальное уравнение (7-97) может быть записано в окончательном виде [c.121]

Пусть взято некое собственное значение. Дифференциальное уравнение, подлежащее решению, имеет вид [c.334]

В методе Рунге — Кутта вводятся четыре вспомогательные величины ATi,A"2> 3 (это различные значения ). Дифференциальное уравнение, как обычно, задано в виде [c.227]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ 1. ЗНАЧЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.89]

Чтобы лучше осознать выдающееся значение дифференциальных уравнений для современной науки, обратимся к краткой общей характеристике важнейших типов законов, связанных с такими уравнениями. Особенно хорошо известны три основных типа линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка [c.26]

Зависимости с. п Т от и Г могут быть очень сложны. Если с и Т изменяются в масштабах, меньших размера частицы, то необходимо проводить усреднение. Пусть Р — некоторая точка внутри частицы и йКр — окружаюш,ий эту точку элемент объема, содержащий активную поверхность площадью 8 = Значения с и Г в данной точке будут функциями ее положения с . Р), Т [Р). Эти функции определяются как решение некоторой системы дифференциальных уравнений в частных производных, граничными условиями для которых являются величины с ., Т. Тогда функция г из формулы (VI. 1) определяется соотношением [c.122]

Мы получаем, таким образом, систему двух нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с граничными условиями, заданными на разных концах реактора. Решать такие уравнения — сложная задача, так как нри этом возникают явления численной неустойчивости и ошибки расчета начинают накапливаться и угрожающе возрастать. Так, можно было бы попытаться решать уравнение (IX. 104) при постоянной Т, задавшись пробным значением прп а = О, вычислив = - Ра интегрируя уравненпе от [c.295]

Патерно [27] проинтегрировал дифференциальные уравнения, определяющие явления химического насыщения жидкой фазы для частного случая постоянного состава газовой фазы по длине колонны. Уравнения в интегральной форме хорощо подтверждаются данными, получеными в абсорбере, заполненном упорядоченными шарами. К сожалению, даже для этой сильно упрощенной обстановки, интегральные формы уравнений неявны и требуют для вычислений количества абсорбированного вещества при данном значении № графических решений. Проблема, с другой стороны, сильно упрощается при использовании квазистационарной концепции даже при одновременном учете изменений составов газовой и жидкой фаз. [c.134]

Большинство работ выполнено по второй схеме. Величину D, определяют на основе измерения профиля концентрации по радиусу потока на некотором расстоянии от источника. Наиболее полное решение дифференциального уравнения (III. 19) для стационарного поля концентрации (дС/дх = 0), создаваемого локальным источником с учетом его размера, значения Di и влияния стенок аппарата, дано в работе [27]. [c.93]

Интегрирование этого дифференциального уравнения в пределах концентраций жидкой фазы от а до некоторого значения х и в пределах весов жидкой фазы от начального Lq АО некоторого остаточного R, отвечающего концентрации л- остаточной жидкости, приводит к известному соотношению [c.47]

Для потоков компонентов и теплоты, аналогично рассуждая, имеющиеся дифференциальные уравнения можно выразить с помощью критериальных уравнений, содержащих соответствующие безразмерные комплексы. Практически очень важное значение имеет случай одновременного появления нескольких потоков, причем его также можно описать с помощью зависимости между безразмерными комплексами. [c.85]

Интегрирование этого дифференциального уравнения в пределах от начальной концентрации а конденсирующегося пара до некоторого значения у состава остаточного пара и в пределах от начального до конечного веса О паровой фазы, отвечающего концентрации у остаточного пара, приводит к известному соотношению [c.52]

Систему дифференциальных уравнений можно использовать также для качественного исследования процесса. Если полученные уравнения привести к безразмерному виду, то в качестве коэффициентов будут фигурировать безразмерные параметры подобия. Анализируя их строение и численные значения, можно судить о том, какие силы играют решающую роль в процессе, какие члены уравнения можно отбросить и т.д. [c.37]

Подставляя найденные значения производных в уравнение (5.31), получим обыкновенное дифференциальное уравнение [c.141]

Поставим задачу следующим образом. Газовая или нефтяная залежь площадью S рассматривается как укрупненная скважина радиусом Лз = у/з/п. Законтурная вода, окружающая залежь, простирается до бесконечности. До начала отбора давление во всем водоносном пласте равно в момент, принимаемый за начальный, I = О, давление на забое снижается до значения и поддерживается постоянным в течение всего периода эксплуатации. Требуется определить объем воды, поступившей в укрупненную скважину за время /. Считая, что водоносный пласт имеет постоянную толщину Л, коэффициент проницаемости к и обозначая через т , вязкость воды и через р упругоемкость водоносного пласта, можем написать дифференциальное уравнение упругого режима для плоскорадиального течения воды к укрупненной скважине (5.49) [c.172]

Выведем дифференциальное уравнение, описывающее изменение насыщенности на скачке в зависимости от времени х. Для насыщенности 8 = на скачке (ее называют фронтальной насыщенностью), как и для любого значения л, выполняется соотношение (9.34) [c.269]

Подставив значение в дифференциальное уравнение и опустив / при индексе /, находим [c.23]

В табл. 1 дана характеристика областей применения различных методов оптимизации, при этом за основу положена сравнительная оценка эффективности использования каждого метода для решения различных типов оптимальных задач. Классификация задач проведена по следующим признакам 1) вид математического описания процесса 2) тип ограничений на переменные процесса и 3) число переменных. Предполагается, что решение оптимальной задачи для процессов, описываемых системами конечных уравнений, определяется как конечный набор значений управляющих воздействий (статическая оптимизация процессов с сосредоточенными параметрами), а для процессов, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, управляющие воздействия характеризуются функциями времени (динамическая оптимизация процессов с сосредоточенными параметрами) или пространственных переменных (статическая оптимизация процессов с распределенными параметрами). [c.34]

Методика отыскания численных значений вероятностных характеристик по экспериментально найденным распределениям общеизвестна и детально описана во многих руководствах по математической статистике, например в работах [74, 80]. Поэтому, опуская непосредственно вычисление указанных характеристик, установим лишь связь между ними и числами Пекле. Эта связь определяет т из решения дифференциального уравнения диффузионной модели, составленного применительно к изменению концентрации [c.49]

Теория подобия имеет важное значение при переходе от теоретических исследований к инженерной практике. Существуют два противоположных взгляда на теорию подобия некоторые ученые и инженеры отвергают ее, так как она не дает точных решений, иногда чрезмерно упрощает дифференциальные уравнения, описывающие процесс, и выводы ее ненадежны другие считают теорию подобия достаточно простой и легкой, а применение ее методов — решением всех проблем и пользуются этими методами без необходимого анализа возможности их применения. По нашему мнению, обе эти крайние точки зрения на теорию подобия неприемлемы. [c.76]

Таким образом, становится понятным, почему важное значение приобретают методы, которые позволяют привести дифференциальные уравнения, описывающие процесс, к зависимостям безразмерных комплексов величин . Перед описанием этих методов остановимся на решении основного уравнения потока, т. е. уравнения Навье — Стокса, для простейшего случая. [c.81]

Интеграл д и его экстремум определяются через зависимость переменной У/ от времени. Известно, что интеграл обнаруживает экстремум только при одном определенном значении функции. Определение функции, которая дает экстремум является задачей вариационного исчисления, причем установлено [20], что искомой функции удовлетворяет дифференциальное уравнение Эйлера [c.353]

Следует отметить, что в случаях с отклоняющейся геометрией значения констант и показателей степени различны. Причиной этого являются различные граничные условия первоначального дифференциального уравнения. [c.86]

Возможны случаи, когда скачкообразное, быстрое изменение какой-либо независимой переменной в непрерывном стационарном процессе нарушает установившийся режим процесс при этом становится нестационарным и остается таким до тех пор, пока не установится непрерывное стационарное состояние уже с другими параметрами. Такое переходное состояние можно представить как диффузию величины помехи (возмущения). Эта проблема особенно важна в технике регулирования (динамика процесса). Характерные переменные системы, таким образом, зависят от времени. В общем проблему можно сформулировать так стационарное состояние элемента процесса нарушается тем, что на входе изменяется значение переменной (мы считаем безразличным, нроизводится ли изменение намеренно с целью приближения к техническому или экономическому оптимуму или же оно происходит самопроизвольно) важно определить, какое значение примет эта переменная на выходе из единичного элемента процесса или из их совокупности. Этот переход в системе описывается дифференциальным уравнением, в котором присутствует (на выходе) производная упомянутой переменной. Появившаяся функция возмущения сама может быть любой функцией времени и содержать производные высших порядков. В общем виде она выражается следующим образом [c.305]

Наряду с графическим построением имеется также относительно простой и распространенный в инженерной практике расчетный метод, с помощью которого для каждого возмущения на входе можно определить выходное значение переменной, т. е. рассчитать, какой отклик даст элемент процесса на возмущение. Этот метод называют преобразованием Лапласа, а полученную с его помощью функцию — передаточной. Такое преобразование является линейным. С помощью этого преобразования функция / (t) от реальной переменной t становится сопряженной функции / (р) от комплексной переменной р = а ]Ь Можно доказать [15], что преобразование Лапласа для члена п-го порядка в дифференциальном уравнении (14-23) при нулевом условии будет следующим [c.307]

Любое уравнение типа (XIV.6.9) будет удовлетворять дифференциальному уравнению (XIV.6.5) независимо от того, какое значение имеет т. Так как исходное уравнение было линейным дифференциальным уравнением, то любая линейная комбинация решений также будет решением. Если т ограничено дискретными значениями, то наиболее общим решением является решение [c.388]

Теоретически существует другая возможность (кроме той, что указана в пунктах 3—5) использования экспериментальных результатов если ход Исследуемого явления удается описать в виде системы уравнений, то, решая ее для новых условий, можно определить ход явлений в этих условиях. В случае физико-химических процессов система уравнений, описывающих явление (например, кинетику реакции, тепло- и массообмен и т. д.), — это обычно система дифференциальных уравнений, которые не удается решить аналитически. Отсюда следует, что метод подобия имеет важное значение, хотя все чаще удается решать сложные системы уравнений благодаря использованию ЭВМ. [c.23]

Используя в рассмотренных выше дифференциальных уравнениях скорости реакции значение 2 = 0, находим соответствующие кинетические уравнения для случая, когда реакция в газовой фазе [c.239]

Известно [153], что при значениях параметров, равных бифуркационным, идеальный процесс, описываемый динамической системой, теряет свойство грубости , т. е. устойчивости к малым изменениям вида дифференциального уравнения или, иначе говоря, к.малым изменениям самой математической модели. Это означает, что при малых изменениях коэффициентов дифференциального уравнения (расходов фаз) изменяются основные свойства этого процесса. В нашем конкретном случае исчезает свойство иметь установившееся состояние движения частиц при заданных расходах фаз. Для того чтобы перейти в новое установившееся состояние, необходимо изменить один из расходов, а это в свою очередь приводит к нарушению принятого условия стационарности идеального процесса, описываемого динамической системой. [c.96]

Подставляя в (2.149) вместо ЪсО,Н) ее значение,выраженное через возмущение приведенной скорости дисперсной фазы на входе в аппарат 7до(0 с помощью соотношений (2.137) и (2.145), и интегрируя полученное дифференциальное уравнение, будем иметь [c.123]

Обыкновенные дифференциальные уравнения представляют собой соотношение между несколькими переменными и их производными по одной из этих переменных. Дифференциальные уравнения в частных производных содержат производные по нескольким переменным. Порядком дифференциального уравнения называют порядок наивысшей производной. Степенью называется наивысшая степень, в которую возводится производная после рационализации уравнения и освобождения от дробей. Общее решение дифференциального уравнения п-го порядка содержит п. произвольных постоянных. Частное решение получается при фиксированных значениях этих произвольных постоянных. [c.386]

Уравнение (81) называется дифференциальным уравнением возмущающего движения. Исследование устойчивости решения этого уравнения представляет собой задачу о собственных значениях дифференциального уравнения (81) при граничных условиях (78). Предположим, что основное течение задано, то есть известно распределение скоростей в ламинарном пограничном слое и (у). Тогда уравнение (81) будет содержать четьтре параметра Я, а, Сг, Си Для каждой выбранной пары Я и а можно найти собственную функцию ф и комплексное собственное значение с = Сг + Сг, причем здесь Сг — безразмерная скорость распространения возмущений, а С — безразмерный коэффициент [c.310]

Из теории дифференциальных уравнений в частных производных следует, что только при определенных значениях входящего в уравнение параметра Е можно найти однозначное, конечное и постоянное решение. Эти величины Е называются собственными значениями дифференциального уравнения. Встречающаяся в уравнении Шредингера общая энергия системы Е представляет собой подобное собственное значение. Соответствующие решения дифференциального уравнения (так называемые собственные функции f) занимают при описании атомных процессов место стационарных орбит старой модели атома по Резерфорду—Бору. Положение движущегося электрона как функции времени теперь не может быть указано точно величина у> , квадрат собственной функции, представляет собой вероятность нахождения электрона в определенном месте. Эта фу11кция характеризует, следовательно, в известном смысле распределение плотности заряда электронного облака , которое можно представить как бы непрерывно размазанным в пространстве. [c.15]

Важный вопрос о соответствии значений констант скоростп реакций эксперпментальным данным вынесен в этой главе в упражнения. Сделано так потому, что, с одной стороны, этот вопрос относится скорее к области чистой, чем прикладной кинетики, и, с другой стороны, его решаюш,ее значение для всей проблемы расчета химических реакторов не вызывает сомнений. Если кинетические зависимости изображаются прямыми линиями, как на логарифмическом графике для реакции первого порядка в упражнении У.2, то оценка точности найденных значений констант скорости реакций может быть получена из отклонения экспериментальных данных от прямой линии, наилучшим образом оиисываюш ей ход процесса. Если дифференциальные уравнения, описывающие систему реакций, должны с самого начала интегрироваться численно, то провести оценку значений констант скорости и их точности значительно труднее. В простейших случаях уравнения можно решать с помощью аналоговой вычислительной машины, где константы скорости представляются переменными сопротивлениями. Эти сопротивления можно изменять вручную, пока не будет достигнуто наилучшее возможное соответствие между расчетными и экспериментальными данными. Если решение проводится на цифровой вычислительной машине, следует использовать метод проб и ошибок. Предположим, [c.116]

Такое уравненпе можно наппсать для каждого вещества Aj Прп этом получается система S дифференциальных уравнений, для решения которой надо знать S начальных условий — значения j при i = 0. в наиболее общем случае, когда все величины j изменяются независимо, необходимы все S уравнений. Их можно проинтегрировать, если температура Т и давление Р либо постоянны, либо являются известными функциями времени. Во многих важных случаях, однако, эти уравнения не независимы, так что достаточно решить меньшее чпсло уравнений. [c.152]

В работе Амундсона, Коста и Рудда (см. библиографию на стр. 305) показано, что модель ячеек идеального смешения с N = PJ2 дает хорошее приближение к решению не только простого дифференциального уравнения, но и системы нелинейных уравнений для степени полноты реакции и температуры при Р = Р а. Это позволяет искать решение с помош ью алгебраических, а не дифференциальных уравнений. Полученные значения переменных у выхода реактора Г (1) и (1) можно затем использовать в качестве начальных условий при интегрировании дифференциальных уравнений в обратном направлении (от выхода к входу). Так как в этом направлении интегрирование численно устойчиво, можно найти путем итераций точное решение дифференциальных уравнений. [c.297]

Коэффициент теплоотдачи а не является, таким образом, постоянной вещества ли материала он зависит не только от скорости перемещения жидкости вдоль товерхности натрева, но в него включено значение всех величин, которые оказывают влияние на интенсивность передачи тепла. Заслугой Нуссельта является то, что на основе дифференциальных уравнений движения вещества, уравнения неразрывности и уравнения сохранения эцергии он на-щел величины, определяющие процесс теплоотдачи, и показал то влияние, какое о ш оказывают-на а. [c.29]

При t = О все точки кривой (л ), для которых s имеет значения, большие и меньшие i = 1 — 5 , где остаточная нефтенасы-щенность, начнут перемещаться в пласте, как следует из (8.17), со скоростями, пропорциональными/ (i). Поэтому если известно f (s) для каждого значения s, то известна и скорость каждой точки движущейся кривой s(x). Как видно из рис. 8.2,6, кривая f (s)-ue монотонная функция, а имеет максимум в точке П. Это означает в соответствии с (8.17), что на движущейся кривой i(x) некоторые промежуточные значения насыщенности будут перемещаться быстрее, чем значения насыщенности большие или меньшие. И спустя определенный промежуток времени после начала вытеснения форма профиля насыщенности будет иметь вид, подобный графику f s) на рис. 8.4. Из рисунка видно, что для любого значения х насыщенность становится неоднозначной (имеет три различных значения). Такое положение физически невозможно и, следовательно, начиная с этого момента времени, невозможно непосредственное применение уравнения (8.18). Это заставляет нас вспомнить, что уравнения, описывающие совместное течение воды и нефти, были получены при подразумеваемом предположении, что решение для профиля насыщенности-непрерывная и гладкая функция X и г. Поэтому дифференциальное уравнение (8.12) не применимо в области, где профиль насыщенности или тангенс угла его наклона (т. е. os/ox) терпит разрыв или имеет скачок. [c.235]

Вместе с тем существу ет ряд объектов, которые по свое11 природе обладают ячеечной структурой. Типичными (фпмерами служат секционированные реакторы, тарельчатые колонны и т. д. Поэтому ячеечные модели являются не только удобной аппроксимацией для объектов, опис[.шаелн. х дифференциальными уравнениями, но и имеют вполне определенное самостоятельное значение. [c.50]

Подставляя затем выражения (VI,232) в уравнение (VI,229), чожно получить одно дифференциальное уравнение в частных производных относительно функции/, которое решается, если для функции / заданы соответствующие граничные условия. В качестве одного такого условия может быть использовано тождественное равенство 1улю значения функции / в конечной точке траектории, т. е. при t = = и л = [c.312]

Как известно i-, для интегрирования системы п дифференциальных уравнений первого порядка требуется задать п значений искомых функций. Поэтому в рассматриваемой оптимальной задаче для интегрирования 2т уравнений систем (VII, 1) и (VII,48) необходимо задание 2т граничных условий для функций х,- [t) и A, (/). Если начальное и конечное состояния процесса полностью заданы, т. е. заданы граничные условия для все х неременных состояния [c.339]

Для установления хода изменений концентрации реагента нужно использовать найденное по уравнению (VIII-77) значение С А в дифференциальном уравнении VIII-74). Тогда получится линейное дифференциальное уравнение первого порядка [c.223]

В сложных реакциях такого типа нельзя установить констант скоростей по изменению концентрации только одного реагента во время превращений, например r, Ср или даже Сд. Определив концентрации двух реагентов, концентрацию третьего находим по балансному уравнению Сл + r + Ср = onst. Затем рассчитываем значения констант скоростей, используя дифференциальные уравнения (УП1-86) — (УП1-88). [c.225]

Для реакции первого порядка решение уравнения (IX, 5) дано Уилером . Рис. 1Х-3 иллюстрирует доступность внутренней поверхности для различных реакций первого порядка, в зависимости от скорости диффузии и общей скорости реакции —время диффузии в порах средней длины —время контакта, требующееся для достижения степени конверсии 63% ф—степень использования внутренней поверхности). Значения абсциссы находят из решений дифференциального уравнения. Ординату часто называют коэффициентом использования поверхности, который представляет собой отношение работающей поверхности катализатора к поверхности, которая была бы доступна, при отсутствии диффузионного сопротивления. В качестве другого примера отметим изучение алюмосиликатного катализатора крекинга с размерами частиц от 4 до 5 мм. Исследование показало, что коэффициент использовация поверхности изменяется в пределах от 0,55 до [c.310]