Автоколебания и предельные циклы

К особым фазовым траекториям относятся положения равновесия, сепаратрисы седел и изолированные замкнутые фазовые траектории, называемые предельными циклами. Если на предельный цикл изнутри и снаружи наматываются фазовые траектории, то он является устойчивым и изображает автоколебания (более подробно о предельных циклах и автоколебаниях будет сказано ниже). [c.122]

Как было показано А, А. Андроновым , математическим образом автоколебаний на фазовой плоскости являются предельные циклы — изолированные замкнутые фазовые траектории, к которым изнутри и снаружи приближаются фазовые траектории, имеющие форму спиралей. Такие предельные циклы называются устойчивыми. На рис. 1У-7 изображен устойчивый предельный цикл, охватывающий неустойчивое положение равновесия типа фокуса. [c.134]

Для построения фазового портрета системы необходимо определить, содержит ли ее фазовая плоскость предельные циклы, сколько их, какова их устойчивость и расположение. Большой практический интерес представляет также вопрос об амплитуде и периоде автоколебаний, соответствующих устойчивым предельным циклам. [c.135]

Иногда для разрешения вопросов о местоположении предельного цикла и характере автоколебаний может оказаться полезным численное или графическое интегрирование дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, а также использование аналоговых устройств для построения осциллограмм и фазовых траекторий. [c.136]

О = 00 соответствует рождению устойчивого предельного цикла из фокуса (и, следовательно, при уменьшении параметра стягиванию цикла в фокус). Типичная зависимость амплитуды А автоколебаний, соответствующих предельному циклу, от параметра 0 изображена на рис. 1У-14. При 0 < 0о фокус устойчив (см. рис. 1У-11,а), при 0 > 0о — неустойчив (см. рис. 1У-П,б). [c.142]

Можно полагать, что на плоскости параметров х, Я (см. рис. III-25) отсутствию предельных циклов отвечает не одна лишь прямая X = 1, соответствующая автотермическому ведению процесса, а некоторая область, включающая эту прямую. Это означает, что возможность возникновения автоколебании сильно зависит от значения коэффициента теплопередачи. При малой интенсивности теплопередачи система, если так можно выразиться, утрачивает колебательные свойства. [c.153]

Расчеты показали, что решение системы уравнений математической модели первой технологической схемы чувствительно к начальным данным. На рис. 1 схематически представлены проекции фазовых портретов. Все траектории, начинающие свой путь из интервала концентраций SO3, равного 30-35 г/л, проходят через неустойчивый предельный цикл и уходят либо в сторону увеличения концентрации SO3 и уменьшения концентрации СаО, либо в сторону уменьшения концентрации SO3 и увеличения концентрации СаО в зависимости от начала траектории - справа или слева от значения концентрации SO3, равной 32,5 г/л. Все траектории, начинающиеся слева от интервала 30-35 г/л, уходят в сторону уменьшения концентрации SO3 все траектории, начинающиеся справа от этого интервала, уходят в сторону увеличения концентрации SO3. Механизм появления автоколебаний в системе следующий. [c.41]

Из всего этого следует, что при отсутствии внутри С устойчивых с.р. на фазовой плоскости непременно должен быть хотя бы один устойчивый предельный цикл — изолированная замкнутая фазовая траектория, па которую изнутри и снаружи наматываются другие фазовые траектории. Существование на фазовой плоскости устойчивого предельного цикла говорит о том, что в системе происходят незатухающие колебания, продолжающиеся сколь угодно долго при неизменности внешних условий,— автоколебания, по терминологии Андронова. Таким образом, можно считать доказанной возможность автоколебаний в рассматриваемой химической системе. [c.134]

В этом случае в некоторой области параметров процесса возникают предельные циклы и устанавливаются автоколебания. [c.245]

Особый интерес для биологии представляют нелинейные автоколебательные системы, в которых устанавливаются и поддерживаются незатухающие колебания, несмотря на наличие трения. Это происходит за счет сил, зависящих от состояния движения самой системы. Размах автоколебаний определяется свойствами системы, а не начальными условиями. Из неустойчивых особых точек фазовые траектории уходят в бесконечность или к устойчивым точкам. Но в случае автоколебаний эти траектории накручиваются на замкнутую кривую, охватывающую особую точку —на предельный цикл (рис. 15.7). В свою очередь, предельные циклы могут быть и неустойчивыми. Эти ситуации присущи грубым системам, к которым относится, по-видимому, ряд биологических систем. Устойчивый предельный цикл, изображенный на рис. 15.7, соответствует незатухающим автоколебаниям. С таким явлением мы уже встречались при обсуждении свойств летательных мышц насекомых. [c.493]

Предельный цикл имеет форму, близкую к треугольной, автоколебания имеют острый релаксационный характер (рис. 15.13). [c.501]

Можно привести аргументы в пользу того, что биологическая система не только может, но и должна быть колебательной. Первый аргумент следует из всего изложенного в предыдущей главе. Сложная открытая система, включающая автокаталитические химические реакции, вдали от равновесия зачастую выходит на предельные циклы. Следовательно, автоколебания в такой системе весьма вероятны. Второй аргумент приведен Молчановым. Биологические системы являются результатом длительной эволюции. Устойчивые системы за время эволюции должны были уравновеситься, стать частью среды. Напротив, неустойчивые системы за это время распались. Следовательно, лишь системы, внутренние движения в которых имеют колебательную природу, могли сохраниться. [c.514]

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ И АВТОКОЛЕБАНИЯ [c.435]

Устойчивый предельный цикл соответствует устойчивому периодическому процессу , такие процессы называются автоколебаниями. Если внутри устойчивого предельного цикла лежит неустойчивый фокус (а иногда и неустойчивый узел), то выходяш ие из него фазовые траектории могут наматываться на предельный цикл. В этом случае из неустойчивого состояния равновесия будет происходить самовозбуждение автоколебаний. Для выяснения поведения системы при больших начальных отклонениях от состояния равновесия нужно знать также и расположение неустойчивых предельных циклов и других особых траекторий. Так, если устойчивый узел (или фокус) окружен неустойчивым предельным циклом, то при начальных отклонениях, не выходящих за пределы этого цикла, система будет возвращаться в исходное состояние равновесия. Но если начальное возмущение выводит систему за пределы неустойчивого предельного цикла, то она уже не вернется в первоначальное состояние равновесия. Подобные явления мы называем нелинейной неустойчивостью. [c.436]

Если неустойчивость имеет колебательный характер, то физически очевидно, что нарастание амплитуды колебаний не может быть неограниченным. В самом деле, концентрация исходного вещества не может стать отрицательной и не может превысить свое начальное значение (т. е. глубина превращения должна лежать между нулем и единицей), чем и кладется естественный предел нарастанию амплитуды колебаний. Соответственно разогрев в гомогенном реакторе не может быть больше адиабатического. Отсюда следует, что колебательная неустойчивость должна приводить к автоколебаниям конечной амплитуды, которым на фазовой плоскости отвечает предельный цикл. [c.458]

Тривиально-релаксационным колебаниям отвечают предельные циклы большой амплитуды. От них надо отличать циклы малой амплитуды, нарастание которой ограничивается уже не просто исчерпанием исходного вещества, но самой кинетикой реакций и условиями теплоотвода. Такие автоколебания мы называем кинетическими. Если неустойчивость приводит только к кинетическим автоколебаниям, то не исключена практическая допустимость работы реактора в автоколебательном режиме, что может существенно облегчить требования, предъявляемые к системе регулирования. [c.459]

Значит с учетом зависимости испаряемости (и, следовательно, испарения) от влагозапасов суши система уравнений водного баланса и баланса количества движения воды в речном бассейне оказывается существенно нелинейной и неустойчивой, что приводит к автоколебательным решениям этих динамических уравнений. Устойчивость предельных циклов по отношению к конечным возмущениям их амплитуд дает основание предполагать, что эти автоколебания встречаются в природе. Следовательно, водные циклы - крупномасштабные автоколебания в системе атмосфера - суша. [c.180]

По условиям Рауса — Гурвица (25) гл. 1 движение рассматриваемого ротора неустойчиво ввиду того, что в уравнении (24) отсутствует член с y в первой степени. Неустойчивость ротора проявляется в возникновении автоколебаний с возрастающей амплитудой. По мере роста амплитуды становится более заметной нелинейность гидромеханических сил, и тогда расчет колебаний значительно усложняется. Если статическая нагрузка достаточно велика, то оказывается, что колебания стабилизируются при некоторой предельной амплитуде, т. е. автоколебания здесь обладают предельным циклом [72]. Вместе с тем, если ротор окажется под воздействием большого случайного возбуждения и амплитуда колебаний существенно превысит предельное значение, то автоколебания вновь станут неустойчивыми. При этом вероятность возникновения неустойчивых колебаний с очень большой амплитудой тем меньше, чем больше статическая нагрузка. [c.97]

Асинхронные колебания роторов (автоколебания) либо развиваются до угрожающей величины, либо, что чаще наблюдается, обладают более или менее устойчивым предельным амплитудным циклом. Это свойственно автоколебаниям, возбуждаемым как под действием смазки подшипников, так и гидродинамическим воздействием рабочей среды турбомашины и притом у турбомашин самого различного типа и назначения. Поэтому при определении надежности турбомашины важно определить величину и устойчивость предельного цикла. Это выясняется наблюдениями колебаний ротора при более широких отклонениях от рабочего режима машины. Если предельный цикл колебаний весьма велик или же небольшой, но малоустойчивый, то сохраняются названные выше характеристики вибрационной надежности роторов. В других случаях допускаются автоколебания при запуске и выбеге машины или даже в рабочем ее режиме, причем оговаривается, что их амплитуда не должна превышать амплитуды синхронных колебаний (или иной величины) и что при обусловленных изменениях режима работы машины амплитуда автоколебаний не должна изменяться более чем на некоторую оговоренную величину, например на 50 или 70 %. [c.287]

При 0 = 01 на фазовой плоскости появляется полуустойчивый предельный цикл, окружающий устойчивый фокус (см. рис. IV-13, (5). С ростом 0 полуустойчивый цикл распадается на два простых — неустойчивый и устойчивый (см. рис. 1У-13, а). Так как фокус остается устойчивым, то автоколебания не возникают, если только не перебросить изображающую точку за неустойчивый предельный цикл, т, е. осуществить скачкообразное изменение начальных условий. При 0 = 02 неустойчивый предельный цикл стягивается в фокус, который становится не-усуойчивым, и в системе возникают автоколебания с амплитудой Лз. При уменьшении параметра амплитуда автоколебаний уменьшается, и изображающая точка находится в окрестности предельного цикла до тех пор, пока при 0 = 01, Л =Л[ устойчивый цикл не сольется с неустойчивым, образуя полуустойчивый цикл, который в дальнейшем исчезнет (см. рис. 1У-13, б). [c.143]

В заключение остановимся на вопросе о том, при каких условиях фазовая плоскость реакторов непрерывного действия не содержит предельных циклов, т. е. в соответствующих системах не могут возникнуть автоколебания. Воспользуемся изложенными в главе 111 результатами исследования автотермического реактора непрерывного действия, т. е. реактора, в котором отсутствует теплопередача через стенку. Система уравнений, описывающая поведение автотермического реактора, получается из (IV, 8) при X = ц, т. е. X = iijX = 1. Как было показано в главе III, положения равновесия этой системы расположены на интегральной прямой. Так как фазовые траектории не могут пересекаться, то отсюда следует, что фазовая плоскость автотермического реактора не может содержать предельных циклов [c.153]

В сильнонеравновесных системах возможно возникновение не только триггерного, но и осциллирующего режима с незатухающими периодическими изменениями концентрации. В кинетических системах, где наряду с угнетением происходит активация или торможение процесса продуктом реакции, скорость Т г является функцией концентрации не только исходного реагента, но и продукта. В этих условиях возможно возникновение различных структур, в том числе концентрационных автоколебаний [4] тип структуры может быть определен на основе анализа устойчивости. Неустойчивое состояние типа седло [корни характеристического уравнения (1.31) вещественны и различных знаков ] приводит к возникновению в системе триггерного режима. Неустойчивость типа фокус появляется при комплексно-сопряженных корнях уравнения (1.31) в этом случае в точечной системе возникает предельный цикл, когда любая точка фазовой диаграммы приближается к одной и той же периодической траектории [8, 11]. [c.37]

При расчете процесса разложения апатита по второй технологической схеме с рециклом получили, что фазовые траектории лежа на странном аттракторе. На рис. 2 приведены фазовая траектория решения системы уравнений математической модели процесса получения ЭФК в десятисекционном экстракторе. Глобальный фазовый портрет второй технологической схемы напоминает странный аттрактор Лоренца. Видно, что фазовая траектория имеет два неустойчивых предельных цикла. Фазовые траектории, начинающиеся справа, накручиваются на правый предельный цикл, затем через некоторое время, осуществляя автоколебания, сдвигаются влево и накручиваются на левый предельный цикл. Через некоторое время начинается сдвиг вправо, и траектория вновь накручивается на правый предельный цикл и т. д. Наличие рецикла приводит к наложению на собственные автоколебания системы за счет обратной связи между механизмами разложения апатита и кристаллизации дигидрита сульфата кальция еще и колебаний, связанных с наличием цикла в экстракторе. Механизм колебаний за счет обратной связи по кинетике процесса был описан выше. Когда система, пройдя левый предельный циют, стремиться выйти на устойчивое положение - отрицательный режим по SO3, рецикл дает повышение концентрации SO3, что заставляет систему двигаться вправо, накручиваясь на правый предельный цикл. Затем система, проходя через правый предельный цикл, за счет образования пленки стремится ко второму устойчивому состоянию - повышению концентрации SO3 и понижению концентрации СаО, но рецикл приводит к понижению концентрации SO3, и фазовая траектория сдвигается влево. Было рассчитано, что странный аттрактор наблюдается при времени цикла в интервале 30-60 мин. При этом увеличение рецикла (время цикла менее 30 мин) приводит к уменьшению расстояния между предельными циклами, а уменьшение рецикла (время цикла более 60 мин) приводит к увеличению этого расстояния. Увеличение рецикла [c.44]

Выше при анализе поведения системы в окрестности особой точки применяли линеаризованные дифференциальные уравнения, поэтому при неустойчивой системе колебания, возникающие в ней, будут неограниченно возрастать. Однако в нелинейной системе могут установиться автоколебания, которым на фазовой плоскости соответствуют устойчивые предельные циклы. Предельным циклом называют изолированную замкнутую фазовую траекторию, т. е. такую траекторию, в сколь у1одно малой окрестности которой отсутствуют другие замкнутые траектории. От предельного цикла следует отличать замкнутые траектории консервативных линейных систем. Для таких систем а сколь угодно малой окрестности одной замкнутой траектории имеются другие замкнутые траектории, соответствующие различным начальным условиям. [c.182]

По логарифмическим частотным характеристикам линейной и нелинейной частей системы находится ФГУ для принятых значений добротности Dэгп электрогидравлического привода. При добротности Вэгп ФГУ пересекается с логарифмической фазовой частотной характеристикой линейной части системы в двух точках, что указывает на возможность возникновения автоколебаний с частотами сй1 и С02- Однако точке 1 (см. параграф 6.7) соответствуют неустойчивые колебания. Устойчивый предельный цикл определяется точкой 2. [c.410]

Чтобы система с одной переменной и бистабильностью стала колебательной, нужно превратить параметр в медленную переменную. В ферментативной системе с двумя субстратами таким параметром, естественно, является концентрация второго субстрата СТ2. В этом случае для описания системы нужно использовать оба ур-ния (3). Относительные изменения концентрации 82(А[82]/[82]) будут медленными по сравнению с относительными изменениями 8 , если [82] [81]. При переходе к безразмерным параметрам это условие принимает след, вид О а2 1, I. На фазовой плоскости с координатами Ст , сгз поведение системы качественно определяется взаимным расположением нуль-изоклин-кривых, на к-рых производные daJdx и da2 dx равны О (рис. 2, а). Точки пересечения нуль-изоклин соответствуют стационарным состояниям системы. Пунктиром показано положение нуль-изоклины d s dx = О при бифуркации, сопровождающейся возникновением устойчивых колебаний (автоколебаний) малой амплитуды. Этим колебаниям соответствует замкнутая траектория движения системы-т. наз. предельный цикл. Сплошными линиями показаны нуль-изоклины в ситуации, далекой от бифуркации, когда единственное стационарное состояние системы (точка О на рис. 2, а) сильно неустойчиво и окружено предельным циклом АВСО. Движению системы по этому предельному циклу соответствуют автоколебания концентраций Ст и СТ2 с большой амплитудой (см. рис. 2,6). [c.429]

В области и происходят затухающие колебания, в области 111 — неустойчивые автоколебания. Экспоненциальный рост в области IV при большой амплитуде обрывается и периодически повторяется — возникает предельный цикл. Фазовая траектория брюсселятора при а = 2 и Ь = 10, т. е. в области IV, показана на рис. 15.12. [c.501]

Для гомогенного реактора пределы ее изменения лежат в интервале от нуля до единицы. С приближением амплитуды колебаний как по т , так и по к единице колебания принимают тривиальнорелаксационный характер. Таким образом, предельный цикл, построенный в плоскости , т), непосредственно характеризует природу автоколебаний. [c.463]

В литературе имеется ряд расчетов колебаний в гомогенном реакторе идеального смешения. Наиболее полное исследование для реакции первого порядка провели Сальников и Вольтер [19]. В их статье можно найти также ссылки на предшествующую литературу. Сальников и Вольтер пользовались безразмерными уравнениями в виде (X, 45). Методами качественной теории дифференциальных уравнений они определили ход интегральных кривых и расположение предельных циклов на фазовой плоскости в переменных X, и (в наших обозначениях). Амплитуда автоколебаний не находилась, так что полученные результаты не позволяют провести разграничение между тривиально-релаксацион ными и кинетическими автоколебаниями. Как мы видели, в переменных X, и это и вообще затруднительно. Для полного решения задачи об относительной амплитуде и характере автоколебаний [c.464]

Для области 2 характерно существование автоколебаний, т. е. предельного цикла (рис. 6, е). На рис. 6.9 представлен фазовый портрет для области 5, в KOTopoii существуют трп неустойчивых ст. с. [c.162]

Три случая, изображенные на рис. 5.2, исчерпывают все режимы, которые возможны в рамках упрощенной модели Филда—Короша— Нойеса (5.1.11). В ситуациях, соответствующих рис. 5.2, а, в, реализуется устойчивое стационарное состояние, а в случае, показанном на рис. 5.2, б, система совершает устойчивые автоколебания, которым соответствует предельный цикл АА ВВ на плоскости (и, у). [c.147]

При распространении псевдоволны в каждом элементе среды автоколебания происходят по тому же закону, как для изолированного элемента (образом этих автоколебаний является предельный цикл АА ВВ, показанный на рис. 5.2, б). Однако фазы колебаний соседних элементов сдвинуты по отношению друг к другу. В результате у наблюдателя создается впечатление, что по среде бежит волна. Эффектом того же происхождения являются волны , бегущие по гирляндам из электрических лампочек, зажигаемых по очереди на короткое время. [c.173]

Чаще всего автоколебания как жестких, так и гибких роторов возникают в виде слабых, на первый взгляд безобидных пульсаций, которые, однако, в течение нескольких десятых долей секунды могут возрастать до опасной величины. Такие колебания, совершавшиеся роторами различных турбодетандеров, локазаны на осциллограммах (рис. 64). Здесь на осциллограмме а) две кривые показывают колебания колеса ротора относительно корпуса в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, а на осциллограмме б) кривая выражает колебания только в одной плоскости. В начале показанной записи (слева) видны синхронные вращению ротора вынужденные колебания, на которые накладываются слабые автоколебания. Через несколько всплесков на записи видно бурное возрастание автоколебаний, амплитуда которых превысила 0,6 мм (осциллограмма б) или даже 0,9 мм (осциллограмма а). Это привело к разрушению лабиринтных уплотнений и повреждению рабочего колеса и подщипников. Более обычны случаи, когда возрастание самопроизвольно начавшихся автоколебаний само же и прекращается, и тогда устанавливаются автоколебания с определенной, устойчивой амплитудой — автоколебания с предельным циклом. [c.279]

Особому исследованию были подвергнуты условия возникновения автоколебаний, число точек устойчивости и др. При исследовании устойчивости стационарных состояний для систем типа (1У.12) пользуются бифуркационными диаграммами для определения возможности автоколебаний доказывается существование предельных циклов, с использованием теории нелинейных колебаний. В качестве частного случая систем типа (1 У. 12) в работе [36] рассмотрен процесс радикальной полимеризации с комбинационным обрывом, который при условии квазистационарности для радикалов и в предположении йМ1й1=0 (например, при полимеризации этилена, где конверсия мономера очень мала) приводит к (IV. 12), где х — концентрация инициатора в безразмерной форме, у — температура выходной смеси в безразмерной форме. [c.143]

Как видно из рис. 34, а, возможно такое сочетание параметров, когда в системе регулирования при определенных начальных условиях устанавливаются автоколебания, которым на фазовой плоскости будут соответствовать один или несколько устойчивых предельных циклов. В данном случае в системе один предельный цикл AB D. Все траектории, начинающиеся внутри области устойчивости, которая ограничена траекторией ByK N MPOzBi, навертываются на этот предельный цикл. Отрезок K N фазовой траектории B K N MPOzBz, по которой изображающаяся точка [c.240]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология