Система релаксационных уравнений

Эти уравнения определяют изменения функции распределения в неравновесных химических процессах. В качестве первого члена правой части следует подставить правую часть системы релаксационных уравнений [c.143]

Гидродинамические уравнения замыкаются системой релаксационных уравнений, описывающих передачу колебательной энергии между поступательными и колебательными степенями свободы. Обмен колебательной энергией между отдельными модами за счет так называемого квазирезонансного обмена может во многих случаях значительно превосходить прямой переход колебательной [c.128]

Система релаксационных уравнений [c.51]

Вычисления гораздо более громоздки, чем при расчете равновесного течения, так как вводится дополнительная переменная — пространственная координата х и уравнения кинетики — система нелинейных дифференциальных уравнений вида (18.40). Все это значительно усложняет расчетное исследование неравновесных течений не только за счет увеличения числа уравнений, а в основном из-за того, что система релаксационных уравнений вблизи равновесия является системой с малы-м и параметрами при старших производных. В связи с этим при расчете неравновесных течений в тех областях, где течение близко к равновесному (неравновесное течение в сопле, как правило, начинается из состояния, близкого к равновесному), возникают значительные трудности с выбором шага интегрирования уравнений химической кинетики [135, 211, 225]. [c.181]

Это время выражается через такие параметры релаксирующей системы, которые характеризуют ее взаимодействие с тепловым резервуаром в состоянии равновесия. Именно последнее обстоятельство позволяет сравнительно легко получить оценки т, не рассматривая в явном виде решения релаксационных уравнений. Следует, однако, иметь в виду, что вследствие упрощенного подхода к решению релаксационной задачи в( личина т, опреде- [c.46]

Неравновесная кинетика не может основываться на наиболее общем и прямом подходе, опирающемся на решение полной системы кинетических уравнений для заселенности отдельных кванто ых состояний с использованием сечений элементарных процессов. Гораздо более продуктивен упрощенный подход, использующий основные макроскопические характеристики реагирующей системы — характерное время химической реакции и характерное время релаксации Неравновесные эффекты становятся все более существенными по мере увеличения отношения Тр(.л/Тх . Поскольку большинство химических реакций имеет значительно более крутую температурную зависимость, чем релаксационные процессы, то ясно, что сильные отклонения от равновесия наиболее вероятны в высокотемпературных реакциях. [c.64]

Для системы яа основе полибутилметакрилат (ПБМА) — метилметакрилат (ММА) [448] были определены параметры релаксационного уравнения Кольрауша [c.232]

Последнее уравнение есть линейное определяющее уравнение системы с одним тензорным внутренним параметром. Из уравнения следует, что релаксационные уравнения тензорного типа приводят к изменению и дисперсии сдвиговой и объемной вязкости системы. [c.18]

Последнее уравнение приведенной системы — это так называемое релаксационное уравнение, описывающее процесс установления равновесия между поступательными и колебательными степенями свободы. Оно имеет тот же вид, что и газокинетическое уравнение для системы гармоничных осцилляторов [48], стой лишь разницей, что время колебательной релаксации т определяется строго через гидродинамические параметры первого приближения. [c.126]

При теоретическом исследовании процессов колебательной релаксации предлагались различные схемы релаксационных процессов и различные модельные системы кинетических уравнений. [c.129]

Второе слагаемое в квадратных скобках представляет собой полную колебательную энергию Е системы из N квантованных линейных осцилляторов в равновесных условиях. Таким образом, мы приходим к релаксационному уравнению] [c.427]

В третьей главе изложены некоторые результаты применения метода Монте-Карло к решению задач физической и химической кинетики и релаксации систем с химическими реакциями. Как известно, метод Монте-Карло заключается в статистическом моделировании какой-либо случайной величины с целью определения параметров ее распределения. Задачи физической и химической кинетики могут быть представлены как задачи временной эволюции распределений тех или иных величин, описывающих состояние и поведение ансамблей, состоящих в общем случае из молекул (атомов, фрагментов), электронов, ионов и других частиц. Так как метод Монте-Карло применим к любым задачам, допускающим статистическое описание, то естественным является его использование для изучения релаксационных процессов в первую очередь, а в более общем случае — для исследования любых процессов перехода молекулярных систем из некоторого начального неравновесного состояния в конечное — равновесное. Метод Монте-Карло позволяет не рассматривать системы газокинетических уравнений, а реализовать своего рода математический эксперимент, моделирующий одновременно релаксацию и собственно химическую реакцию как перегруппировку атомов при столкновении молекул. [c.8]

Метод насыщения, используемый для определения релаксационных времен, приложим в случае, когда выполняются уравнения Блоха и линия имеет лоренцеву форму. Следует подчеркнуть, что далеко не все системы подчиняются уравнениям Блоха, в частности сигнал дисперсии х часто насыщается при значительно более высоких уровнях мощности, чем сигнал поглощения х" (см. фиг. 11.3) [41—43]. При неоднородном уширении резонансной линии уравнения типа (38), (39) и (45) справедливы только в приложении к ширине компонентов спинового пакета, но не к ширине его огибающей. [c.395]

В общем случае применять распределение Зубарева довольно трудно и его следует рассматривать как удобный исходный пункт для введения физических приближений. Одним из простых и важных случаев являются системы, близкие к равновесию. В этом случае распределение (III. 20) можно разложить в ряд по степеням отклонения от равновесия. Если, кроме того, принять упрощающее предположение <Ап>ь = О и рассматривать медленные процессы, то с помощью (III. 20) можно получить систему релаксационных уравнений для термодинамических величин [c.205]

Вернемся теперь к нашему примеру релаксации напряжений в полоске несжимаемой резины. Для простоты положим, что релаксация происходит в изотермических условиях, тогда система уравнений (III. 27) сводится к одному релаксационному уравнению [c.206]

Следующие приближения содержат суммы аналогичных интегралов [47]. Описание гидродинамики и теплообмена интегро-дифференциальными уравнениями, интегрируемыми по траекториям движения частиц жидкости, затрудняет применение традиционных конечно-разностных методов численного решения задач. Поэтому стремятся приводить интегральные РУС к эквивалентным релаксационным РУС [47], для которых тензор напряжений в общем случае определяется из системы дифференциальных уравнений, где все локальные величины зависят от параметров течения, взятых только в рассматриваемый момент времени. Эти РУС не разрешены относительно тензора напряжений и содержат по меньшей мере одну производную от него по времени Скорость изменения (релаксации) напряжений, фигурирующая в уравнениях такого типа, обусловливает их название Релаксационные РУС приводят к описанию гидродинамики и теплообмена системами дифференциальных уравнений в частных производных, решаемых традиционными конечно-разностными методами. [c.124]

Проверка адекватности модели кинетики набухания осуществлялась на основании экспериментальных данных о положении оптической и фазовой границ. Для проверки адекватности использовался средний квадрат отклонения между экспериментальными и расчетными данными положения оптической и фазовой границ. Результаты проверки показывают, что моделирование деформации механических свойств полимера в процессе его ограниченного набухания, основанное на представлении системы сополимер — растворитель как сплошной среды с одним внутренним релаксационным процессом, вполне допустимо (погрешность не превышает +9%). Параметрами реологических уравнений являются модуль упругости среды и кинетический коэффициент ползучести, характеризующий внутреннюю подвижность макроцепей сополимера. Наряду с этим предлагаемая модель допускает (при необходимости) дальнейшее уточнение характеристик среды на основе более углубленного исследования реологических свойств системы сополимер — растворитель . [c.328]

Это время выражается через такие параметры релаксирующей системы, которые характеризуют ее взаимодействие с тепловым резервуаром в состоянии равновесия. Последнее обстоятельство позволяет сравнительно легко получать оценки t, не рассматривая в явном виде решения релаксационных уравнений. Следует, однако, иметь в виду, что вследствие упрощенного подхода к решению релаксационной задачи величина т, определенная выражением (12.16), в общем случае может передавать лишь порядок величины времени, характеризующего скорость приближения неравновесной функции распределения к равновесной. [c.140]

Полученное уравнение есть нелинейное релаксационное уравнение для рассматриваемой системы, так как оно определяет релаксацию заряда на емкости. [c.60]

Таким образом, в описанном алгоритме решение релаксационных уравнений основано на использовапии неявных разностных схем, разрешении разностного уравнения типа (2.3) относительно а +1 с целью устранения произведения малой разности больших величин на большую величину, решении нелинейной системы уравнений типа (2.7) методом Ньютона. [c.65]

Диаграмма связи диффузионных и релаксационных явлений в материале сополимера, полученная простым присоединением диаграммы связи реологической модели вязкоупругого состояния полимера к фрагменту диаграмм связи, отображающего диффузионные явления сплошной среды, представлена на рис. 4.4. Построенная диаграмма замкнута относительно преобразований энергии в ней, увязывает макроскопическое движение элементарного объема системы с физико-химическими характеристиками ее макроструктуры. Поэтому синтез уравнений системы по ее диаграмме приводит к замкнутой системе уравнений процесса набухания сополимера с учетом движения реальной сплошной среды и пере- [c.309]

Эти уравнения определяют изменении функции распределения в неравновесных химических процессах. В качестве п ервого члена правой части следует подставить правую часть системы релаксационных уравнений (8.28), а в качестве второго — выражение для скорости элементарной химической реакции, приводящей к изменению заселенности состояния а,-. Перейдем к рассмотренпю этих членов для молекулярных и обменных бимолекулярных реакций. [c.49]

Найденные уравнения для открытой двухспиновой системы позволяют иостроить релаксационное уравнение для произвольной открытой системы с гамильтонианом Ж, не зависящим от времени. Пусть имеется N экземпляров не взаимодействующих друг с другом идентичвЕЫх систем, каждая из которых подчиняется уравнению Шредннгера Решением этого уравнения является (п) ехр (—где k — номер уровня, п — номер системы, (п) — нормировочный коэффициент. На эту совокупность действует поток частиц , при взаимодействии с которыми происходит либо рекомбинация системы, либо она переходит в новое квантовое [c.263]

Простейшая оценка времени релаксации через динамические характеристики взаимодействия релаксируюш ей системы с тепловым резервуаром может быть получена для случая, когда переходы в основном происходят между уровнями, разделенными энергетическим интервалом, меньшим кГ. В этом случае интегральное уравнение (12.9) сводится к дифференциальному уравнению в частных производных, которое вместо вероятностей переходов к Е, Е ) содержит средний квадрат изменения энергии релаксируюш ей системы в единицу времени (см. [262, 35]). Эту величину, являющуюся важнейшей характеристикой релаксационного процесса, можно представить как произведение газокинетического числа столкновений [В] молекулы А с молекулами резервуара и среднего квадрата энергии <(А ) >, переданной релаксирующей системе при одном столкню-вении молекул А и В. Величина <(Д ) > зависит от температуры теплового резервуара и энергии Е релаксирующей системы до столкновения. В указанных обозначениях релаксационное уравнение для а Е) имеет вид [c.139]

Подстановка этих выражений в кинетическое уравнение (12.6) приводит к системе уравнений, допускающих аналитическое решение. Иссле-. дование решений для различных начальных распределений позволило получить общую картину релаксации. В частности, если начальное распределение задается больцмановской функцией с некоторой температурой Т Го> то это распределение релаксирует к равновесному больцманов-скому распределению через последовательность больцмановских распределений с температурой, зависящей от времени. Это свойство релаксации системы гармонических осцилляторов находит отражение также и в том, что релаксационное уравнение (12.15) выполняется для любых отклонений средней энергии от равновесной. Это уравнение справедливо не только в классическом (Йм к Г), но и в квантовом (Йсо к Г) рассмотрении (см. [334, 17 262, 43 175, стр. 121]). Выражая < (Д ) > через среднее значение колебательного квантового числа v [Т) [c.142]

Неравновесные реакции, протекающие при условии, что макроскопическая скорость реакции меньше (но ненамного) макроскопической скорости релаксации. При этих условиях равновесное распределение по энергиям нарушается не только вблизи энергетического порога, но и на нижних колебательных уровнях молекул. Если среди релаксационных процессов есть такой, который обеспечивает быстрый обмен энергией между низшими состояниями реагирующих молекул, то распределение по этим состояниям может быть охарактеризовано псевдобольцмановским распределением, характеризуемым эффективной температурой эфф- Эта температура не совпадает с поступательной температурой газа, а находится из некоторых уравнений, содержащих концентрации молекул и учитывающих охлаждение молекул при протекании эндотермической реакции. Решение этой системы связанных уравнений описывает одновременно релаксацию и реакцию на макроскопическом уровне [10]. Это приближение оказывается достаточным в том случае, если совокупность микроскопических констант скоростей реакций может быть сведена в макроскопическую константу, зависящую только от двух параметров Т и Гэфф. Примером подобных процессов может служить реакция [c.58]

Несмотря на то, что время релаксации возбуждения Тв электронного состояния обычно меньше характерного газодинамического времени течения, распределение концентраций возбужденных частиц по уровням существенно отличается от больцмановского вследствие высоких неравновесных концентраций двухзарядных, однозарядных ионов и электронов в сверхзвуковой части струи плазмы. При этом крайне существенным фактором является релаксация электронной температуры чем резче падает электронная температура в струе (при аналогичных параметрах торможения), тем выше параметр неравновесности и = п пе . Однако большая величина отношения тг/т [4] обеспечивает квазистацио-нарное распределение заселенностей, что позволяет отделить систему релаксационных уравнений, описывающих поле Т , е от системы уравнений для заселенностей. Указанный подход был применен для оценки заселенности электронных состояний азота при течении плазмы азота в сопле [4] и в настоящей работе для расчета течения ионизированного аргона. Из кинетической картины течения в струях газа и плазмы следует, что наибольший практический интерес представляют струи молекулярных газов с колебательной неравновесностью в области / и с химической не-равновесностью в остальных областях и неравновесностью электронных процессов в струе разреженной плазмы. Ниже приводятся результаты исследований указанных течений. [c.198]

Уравнение Гиббса нри наличии в системе релаксационного процесса и связанное с от]<лоненнем системы от равновесия, как известно, имеет вид [c.151]

Пример. Пусть имеется некоторая система, опйсыЁаемаЯ невозмущенным гамильтонианом находящаяся в тепловом контакте с термостатом. Предположим, что этот контакт при отсутствии внешних сил описывается релаксационным уравнением [c.171]

При расчете течений с неравновесными физико-химическими превращениями необходимо вдоль линий тока или траекторий частиц численно интегрировать уравнения, описывающие исследуемый неравновесный релаксационный процесс, например, уравнения (1.21), (1.34), (1.96). Кинетические, или релаксационные уравнения, описывающие этот процесс, вблизи равновесия являются, как правило, уравнениями с малым параметром при старшей производной, что усложняет их численное интегрирование. К числу таких релаксационных уравнений относятся уравнения сохранения массы химическо компоненты, уравнения для определения колебательной энергии, уравнения для определения скоростей и температур частиц в двухфазных потоках, уравнеР1ия переноса излучения и т. д. Особенность неравновесных течений в соплах состоит в том, что они начинаются из состояния покоя, где система близка к термодинамическому равновесию. В тех же областях, где система близка к равновесию и время релаксации, а, следовательно, и длина релаксационной зоны малы, возникают значительные трудности с выбором шага интегрирования. При использовании для численного интегрирования явных разностных схем типа метода Эйлера или Рунге-Кутта шаг интегрирования для проведения устойчивого счета должен быть настолько мал, что расчет становится практически невозможным даже при использовании современных вычислительных машин. [c.61]

Рассмотрим теперь конкретный алгоритм решения разностных уравнений для сложных неравновесных систем. Пусть имеется N неравновесных параметров для определения которых имеется N релаксационных уравнений тина (2.1). Пе ограничивая обш,но-сти, примем, что т, и сс суть функции только i и а, и не зависят от р Т1 Т. Тогда, согласно (2,3), система дифференциальных уравнений (2.1) анироксимируется следуюш,ей системой разностных уравнений [c.63]

По-прежнему целесообразно решать обратную задачу, задаваясь распределением давления по длппе сопла. Разностный метод решения этой системы по аналогии со случаем химически неравновесных течений основан на использовании неявных разностных схем при численном решении релаксационных уравнений. [c.283]

Численное интегрирование этой системы проводится теми же методами, как и решение системы, описывающей неравновесные течения с физико-химическими превращениями, изложенными в 6.2.2. По-прежнему целесообразно решать обратную задачу с заданным распределением давления р = р (х) или плотности р = р(ж), а при решении релаксационных уравнений (7.5), (7.7) использовать неявные разностные схемы. Поэтому, отсылая читате- [c.300]

Рассмотрим в рамках этих предположений колебате.тьную релаксацию смеси двухатомных газов (молекулы А и В) в тепловом резервуаре инертного одноатомного гааа М. Релаксационные кинетические уравнения строятся по общим формулам (8.28) с учетом VI- и резонансных и квазирезопапспых межмолекулярных УУ-процессов. Если предположить, что молекулы можно моделировать гармоническими осцилляторами, то обмен колебательной энергии нри столкновениях А + А и В + В носит чисто резонансный характер. Поэтому, вообще говоря, в системе имеется три различных процесса — резонансный У7-обмен (столкновения Ас А и В с В), квазирезонансный обмен (столкновепия А с В) и УТ -релаксация (столкновения А с А, В, М и В с А, В, М). Соответственно этому имеется три характеристических времени [c.96]