Произведений базис

Начнем с изучения влияния октаэдрического поля на полное представление, для которого базис образует совокупность -волновых функций. Чтобы получить это полное представление, необходимо найти элементы матриц, которые выражают результат действия каждой из операций симметрии группы на наш базис из -орбиталей. Характеры этих матриц содержат представление, которое мы ищем. Поскольку все -орби-тали четны, т. е. симметричны по отнощению к операции инверсии, в результате операции инверсии никакой новой информации получить не удастся. Таким образом, мы можем иметь дело с более простой чисто вращательной подгруппой О, а не О . Если вы хотите убедиться в этом сами, то вспомните, что в любой группе, включающей г (например, или Сзй), соответствующая группа вращений (например, или Сз) имеет то же самое неприводимое представление для двойных произведений, за исключением нижних индексов и и д в первой группе. Напомним, что -волновые функции состоят из радиальной, спиновой и угловой (0 и ф) компонент. Радиальной компонентой мы пренебрегаем в силу ее ненаправленного характера, поскольку она не меняется при любых операциях симметрии. Кроме того, мы примем, что спиновая компонента не зависит от орбитальной и в данной ситуации пренебрежем первой. Угол 0 определяется относительно главной оси, например оси вращения, поэтому он не меняется при любом вращении и им также можно пренебречь. Меняется только ф эта составляющая волновой функции выражается как е"" . (Для -орбиталей = 2, а т, принимает значения 2, 1, О, — 1, —2.) Для того чтобы определить влияние поворота [c.75]

Пространство, натянутое на как на базис, есть прямое произведение пространств и т.е. пространство ЗС состояний системы [c.22]

В результате тщательного анализа процесса разрушения сделан следующий важный вывод в момент разрыва произведение скалывающих и нормальных напряжений не зависит от угла ориентировки плоскости базиса и постоянно для данных условий опыта. Уравнение это записывается так [c.224]

Таким свойством, которое позволяет значительно сократить объем вычислений при определении обратной матрицы нового базиса, является свойство исходного базиса давать новый базис заменой только одного из векторов исходного. При этом оказывается возможным представить обратную матрицу нового базиса как произведение обратной матрицы исходного базиса на некоторую дополнительную матрицу, находимую несложными вычислениями [4]. [c.441]

Пусть теперь задано линейное векторное пространство 91 размерности пг, на котором определено представление Г. В этом пространстве имеется ортонормированный базис из векторов, которые будем записывать в виде строки (е,, е2,...,е ), тогда как произвольный вектор х есть произведение этой строки на столбец из проекций вектора х на базисные векторы [c.201]

Определенные в собственном базисе гамильтониана, однопереходные операторы пригодны также и для описания сильносвязанных систем. Рассмотрим преобразование U, которое диагонализует гамильтониан и преобразует базис произведений ( 0>>) в собственный базис ( [c.63]

Можно также применить альтернативный подход и в конце периода эволюции преобразовать когерентности I t/ i >< t/ u I из базиса собственных функций ф] к базису произведений ф ) в соответствии с выражениями (2.1.141) и (2.1.142) [c.502]

Матричные элементы t/,/, определяются соотношением I ) = = Ее I Фс ) Urt- Когерентности I ф,. ) < I в базисе произведений можно записать в виде произведений типа . которые под воз- [c.502]

При построении секулярного детерминанта удобно выбрать базисный набор, который отражает симметрию рассматриваемой системы ровно настолько, насколько это практически обосновано. Это уменьшает число матричных элементов, подлежащих вычислению. В данном случае оптимальный базис должен быть одновременно симметризован в соответствии с группами 8И п), К(3) и К(2) [см. цепочку (17.10)] или для частиц со спином 1/2 в соответствии с группами 81/(2) или Н(3) и К(2). Чрезвычайно простым для использования является базис спин-произведений, в котором каждая одночастичная функция представляет собой собственную функцию операций группы К(2), т. е. 2-компоненты углового момента. (Обозначим соответствующий оператор как Тг.) Для частиц со спином 1/2 такие функции связаны с магнитными спиновыми числами т5 12 и = = —1/2, т. е. являются спиновыми функциями аир. Функции, представляющие собой их простые произведения, не обязательно должны быть собственными функциями операций группы К(3) (т. е. квадрата полного углового момента, которому соответствует оператор Р), но из них легко построить линейные комбинации, являющиеся такими собственными функциями. Для системы из двух эквивалентных частиц со спинами 1/2, как, например, два протона в молекуле Нг, простые произведения спиновых функций таковы [c.356]

Чтобы продемонстрировать построение секулярного детерминанта, выберем в качестве примера систему с двумя протонами, изучаемую методом ЯМР, и воспользуемся в качестве базиса простыми произведениями спиновых функций, указанными в выражениях (17.11). В данном случае секулярный детерминант имеет размерность 4 X 4, а его матричные элементы равны [c.359]

Спектры первого порядка. Если система имеет больше одного набора эквивалентных магнитных частиц, то спектр магнитного резонанса становится более интересным. В этом случае с каждым набором связано его собственное характеристическое значение резонансной частоты со. Кроме того, имеются константы взаимодействия, характеризующие взаимодействия между наборами, а также другие константы, характеризующие взаимодействия внутри наборов. Константы взаимодействия между наборами заметно проявляются в частотах переходов, но в системах из частиц со спинами 1/2 взаимодействия внутри наборов по-прежнему не влияют на вид спектров. Энергетические уровни подобных систем можно вычислить при помощи гамильтониана (17.19) и базиса спин-произведений. Однако обычно при проведении детального анализа спектра величины (О и /, / желательно определить из эксперимента. В этом случае задача решается подобно тому, как это делается в задачах анализа колебательного спектра молекул. Сначала выбирают предположительные значения со, и 1ц, а затем их постепенно уточняют, сравнивая вычисленный спектр с наблюдаемым экспериментально, пока не будет достигнуто удовлетворительное согласие. В спектре магнитного резонанса обычно содержится больше экспериментальных данных, чем имеется подлежащих определению неизвестных, поэтому удается получить единственное решение. [c.363]

В трехэлектронной системе имеются два подпространства, соответ-ствующи.х S = /г, т.е. в разложении полного спина на сумму неприводимых моментов момент с весюм 5 = Уг встречается дважды. В многоэлектронной системе число неприводимых моментов с одним и тем же весом возрастает. Найдем число Д5, ЛГ), показывающее, сколько раз в полном спине Л -электронной системы будет встречаться неприводимый момент с весом 5 [18]. Базис для Л -электронной системы образуют всевозможные произведения Л юднозлектронных спиновых функций, каждая из которых есть либо а, либо Число таких базисных функций равно 2 . Рассмотрим одну из базисных функций, среди сомножителей которой функция а встречается р раз, а функция (3 встречается е раз, причем р + д = N. Очевидно, эта функция есть собственная функция 2-про- [c.31]

Аналогичное же положение имело место и в теории атома, где общая классификация термов основьшалась на задании угловой зависимости базисных функций в виде сферической функции. При численных расчетах, разумеется, потребуются обсуждения и явного вида функции / -Функции симметрии а(т = 0) преобразуются по одномерному неприводимому представлению группы Если т Ф О, то функции и со (( ) образуют базис двумерного неприводимого представления группы С . Рассмотрим прямое произведение пространств Ещ Е . Базисными функциями в этом пространстве при тФО являются следующие произведения функций (4.12) [c.201]

Расщепление базиса -орбиталей в кристаллическом поле влечет за собой и расщепление термов. В термы объединяются теперь те состояния, которым соответствует одинаковая заселенность орбиталей и волновые функции которых одинаково преобразуются операциями симметрии. При анализе симметрии волновой функции состояния можно рассматривать просто произведения (а не построенный из них детерминант) волновых функций отдельных электронов. [c.184]

С помощью понятия базисных функций можно определить понятие прямого произведения представлений. Пусть для двух представлений некоторой группы заданы соответственно два набора базисных функций Га (/ ) с матрицами А и матричными элементами < гк, ф — его базис размерности т а также Гв(/ ) с матрицами В и матричными элементами Ьц1, чр — его базис размерности п. Определим, с помощью каких матриц, т. е. по какому представлению, будет преобра-зовыЁаться набор функций (базис) ф -фй размерности. т-п. Это представление называется прямым произведением представлений Га и Гв и обозначается знаком X , т. е. [c.29]

Найдем матрицу этого представления Гс с матричными элементами йй. В качестве примера рассмотрим два двумерных представления Га и Гв с матрицам А и В, матричными элементами Огй и а также наборами базисных функций (ф[, фг) и (т)) , фг) соответственно. Будем искать четырехмерное прямое произведение Гс с матрицей С и базисом (Ф1, Фг, Фз, Ф4) = = (фгфь ф1-ф2, фгфь ф2-ф2). [c.29]

В слабо связанных системах с магнитно-эквивалентными ядрами перенос когерентности обычно описывают в представлении произведения функций отдельных спинов, а не в базисе должным образом симметризованных функций [8.15]. Симметрия учитывается с помощью соображения, что в изотропных растворах константа спин-спинового взаимодействия между двумя эквивалентными ядрами не проявляется. Таким образом, правила отбора можно применить, если считать, что = О для всех пар эквивалентных ядер. При этом из правила 5 следует, что с помощью одиночного неселективного импульса многоквантовая когерентность системы двух и более эквивалентных ядер не может быть переведена в наблюдаемую одноквантовую когерентность одного из этих эквивалентных спинов. В случае многоэкспоненциальной релаксации в системе эквивалентных спинов этот вывод может быть неверным, тогда перенос когерентности следует описать с помощью симметричных базисных функций. [c.482]

Преимущество такой замены заключается в том, что произведение любых двух гауссовских функций с центрами на атомах а и Ь представляет собой новую гауссовскую функцию с центром в некоторой точке с. В связи с этим вычисление четырехцентрового интеграла по гауссовским функциям (GaGb GeGf) сводится к вычислению двухцентрового (G lGd) интеграла, который вычисляется значительно проще. Основной недостаток гауссовских функций в том, что они плохо отражают поведение хартри-фоковских АО. Для аппроксимации АО Хартри — Фока с достаточной точностью необходимо брать большее число гауссовских АО, чем слэтеровских. Например, в так называемом базисе STO—3G каждая слэтеров- ская АО аппроксимируется тремя гауссовыми с коэффициентами разложения, подбираемыми по методу наименьших квадратов. Лучший способ подбора состоит не в приближении к слэтеровским АО, а в поиске функций исходя из минимума полной энергии соответствующего атома. Это позволяет сократить размеры гауссовского набора до приемлемых размеров. [c.107]

Для приведения базиса -функций используем еще один метод разложения ПП на НП. Введем пон51тие вектора характеров, у которого столько элементов, сколько классов в группе. Каждый элемент этого вектора равен произведению характера класса на корень квадратный из отношения числа элементов в этом классе к порядку группы /г, т. е. вектор характеров ПП -базиса [c.119]

Волновые функции выступают в роли базисов для представлений, относящихся к точечной группе молекулы [1]. Пусть/ и fj будут такими функциями, тогда новый набор функций, fj . называемый прямым произведением этих функций, также окажется базисом для представления группы. Характеры прямого произведения находят с помощью следующего правила характеры представления прямого произведения равны произведениям характеров представлений для исходных функций. Прямое произведение двух неприводимых представлений будет новым представлением, которое или уже неприводимо, или может быть сведено к неприводимым представлениям. Табл. 4-9 и 4-10 показывают некоторые примеры прямых произведений для точечных групп и соответственно. [c.220]

Поскольку расчет произведения матриц требует значительно меньших вычислительных затрат, чем определение обратной матрицы, преимущества представления обратной матрицы исходного базиса на дополнительную очевидны. К этому следует добавить, что для начального базисного решения часто имеется единичная матрица, для которой обратная матрица также единична. По этому и на первом шаге решения задачи линейного программиро- [c.441]

Согласно определению произведения матриц, столбец матрицы [Л/] в соотношении (VIII, 172) находится умножением матрицы [Л ] на соответствующий столбец матрицы [D] l. При этом для совпадающих столбцов матриц [Л/] и [Л/] соответствующие столбцы матрицы [D] l должны содержать только один элемент, отличный от нуля и равный 1, причем именно тот, номер которого в столбце совпадает с номером столбца, т. е. элемент, расположенный на главной диагонали матрицы [D] l. Иными словами, матрица [D] l должна совпадать с единичной матрицей, кроме только одного столбца с номером р, отвечающего исключаемому вектору Ап+р исходного базиса [c.442]

Часто встречается такая ситуация, когда функции v принадлежат тому же подпространству, что и функции и, так что, например, V = м (например, когда встречается произведение молекулярных орбиталей, преобразующихся по одному и тому же неприводимому представлению). В этих случаях от базиса функций и х)и (у) имеет смысл, как правило, перейти к так называемому симметризованному базису, определяемому равенствами (/ j) [c.207]

В пашем случае имеется естественный выделенный базнс (соответствующий выделенным состояниям) для — 0), 1) ,адля — ж1,. . ., ж ) , Xj (Е Ш. Пространство С" с выделенным базисом обозначается через В. Выделенный базис считается ортопормпроваипым, это задаёт скалярное произведение на пространстве состояний. Коэффициенты Са-1, разложения вектора ф) по этому базису называются а.м-п.литуда.ми. Пх физический смысл состоит в том, что квадрат модуля амплитуды интерпретируется как вероятность обнаружить систему в данном базисном состоянии. Как и должно быть, суммарная вероятность всех состояний равна 1, поскольку длина вектора предполагается единичной. (Вероятности будут подробно обсуждаться позже до некоторых пор мы будем заниматься лииейпой алгеброй — изучать унитарные операторы на пространстве В "). [c.52]

При построении прямого произведения (10) базисные функции преобразуются друг через друга, и аналогично ведут себя функции л, преобразующиеся лишь через функции По существу, в симметризованном базисе прямое произведение распадается на два представления одно из них определено на подпространстве функций 5. , другое - на подпространстве функций /. Пользуясь равенствами типа (10) и учитывая, что в этом случае Г =Г , далее можно показать, что характер представления, действующего в Sl , может быть записан следующим образом [c.207]

Поясним геометрический смысл этой конструкции. 5 нитариая группа и(2) действует иа трёхмерном евклидовом пространстве. Чтобы описать это действие, заметим, что эрмитовы матрицы 2 х 2 с нулевым следом образуют трёхмерное евклидово пространство скалярное произведение задаётся формулой - Тг(ХУ), ортонормнрованный базис образуют матрицы Паули [c.61]

Тензорное произведение двух иространств Ь п М, в которых фиксированы базнсы б1,. . ., е н /1,. . . , /т , можно определить как пространство с базисом из элементов ej (д /к- (В данном случае ej (д /к — это то же самое, что (е ,Д), т.е. просто пара векторов.) Размерность тензорного произведения равна 1т (произведению размерностей сомножителей). [c.52]

Такое определение неинвариантно, т.е. зависит от выбора базпсов в перемножаемых пространствах. Можно дать инвариантное определение. Для этого рассмотрим вначале пространство (бесконечномерное) с базисом 6 0/, где е (Е , / (Е М — произвольные векторы из перемножаемых пространств. Тензорное произведение будет факторпростраи-ством этого пространства по подпространству, порожденному векторами вида [c.52]

Если сделать замену базиса только в управляюп ем q-бите, как показано на рисунке ниже, то получится оператор, который является произведением отрицаний в обоих q-битах и оператора диффузии (на с. 70 мы обозначали его V). Действительно, [c.175]

Представление суперматриц в виде прямых произведений матриц в подходящем базисе можно применять для расчета супермат-ричных представлений коммутаторов и унитарных преобразований. Для коммутаторного супероператора С выполняется следующее соотношение [c.45]

Однопереходные операторы обычно определяются в собствен-базисе гамильтониана, в то время как произведения операто- [c.59]

Мы предлагаем другой способ выбора размерности базиса Ланцоша, причем этот способ не требует дополнительных затрат времени и оперативной памяти. На каждом шаге алгоритма Ланцоша строится базисный вектор т)>, ортогональный к двум предыдущим. В арифметике точных чисел каждый новый вектор был бы автоматически ортогонален и ко всем предыдущим базисным векторам, однако погрешности округления приводят к неортогональности генерируемого алгоритмом базиса [3, 6]. При этом оказывается, что сходимость (решения проблемы моментов) вызывает катастрофическую потерю ортогональности [6]. В связи с этим в работе [6] рассмотрены возможности реортогоналиаации базиса с целью получения большего числа собственных значений и собственных векторов с нужной точностью. Наш опыт работы показывает, что для расчета спектральной функции можно не проводить реортогонализацию базиса и ограничиться такой размерностью оператора 1" , при которой неортогональность базиса достигает величины порядка 10 —10 . (Отметим, что <(1 1) =1 <(1 2)>=0 <[11 3> 10 , что соответствует точности машинного представления действительных чисел в арифметике 8-байтных чисел.) Более того, нет необходимости проверять ортогональность нового базисного вектора ко всем остальным, поскольку такой способ требовал бы хранения всего базисного набора и заведомо нерационален. Мы проверяем ортогональность каждого нового базисного вектора лишь по отношению к стартовому вектору. Для всех рассмотренных выше программ стартовый вектор (вектор разрешенных спектральных компонент) имеет три ненулевые компоненты, поэтому для вычисления произведения <1 я> не требуется ни дополнительной памяти, ни сколько-нибудь значительных затрат времени. Построение оператора автоматически заканчивается в программе при выполнении условия [c.234]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология