Приближенное решение уравнений

Фазовый портрет позволяет судить о всей совокупности процессов, которые могут осуществляться в системе при всевозможных начальных условиях. Построение фазового портрета является конечной целью качественного исследования динамической системы, для выполнения которого не нужно находить ни точного, ни приближенного решения уравнений системы. [c.121]

Для частиц, близких к сферическим, можно для нахождения Reo, по исиользовать приближенное решение уравнения (1.24) [c.12]

Уравнения (11,59) — (И,61) получены как приближенное решение уравнений массопередачи многокомпонентной ректификации при допущении о сопротивлении массопередаче только в паровой фазе. [c.85]

Функция Гейтлера — Лондона для молекулы Н2. Работа Гейт-лера и Лондона (1927) была основополагающей в области применения квантовой механики к химии, т. е. в области теории строения молекул. Эти ученые впервые нашли приближенное решение уравнения Шредингера для молекулы Нг, подойдя к ней как к системе, состоящей из двух атомов водорода. Использованная ими приближенная функция для молекулы На строилась из атомных орбиталей 15 каждого атома водорода. В нулевом приближении она имела вид, аналогичный функции для атома гелия (см. 9) [c.54]

Обе МО суть приближенные решения уравнения Шредингера, полученные вариационным методом. Из них одно с более низкой энергией (ф5) отвечает основному, второе ( л) —ближайшему высше.му по энергии состоянию. Рассмотрим подробнее выражения для энергии (21.19а) и (21.196). В них входят так называемые матричные элементы [c.67]

Метод нестационарных сеток. Для приближенного решения нестационарной краевой задачи в заданной области Q = QX X 10, Г], Й<=Л , конечно-разностными методами необходимо в Q построить разностную сетку. Зададим для этого произвольное разбиение отрезка [О, Т узлами /с = О, N, и для каждого построим в й сетку по пространственным переменным 2л. Совокупность всех узлов лт = 1 3л, образует сетку в Q. Сетку Qh будем называть нестационарной (НС), если 2 2 хотя бы для одного к < N. Другой способ построения НС состоит во введении подвижной системы координат, в которой берется стационарная сетка. Такие сетки будем называть подвижными (НС). НС появляются естественным образом при стремлении сократить вычислительную работу, требующуюся для нахождения приближенного решения с нужной точностью, путем минимизации числа узлов разностной сетки. Различного вида НС рассматривались в работах [11—20]. В [И, 12] для приближенного решения уравнения теплопроводности построены оптимальные НС с увеличением шага по пространству в два раза при переходе с А-го времен- [c.158]

Маршак, определив коэффициенты функции рассеяния (7.327), получил приближенное решение уравнения (7.335) для Фц. Если использовать этот результат в формуле (7.334), то получим выражение для возраста нейтрона с летаргией и, появившегося в системе нри летаргии а <и, в виде [c.289]

Для оценки величины этого времени найдем приближенное решение уравнения (1.88), предположив, что в каждый момент времени процесс фильтрации газа через пористое тело в замкнутый объем стационарен. Количество газа, профильтровавшегося за время в замкнутый объем V, расположенный между пробкой и запорным устройством, будет [c.64]

Теория МО является естественным распространением теории атомных орбиталей (АО) на случай электронов молекулы. Состояние электронов многоэлектронного атома описывают в виде совокупности одноэлектронных функций — атомных орбиталей и находят путем приближенного решения уравнения Шредингера. Каждая АО описывает состояние одного электрона атома. Согласно квантовой механике (fl(r)dr есть вероятность обнаружить электрон на расстоянии г, г + dr от ядра, эта величина мала при больших г. Поэтому можно считать, что электрон находится с подавляющей вероятностью в окрестности ядра атома. [c.51]

Состояние электронов многоэлектронной молекулы можно описать подобно состоянию электронов атома совокупностью одноэлектронных функций ф (г) — молекулярных орбиталей и найти их путем приближенного решения уравнения Шредингера. Каждая МО оп- [c.51]

В первой части книги содержатся краткие общие сведения по графической обработке и корреляционному анализу экспериментальных данных, построению номограмм и приближенным решениям уравнений. Помимо типовых примеров приведены решения [c.9]

Однако при численном решении (2) возникает неустойчивость по начальным данным [11]. В определенном смысле, задача нахождения функции X(t) по известному следу функции Y(t) на[с, d] является некорректно поставленной по Адамару [11,12,13]. Ибо, как говорилось выше, при определении экспериментальных данных Yg(t) всегда присутствует ошибка 5. Тогда даже небольшое различие между точным значением выходного сигнала Yj(t) и Yg(t) в некоторой норме (например, L 2[a,b]), Yp - Yg < 5, может привести к значительному расхождению соответствующих решений уравнения (2) Xj -Х5 > N, где N — любое, сколь угодно большое число, X it) и Xg(t) соответственно точное и приближенное решение уравнения (2). [c.111]

Другое приближенное решение уравнения (2.110), соответствующее большим t, когда 0 0в, имеет вид [c.81]

Для многоэлектронных структур, как и для многоэлектронных атомов, точное решение уравнения Шредингера (см. 3.4) не найдено и в связи с этим применяют приближенные решения. Приближенное решение уравнения Шредингера на примере образования молекулы водорода На впервые выполнено в работе В. Гейтлера и Ф. Лондона в 1927 г. Ими использован метод расчета двухэлектронного атома гелия, развитый Гейзенбергом. [c.97]

В 1927 г. немецкие ученые У. Гейт-лер и Ф.Лондон провели квантовомеханический расчет взаимодействия атомов водорода при образовании молекулы На-В результате приближенного решения уравнения Шредингера они вывели зависимость потенциальной энергии системы от расстояния между ядрами атомов водорода (рис. 13). При сближении двух атомов электроны с антипараллельными спинами притягиваются одновременно двумя протонами, поэтому потенциальная энергия системы уменьшается (кривая 1). При сближении двух атомов действуют не только силы притяжения, но и силы отталкивания. Два электрона отталкиваются друг от друга, то же наблюдается и для двух протонов. Силы отталкивания начинают преобладать при очень малых расстояниях между атомами. При некотором расстоянии между ядрами энергия системы минимальна. Система становится наиболее устойчивой, возникает химическая связь и образуется молекула водорода. Расстояние между ядрами в молекуле водорода Го (длина связи) равно 0,074 нм. При сближении атомов, у электронов которых спины параллельны, наблюдается только их отталкивание и энергия системы возрастает (кривая 2). Квантовомеханические расчеты показывают, что электронная плотность в системе при взаимодействии двух атомов водорода, имеющих антипараллельные спины электронов, максимальна в области, лежащей между ядрами [c.42]

Работа Гейтлера и Лондона (1927) была основополагающей в области применения квантовой механики в химии, т. е. в области теории строения молекул. Эти ученые впервые нашли приближенное решение уравнения [c.84]

Обе МО суть приближенные решения уравнения Шредингера, полученные вариационным методом. Из них одно с более низкой энергией (4 5) отвечает основному, второе () — ближайшему высшему по энергии состоянию. [c.97]

Напомним, что приближенные решения уравнения Шредингера мы отыскиваем, учитывая вариационный принцип, согласно которому приближенное значение энергии всегда больше полученного при точном решении того же уравнения. Так как уравнение Шредингера может быть построено неточно (например, вместо потенциала взаимодействия электронов взят потенциал самосогласованного поля), то полученное значение энергии сравнивается лишь со значением точного решения, которое может и не совпадать с экспериментальными данными. [c.31]

Для исследования массо- и теплообмена в вертикальных дисперсных двухфазных системах необходимо вначале рассмотреть гвдродинамику движения одиночных частиц в потоке вязкой жидкости или газа. В разделе 1.1 приведены точные и приближенные решения уравнения Навье — Стокса в сплошной и дисперсной фазах для малых и промежуточных значений критерия Рейнольдса. [c.5]

Приближенные решения уравнения Навье-Стокса для промежуточных значений критерия Рейнольдса. Решения Стокса и Адамара получены при значениях критериев Рейнольдса Кс1 и Кег, много меньших единицы Обтекание твердой сферы при малых, но конечных значениях Кез впервые исследовалось Уайтхедом (1889 г.), который применил к решению уравнений Навье - Стокса метод последовательных приближений, разлагая поле потока в ряд по степеням Ясз. Однако построенное Уайтхедом решение противоречило граничным условиям вдали от сферы. Второе приближение для скорости не удовлетворяло условиям равномерного потока на бесконечности, а более высокие приближения на бесконечности расходились. Таким образом, все члены разложения, кроме главного, не удовлетворяли граничным условиям. Этот парадокс, свойственный задачам обтекания тел конечных размеров, был назван парадоксом Уайтхеда. Его объяснение и правильное решение при малых значениях Кег было осуществлено в работе Озеена [1]. Озеен показал, [c.11]

Массо- и тешюобмен при больших значениях критерия Пекле рассматривался также в работах [251, 252] на основании приближенного решения уравнения конвективной диффузии (4.42) при условиях (4.43) методом Бубнова—Галеркина. [c.184]

Прн некоторых аналитических видах зависимости I(Q) интеграл (XIII, 13) или не берется в конечном виде в элементарных функциях, или получаемые выражения громоздки и неудобны для практического применения. Поэтому в теории процессов на неоднородных поверхностях важную роль играют методы приближенного решения уравнений типа (XIII, 13). Остановимся на методе приближения, развитом в исследованиях С. 3. Рогинского. [c.348]

Ковалентная связь. Метод валентных связей. Мы уже знаем, что устойчивая молекула может образоваться только при условии уменьшения потенциальной энергии системы взаимодействующих атомов. Для описания состояния электронов в молекуле следовало бы составить уравнение Шредингера для соответствующей системы электронов и атомных ядер и найти его решение, отвечающее минимальной энергии системы. Но, как указывалось, в 31, для мно-гоэлсктронных систем точное решение уравнения Шредингера получить не удалось. Поэтому квантово-механическое описание строения молекул получают, как и в случае многоэлектронных атомов, лишь на основе приближенных решений уравнения Шредингера. [c.119]

Равновесия с участием слабых кислот и оснований. Уравнения материального баланса и баланса зарядов. Способы приближенного решения уравнений, включаюших константу диссоциации слабой кислоты или основания. [c.206]

По сути дела, рассмотренные результаты представляют собой два приближенных решения уравнения конвективной диффузии, полученные при различных упрощающих задачу допущениях. Однако, как уже говорплось выше, более строгое численное решение задачи [30, 33, 43, 44] дало результаты, близкие к решению Кронига — Бринка, и показало полную несостоятельность применения теории диффузионного пограничного слоя к решению внутренней задачи [46]. [c.204]

Если р, (5 53) 8, то согласно [8] в качестве приближенного решения уравнения Аг=з с приближенной правой частью з берется элемент z =Я з , а), полученный с помощью регуляризирующего оператора Я (з, а), где а= а (8, 5д) согласовано с погрешностью исходных данных Это решение называется регуляризо-ванным решением, а числовой параметр а — параметром регуляризации. Описанный метод построения приближенных решений называется методом регуляризации. В работах [8—11] развит вариационный принцип построения регуляризирующих операторов, основанный на понятии стабилизирующих функционалов. Различные способы построения регуляризирующих операторов и определения параметра регуляризации рассмотрены в [5, 16— 18]. В работах [19—21] даны характерные примеры решения нри-кладных задач методом регуляризации. [c.286]

Обозначим через Sn линейные ограниченные операторы, отобра-жающие Е в Sn(E) zEn, где Sn (Е)— конечномерные подпространства пространств Еп соответственно. Приближенное решение уравнения (21) определим как решение уравнения м [c.153]

Вклад Вилладсена и Стюарта в создание модифицированного метода коллокации не ограничивается приближенными решениями в форме (VII, 40). Уравнения (VII, 42) и (VII, 45) справедливы для любого приближенного решения уравнения [c.169]

Подстановка выражения (1 -20) в уравнение (IV-1T) и последующие преобразования поззо. .ямт по..1учить приближенное решение уравнения Беллмана в виде следующей субоптпма. ыюй стратегии [c.129]

Автор [8] рассматривает плоскую модель течения в вихревой трубе на основании приближенных решений уравнений Навье — Стокса и предлагает феноменологическую теорию эффекта, которая соответствует основным характеристикам процесса — в приосевой зоне вращение потока близко к квазитвердому, а полная энтальпия меньше начальной. Отмечается также, что большую роль должны играть автоколебательные и акустические явления, сопровождающие работу вихревой трубы. Большое значение придается и трехмерности закрученного потока. [c.25]

При приближенном решении уравнения (4.27) и минимизации функционала (4.28) базисные функции доллгны удовлетворять условию (4.26). [c.162]

Итак, мы познакомились с двумя приближенными решениями уравнения Шрёдингера для молекул. Ранее (разд. 6.2.1) было показано, как, исходя из одноэлектронной модели молекулярного иона водорода Нг+, можно построить в некотором роде периодическую систему двухатомных молекул. Для применяемого при этом метода молекулярных орбиталей (МО) характерно заполнение молекулярной (а не атомной) орбитали ф последовательно одним, а затем и двумя электронами. В методе валентных связей (ВС) Гейтлера — Лондона исходят из атомных орбиталей, занятых одним электроном, а далее переходят к двухэлектронной системе (Не или На) путем линейной комбинации занятых атомных орбиталей, в которой учитывается неразличимость электронов. [c.87]

Основные полоокенхм метода валентных связей. Впервые приближенное решение уравнения Шредингера для одной из простейших молекул — молекулы водорода было произведено в 1927 г. В. Гейтлером и Ф. Лондоном. Эти авторы сначала рассмотрели систему из двух атомов водорода, находящихся на большом расстоянии друг от друга. При этом условии можно учитывать только взаимодействие каждого электрона со своим ядром, а всеми остальными взаимодействиями (взаимное отталкивание ядер, притяжение каждого электрона к чужому ядру, взаимодействие между электронами) [c.101]

Следует отметить, что точное решение уравнения Шредингера для конкретных задач, встречающихся в теории атома и молекулы, сопряжено с чрезвычайно большими математическими трудностями, которые удалось преодолеть только в немногих случаях. Точное решение найдено пока только для одноэлектронных систем — атома водорода и водородоподобных ионов, а также ионизованной молекулы водорода Нг . Для других атомов и молекул в настоявшее время возможно получение только приближенных решений уравнения Шредингера. Эти решения имеют большое значение для химической науки, так как они объясняют природу и свойства химических связей. Поэтому прежде чем приступить к рассмотрению результатов вантовомеханической трактовки химической связи, целесообразно познакомиться с некоторыми математическими приемами, используемыми при приближенном решении уравнения Шредингера. [c.143]

Такое представление о гибридных орбиталях удовлетворительно объясняет физические и химические свойства молекул, однако необходимо отметить, что 5р -орбитали, например, соответствуют только одному возможному приближенному решению уравнения Шрёдингера. В принципе существует много разных равноценных способов комбинации одной 5- и трех р-атомных орбиталей. Как будет показано в разд. 1.5, четыре связи С—Н в метане не всегда ведут себя так, как если бы они были эквивалентными. [c.21]

Для соединений с делокализованными связями используются те же два главных общих метода приближенного решения уравнения Шрёдингера, которые рассматривались в гл. 1 [2]. В методе валентных схем молекулу изображают несколькими возможными структурами Льюиса (называемыми каноническими формами) и считают, что она представляет собой среднее между весами , или вкладами, этих структур, каждой из которых отвечает своя волновая функция г 5 в уравнении (2) (см. гл. 1) [c.47]

Уравнение Шредингера (1,1) даже для положительного иана молекулы водорода, имеющего один электрон, может быть решено точно лишь в адиабатическом приближении. Решение уравнения Шредингера для более сло)к-ных молекул становится затруднительным вследствие наличия членов 1/г > В таких случаях необходимо применение метода самосогласованного поля (ССП). [c.15]

Все расчеты многоатомных молекул основаны на приближенных решениях уравнення Шрёдингера (4.3). Практика предъявляет два главных требования к уровню приближения и выбору расчетной схемы. Это, во-первых, достаточное соответствие результатов расчета результатам эксперимента и, во-вторых, достаточная экономичность расчетов, т. е. разумные затраты времени при выполнении их на быстродействующих ЭВМ. Из двух основных теорий химической связи — метода валентных связей и метода молекулярных орбиталей — последний имеет значительные преимущества при реализации на ЭВМ. Поэтому все основные расчетные методы современной квантовой химии используют приближение МО в форме схемы ЛКАО МО Хартрн—Фока—Рутаана (см. разд. 4.3.3). В рамках этой схемы возможны как дополнительные усовершенствования расчетной модели (учет эффектов электронной кор- [c.203]

В качественной теории МО получаемые в результате приближенных решений уравнения Шрёдингера молекулярные орбитали многоатомных молекул являются в общем случае многоцентровыми функциями — линейными комбинациями АО нескольких атомных центров. Такое описание не связано прямо с понятием химической связи в структурной теории, где связь представляет собой локальное свойство, относящееся к двум соседним атомам. Можно преобра 5овать атолшые орбитали таким образом, чтобы придать им направленность, характерную для конфигурации образуемых данным атомом химических связей, и на основе этих новых (гибридных) АО подойти к описанию и прогнозированию геометрии молекул. Представления о гибридизации атомных орбиталей были введены в 30-х годах нашего столетия Л. Полингом. Понятие о гибридизации орбиталей тесно связано с понятием [c.381]