Устойчивость нелинейных систем

Нелинейные системы также могут обладать устойчивостью ы целом, но для выявления этого совершенно недостаточно рассмотрения устойчивости положения равновесия (т. е. устойчивости в целом). [c.157]

В работах А. М. Ляпунова было показано, что между устойчивостью положения равновесия исходной нелинейной системы [c.25]

Пользуясь выражениями (V, 7), можно построить функцию Ляпунова для линеаризованной системы, которая будет удовлетворять требованиям теорем Ляпунова в некоторой окрестности положения равновесия исходной нелинейной системы. Эта процедура построения функции Ляпунова будет использована ниже при исследовании устойчивости изотермического реактора. [c.164]

Определение устойчивости нелинейной системы строится на основе анализа траекторий в фазовом пространстве системы. Стационарное состояние устойчиво, если все траектории в некоторой его окрестности сходятся к нему, и неустойчиво, если любая из этих траекторий удаляется от него. Из приведенных в предыдущей главе рис. III-1—III-6 следует, что образованные траекториями узлы и фокусы соответствуют устойчивым состояниям, а седла — неустойчивым. В общем случае движение по траектории может происходить также и от седла или фокуса. Поэтому узлы или фокусы могут быть устойчивыми или неустойчивыми. Если же фазовые траектории образуют седло, то система всегда неустойчива. [c.72]

Некоторые нелинейные системы не обладают асимптотической устойчивостью в малом, но в окрестности положения равновесия имеется некоторая область (может быть и достаточно большая), внутри которой система обладает асимптотической устойчивостью. В таком случае говорят об устойчивости си-сте.мы в большом. [c.157]

В предыдущих главах рассматривались линейные модели систем автоматического регулирования и управления. Такие модели получаются в результате линеаризации уравнений, описывающих различные физические процессы в устройствах, входящих в систему. Если при линеаризации характерные черты физических явлений сохраняются, то благодаря развитой теории линейных дифференциальных уравнений имеется возможность сравнительно просто решать задачи устойчивости и качества регулирования, причем, как было показано, разработанные в теории автоматического регулирования и управления методы позволяют проводить не только анализ, но и синтез линейных систем. Однако не всегда допустима указанная идеализация реальных систем, так как при замене нелинейных уравнений линейными может не только уменьшиться точность расчетов процессов регулирования, но и исказиться или даже исчезнуть качественные особенности процессов, возникающих в нелинейных системах. Последнее связано с наличием в системе элементов с существенно нелинейными характеристиками, к которым относят характеристики, не линеаризуемые при переходе к малым отклонениям переменных. Многие существенные нелинейности, встречающиеся в системах автоматического регулирования и управления, могут быть представлены кусочно-линейными характеристиками. [c.168]

Нелинейные системы. В том смысле и в той постановке, которые изложены выше, проблема построения минимальной реализации может быть сформулирована и для нелинейной динамической системы при ее движении в окрестности устойчивого стационарного состояния. Минимальная реализация, построенная в окрестности фиксированного стационарного состояния, представляет собой линеаризованную систему уравнений движения нелинейной динамической системы в этой окрестности. [c.116]

Численные исследования нелинейной системы уравнений моментов показали [2], что из устойчивости в малом следует асимптотическая устойчивость в целом а в случае неустойчивости в малом в системе устанавливается колебательный процесс одной определенной конечной амплитуды. На рис. 4.2 показаны рассчитанные на ЭВМ [2] при различных значениях m переходные процессы изменения концентрации в кристаллизаторе в устойчивой (кривые /, 2) и неустойчивой (3—5) зонах. Из формы кривых 4, 5 видно, что в случае неустойчивости состояния стационарности вне зависимости от начальных условий в системе самопроизвольно устанавливались нелинейные колебания определенного периода и амплитуды. Изменение характеристик процесса в автоколебательном режиме изображено на рис. 4.3. [c.334]

Следовательно, рассматриваемые средние стационарные режимы неустойчивы, так как самое правое собственное число положительно. Неустойчивость этих режимов подтверждается и прямыми расчетами исходной нестационарной нелинейной системы (1) — (10) при < = < В зависимости от выбора начальных данных (10) решение при сходилось либо к нижнему, либо к верхнему стационарному устойчивому решению. [c.123]

При исследовании устойчивости в малом процессов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, обычно используется система уравнений, полученная линеаризацией в окрестности стационарного режима первоначальной нелинейной системы. При этом необходимо решить две задачи 1) найти критерий устойчивости нулевого решения линеаризированной системы 2) показать, при каких условиях из устойчивости нулевого решения линеаризированной системы следует устойчивость стационарного режима первоначальной системы. Ниже обсуждается только первая задача в предположении, что за исключением каких-либо критических случаев, по-видимому, для большинства физических систем при изучении устойчивости в малом достаточно ограничиться исследованием первой задачи. Конечно, это не снимает необходимости строгого решения второй задачи. [c.230]

Линейная система устойчива, если действительная часть всех ее собственных значений отрицательна. Такое определение неверно для линейных систем, где возможных форм решения бесконечно много тем не менее линеаризация может служить звеном между линейными и нелинейными системами, если она применяется с должным пониманием ограничений. Этот вопрос мы будем рассматривать в основном в гл. IV. [c.71]

Изложенные выше рассуждения окажутся неверными, если линеаризованная система имеет равные нулю собственные значения. Этот предельный случай не может быть, строго говоря, назван неустойчивым. Однако теперь (IV, 29) удовлетворяется только при ц = 0. Следовательно, у-область по (IV, 33а) оказывается равной нулю. Полная нелинейная система может быть в этом случае устойчивой или неустойчивой, ее нельзя исследовать С помощью линеаризации. Таким образом, нелинейная система (IV, 23) имеет устойчивое в малом стационарное состояние, если решение аппроксимированного уравнения (IV, 22) асимптотически устойчиво и если применимо условие (IV, 24). [c.81]

Чтобы в деталях проследить процесс линеаризации и исследования устойчивости конкретной системы, рассмотрим вывод критерия устойчивости в малом нелинейных моделей проточных реакторов с перемешиванием. Отправной точкой исследования является уравнение (III, 40), из которого следует, что собственные значения для системы второго порядка оба отрицательны, если (и только если) [c.83]

Прн исследовании нелинейных систем обычно рассматривается тот же круг задач, что при исследовании линейных систем, но, кроме того, проводится аналн условий существования и устойчивости автоколебаний. Очевидно, что в зависимости от вида задачи и свойств исследуемой системы может оказаться целесообразным применение различных методов. Так, задачи устойчивости нелинейных систем решаются прямым методом Ляпунова, частотным методом В. М. Попова, методом фазовых траекторий и точечных преобразований, методом гармонической линеаризации. Последние два метода широко используют также при определении параметров автоколебаний. С их помощью можно рассчитать переходные процессы в системах. [c.174]

Это уравнение допускает использование различных характеристик систем с сосредоточенными параметрами. В частности, можно использовать функции Ляпунова, которые были применены к нелинейным системам средней размерности для получения областей асимптотической устойчивости. [c.204]

Асимптотическая устойчивость дифференциальных уравнений (IX, 18) основывается на необходимом и достаточном условии, которое состоит в том, что каждое собственное значение якобиана (IX, 206) должно быть меньше единицы. Как и при сравнении моделей дифференциальных уравнений, асимптотическая устойчивость преобразованных уравнений убеждает нас в том, что исходная нелинейная система устойчива в малом. Заметим, что критерий, основанный на собственных значениях для дифференциальных уравнений, использует величину собственного значения, а не его знак. Преобразование необоснованно, если оно дает предельно допустимые величины для собственных значений. [c.225]

Одна из важных особенностей нелинейных систем заключается в том, что, будучи устойчивыми при малых отклонениях переменных от значений, определяющих исследуемый режим, они могут оказаться неустойчивыми при больших изменениях этих величин. Соответственно возникает необходимость в проверке устойчивости таких систем в малом , и в большом . Кроме того, в нелинейных системах могут возникать автоколебания. [c.172]

Критерий В. М. Попова, приводимый здесь без доказательства, состоит в следующем. Для абсолютной устойчивости положения равновесия нелинейной системы автоматического регулирования, состоящей из нелинейного звена с характеристикой Р (и), удовлетворяющей условиям (6.58), и устойчивой линейной частью с передаточной функцией Wa (з), достаточно, чтобы при к > О существовало такое вещественное число что для всех со О выполнялось неравенство [c.202]

При применении прямого метода Ляпунова исследования устойчивости нелинейных систем, именуемого также вторым методом Ляпунова, рассматривается система нелинейных уравнений первого порядка в виде [c.203]

Устойчивость или неустойчивость нелинейной системы проверяется по следующим теоремам Ляпунова. [c.204]

Надо заметить, что так как в теплообменнике чувствительность выходной температуры к входной всегда меньше единицы [из выражения (5.45) следует (d< 1], то невыполнение условия устойчивости (5.42) становится возможным, если в реакторе вых/ вх)р объясняется экспоненциальной зависимостью скорости реакции и, следовательно, тепловыделения с ростом температуры. Следовательно, неустойчивые режимы могут возникнуть в нелинейных системах с обратными связями. [c.277]

Таким образом, вдали от равновесия действительно могут возникать неустойчивые состояния диссипативной системы. Появление неустойчивости в некотором исходном состоянии означает переход системы в новый режим, которому может отвечать иной тип поведения. Допустим, что имеется нелинейная система химических реакций, в ходе которых исходные вещества А превращаются в конечные продукты Г. Систему можно охарактеризовать некоторым параметром Д, зависящим от общего сродства, т. е. от отношения концентраций А и и от константы равновесия. На рис. 9.4 стационарная концентрация промежуточного вещества представлена как функция Я. При малых отклонениях от равновесия Д— система перемещается плавно вдоль термодинамической (статической) ветви АВ на рис. 9.4. Все стационарные состояния на этой ветви устойчивы и согласуются с теоремой о минимумах производства энтропии. Однако на достаточно большом удалении от равновесия, при некотором пороговом значении Не избыточная продукция энтропии, равная [c.330]

Устойчивость геометрически нелинейной системы. Рассмотрим задачу об устойчивости простейшей фермы Мизеса (рис. 5.32), [c.219]

Роль флюктуационных эффектов может быть весьма значительной, особенно в переходной и (или) критической областях, т. е. там, где имеет место нарушение устойчивости состояния. Флюктуации в неравновесной среде и в самой неравновесной системе могут влиять на физико-химические процессы самоорганизации в ней, а эти процессы в силу обратной связи в нелинейных системах могут, в свою очередь, существенно влиять на характеристики и особенности флюктуаций. К этим особенностям прежде всего относятся амплитуда и длительность существования флюктуаций, которые могут играть определяющую роль в процессе образования новых структур. Такой процесс — существенно стохастический и может приводить к своеобразному ветвлению генеалогического древа эволюции . Описание самоорганизации требует применения качественной теории дифференциальных уравнений как в обыкновен- [c.7]

Для предварительного формирования замкнутого контура регулирования МЭЗ значительный интерес представляет линеаризованная модель электрохимической ячейки, дающая возможность судить о устойчивости и качестве регулирования нелинейной системы в малом. Линеаризация уравнений (25)—(27) может быть проведена путем их разложения в ряд Тейлора с последующим отбрасыванием членов второго и более высоких порядков малости. [c.125]

Программа вычисляет коэффициенты характеристического уравнения (б) для каждой найденной равновесной точки составляет матрицу Рауса — Гурвица (6) и вычисляет ее главные определители, которые являются критериями устойчивости исходной нелинейной системы (1). Блок-схема программы Stabil показана иа рис. 1. [c.180]

Другим удачным классом методов для интегрирования жестких кинетических уравнений являются линейные многошаговые Ло-устойчивые методы перемерного порядка точности (вплоть до шестого порядка включительно), построенные на основе метода Гира [90, 97]. Один из наиболее эффективных алгоритмов [29], основанный на идеях Гира, организован следующим образом. Переход к алгебраической нелинейной системе осуществляется представлением производной в виде [c.190]

Для анализа устойчивости стационарных состояний нелинейной системы линеаризуем ее вблизи точек стацтонарности с помощью соотношений с = с + с , = где с, —значения концентрации и й-го момента плотности функции распределения соответствующие стационарному состоянию системы с", л/—отклонения этих величии от стационарных значений, которые в линейном приближении полагаются малыми. Опуская члены порядка малости больще единицы, получаем систему линейных дифференциальных уравнений [2—4] [c.332]

Нелинейная система уравнений (4.34) для каждого механизма зародышеобразования была линеаризована около стационарного состояния [ о, 1, 2> з]=П>0 1,0 1,0 1,0], и полученная система линейных уравнений использовалась для исследования устойчивости стационарного состояния [20]. Так, на рис. 4.4 указаны границы устойчивости для механизма зародыщеобразования, описываемого соотношением (4.27), когда скорость вторичного зародышеобразования зависит от частоты столкновений кристаллов. Заштрихованная область характеризует зону устойчивости в системе поряд- [c.338]

Далее для каждого механизма зародышеобразования можно выбрать пару параметров-порядков (гомогенный и кинетический), соответствующих области устойчивости линеаризованной системы, и проинтегрировать систему (4.34) с целью проверки полученных зон устойчивости и определения периода колебаний. Так, например, для механизма вторичного зародыщеобразования, описываемого соотношением (4.27), кинетические параметры я = 2,5 и р=1,5 представляют линейно-устойчивый случай (см. рис. 4.4). Чтобы исследовать область устойчивости в нелинейном фазовом пространстве, были изучены траектории 16 различных систем начальных условий. Эти начальные условия включали значения для [ о, 1, в пределах [0,10 0,50 0,05]—[10,0 6,0 9,0]. Величина сохранялась постоянной з=1,0. Траектории всех 16 начальных систем [c.339]

Для нелинейной трехатомной и более сложной молекулы равновесная конфигурация и уровень электронной энергии определяются положением минимума на потенциальной поверхности в многомерном пространстве. Например, для молекулы НСО — это равновесные расстояния (Н—С), г (С—О) и угол -НСО либо гДН—С), гДС—О) и гДН -О). Таким образом, многоатомная молекула — это устойчивая динамическая система из ядер и электронов, равновесная конфигурация которой определяется координатами минимума ее потенциальной поверхности. Глубина минимума определяет энергию Д1яссоциации молекулы Д. Подобно двухатомной молекуле, для многоатомной возможно множество электронных состояний, каждое из ко1 орых описывается своей потенциальной поверхностью и соответственно своим набором равновесньхх параметров, если поверхность имеет минимум. Если поверхность потенциальной энергии имеет два (или более) минимума, для молекулы возможны два (или более) изомера, отличающихся параметрами равновесной конфигурации. Если минимума на потенциальной поверхности нет, электронное состояние системы нестабильно. Низшее по энергии из стабильных электронных состояний называется основным, все остальные — возбужденными состояниями. Энергия основного состояния принимается за нуль отсчета при сравнении электронных термов молекул. [c.171]

Об этом говорит теорема Яна — Теллера Если нелинейная система имеет вырожденные энергетические уровни в основном состоянии, то такое состояние будет неустойчивым, и в системе возникнут искажения, стремящиеся снять вырождение и сделать один из уровней более устойчивым [к-25]. Примером могут служить комплексы иона с шестью одинаковыми лигандами. Электронная структура иона в октаэдрическом поле шести лигандов состоит из двух уровней (/2,,) и (е,.) Заселение высшего уровня (е У осуществляется двумя способами х и ( г=)Ч х > ) > т. е. основное электронное состояние дважды вырождено. Согласно теореме Яна — Теллера при этом октаэдр СиХб не будет стабильным и исказится, перейдя в конфигурацию тетрагональной бипирамиды с четырьмя короткими связями Си—в плоскости хоу и двумя длинными связями Си— Х, направленными вдоль оси 2. В поле тетрагональной симметрии вырождение снимается, энергии d-J- nd y2-орбиталей уже не равны (см. рис. 102). На высшей Орбитали находится теперь один электрон, а на более низкой — два электрона вместо трех электронов на высшем уровне (е ) в октаэдре. Поэтому электронная энергия системы понижается, и ядерная конфигурация тетрагональной [c.244]

Выше при анализе поведения системы в окрестности особой точки применяли линеаризованные дифференциальные уравнения, поэтому при неустойчивой системе колебания, возникающие в ней, будут неограниченно возрастать. Однако в нелинейной системе могут установиться автоколебания, которым на фазовой плоскости соответствуют устойчивые предельные циклы. Предельным циклом называют изолированную замкнутую фазовую траекторию, т. е. такую траекторию, в сколь у1одно малой окрестности которой отсутствуют другие замкнутые траектории. От предельного цикла следует отличать замкнутые траектории консервативных линейных систем. Для таких систем а сколь угодно малой окрестности одной замкнутой траектории имеются другие замкнутые траектории, соответствующие различным начальным условиям. [c.182]

F75—которая не должна охватываться амплитуднофазовой частотной характеристикой линейной части W (/со), чтобы колебания в замкнутой системе затухали. Для проверки устойчивости нелинейных систем могут быть применены логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики. В этом случае согласно соотношению (6.43) должны быть использованы два одновременно действующих условия [c.197]

Условия возникиовений автоколебаний в данной нелинейной системе можно достаточно просто определить с помощью фазовой границы устойчивости (ФГУ), рассмотренной в параграфе 6.7. Для построения ФГУ в разомкнутом контуре системы при s = = /со выделяют линейную часть [c.409]

Здесь следует указать, что не всякий режпм с постоянными амплитудами колебаний является нейтральным и соответствует границе устойчивости. Тем же свойством обладает и режим установившихся автоколебаний, хотя он соответствует области неустойчивости. Однако в отличие от нейтральных колебаний автоколебания описываются нелинейными системами уравнений и сам факт анализа нелинейной системы в дальнейшем изложении будет особо оговариваться. [c.22]

При описании различных видов обратной связи ниже принимается, что процесс колебаний близок к установившемуся, т. е. что система близка к границе устойчивости. Выше уже подчеркивалось, что при решении задачи без учета начальных условий надо допустить, что процесс колебаний происходит достаточно долго и что он в то же время не вышел (по амплитудам) за пределы, допускаемые линейной теорией. Это сразу ограничивает допустимые масштабы неустойчивости. Однако дело не только в таких формальных соображениях. Обычно наибольший интерес представляет механизм обратной связи, который под-держр1вает возникшие автоколебания. Описание его естественно вести для установившегося процесса колебаний. При таком подходе допускается, конечно, известная нестрогость в рассуждениях. Поскольку процесс автоколебаний установился, постольку явление стало существенно нелинейным и сделанные выше ссылки на свойства линейной колебательной системы нельзя признать достаточно убедительными. Однако, поставив себе целью лишь качественное описание, можно сдзлать предположение, что основные физические явления, приводящие к образованию обратной связи, могут быть одинаковыми как в период медленного нарастания колебаний (линейная колебательная система), так и тогда, когда колебания установились (в колебательной системе начали играть существенную роль нелинейные члены). Поэтому при анализе возможных механизмов обратной связи в дальнейшем всюду принимается, что колебания уже установились, и описывается цепь явлений, ведущих к поддержанию этих колебаний при этом не делается разницы между двумя случаями — линейной системой, находящейся на границе устойчивости, и нелинейной системой в режиме установившихся автоколебаний. [c.285]

Отметим следующее. Чувствительность выходной температуры к входной ёТ ыу ёТд в теплообменнике всегда меньше 1 -см. (3.43). Невыполнение условия устойчивости (3.40) возможно, если в реакторе (ёТ уУёТ )р > 1. Это возможно, поскольку скорость реакции и, следовательно, тепловыделение с температурой нарастают экспоненциально, нелинейно. Поэтому неустойчивые режимы могут возникнуть в нелинейных системах с обратными связями. [c.218]

Опыт использования современных алгоритмов расчета, основанных на методе Тилле и Геддеса, показывает, что они обеспечивают устойчивое решение системы уравнений, описывающей термодинамические условия разделения идеальных многокомпонентных смесей, при минимальном числе итераций. Дополнительные затруднения в смысле сходимости расчета возникают при решении еще более сложной и нелинейной системы уравнений, описываю щей реальный процесс разделения, т. е. системы, в которой учи тьшается влияние состава смеси на константы фазового равнове сия, энтальпии и коэффициенты эффективности массопередачи Возможно, что для решения такой системы уравнений более эф фективным окажется применение метода Льюиса — Маттесона Основанием к этому, в частности, является сравнение алгоритмов расчета реального распределения концентраций компонентов в абсорбере по методам Тилле и Геддеса и Льюиса — Маттесона, оказавшееся не в пользу первого [7]. Отметим также работу [8], в которой рассмотрен алгоритм термодинамического расчета разделения многокомпонентных смесей с учетом влияния состава смеси на константы равновесия и энтальпии потоков. Алгоритм основан на методе Льюиса — Маттесона и реализуется в результате одновременного решения общей системы уравнений последовательно на каждой тарелке. [c.276]

Асимптотически устойчивы в целом все линейные системы, обладающие одним устойчивым положением равновесия. Некоторые нелинейные системы не обладают асимптотической устойчивостью в целом, но в окрестности положения равновесия имеется некоторая область, внугри которой система обладает асимптотической устойчивостъю, В таком случае говорят об устойчивости системы к большим возмущениям. [c.580]

Проведем синтез законов управления (т. е. определим последовательность изменения структуры системы в переходных режимах), обеспечивающих высокую точность поддержания заданного технологического режима и значительно расширяющих (в отдельных случаях неограничено) область устойчивости по начальным условиям. Таким образом, речь идет о построении высококачественной нелинейной системы автоматического регулирования, устойчивой в большом . [c.248]

Смена возможных стационарных состояний рассматриваемой нелинейной системы и их устойчивости бифуркация), которая происходит при прохождении параметра R через точку R = R , проиллюстрирована на рис. 2,0. Два нетривиальных состояния, возникающие (или, как говорят, ответвляющиеся) в точке бифуркации R = R , существуют в области R> R , где, согласно линейной теории, первичное неподвижное состояние неустойчиво. Это — случай надкритической, или прямой, или нормальной бифуркации. Если же такие нетривиальные состояния системы возможны (хотя и неустойчивы) в той области значений управляющего параметра, где первичное состояние линейно устойчиво, то имеет место подкритическая, или обратная, бифуркация — см. рис. 2, . Оба типа бифуркаций иногда объединяются названием симметричные бифуркации (или бифуркации типа вилки, в англоязычной литературе — pit hfork bifur ations), в общем случае единственное устойчивое состояние, существующее по одну сторону от точки бифуркации, — не обязательно неподвижное состояние. [c.26]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология