Представление аналитических функций рядами

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ [c.529]

Аналитические методы вычисления определенного интеграла, основанные на представлении подынтегральной функции в виде алгебраической суммы производных известных функций, имеют ограниченное применение в практике инженерных расчетов, так как число интегралов, которые можно свести к табличным, весьма ограниченно. Иногда используется прием разложения подынтегральной функции в ряд, интеграл которого легко вычислить аналитически. Если точность интегрирования задана, то по ней можно определить число членов разложения, необходимых для обеспечения этой точности. Используется также прием аппроксимации подынтегральной функции полиномиальным рядом. Однако объем вычислений при разложении подынтегральной функции в ряд или аппроксимации ее полиномом может оказаться весьма значительным. К тому же точность вычисления интеграла будет зависеть от точности аппроксимации. [c.207]

Представление функций рядами Лорана дает возможность классифицировать изолированные особые точки аналитической функции, т. е. те особые точки, которые являются центром некоторого, достаточно малого круга, в котором нет других особых точек функции. Вблизи такой точки аналитическая функция может быть разложена в ряд Лорана с кольцом сходимости, у которого внутренняя окружность вырождается в точку. Если разложение (13) 3 содержит конечное число членов с отрицательными степенями (г — ЬУ >, т. е. имеет вид [c.534]

Вообще говоря, для точного представления сигнала <р ( ) необходимо использовать степенной ряд, однако при решении практической задачи желательно ограничиться конечным (и притом небольшим) числом членов полинома для <р ((). Неравенство (8.69) позволяет оценить возникаюш ую при этом ошибку. Число членов N полинома в выражении (8.74) зависит от частоты среза аналитической (низкочастотной) составляющей сигнала и памяти искомой весовой функции. Чем меньше при фиксированной частоте среза Шо, тем меньше число членов полинома требуется для достижения заданной точности аппроксимации сигнала <р (1) полиномом со случайными коэффициентами. [c.481]

Наиболее быстро сходящиеся ряды строятся на базисе атомных орбиталей, т. е. физическая идея ЛКАО оказалась также и лучшей с математической точки зрения. Лучшими атомными функциями являются самосогласованные атомные орбитали, вычисленные Клементи и Ватсоном путем решения уравнений Хартри —Фока для атомов. Однако эти функции получаются не в аналитическом виде, а в табличном. Проводить расчеты с функциями, заданными в численном виде, крайне трудно и неудобно. Поэтому нерационально использовать АО Хартри — Фока в расчетах по методу Рутаана, являющегося приближением к уравнениям Хартри — Фока. В качестве базиса АО можно использовать слэтеровские орбитали. Однако из рис. 12 видно, что слэтеровская АО плохо описывает хартри-фоковскую АО вблизи ядра. В то же время две слэтеровских АО достаточно хорошо аппроксимируют точную хартри-фоковскую функцию атома, в связи с чем был предложен весьма распространенный дубль-зета-базис (DZ), где каждая атомная функция аппроксимируется двумя слэтеровскими функциями с разными экспонентами. Например, для углерода выбираются экспоненты, представленные ниже [c.106]

В аналитической химии дифференцирование обычно используют с двумя целями для улучшения разрешения перекрывающихся пиков и устранения влияния фона. Напомним также, что в ряде аналитических методов (например, в оже-электронной спектроскопии, дифференциальной импульсной полярографии, термогравиметрии) сигнал исходно представлен в виде производной. При обработке сигналов аналитическое дифференцирование сигналов практически не применяют, поскольку большинство реальных пиков невозможно адекватно описать простыми математическими функциями, такими, как функция Гаусса или Лоренца. В этих случаях очень удобны численные методы дифференцирования. [c.490]

Сопоставление обоих рядов величин служит, таким образом, критерием 1) точности экспериментальных данных, как полученных при калориметрическом измерении энтропии и теплоты реакции, так и при аналитическом определении константы равновесия 2) надежности и точности приближенных уравнений для оценки термодинамических функций из структурных параметров методами статистической механики или аналогичными методами и 3) правильности таких термодинамических концепций, как фугативность и третий закон термодинамики. В последующем обзоре равновесий изомеризации углеводородов доказано, что в некоторых случаях совпадение настолько хорошее, насколько этого можно было ожидать. Однако в других случаях существуют большие расхождения, чем возможная суммарная ошибка в экспериментальном определении и расчете. Если при дальнейшей работе не удастся объяснить эти расхождения с существующих теоретических позиций, то для этой цели могут быть использованы некоторые новые концепции, например представление о химической активности. [c.134]

Решение задачи о поведении во времени смеси нескольких газов, имеюш,их в начальный момент времени различные температуры, представляет большой интерес в связи с исследованием особенностей протекания химических реакций в низкотемпературной плазме и плазменных струях. Такое решение представляло бы принципиальный интерес и с более обш,ей точки зрения физической кинетики. В настояш,ее время аналитические методы решения задач такого типа сводятся к исследованию нелинейного кинетического уравнения Больцмана. Не говоря уже о математических трудностях, аналитические методы, сводящиеся так или иначе к замене нелинейных уравнений линейными (путем разложения функции распределения в ряд по малым параметрам), могут в некоторых важных случаях привести к неправильным физическим результатам. Например, более глубокий учет нелинейности в кинетической теории волн в высокотемпературной плазме позволил выявить тонкие эффекты, существенно изменившие представление о кинетической устойчивости плазмы. В то же время достигнуты серьезные успехи в решении равновесных задач статистической физики (в частности, теории жидкостей) при помощи метода Монте-Карло [1—7] (см. также обзор в монографии [8]). [c.66]

Аналитическое решение подобных задач в настоящее время сопряжено с трудностями, которые монаю условно разделить на две группы. Трудности первой группы связаны с математической формулировкой задач физической и химической кинетики. Возникает вопрос о пригодности классического математического аппарата для описания интересующих нас физических явлений. Вторая группа трудностей связана с методами решения кинетических уравнений. Все аналитические методы так или иначе связаны с разложением искомых величин в ряд по малым параметрам. В целом ряде случаев, представляющих большой теоретический и практический интерес, отсутствуют возможности выделения таких параметров. Однако более серьезным является, по-видимому, вопрос об обоснованности самой теории возмущений. При процедурах разложения в ряд часто не учитываются члены высших порядков, что может привести к сильному искажению реальной физической картины. Классическим примером может служить развитие теории электромагнитных свойств высокотемпературной плазмы применение метода коррелятивных функций позволило более последовательно учесть нелинейные эффекты, а это в свою очередь привело к коренному пересмотру существовавших представлений. [c.179]

В большинстве случаев геометрические симплексы и их влияние на время смешения определяют опытным путем и представляют в виде степенных зависимостей. Однако в ряде случаев имеются аналитические выражения для определения геометрических функций, полученные из анализа простых моделей движения жидкостей в аппаратах с мешалками. Вывод этих функций осуществляется на основе представлений о времени циркуляции жидкости в аппарате, которое находится из расчетов основных потоков, вызванных данной конструкцией мешалки. При этом смеситель рассматривается в ряде случаев как центробежный или поршневой насос [7]. [c.207]

Формульное выражение весовой функции фильтра с конечной памятью зависит от степени полинома N. Для точного представления функции ф ( ) необходимо применять степенной ряд. Реальная ценность неравенства (11,118) состоит в том, что оно позволяет ограничиться конечным числом членов полинома для ф ( ). Практически, число членов полинома N в выражении (11,209) зависит от частоты ч<среза аналитической составляющей сигнала и памяти искомой весовой функции системы Т чем меньше Т при фиксированной сод, тем меньшее число членов полинома требуется для достижения заданной точности аппроксимации сигнала ф I) полиномом со случайными коэффициентами. [c.156]

При всей своей простоте выражение (V.7) страдает рядом недостатков. Прежде всего дисперсность жидкости обычно определяется при ее разбрызгивании форсунками в неподвижный воздух. В реальных условиях движущийся газ может существенно повлиять на крупность образующихся капель. Далее, средний объемно-поверхностный диаметр капель дает представление лишь о величине поверхности, но ни в коем случае не отражает гидродинамических особенностей движения отдельных капель (направления и скорости их движения). Иными словами, использование величины ср.к не позволяет по существу применить уравнение (V.6) для определения поверхностного коэффициента скорости массоотдачи. Кроме того, в процессе своего движения капли жидкости могут не только самопроизвольно распадаться, но и коалесцировать при столкновениях, что приводит к изменению их размеров. При попадании на стены скрубберов капли могут либо дробиться, либо стекать в виде пленки. Если же учесть, что газ по сечению аппарата распределяется неравномерно и то обстоятельство, что при образовании капель и их ударе о зеркало жидкости в нижней части колонны абсорбция носит иной характер, чем при полете капли через газ, становится ясным, что аналитический расчет полого скруббера при сегодняшнем уровне знаний происходящих в нем процессов практически невозможен. В силу этого наиболее целесообразным представляется использовать для расчета скрубберов объемный коэффициент скорости абсорбции Kv, устанавливая его зависимость от основных параметров процесса. Эти зависимости удобнее всего представлять, как показала практика, в виде степенных функций. [c.213]

Н. Н. Боголюбова [15] вводятся приведенные функции распределения (см. ниже), для которых получается цепочка зацепляющихся уравнений, которая затем решается с помощью некоторых приближенных методов. Другой подход используется Пригожиным и его сотрудниками в некотором смысле он противоположен подходу Боголюбова. Вначале формально решается уравнение Лиувилля для pJv(i), а затем из найденного решения путем интегрирования получают выражения для приведенных функций распределения. Преимущество этого метода состоит в том, что здесь имеют дело с единственным линейным уравнением относительно рлг, для решения которого можно использовать метод решения уравнения Лиувилля в представлении взаимодействия [14] или так называемый метод резольвенты [19]. Для этого используется специально разработанная графическая техника. Процесс приведения (т. е. интегрирование по координатам и импульсам ряда частиц) существенно упрощается графической техникой. Поскольку уравнение Лиувилля для системы N взаимодействующих частиц нельзя решить аналитически, его разбивают на две части, для одной из которых удается получить точное решение. Решение полного уравнения представимо в виде бесконечного ряда, каждый член которого может быть вычислен. Сходимость этого ряда не доказывается. Такая программа последовательно проводится в [14, 19]. [c.116]

Для нахождения приближенных аналитических решений одномерных задач с успехом используется предложенный Г. И. Баренблаттом метод интегральных соотношений [3]. Согласно этому методу, искомая функция 3 (г, t) должна удовлетворять некоторому интегральному соотношению (или ряду соотношений), получаемому путем интегрирования исходного дифференциального уравнения по координате г. Однако в отличие от случаев преобразования по временной координате, в этом варианте непосредственное построение преобразованной функции по опытным данным обычно недопустимо вследствие ограниченной информации об изменчивости функции 3 (г, 1) в пространстве (число наблюдательных скважин мало и не позволяет построить надежный график-5 (г)). Поэтому интегральный аналог исходного уравнения решается приближенным методом в целях получения конечной аналитической зависимости. Для этого искомая функция 5 представляется в виде многочлена по степеням от отношения г/Л (О, где Я (О — длина расчетной зоны влияния (для задач с осевой симметрией в. этом представлении участвует также логарифмический член). Коэффициенты многочлена считаются функциями времени, определяемыми исходя из граничных условий, а неизвестная Л f) находится из интегрального уравнения. [c.56]

Покажем теперь, что всякая функция /(г), аналитическая в некотором круге 12 — 6 I < с центром Ь, может быть представлена внутри этого круга степенным рядом (3) и что такое разложение единственно. Представление функции таким степенным рядом называется разложением в ряд Тейлора. [c.530]

Следующим крупным шагом в аналитическом представлении земного магнитного поля явилась теория Гаусса (1838 г.), которая давала возможность представить магнитное поле Земли как функцию координат данной точки, оставляя совершенно в стороне физические причины возникновения этого поля. Теория Гаусса давала возможность решать ряд задач о структуре магнитного поля Земли, что имело важное значение, которое она не потеряла и до сего времени. [c.421]

Исследования разделяются на теоретические и экспериментальные. При любых исследованиях эффективное их использование возможно лишь при условии, если они выражены в форме количественных соотношений. Поэтому конечной целью любых исследований является получение количественных зависимостей, представленных как функция аргументов, известных непосредственно по постановке задачи. Теоретическое исследование может быть доведено до этой ступени только при условии полного аналитического решения задач. Однако в большинстве случаев довести аналитическое решение до получения количественных зависимостей удается только путем существенных упрощений, которые дают лишь приближенную оценку и иногда могут привести к неправильным но существ1у выводам. В настоящее время чисто аналитическое исследование ряда теплотехнических проблем является только принципиальной возможностью, практически не реализуемой из-за сложности и относительно высоких требований к точности и детальности решения поставленных задач. В связи с этим для решения задач прикладного характера, как правило, теоретические исследования приходится пополнять экспериментальными исследованиями. [c.150]

Вместе с тем расчет максвеллизации смеси двух газов имеет большой теоретический и практический интерес. На его примере отчетливо видны основные трудности, с которыми сталкиваются традиционные аналитические методы. Все эти методы так или иначе используют разложение искомых величин и функций распределений в ряды по малым параметрам. Эта процедура не обоснована математически. Возникает вопрос и о справедливости физических представлений, лежащих в основе вывода уравнений аналитической теории. Следует подчеркнуть, что в методе Монте-Карло ие исно.тьзуются предположения, на которых основан в ,1вод уравнения Вол 1,цма на. [c.192]

Точные аналитические решения слишком громоздки и неудобны для целей анализа реальных ионообменных процессов. Гораздо более удобно применение асимптотических представлений решений для больших и малых времен. Смысл математических преобразований можно свести к подстановке в кинетическое уравнение (5. 53) функции F (i) не в виде бесконечного ряда, а в виде ее асимптотических представлений для больших и малых времен, т. е. для регулярного и нерегулярного ренчимов кинетики (см. раздел 5.1). При решении задачи вводятся безразмерные параметры обобщенное время [c.193]

Существуют три способа приближенного описания строения жидкостей. Один из них опирается на представление об ассоциатах и комплексах, другой связан с понятием о функциях распределения частиц третий использует понятие о флуктуациях [1]. Здесь будет использовано представление об ассоциатах и комплексах, а также понятие о флуктуациях. Функции распределения частиц рассматриваться не будут по следующим причинам. Поскольку строение жидкостей определяется короткодействующими химическими силами, то и корреляция, т. е. взаимосвязь положений молекул, также должна зависеть, в основном, от короткодействующих сил химического типа. Эти силы определяют вероятные положения молекул первой координационной сферы. От этих сил зависят вероятные положения молекул второй координационной сферы по отношению к молекулам первой сферы и т. д. Таким образом, корреляция есть статистическое описание ассоциации и ком-плексообразоваиия. Функции распределения положений частиц, описывающие корреляцию молекул или атомов, имеют статистическую природу. Связь между функциями распределения и межмолекулярными взаимодействиями, а также строением ассоциатов и комплексов сложна и неоднозначна. Известен ряд приближенных аналитических выражений этой связи, которые, как правило, основаны на предположении, что молекулы представляют собой шарики. Потенциал взаимодействия молекул обычно подбирается с помощью эмпирических соотношений, например, уравнения Леннард-Джонса. Этот подход получил наибольшее распространение при описании строения одноатомных жидкостей, таких, как жидкий аргон. Здесь надо иметь в виду следующее. Приближения, которые приводят к имеющимся в литературе аналитическим выражениям функций распределения атомов, в действительности имеют смысл, лишь когда речь идет не [c.13]

Аналитические методы решения задач нестационарной теплопроводности в большинстве случаев приводят к представлению температурных полей в виде бесконечного функционального ряда по собственным функциям соотвётствую-щен граничной задачи Штурма—Лиувилля. Для классических тел в форме пластины, сплошного и полого шара соб- твенными функциями являются тригонометрические функ-дни синуса и косинуса, а для цилиндра и стенки круглой [c.129]

Осуществить переход к оригиналу от изображений (3.51) и в. конечном аналитическом виде не удается. Аксельруду [37] с помощью метода Розена [38] удалось представить и Х, Т) в виде разложения в ряд по специальным функциям Томсона. Он также предложил два асимптотических представления для малых и больших значений X. Для малых значений X решение также выражено ря- [c.157]

Получение аналитических выражений полек термических напряжений, не содержащих ни бесконечных рядов, ни специальных функций и интегральных представлений, значительно облегчит всесторонний анализ термокапряжениого состояния, как правило, зависящего от многих исходных параметров а также позволит определить величину максимальных (расчетных) напряжений, установить место и время их возникновения. Имея результаты такого анализа н расчетные формулы, можно теоретически обоснованно установить наиболее приемлемые режимы тепловой обработки соответствующих объектов. [c.30]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология