Уравнение характеристической поверхности

Подставив значения Aij(Xf , х ,..., и , щ,---, и ) из таблицы 1 в уравнение (50), можно получить следующее уравнение характеристической поверхности F t, Ху, x. , Жз) [c.114]

Если известны главные коэффициенты теплового расширения, то коэффициент по любому направлению можно найти по уравнению характеристической поверхности коэффициентов теплового расширения [сравнить с формулой (4.34)] [c.250]

Х1 к повой системе осей X I коэффициенты в уравнении (4.34) преобразуются так же, как компоненты тензора второго ранга, т. е. по формулам (4.6). Поэтому если в общем уравнении поверхности второго порядка (4.34) в качестве коэффициентов подставить компоненты симметричного тензора второго ранга Лгу, то получим уравнение поверхности второго порядка, которое называется характеристической поверхностью тензора второго ранга. [c.212]

Если 5ь 82 и 5з — главные компоненты симметричного тензора и значит описываемого им свойства, то общее уравнение характеристической поверхности второго порядка может быть записано так [c.404]

Общее обсуждение свойств характеристик и определение характеристических поверхностей при произвольном числе зависимых и независимых переменных содержится, например, в работе [ ]. Применение метода характеристик к решению уравнений рассмотрено в работе [= ]. [c.112]

ИЗ которого следует, что полная энтальпия торможения (А -Ь и 2) постоянна вдоль линий тока. Уравнение (60) проще, чем стационарное уравнение (39), а энтальпию обычно рассчитывать проще чем энтропию, поэтому в большинстве случаев удобно вместо энтропии 5 выбрать в качестве новой неизвестной функции величину А + г 72 и использовать уравнение (60) и стационарные уравнения (36), (38) и (44) в качестве основных дифференциальных уравнений сохранения для установившегося течения. Нецелесообразность такого выбора в случае неустановивше-гося течения с очевидностью следует из того факта, что уравнение (59) содержит производную др д1 и, следовательно, оно должно быть использовано при расчете характеристических поверхностей уравнений для давления и скорости наряду с уравнениями (36) и (44). [c.117]

Используя выражение для потерь энергии, К. Пфлейдерер [45] предлагает выражения для постоянных кг, йа и кз уравнения (40) характеристической поверхности [c.133]

Оптическая индикатриса — это характеристическая поверхность тензора диэлектрической непроницаемости, т. е. эллипсоид, определяемый уравнением [c.226]

Второй случай. Один из корней характеристического уравнения действительный, а два других — комплексные сопряженные числа, причем знак их действительной части совпадает со знаком действительного корня положение равновесия называется фокусом (рис. 1-7). Через положение равновесия проходит поверхность, расположение фазовых траекторий на которой такое же, как в окрестности фокуса на фазовой плоскости двумерных систем. О прочих фазовых траекториях можно сказать следующее две из них, расположенные по разные стороны от вышеупомянутой поверхности, стремятся к положению равновесия с определенной общей касательной, все остальные являются спиралями. [c.35]

Исследуем теперь поведение характеристических поверхностей в окрестности точки К. Характеристическая поверхность является огибающей элементарных конусов Маха, построенных в каждой точке области сверхзвуковых скоростей. Если обозначить через N единичный вектор нормали к характеристической поверхности х = X(y,z), то уравнение последней может быть записано в виде [c.77]

Соответственно корням определителя (17) характеристические поверхности, уравнения которых получаются, если положить в (18) или (19) [c.58]

Исключение из этих уравнений параметров (г,, s) и дает искомую характеристическую поверхность /г(х, t) = 0. [c.61]

Для уравнений плоскопараллельного движения (12.17) (см. пример 12.2) построить характеристические поверхности С на решении и = О, с = со (покой), проходящие через кривую, образованную лучами ж = —1, О < оо , О а < ос, 2/ = —1 и дугой окружности х -i- , X о, у 0 . [c.82]

Полученные уравнения определяют характеристические поверхности. Обратимся теперь к уравнениям, выполняющимся на этих поверхностях, называемым уравнениями совместности. Система уравнений относительно ooi, сог,. . ., о)е имеет вид [c.23]

Среди бесконечного числа характеристических условий (1.65)— (1.68), (1.70), отвечающих разным нормалям, независимых условий не может быть больше числа исходных дифференциальных уравнений. В качестве таких независимых характеристических соотношений можно выбрать уравнения (1.65) — (1.67) вдоль линий тока и уравнение (1.70) вдоль трех характеристических поверхностей. [c.24]

Основная идея метода характеристик состоит в уменьшении числа независимых переменных путем введения характеристических поверхностей (или характеристических направлений). Как было показано в 1.2, определяя характеристики как линии, на которых решение задачи Коши либо не существует, либо неединственно, удается систему двумерных уравнений газовой динамики в частных производных свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений направления и уравнений совместности, выполняющихся вдоль характеристик. Так, система уравнений в частных произ- [c.66]

Уравнение четырех характеристических поверхностей, касающихся в центре сонла звуковой поверхности, имеет вид [c.210]

Первый случай. Все корни характеристического уравнения (1,44) действительны и имеют один знак положение равновесия называется узлом (рис. 1-6). Через положение равновесия проходит некоторая поверхность, расположение фазовых траекторий на которой таково же, как в окрестности узла на фазовой плоскости двумерных систем. Все остальные фазовые траектории приближаются к положению равновесия (или удаляются от него) и имеют в точке, соответствующей положению равновесия, одну и ту же касательную. [c.34]

Из уравнения (3.41) видно, что имеет бесчисленное множество значений. Первые несколько корней можно определить графическим путем. Если первый член в левой части уравнения (3.41) обозначить через у , второй член — у , а правую часть — через у , то пересечения котангенсоиды у —у с графиком у дают значения корней характеристического уравнения. Исследование ряда (3.40) показало, что при учете первых десяти корней характеристического уравнения остаток ряда принимает пренебрежимо малые значения. Расчет величины диффузионного потока к поверхности отдельной частицы производился при следующих исходных данных (для случая полимеризации стирола при 50° С) /Ср=120 л/моль сек. Z>i=10 см /сек Z>2=10- см /сек Д,=4,92.10- 4-2,04-10-5 см Л,=0,5-10- 4-4,8-10- см с =2,3 10 молекул/см =0,7 10- . [c.150]

Отметить аналогию с уравнениями для потока тепла от ребристой поверхности. Х1У-2. В условиях, когда для частиц наименьших размеров, составляющих смешанный слой катализатора, проявляются сильные диффузионные эффекты, показать, что средняя характеристическая длин I может быть применена для нахождения степени использования внутренней поверхности е слоя. Выразить Ь через количества частиц различных размеров. [c.450]

Волны в слоях и пластинах. Если твердое тело имеет две свободные поверхности (пластина), то в нем могут существовать специфические типы упругих волн [1, 2]. Их называют волнами в пластинах или волнами Лэмба и относят к нормальным волнам, т. е. волнам, бегущим (переносящим энергию) вдоль пластины, слоя или стержня, и стоячим (не переносящим энергии) в перпендикулярном направлении. Решение волнового уравнения для пластины с граничными условиями равенства нулю напряжений на двух поверхностях приводит к системе из двух характеристических уравнений для волнового числа кр. Она имеет два или больше положительных действительных корня в зависимости от произведения толщины пластины на частоту. Каждому из этих корней соответствует определенный тип волны в пластине (мода). [c.25]

Графически уравнение ф(Р, V, Г)=0 является уравнением поверхности, построенной на трех взаимно перпендикулярных осях, каждая из которых соответствует одному термодинамическому параметру. Поэтому любое равновесное состояние системы, определяемое некоторой совокупностью числовых значений параметров, изобразится точкой, лежащей на полученной термодинамической поверхности. Такая точка называется фигуративной, а поверхность— характеристической. При изменении состояния системы фигуративная точка перемещается на поверхности, описывая некоторую кривую. [c.17]

Поверхности, подобные только что рассмотренной, имеют еще одно преимущество перед поверхностью Р — V — Т. В то время как не существует общего уравнения, связывающего объем, температуру и давление, принципы термодинамики дают общее дифференциальное уравнение, связывающее различные характеристические функции и соответствующие им переменные. [c.113]

Изотермы адсорбции на промышленных микропористых адсорбентах по классификации С. Брунауера [3] относятся к первому типу, т. е. функция у = F(u) в безразмерных переменных у = а/ао, и = / q является выпуклой в интервале [О, 1]. В настоящее время для аналитического описания экспериментальных изотерм адсорбции известно большое количество уравнений изотермы Фрейндлиха, Лангмюра, БЭТ, Хилла — де-Бура, Фольмера, Кисарова, Дубинина — Астахова и др. Каждое из этих уравнений с той или иной степенью точности отражает равновесные характеристики системы адсорбент — адсорбат. Зачастую одни и те же экспериментальные данные в широком интервале заполнения адсорбционного пространства удовлетворительно описываются различными уравнениями [6], и выбор аналитического вида функции у F(u) определяется либо простотой выражения, либо приверженностью исследователя к тому или иному уравнению, либо возможностью получить какую-то дополнительную информацию об изучаемой системе характеристическую энергию адсорбции, предельный объем микропор, ширину щелевой поры, удельную поверхность адсорбции и т. п. [c.232]

Отмечая больщую роль коэффициентов переноса в уравнении замедленного разряда как характеристических величин, связывающих энергетические свойства поверхности электрода с кинетикой электрохимических реакций, не следует все же упускать другую, чрезвычайно важную величину, характеризующую наблюдаемый процесс — константу скорости электрохимической реакции. Величина ее, однако, будет меняться не только вследствие изменения энергетического состояния поверхности, но также и в результате экранирования электрода адсорбировавшимся веществом. [c.524]

При постоянных условиях (в число которых включается и однородность центров адсорбции) имеет место пропорциональная зависимость между удельной поверхностью и удельным объемом удерживания. Для оценки абсолютной поверхности но формуле (69) необходимо знать АЯ и В. АЯ находят по температурно зависимости объема удерживания [уравнение (54)]. Так как В содержит энтропийный член и вследствие этого является характеристической величиной системы адсорбент — адсорбат, то его значение можно найти только в том случае, если имеется однородный адсорбент с известной поверхностью. [c.467]

Уравнение (58) определяет характеристические поверхности, распространяющиеся по нормали к самим себе с замороженной скоростью звука a относительно среды ). Этот результат был отмечен Вудом и Кирквудом и Чу [= 1. [c.116]

Уравнение = О означает, что вектор скорости ортогонален нормали к характеристике, т. е. является касательным к характеристической поверхности. Так как это верно в любой ее точке, то вместе с каждой точкой Р данной характеристике принадлежит целая линия тока, проходящая через Р. Следовательно, всякая контактная характеристика является геометриче-СКШ1 местом линий тока. [c.95]

Если задана характеристическая нормаль, определяемая (1.51), то система (1.50) имеет т1 = т--т2 независимых решений, где Ш2 — ранг ее матрицы. Следовательно, имеется т1 независимых характеристических соотношений (1.47), соответствующих данной нормали. В каждом конкретном случае необходимо выяснить, сколько и какие характеристические соотношения линейно независимы. Для случая пространственного течения газа (установившегося и неустановившегося) этот вопрос детально рассмотрен в [172]. Часто характеристическими называют новерхпостп, на которых нельзя ставить задачу Коши. Очевидно, такое определение характеристических поверхностей эквивалентно определению, введенному выше. Действительно, если поверхность начальных данных характеристическая, то на ней выполняются гпх т.1 т) независимых условий совместности (1.47), которые являются следствиями основной системы дифференциальных уравнений. Оставшихся т — тпх основных уравнений, которые содержат ио кра11ией мере одну производную от искомых функций в нормальном к характеристической поверхности направлении и по терминологии [122] называются дополнительными соотношениями, недостаточно для определения решения вне поверхности начальных данных. [c.21]

Этот конус вырожден в плоскость, перпендикулярную вектору скорости У. Соответствующий ему характеристический конус вырон деп в прямую, направленную по вектору XV. Таким образом, поверхности тока являются характеристическими поверхностями. Уравнение второго коиуса [c.22]

Такое расхождение связано с тем, что теория Гуи — Чап-мапа не учитывает собственного объема ионов, которые отождествляются с материальными точками, обладающими только зарядами. В результате этого ничто не препятствует ионам в принятой модели подходить сколь угодно близко к поверхности металла. Расположенная в растворе часть двойного слоя может оказаться локализованной, несмотря на свою диффузность, в очень тонком слое, значительно меньшем радиуса иона. В этом легко убедиться, если, подобно тому как это делалось в теории Дебая — Гюккеля, ввести характеристическую длину /д, определяющую толщину плоского конденсатора, эквивалентного по емкости диффузионному двойному слою. Характеристическую длину можно найти, приравняв правые части уравнений (12.4) и (12.7) [c.266]

Если заменяются поверхности между жидкостью и паром одной поверхностью между жидкостями, ликвидируется зависимость от давления насыщенного пара и возникает зависимость от взаимной растворимости компонентов фаз, возможно изменение ориентации молекул на поверхности и в ряде случаев образование химических связей (водородных) между молекулами граничащих фаз. Из сказанного ясно, что само поверхностное натяжение не может являться характеристической величиной в правиле Антонова. Когда используются поверхностные натяжения взаимнонасыщенных жидкостей, в определенной степени компенсируется разность от влияния давления насыщенного пара и взаимосмешиваемости жидкостей. Если обе жидкости обладают низким давлением насыщенного пара, практически нерастворимы и молекулы их симметричны, а также не взаимодействуют химически, то такие системы должны достаточно хорошо подчиняться правилу Антонова без условия взаимного насыщения растворителей. С учетом изменения всех указанных факторов получим уравнение в общем случае, связывающее межфазное и поверхностное натяжение [48] [c.437]

Удельная поверхность контакта фаз. Подставляя значения, фиктивных Kopoi тей и характеристической скорости в уравнение (VHI.l I), полечим кубическое уравнение [c.145]

Эти уравнения могут быть проинтегрированы от начальной точки ( о, 0о) до точки, расположенной на значительном удалении от пузыря, где можно считать 7 = 1. Отметим, что основные характеристические кривые во всех точках расположены тангенциально к направлению grad р, т. е. нормально к изобарическим поверхностям. [c.105]

Компоненты вектора к и л обозначают координаты любых двух стержней горючего в системе конечных размеров, отсчитанные от некоторой произвольной точкп. Выражение (10.259) представляет собой систему однородных уравпений относительно потоков тепловых нейтронов на поверхности стержней фм ( )- Решение этой системы существует, если детерминант равен нулю. Приравнивая детерминант нулю, получим характеристическое уравнение, решение которого дает условие критичности. Как и в случае бесконеч-ной решетки, в это уравпепие входят все четыре основных параметра. Зная любые три из них, можно пз характеристического уравнения найтп четвертый параметр. [c.524]

Это соотношение и дает возможность определить при выбранном I то значение критерия Bi, при котором для определенного Fo= можно считать нагрев безградиентным. Поскольку, согласно характеристическому уравнению, [ij однозначно определяется критерием Bi, то = /(Bi). Значения [х рассчитаны и протабулиро-ваны в зависимости от Bi [65]. При Bi = О, Ц] = О и = 1, т. е. температура в центре равна температуре на поверхности. При Bi = 1, = 1,57 и I = 1,25, т. е. избыточная температура в центре на 25% превышает избыточную температуру на поверхности частицы. В этом случае уже нельзя считать нагрев безградиентным. Например, при / =100 °С, (R, т) = 50 °С, 1,25 получим I) (О, т) = 37,5 °С, т. е. б R, т) — (О, т) = 12,5 (разница значительная). По-видимому, для практических расчетов вполне приемлемо I = 1,1, тогда Bi = 0,2 (при определенном значении Fo ). [c.41]

Нри анализе частот колебаний, возбужденных тенло-иодводом, следует учитывать, что в этом случае закономерности возбуждения частот не столь просты, как в обычных акустических системах. Выше это обстоятельство уже подчеркивалось в связи с примером решения характеристического уравнения ( 23). Там, в частности, говорилось, что отклонение частот колебаний от величин, предсказываемых простейшими акустическими формулами, связано с тем, что при пересечении акустической волной поверхности разрыва Е лишь часть ее проходит в область с пиой температурой, а другая часть отражается от поверхностп разрыва. [c.217]

Прежде всего очевидно, что характеристическое уравнение имеет корень 0 — 1кь . Однако найденный корень надо отбросить, так как в этом случае исчезают слагаемые с коэффнцпентолг А , указанные слагаемые становятся точно такпип я е, как слагаемые с А2, и следовательно, теряются существенные свойства явления. Поэтому дальнейший анализ устойчивости поверхности разрыва (фронта пламенн) будем вести при условии [c.328]

Используем метод автомодельности, применявщийся в разд. 3.5 для основного течения, к уравнениям (11.2.14) — (11.2.16) для течения около вертикальной непроницаемой поверхности, расположенной при X 0 в покоящейся изотермической среде. Выпишем, полученные уравнения с граничными условиями для толщины пограничного слоя и характеристической скорости [/с в случае степенного закона распределения температуры поверхности [c.15]

Глубокое физическое значение характеристических по-верхностей для сверхзвуковых потоков является не случайным. Оказывается, что они являются особыми поверхностями в смысле теоремы Коши и могут быть использованы для приближенного расчета интегралов дифференциальных уравнений потенциальных сверхзвуковых потоков. [c.197]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология