Детерминистическая и стохастические модели

Как известно, существует много реакций, для которых детерминистическое описание не адекватно, и для них должны быть применимы стохастические модели. Самым известным примером являются реакции в системах, содержащих малое число реагирующих частиц, как это имеет место в биологических клетках. Укажем также на процессы, в которых активированные молекулы инициируют реакцию лавинного характера. Многие реакции в химии полимеров могут быть также описаны стохастически, в том числе распределение длин цепей, распределение сополимерных композиций, кинетика выделения реагентов из смеси, кинетика полимеризации биологических макромолекул в матрицах, контролируемые диффузией химические реакции, модели стерилизации, денатурация полипептидов или протеинов, хроматография, релаксация неравновесного распределения по колебательным степеням свободы в ударных волнах, теория гомогенной и гетерогенной нуклеации в парах, теория адсорбции газов на твердых поверхностях, деградация линейных цепных молекул, разделение молекулярных соединений с помощью противотока диализа, статистические процессы агрегации и полимеризации, изотопный обмен и т. д. [c.65]

Математические модели кинетики роста микроорганизмов, образования продуктов биосинтеза и утилизации субстратов отличаются от известных моделей химической кинетики. В основу большинства используемых моделей роста микроорганизмов положены уравнения ферментативной кинетики микробиологических процессов [1—4, 23, 27]. Однако, учитывая значительное число протекающих в клетках стадий биохимических ферментативных реакций, применение законов ферментативной кинетики носит в большинстве случаев формальный характер. Отличительной особенностью большинства моделей является использование в качестве основного параметра модели численности или концентрации микробной популяции. Именно большая численность микробных популяций позволяет широко применять при моделировании кинетики роста детерминистический подход, опирающийся на хорошо развитый аппарат дифференциальных уравнений. В то же время известны работы, в которых используются стохастические модели кинетики [25]. Среди них распространены работы, основанные на простой концепции рождения и гибели , что в математическом аспекте позволяет применять аппарат марковских процессов. В более сложных моделях микробная популяция представляется Б виде конечного числа классов, каждый из которых ха- [c.53]

Стохастические модели популяций. Рассмотренные нами выше модели популяций были детерминистическими. Однако в реальной жизни система может подвергаться случайным воздействиям, что связано с флуктуациями численности видов или значений параметров системы. Кроме того, сами процессы размножения и гибели, по сути, носят вероятностный характер. При большом числе особей детерминистическое описание совпадает со стохастическим, т. е. данные о численности видов, полученные при решении дифференциальных уравнений, совпадают с соответствующими математическими ожиданиями. Однако учет стохастического характера экологических процессов становится особенно важным при небольших размерах популяций. В этом случае среднее квадратичное отклонение численности отдельно взятой популяции от математического ожидания может быть довольно значительным. Это приводит к тому, что при рассмотрении какой-либо определенной популяции график роста обнаружит значительные колебания, характеризуя тем самым флуктуационную изменчивость данного процесса и его отклонение от теоретических кривых (фазовых траекторий), задаваемых детерминистической моделью. Пусть, например, в некоторой точке фазовой траектории модели хищник-жертва какая-либо переменная (хг) не очень велика, тогда случайные флуктуации могут привести к тому, что изображающая точка уйдет с фазовой траектории на одну из осей (ось Хг), т.е. численность одного из видов (вид хг) обратится в нуль, а вид (хг) вымрет. Таким образом, стохастическая модель предскажет в конечном счете вымирание одного из видов. Подчеркнем еще раз, что эти эффекты проявляются при небольших численностях популяций. [c.63]

Детерминистические и стохастические модели использование ЭВМ. Различные ограничения относятся в основном к моделям, где предполагается наличие функциональной связи между параметрами. Например, предполагают, что изменение генных частот в поколениях зависит от определенного вида отбора, такая модель называется детерминистической . Однако в действительности все популяционные параметры-частота генов, давление отбора, скорость мутирования-подвержены случайным флуктуациям из-за того, что размер популяции является конечным. С появлением ЭВМ возникла возможность включения в расчеты случайных флуктуаций таким образом были созданы стохастические модели. Изменение генных частот в популяциях моделируют, исходя из предположения, что популяция имеет какую-то определенную величину. В этом случае, например, кривая, отражающая изменение генных частот во времени, соответствует не идеальному ре- зультату, а только одному из возможных результатов, причем неизвестно даже, является ли данная кривая очень вероятной. Поэтому произвести расчеты для определенного набора параметров один раз недостаточно для того, чтобы получить при данных допущениях неискаженную картину одни и те же расчеты необходимо повторить несколько раз. Этот метод дает лучшие результаты, чем применение детерминистической модели кроме общей тен- [c.295]

Как использовать модели на практике Для демонстрации общих закономерностей естественного отбора как в случае детерминистических, так и в случае стохастических моделей необходимо вводить упрощающие предположения. Однако при анализе конкретной ситуации нельзя забывать, что эти предположения в действительности являются упрощающими. Выводы, полученные при математическом моделировании, могут быть корректными с формальной точки зрения, однако часто упускается из виду возможность того, что они основываются на аспектах модели, не соответствующих реальности. Некритическая интерпретация формальных результатов, полученных на упрощенных моделях, наносит значительный ущерб развитию популяционной генетики человека. [c.295]

Исследование полиморфизма по серповидноклеточности в Африке стохастическая модель замещения одного аллеля другим [126]. В исследованиях подобного рода был проведен комплексный анализ, включающий изучение истории популяций Западной Африки, воздействия на них малярии и частот генов Hb S и Hb С. Наблюдаемая здесь ситуация сходна со случаем Hb E и талассемии в Юго-Восточной Азии в популяции присутствуют два аллеля НЬ S и НЬ С, обладающие противомалярийными свойствами значения приспособленности W различны для гомо- и гетерозигот против двойных гетерозигот действует сильный отбор. На рис. 6.26 показано изменение генных частот, происходящее при вытеснении аллеля НЬ С аллелем Hb S решающим фактором здесь является селективное преимущество гетерозиготы по Hb S по сравнению с гетерозиготами по НЬ С. Как и в случае НЬ Е и талассемии, использована детерминистическая модель отбора. Предполагается, что популяция имеет бесконечно большую величину. С другой стороны, в модели, приведенной на рис. 6.26,Б, эффективный репродуктивный размер популяции (разд. 6.4.1) принят равным 1000, поэтому возникают случайные флуктуации генных частот. Эта модель стохастическая. Общая тенденция здесь та же, что и на рис. 6.26, , однако ясно видны случайные флуктуации частот. [c.326]

Если Gi = 1 — Fi, то детерминистическая модель, эквивалентная стохастической, описывается уравнениями (6.3.5)-(6.3.6), а вероятностные ограничения (6.3.7) заменяются соотношениями [c.236]

Детерминистические и стохастические модели. До сих пор наше обсуждение полностью основывалось на менделевских соотношениях и на законе Харди—Вайнберга. Такие популяционно-генетические параметры, как скорость мутирования, коэффициенты отбора и инбридинга, считались постоянными и связанными определенными соотношениями. Другими словами, рассматриваемые нами модели были детерминистическими. Однако в действительности все эти параметры являются статистическими переменными, подверженными случайным изменениям, а изучаемые популяционной генетикой процессы не строго детерминистическими, а стохастическими (случайными). [c.367]

Что касается стохастического описания кинетики химических реакций, то, хотя оно и не столь привычно для кииетиков как детерминистическое описание, существует много реакций, для которых последнее описание неадекватно, и следует применять стохастические модели. Самыми известными примерами являются реакции в системах, содержащих малое число реагирующих частиц, как это имеет место, например, в биологических системах. Укажем также на процессы, в которых активированные молекулы инициируют реакции лавинного характера. Многие реакции в химии полимеров могут быть также описаны стохастически, в том числе распределение длин цепей, распределение полимерных композиций, кинетика выделения реагентов из смеси, кинетика полимеризации биологических молекул [c.138]

Если в момент t имеются два или больше максимумов, то говорят о бимодальном или многомодальном распределении. Соответственно здесь имеются две или больше наиболее вероятных траекторий. Поскольку динамическая и стохастическая модели заданного процесса должны согласовываться между собой, должна существовать связь решения для детерминистической модели, описываемой уравнением (П.1), со средней траекторией (П.6) или с наиболее вероятными траекториями (П.7). В связи с этим нужно заметить, что при бимодальном или многомодальном распределении целесообразнее рассматривать наиболее вероятные, а не средние траектории. [c.241]

Предположим, что состояния рассматриваемой физической системы заполняют непрерывное пространство состояний (фазовое пространство). Как показано в гл. 3, детерминистическому движению системы соответствует траектория в этом пространстве. Стохастическая модель той же физической системы характеризуется уже функцией распределения P x,t,u) состояний X = Хь. .., Xf при заданной совокупности параметров С = и = [щ.....Ып). Движение системы [c.248]

В случае популяций бесконечно большого размера случайными флуктуациями можно пренебречь использование стохастических и детерминистических моделей дает приблизительно одинаковые результаты. Использование детерминистических моделей оправдано, если мы хотим в общих чертах узнать, каким образом какой-либо фактор влияет на генетический состав популяции. [c.367]

На эти трудные вопросы сегодня пока не удается дать вполне удовлетворительный ответ, поскольку теория стохастических моделей еще не достигла такого развития, как теория детерминистических моделей. Однако для важного частного случая градиентных систем, определяемых уравнениями (П.10) и (П. 14), можно в полной мере проследить связь между стохастической и детерминистической моделями. Как было показано в предыдущем разделе [ср. (П.15)), между потенциальной функцией детерминистической модели У х1, х , и) и стационарным распределением вероятностей существует следующая связь [c.249]

Отсюда ясно, что структурные неустойчивости градиентной системы в детерминистической модели соответствуют вырожденным экстремальным значениям Р° в стохастической модели, т. е. структурно-неустойчивому распределению вероятностей. Деформации распределения вероятностей, возникающие при превышении критических значений и, должны быть топологически эквивалентны структуре, порождаемой универсальными развитиями. Далее, из (П.29) и (П.ЗО) следует, что поверхность стационарных состояний градиентной системы М совпадает с поверхностью наиболее вероятных состояний М, т. е. М = М. Классификация вероятностных поверхностей с помощью теории Тома для градиентной системы переходит в теорию катастроф. [c.257]

Кроме того, характерно, что флуктуации всегда либо симметричны относительно вырожденного экстремального значения Р° х,и) ( пики и бабочки на фиг. П.З), либо, наоборот, резко асимметричны ( концы и ласточкины хвосты на фиг. П.З). Это объясняется тем, что структурно-неустойчивые ситуации соответствуют либо широким симметричным плато, либо точкам перегиба в распределении вероятностей. В первом случае все флуктуации, не превышающие некоторой амплитуды, равновероятны, тогда как во втором преимущество имеют флуктуации какого-то определенного направления. Стохастическая модель позволяет делать более глубокие выводы о свойствах и поведении системы, чем детерминистическая модель. Эти выводы относятся к структуре флуктуаций. Причина заключается в том, что потенциалы определяют и топологию стационарного распределения вероятностей. [c.258]

Математическая модель является в значительной степени описанием реальности, в которой комплексное поведение системы выражается в виде набора уравнений. Основой этих уравнений могут быть данные наблюдений (эмпирические модели, или модели, построенные по принципу черного ящика) либо классические научные концепции (концептуальные, или динамические, модели),. Модели могут воспроизводить статистическую природу воздействий или взаимодействий (стохастическая модель) или представлять их в виде сглаженных неслучайных функций (детерминистическая модель). Задача специалистов по моделированию состоит в описании процессов, происходящих в озере (инструмент исследования). При ограниченном количестве необходимых входных данных модели могут быть использованы ежедневно (инструмент управления системой). [c.233]

Химическая машина , вообще говоря, характеризуется не непрерывным, но дискретным набором состояний. Применение аппарата дифференциальных уравнений к такой системе означает включение дискретных состояний в некоторое непрерывное множество. Такая процедура не препятствует трактовке поведения дискретной системы, напротив, при надлежащем выборе модели она позволяет его проанализировать. Вместе с тем аппарат детерминистических, континуальных дифференциальных уравнений может оказаться недостаточным для исследования процессов, протекающих с участием малого числа молекул или малого числа особей. Такие процессы являются стохастическими, вероятностными, их анализ требует применения теории вероятности, в ряде случаев — теории цепей Маркова. Вопрос о математическом аппарате должен решаться отдельно для каждого класса моделей. Само моделирование определяется изучаемым процессом и непосредственно зависит от шкалы времени, в которой он развивается. В любой биологической системе происходит множество нелинейных кинетических процессов, характеризуемых собственными временами. [c.486]

Рассмотрим случай, когда потребности в оросительной воде имеют вероятностный характер. Прежде чем заменить стохастические ограничения модели на эквивалентные детерминистические, введем следующие обозначения. Индексы г, г = 1,т, и j, j = 1,п, соответствуют периодам времени внутри года, и орошаемым культурам. Пусть далее Qi означает количество воды для орошения в период г. Переменная Zj [c.236]

Модели с сосредоточенными параметрами (МСП) могут быть как детерминированными, так и стохастическими, а водосбор или существенная его часть представляются как единое целое. После калибровки и верификации моделей с их помощью формируются долгосрочные ряды гидрологических и метеорологических условий, которые могут использоваться в качестве входных данных при анализе выноса ЗВ. При этом случайные изменения входных данных не могут быть учтены в силу детерминистической природы МСП. [c.267]

Так как стохастическая (глобальная или локальная) модель более детальна, чем модель детерминистическая, то из первой можно получить вторую, если объем У стремится к бесконечности (термодинамический предел). [c.73]

В основной части настоящей книги рассматривались главным образом детерминистические модели не> обратимых процессов. Целью настоящего приложения является краткое введение читателя в курс быстро развивающейся в настоящее время стохастической теории необратимых процессов. При этом мы ограничимся лишь важнейшими общими результатами этой теории, имеющими отношение к рассматриваемым здесь задачам. Заинтересованный читатель может обратиться за дальнейшей информацией к специальной литературе [17, 18, 207—210]. [c.238]

Системы с дискретным пространством состояний всегда носят стохастический характер. Они не имеют детерминистических аналогов. Построение соответствующей детерминистической модели возможно лишь в том случае, когда допустимо приближенное представление системы в непрерывных переменных. Примерами таких непрерывных переменных могут служить концентрации, которые мы рассматривали в гл. 6 и 7. Использование концентраций оправдано при большом числе частиц. Однако в общем случае переход к непрерывным переменным оказывается невозможным. Поэтому некоторые положения, обсуждавшиеся в предыдущем разделе, теряют смысл. Описанные методы классификации вероятностных поверхностей применимы к исследованию дискретной сетки вероятностей лишь в том случае, когда точки дискретного распределения вероятностей можно аппроксимировать поверхностью. [c.259]

В работе [252] показано, что стохастическая модель сводится к детерминистической модели при переходе к пределам /V ш, V оо(/У/К=сопз1). Для конечного числа частиц N соответствия между моделями установить не удалось (см. также обзор [253]). Пока это направление ие дало ничего существенно нового. [c.311]

В биологии большинство процессов является, по суш еству, случайными, начи-ная от процессов поглош ения и испускания квантов света оптически активными биомакромолекулами или процессов биохимических реакций и кончая процессами размножения организмов. Поэтому следует в моделях рассматривать распределение вероятности поглош ения или испускания квантов света или распределение вероятностей рождения особей. Однако математический аппарат вероятностных распределений гораздо более громоздок и менее нагляден, чем аппарат детерминистических моделей, который был использован до сих пор. При изучении каждой конкретной системы встает вопрос о ее статистических свойствах и правомерности детерминированного описания системы. При этом важно, какие задачи ставятся в процессе исследования. Для изучения некоторых свойств системы достаточно описывать ее как детерминированную, другие свойства могут быть установлены только при вероятностном описании. В настоянием параграфе будет рассмотрено несколько простых стохастических моделей и на их примере пояснено, к каким новым эффектам приводит вероятностное рассмотрение и когда можно ограничиться детерминированными моделями, описываюш ими эволюцию средних значений переменных. [c.55]

Перечислим теперь важнейшие выводы настоящего раздела. Исходя из классической концепции структурных неустойчивостей системы траекторий детерминистической модели, проведено обобщеме стохастической модели. Это обобщение основано на исследовании локального поведения стационарного распределения вероятностей, к которому стремится система при 00. Стационарное распределение можно представить некоторой вероятностной поверхностью в пространстве состояний и области определения параметров и исследовать эту поверхность методом теории катастроф Тома. Структурные неустойчивости вероятностной поверхности соответствуют локальным вырожденным экстремумам или точкам перегиба стационарного [c.258]

В настоящее время результаты вероятностного анализа пожара очень неопределенны из-за неспособности моделей точно предсказать, как именно будет распространяться пожар. Анализ риска пожара в рамках ВОР по своей природе является не совсем вероятностным, он основывается на комбинациях различных баз данных, детерминистических моделях развития пожара и вероятностных моделях обнаружения и тушения пожара. Самый сложный аспект вероятностного анализа — расчет вероятности выхода из строя оборудования в результате пожара. Эта проблема осложняется неточностями в моделировании систем обнаружения и тушения, действительного количества горючей нагрузки в моделировании, стохастического характера развития пожара, размера зоны вторичного поражения, где горючие газы могут вызвать отказ оборудования и инициировать вторичные пожары, а также доступа для тушения. Для расчета вероятного развития пожара разработан целый ряд важных моделей, но даже в лучшем случае количественные неточности остаются значительными. Но что еще более важно — это то, что на сегодняшний день отсутствует точный расчет, уста-назливающий степень достоверности с учетом этих несовершенных возмол<ностей. Риск пожара отделяется от вероятностных аспектов и изучается детерминистически через опасность пожара. При этом уменьшение риска пожара решается путем ограничения количества горючих материалов, деления зданий на отсеки, контроля вентиляции и систем пожаротушения. [c.34]

Рис. 3.5. Стационарное состояние для различных значений параметра в модели Эдельстейна согласно предсказанию детерминистического кинетического уравнения (сплошная кривая) и среднему числу частиц (пунктирная), полученному стохастическим моделированием к = 0,5, В = 0,1)

В заключение необходимо отметить, что стохастическое описание может в среднем привести к результатам, отличным от детерминистического описания. Приведем пример. Рассмотрим модель Эдельстейна [c.99]

Здесь А = В. Детерминистическое кинетическое уравнение для модели Эдельстейна имеет решение с тремя стационарными состояниями (сплошная линия на рис. 3.5) из них два устойчивых и одно неустойчивое А, лежащее между А1 и Однако стохастическое рассмотрение предсказывает только одну стационарную функцию распределения, т. е. только одну макроскопическую концентрацию для данного значения параметра А. Стохастическое моделирование позволяет легко определить функцию распределения и ее моменты. Первый момент функции распределения (штриховая линия на рис. 3.5.) имеет только одно значение для каждого значения параметра А, так что не наблюдается никакого гистерезиса при передвижении какой-либо точки А влево и вправо по оси абсцисс, как это имеет место для детерминистических уравнений (сплошная кривая). На этом примере мы видим, что среднее стохастическое поведение может отличаться от детерминистических предсказаний. Перейдем к описанию флюктуаций с помощью нелинейного управляющего уравнения. [c.99]

Такое упрощенное уравнение Фоккера — Планка позволяет особенно легко проследить связь между детерминистическим и стохастическим описанием явления. Простейщий способ учета флуктуаций детерминистической модели состоит во введении случайного источника [c.242]

Развитая модель спонтанного нарушения симметрии основана на регулярной детерминистической процедуре, а не на некоем скрытом стохастическом процессе. Эта процедура отвергает концепцию шумового фона по ту сторону физического мира. Следующий разумный шаг состоит в рассмотрении дополнительных следствий предлагаемой гипотезы для других стоха- [c.89]

Рис. 5.15. Сопоставление (упрощенно схематическое) детерминистической (о) и стохастической (6) моделей нейрогенеза. По Корочкину. а - установление связей между разными системами осуществляется не случайно, а детер-мииированио и в результате вмешательства дополнительных факторов или через дополнительные шстемы нейронов (на схеме не показано).

Справочник химика 21

Химия и химическая технология