Больцмана линеаризованного

Уравнение Больцмана позволяет получить множество сведений (например, значения ряда кинетических коэффициентов), несмотря на то что его решение иочти всегда остается неизвестным. Чрезвычайно важна возможность вывода с его помощью уравнений гидродинамики ([15, 37,38]). При этом автоматически учитываются все процессы, играющие существенную роль в данном круге явлений, а феноменологические константы связываются с микроскопическими характеристиками. Но уравнение (2) позволяет ре-шать, хотя бы приближенно, и такие задачи, к которым другие известные методы просто неприменимы. Скажем, серьезный прогресс в понимании структуры фронта ударной волны был достигнут после того, как к этой проблеме оказалось возможным применить аппарат кинетической теории [39]. Не менее значительную роль уравнение Больцмана (линеаризованное) сыграло в исследованиях распространения электромагнитных волн [40], обтекания тел сильно разреженным газом, ультразвуковых колебаний [41, 42] и т. д. [c.269]

Интеграл столкновений в уравнении Больцмана имеет сложную нелинейную структуру. Поэтому для решения этого уравнения используют два подхода линеаризованное и модельное уравнение Больцмана. [c.44]

Для получения линеаризованного уравнения Больцмана воспользуемся выражением (2.18). Подставив его в (2.20), положив F = О и пренебрегая квадратами и более высокими степенями if, получим уравнение [c.44]

Первое свойство состоит в том, что этот частный вид можно использовать для доказательства приближения к равновесию в разреженном газе, описываемом кинетическим уравнением Больцмана. Уравнение Больцмана нелинейно, и для доказательства того, что его решения стремятся к равновесным, нужна иная техника. Эта техника основана на выборе Н в виде (5.5.6) другие выпуклые функции в этом случае использовать нельзя . Между прочим, фав-нение Больцмана не является основным кинетическим уравнением для плотности вероятности, а является уравнением эволюции для функции распределения частицы в одночастичном шестимерном фа.зовом пространстве ( и-пространстве ). Однако линеаризованное уравнение Больцмана имеет ту же структуру, что и основное кинетическое уравнение (ср. с. П.5). [c.118]

Точное значение числа молекул в ячейке не может быть равным (г, р) (1 г с1 р, потому что оно целое. Это число флуктуирует относительно значения, дающегося уравнением Больцмана вследствие случайного характера столкновений, и только их вероятность описывается использованным столкновительным членом. Наша цель вычислить эти флуктуации. Если / слабо отличается от равновесного распределения, уравнение Больцмана можно заменить его линеаризованной версией. Тогда становится возможным подключить флуктуации, добавив член. Ланжевена, значение которого определяется с помощью флуктуационно-диссипативной теоремы. Однако, как показано в 8.9, приближения Ланжевена неприменимо вне линейной области. Поэтому мы стартуем с основного кинетического уравнения и используем -разложение. Вся процедура состоит из четырех шагов. [c.325]

Уравнение не так страшно, как кажется на первый взгляд. Первые три строки представляют собой линеаризованный оператор Больцмана, действуюш,ий на множитель ы(r , Р1) в факториальном кумулянте. Следуюш,ие три строки — это тот же оператор, только дейст-вуюш,ий на множитель и (Гг, рг)- Седьмая и восьмая строки представляют собой источники флуктуаций, а записанные в восьмой отроке потоковые члены добавлены к обоим множителям. Это уравнение имеет общий вид (8.6.66), когда А совпадает с линеаризованным оператором Больцмана, включая токовый член. [c.328]

Дальнейшее решение задачи можно вести различными методами. Простейший состоит в использовании линеаризованного уравнения Больцмана, что может быть сделано при низкой энергии адсорбции и кТ. В этом случае для распределения концентрации по толщине прослойки получим [c.121]

Как было показано ранее [17, 18, 20], при малой энергии адсорбции, когда используется линеаризованное уравнение Больцмана, и при к 8 значения П = П + П о оказываются очень близкими к значению П Для прослойки однородного раствора с объемной концентрацией Соо- Таким образом, здесь значения Пд выражают, по сути дела, изменение дисперсионных сил в связи с изменением ди-злектрической проницаемости жидкой прослойки под влиянием растворенных молекул. В этом случае можно считать, что Пц просто равно разности между П в и Ито, где П в — сила дисперсионного взаимодействия поверхностей через прослойку однородного раствора, имеющего постоянные по толщине прослойки значения функции ( 1), не равные 8 ( 1). Этот результат является следствием малости адсорбционных сил (С/< кГ), не меняющих заметным образом концентрацию раствора в прослойке по сравнению с ее концентрацией в объемном растворе. [c.122]

Значительно больший интерес представляет случай энергий адсорбции, соизмеримых с кГ. При этом должно использоваться не-линеаризованное уравнение (У.16). Решение в аналитическом виде удается получить только приближенное при условии А. б [20]. Перепишем для этого уравнение (У.9), подставив в него выражение для концентрации из уравнения Больцмана [c.123]

Теория Дебая — Хюккеля, исходящая из линеаризованного уравнения Пуассона — Больцмана для плотности зарядов (см. стр. 63), строго говоря, неприменима к полиэлектролитам. Дело в том, что при не очень малых степенях ионизации электростатическое поле вокруг молекулы полиэлектролита велико, его энергия в несколько раз больше тепловой. Поэтому необходимо решать задачу с нелинеаризованным уравнением Пуассона — Больцмана. [c.169]

В том же предположении Ф 1 решением линеаризованного уравнения Пуассона—Больцмана будет [c.111]

Очевидно, что случай 7V = 4 заслуживает особого внимания. Молекулы, взаимодействие которых описывается таким потенциалом, называются максвелловскими молекулами. Для таких молекул вес рассеяния Fa d os 0 не зависит от V. Этот факт значительно упрощает вычисления, относящиеся к линеаризованному уравнению Больцмана. С этими вопросами мы столкнемся в гл. V, где линеаризованное уравнение Больцмана будет подробно обсуждаться. [c.186]

Здесь С( ( ) и / — собственные функции и соответствующие им собственные значения линеаризованного оператора столкновений Больцмана а (г) — множитель, соответствующий г-й собственной функции. При т = 0 формула (7.2.21) принимает вид [c.328]

Рассмотрим подробнее характер измерения функции к(г, и, т) во времени, определяемой формулой (7.2.21). В приложении ПП. 12 показано, что всем собственным функциям линеаризованного оператора Больцмана соответствуют отрицательные собственные значения. Исключение составляют лишь те пять собственных функ- [c.328]

П.П. 12. Некоторые важные свойства линеаризованного оператора столкновения Больцмана [c.388]

Линеаризованный оператор столкновений Больцмана С определяется следующей формулой [см. (7.2.20)] [c.388]

П.П. 11. Решение уравнения Фоккера — Планка на кинетической стадии эволюции макросистемы 383 П.П. 12. Некоторые важные свойства линеаризованного оператора столкновений Больцмана 388 П.П. 13. Вывод формулы (7.2.34) 398 [c.397]

ЛИНЕАРИЗОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА - БОЛЬЦМАНА [c.172]

Это линеаризованная формула Больцмана. Подчеркнем еще раз, что в пределе малых концентраций обе формулы (33.1) и [c.172]

Подстановка (33.2) в (30.13) дает линеаризованное уравнение Пуассона — Больцмана [c.173]

В этом случае АС предстает как электрическая энергия двух конденсаторов с зарядами обкладок dzg и дм- Аналогичным путем можно получить формулы и для более сложных слоистых структур. Общий вывод, вытекающий из рассмотрения линеаризованного уравнения Пуассона — Больцмана состоит в то.м, что вычисление работы заряжения мицеллярной ячейки, включающей п свободно движущиеся ноны, сводится к статической задаче заряжения сферического конденсатора, наружная обкладка которого удалена на расстояние дебаевского радиуса. [c.177]

Обсудим теперь некоторые приложения полученных результатов. Прежде всего необходимо оценить, насколько разумна и приемлема линеаризованная формула Больцмана, если речь-идет о мицеллах. Посмотрим сначала, в какой области может удовлетворяться условие (33.5). Очевидно, для противоионов. оно всегда верно, так как левая часть (33.5) в этом случае отрицательна. Применительно же к коионам условие (33.5) нуждается в проверке. Так, обращаясь к результату (33.7), можно сказать, что он имеет смысл, если условие (33.5) выполняется при г = I, т. е. [c.178]

Линеаризованное уравнение Пуассона — Больцмана 172 34. Нелинеаризованное уравненне Пуассона — Больцмана 180 35. Модифицированное нелинеаризованное уравненне Пуассона — [c.280]

И, следовательно, в общем решении линеаризованного уравнения Больцмана появляется дополнительный скалярный член [c.104]

Вначале его величина была получена путем сочетания уравнения Пуассона-Больцмана (линеаризованного и нелинеаризованного) с законами электрос1атики и гидростатики [6]. Позднее бьши применены и чисто статистические методы [7], недостатком которых является большая сложность и то, что они непосредственно приводят к выражению не расклинивающего давления, а свободной энергии перекрытия в функции ширины зазора. Вид полученных выражений дня свободной энергии зависит от того, как меняется с шириной зазора потенциал или заряд поверхности, или от 78 [c.78]

Решение. Для слабозаряженной поверхности потенциал ф в любой точке двойного электрического слоя определяется из линеаризованного уравнения Пуассона —Больцмана [c.161]

Это уравнение Больцмана (12.5.3), линеаризованное вблизи макроскопического решения ф. Отсюда видно, что среднее <Ла> = Афд4- [c.326]

В ряде случаев электрохимические условия таковы, что оказывается возможным переход от полного уравнения ПБ (1.16) к линеаризованному уравнению Дебая—Хюккеля [57], справедливому для малых потенциалов (z < 25 мВ) и основанному на разложении экспонент в уравнении Больцмана (1.13) в ряды по степеням мйлого отношения ujj/G с сохранением членов, линейных по потенциалу При суммировании постоянные, не зависящие от потенциала члены взаимно сокращаются вследствие электронейтральности раствора вдали от межфазной границы и получается простое по форме уравнение Дебая—Хюккеля [c.16]

Для определения этой плотности (в случае постоянства потенциала при сближении частиц и его малости) вначале использовалось линеаризованное уравнение Гуи-Чепмана (иначе, Пуассона-Больцмана). В дальнейшем это уравнение (нелинеаризованное) бьшо применено для вычисления плотности заряда и распределения гидростатического давления межцу [c.7]

Гильбертом [2]. В зоне В, как было показано автором [6], имеет место модифицированное разложение Гильберта, дающее в первом приближении нелинейные уравцения Прандтля, а в последующих — линеаризованные уравнения пограничного слоя с правой частью, зависящей от предыдущих приближений. В зоне С необходимо, вообще говоря, уже в нулевом приближении исследовать решения нелинейного уравнения Больцмана [25, 26]. [c.111]

Чепмена — Энскога и выводятся гидродинамические уравнения, вытекающие из приближений различного порядка. Получаются выражения для, коэффициентов вязкости и теплопроводности. Далее подробно рассматриваются свойства линеаризованного оператора Больцмана, а затем автор переходит к изложению метода моментов Грэда, дающего возможность получить одно из наиболее общих решений уравнения Больцмана путем использования разложений по полиномам Эрмита и вывести при определенных предположениях замкнутую систему гидродинамических уравнений. [c.7]

Из (37) следует, что при 11 = 0 электростатический потенциал ф(г)=0, в результате чего задача сводится к решению системы уравнений (35) при х (г) =к ехр — (г) , представляюш,ей собой обобщение линеаризованного уравнения Пуассона — Больцмана, лежащего в основе теории объемных свойств растворов электролитов Дебая — Хюккеля. Отличие (35) от последнего заключается лишь в учете зависимости концентрации ионов от расстояния г до границы электрода, т. е. в замене х = соп51 на (2). [c.15]

По и при условии (33.5) линеаризованное уравнение Пуассона — Больцмана на.ходит себе широкое при.менение. Классическим примером является теория растворов сильных электролитов Дебая — Хюккеля, в которой линеаризованное уравнеие Пуассона — Больцмана кладется в основу вычисления распределения электрического потенциала внутри понной атмосферы (ионного облака), окружающей некоторый выбранный ПОН. По поводу этого выбранного иона стоит сказать несколько слов, [c.173]

Рассматриваемая нами мицеллярная ячейка с находящейся в ее центре мицеллой с покоящимся центром масс является полным аналогом ионной ячейки Дебая — Хюккеля (с точки зрения теории электролитов мицелла — просто крупный многоза-рядный нон). Поэтому вычисление локального электрического потенциала (f r) мицеллярной ячейки на основе линеаризованного уравнения Пуассона — Больцмана — тривиальное повторение теории Дебая — Хюккеля. Приведем сразу конечный результат. Его форма зависит от того, к какой части противоионов и к какой части пространства мицеллярной ячейки применяется формула Больц.мана. Рассмотрим три случая. [c.174]

При исследованиях элементарных актов, позволяющих установить сечения (или вероятности) тех или иных процессов, решается динамическая задача При рассмотрении эволюций функций распределения во времени (а в случае неоднородной системы и в пространстве) необходимо воспользоваться уравнением Больцмана или какой-либо его линеаризованной или упрощенной формой. Наконец, при описании процесса в терминах наблюдаемых концентраций н скоростей необходимо применягь управляющее уравнение , или уравнение Паули, являющееся обобщением основного уравнения обычной химической кинетики. Уравнение Паули учитывает не только каналы различных химических реакций, но и переходы между квантовыми уровнями в реагирующих молекулах и особенности реакций с различных энергетических уровней. В силу Э]ого в уравнение Паули входят не суммарные коэффициенты (константы) скоростей химических реакций, которые применяются в обычной химической кинетике, а коэффициенты скоростей с различных квантовых уровней. Все эти коэффициенты скоростей химических реакций, учитывая заселенности и ее кинетику, в совокупности пo вoляют определить коэффициент (константу) скорости, определяемую по промежуточным и конечным продуктам реакции в обычном химическом кинетическом эксперименте. [c.6]

Как известно, всякий процесс в системе, протекающий с конечной скоростью, приводит к возмущению максвелловской функции распределения. В частности, возмущение максвелловской функции распределения может происходить за счет неупругих соударений молекул, в результате которых происходит перераспределение массы и внутренней энергии сталкивающихся частиц. В обычных условиях, когда температура смеси Т невысока или достаточно велика энергия активации Е (так что параметр Е=Е кТ 1), число неупругих столкновений молекул много меньше числа упругих соударений. Большинство опубликованных работ посвящено рассмотрению именно этого случая. Первые работы этого направления были выполнены Пригожиным и его сотрудниками [1, 2]. Было установлено, что в общем решении линеаризованного уравнения Больцмана первого приближения появляется дополнительный скалярный член, а решение соответствующего интегрального уравнения оказалось удобным представить (исходя из конкретного вида дополнительных условий) в виде ряда типа Фурье по полиномам Сонина с индексом Авторами упомянутых работ было рассмотрено изменение скорости реакции инициирования типа АЧ-А продукты реакции по сравнению со скоростью этой реакции полученной в предположении максвелловского распределения реагирующих компонент. Считалось, что реакция только начинается, так что концентрацией продуктов реакции можно пренебречь. Таким образом, смесь газов фактически была однокомпонентной, причем имелся сток частиц. Уменьшение скорости реакции, полученное Пригожиным, составляет К= 0Л7 (Е=5), если кинетическая энергия относительного движения молекул больше энергии активации. В работе [21 была сделана попытка получить оценку влияния теплоты реакции на ее скорость. При больших значйниях параметра Е разложение по полиномам Сонина сходится несколько медленнее, чем при умеренных значениях Е (см. стр. 110). [c.88]

Если мы интересуемся слабо возмущенным состоянием газа, то, очевидно, следует использовать метод линеаризации точного кинетического уравнения Больцмана. Так, наиболее простой является линеаризация в окрестности решения, соответствующего абсолютному равновесному распределению /о для системы частиц, находящейся в равновесии в отсутствие внешних сил. Тогда, представляя / в виде /=/о (1+ф), где tp 1, нетрудно показать, что уравнение (18) можно преобразовать в линейное интегро-дифференциальное уравнение, интегральный оператор которого является оператором фредгольмовского типа с симметричным ядром. После этого, действуя обычными методами разложения по собственным функциям такого оператора, можно найти решение линеаризованного уравнения Больцмана. Такой метод использовался в целом ряде работ, содерн ание которых подробно отражено в [35]. [c.128]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология