Специальные теоремы

Здесь необходимо отметить, что теорема и следствие справедливы независимо от расходов тепла и теплоемкостей потоков. В более специальных случаях они справедливы лишь при небольших изменениях теплоемкостей и нагрузки. [c.240]

Таким образом, удалось свести проблему к вопросу, связаны ли адиабатические процессы, протекающие вдоль линии У = У с увеличением или с уменьшением внутренней энергии. Рассмотрение этих специальных процессов приводит к общему результату, потому что, согласно теоремам 1 и 3, все состояния, которые можно получить, исходя из данной адиабаты, расположены в том же полупространстве. Как уже было упомянуто в 10, на поставленный вопрос нельзя ответить с помощью принципа Каратеодори, так как в нем ничего не сказано о том, какое из обоих полупространств адиабатически недостижимо. Сформулируем следующий [c.63]

В начале каждого параграфа книги приводится краткое теоретическое введение, содержащее необходимые определения, теоремы, правила, формулы, методы, а в конце даны задачи, которые неоднократно используются в общем курсе математики встречаются в специальных дисциплинах решаются, при помощи математических моделей, построенных в книге содержат элементы исследования и параметры. [c.3]

Любопытная теорема 5.7 и ее специальные случаи — теорема 5.21, следствие 7.10(с) и замечание 7.11 — появились в работах Лившица [1], [2] и Синая [4] (см. также статью Боуэна [6]). [c.124]

Для альтернантных соединений может быть доказан и ряд других полезных соотношений, останавливаться на которых не будем, так как они представляют уже более специальный интерес. Отметим лишь, что альтернантные системы могут быть и такими, в которых атомы со звездой суть атомы одного элемента (например. В), а без звезды - другого (например, Н). Общие теоремы, относящиеся к альтернантным углеводородам, т.е. к соединениям с одной и той же [c.379]

Строго говоря, прежде чем идти дальше, надо было бы доказать сходимость рядов (5.5). В курсах уравнений математической физики приводятся соответствуюш,ие теоремы, которые позволяют судить о том, какие ограничения следует наложить на функции Д ( ) и / (1) (5.2), чтобы их можно было разложить в ряд по функциям, стоящим в прямых скобках в выражениях (5.5). Этот вопрос и ряд примыкающих к нему вопросов математического характера здесь исследоваться не будут, главным образом потому, что в дальнейшем задачи с начальными условиями не рассматриваются интересующиеся найдут соответствующие сведения в специальных руководствах. [c.45]

Поскольку левые части уравнений (17)-(20) не отличаются от тех, для которых справедлива теорема 2, а специальные начальные условия для них автоматически получаются, если в качестве них взято решение задачи Б для у = у , то сформулированные в теореме утверждения и сделанные там выводы автоматически переносятся на систему (17)-(20). [c.178]

Для применения метода размерностей нужно из набора фундаментальных переменных построить безразмерные комбинации, т. е. такие, для которых все размерности были бы равны нулю. Примером такой комбинации может служить Ох/1 (где О — коэффициент диффузии, а т и I — некоторое время и длина, характерные для соответствующего процесса). При поиске безразмерных комбинаций возникает вопрос всегда ли их можно найти и если да, то каким путем это можно сделать В соответствии с так называемой теоремой Букингема [1], нахождение таких комбинаций возможно практически всегда. В случае, если желательно перейти на описание процесса только безразмерными переменными, их нахождение превращается в сложную задачу. Специальные приемы, которые при этом применяются, описаны в [1]. Стоит отметить, что и при теоретическом анализе процессов, т. е. при наличии уравнений его описывающих, переход к безразмерным переменным является полезным и желательным. Численные значения безразмерных переменных, входящих в уравнения, описывающие процесс, нередко определяют переход от одного режима, характеризующего процесс, к другому. В связи с этим многие безразмерные переменные называют критериями подобия (или просто критериями) и дают им специальные названия. Соответствующие уравнения принято называть критериальными. [c.38]

Простота и удобство метода Данцига- Вульфа привели исследователей к мысли предпринять попытку распространить этот метод на случай нелинейной задачи при помощи теоремы о представлении внутренней точки выпуклого многогранника в виде линейной комбинации его крайних точек методом расчленения Розена для нелинейных задач специального вида. [c.8]

Теорема 9. Для того чтобы модели сжимаемых потоков по числу Маха были динамически подобны при любых условиях в невозмущенном потоке, уравнение состояния должно иметь специальный вид [c.148]

Вся термодинамика построена на двух началах, которые не могут быть доказаны математически, а выведены на основании опытных данных. Основная черта термодинамики состоит в том, что, кроме этих двух начал, она не принимает никаких специальных добавочных гипотез , и все выводы, вытекающие из этих начал, получены путем математических и логических преобразований. Дополнением к этим двум началам служит также термодинамически недоказуемая теорема Нернста, обобщение которой часто рассматривают как третье начало термодинамики. [c.10]

Следующий ярус составляют решения линейных дифференциальных уравнений, коэффициенты которых являются аналитическими функциями. Сюда входят так называемые специальные функции функции Лежандра, Бесселя (Фридрих Бессель, 1784-1846), гипер-геометрические и многие другие. О важности этих функций свидетельствует то, что почти все они тщательно изучены и табулированы. Заметим еще, что во всех перечисленных до сих пор случаях никакой проверки на аналитичность не требуется. Существуют общие теоремы, охватывающие все эти случаи и гарантирующие аналитичность рассматриваемой функции. [c.72]

В уравнении не содержится ни одной постоянной, характеризующей специально данное вещество. Уравнение (8) позволяет утверждать, что для всех газов существует одна и та же общая функция приведенных переменных (л, <р, т) =0. Это утверждение известно в литературе под названием теоремы о соответственных состояниях. [c.35]

Sy и Sj. определяются аналогично S ) будут коммутировать друг с другом. Хорошо известная теорема [5] тогда утверждает, что матричные элементы (3.1.9) будут равны нулю, если функции Фх и Фх являются такими собственными функциями операторов спина, которые соответствуют различным собственным значениям (S или М). Этот результат есть следствие симметрии нашего гамильтониана, который остается инвариантным при произвольных поворотах оси квантования спина и собственные функции которого преобразуются специальным образом при этих поворотах (приложение III). Отсюда ясно, что если функции Ф в отдельности и не являются спиновыми собственными функциями, то из них нужно составить линейные комбинации, которые уже будут такими собственными функциями, с тем, чтобы как можно больше матричных элементов обратить в нуль. При использовании новых базисных [c.73]

Как видно из этого примера, для того чтобы решить, является ли данное дифференциальное выражение полным дифференциалом, необходимо обладать специальным методом. Следующая теорема обеспечивает такую возможность. [c.572]

Частный случай. Система заряженных частиц. Если для системы частиц оператор потенциальной энергии имеет вид классического закона Кулона, то теорема вириала приобретает специальную частную форму. Именно, пусть для системы потенциальная энергия имеет вид [c.111]

Следует отметить, что П-теорема интуитивно вполне очевидна и ее неявное использование началось задолго до того, как она была явно сформулирована и формально доказана в этой связи следует прежде всего назвать имена Галилея, Ньютона, Фурье, Максвелла, Рейнольдса и Релея. Использование анализа размерностей при построении специальных решений систем уравнений в частных производных будет ниже предметом подробного рассмотрения. Здесь же заметим, что анализ размерностей с боль- [c.29]

Во второй главе мы видели также, что эти функциональные соотношения могут, по крайней мере в некоторых случаях, помимо измеримых величин, содержать также так называемые размерные постоянные. Мы встретились с двумя такими постоянными — постоянной тяготения и скоростью света в пустом пространстве — и приписали им также размерность. Очень существенно отметить, что формулы размерности этих постоянных были того же типа, как и у измеряемых величин, т.е. они имели вид произведений основных величин в некоторых степенях. Это не случайность, но является правилом для любых размерных постоянных, с которыми приходится иметь дело. Доказательство этого мы дадим позднее, получив несколько более отчетливое представление о природе размерных постоянных. Точно так же позднее мы разберем и кажущееся исключение, так называемую логарифмическую постоянную. Однако уже теперь можно заметить, что один класс размерных постоянных должен быть несомненно указанной формы. Мы знаем, что эмпирическое уравнение, экспериментально проверенное измерениями в определенной системе единиц, может быть распространено на единицы любого размера, если к каждой измеренной величине ввести множитель — размерную постоянную с размерностью, обратной размерности измеренной величины. Поскольку формула размерности каждой измеренной величины есть произведение первичных величин в степенях, постольку их обратные величины должны обладать таким же свойством, т. е. теорема доказана для данного специального класса размерных постоянных. Мы предположим, пока без [c.45]

П-теорема в изложенной форме содержит все элементы, необходимые для наших целей. Однако в применениях имеется большой простор для выбора аргументов функции, что явствует из возможности различными способами выбрать независимые решения системы алгебраических уравнений. Избранный путь определяет форму произведений, не имеющих размерности, и наилучшая форма для этого находится в зависимости от характера проблемы. В главе шестой мы рассмотрим несколько конкретных примеров, которые покажут, каким образом нужно выбирать произведения в специальных случаях. [c.55]

В этом параграфе собраны основные факты теории меры на бесконечномерных пространствах, необходимые в дальнейшем. Такой подход к его содержанию обусловил характер изложения мы достаточно кратко (и отнюдь не в максимальной общности) обсуждаем некоторые важные теоремы общей теории, но зато подробно останавливаемся на более специальных вопросах. Наиболее полно анализируется случай гауссовых мер — здесь изложение замкнуто и содержит набор утверждений (подчас технического характера), интенсивно использующихся во многих местах книги. [c.70]

Итак, в случае семейства ограниченных операторов при алгебраическом подходе справедливо спектральное представление (3.39), откуда следует (3.42), т. е. (1.25). Дальше для построения теории разложений можно использовать две схемы 1) дифференцировать р. е. в (1.25) или (3.42) — этот путь применялся в 2 (дифференцирование F в (3.39) менее рационально мера сейчас задана на специальном множестве М из 2) продолжить (3.39) до полной спектральной теоремы в форме Неймана и пользоваться теоремой Фубини. [c.284]

Специальная теорема, называемая теоремой Р и м а и а, гласит, что разложение (I) — единственно, т. е. существует только одно Nnio>Ke TBo значений коэффициентов. В этом можно убедиться следующи.м образом. Если бы было два различных множества коэффициентов, то можно было бы записать правую часть выражения (1) двумя способами, которые должны быть тождественно равны для всех значений i. Однако такое может случиться голько тогда, когда соответствующие коэффициенты этих двух множеств равны между собой. Смысл этой теоремы заключается в том, что, если бы мы смогли найти коэффициенты выражения [c.37]

Следует также подчеркнуть, что установленная в термодинамике теорема Нернста получила свое точное изложение только в квантовой механике. Если энергия изменяется непрерывно, то при сколь угодно малой (но отличной от нуля) температуре всегда будет существовать набор возможных состояний вблизи наиниз-шего по энергии состояния системы, и энтропия системы вблизи абсолютного нуля окажется отличной от нуля. Уравнение (УП.28) описывает в статистической теории все свойства энтропии. При этом не возникает необходимость в специальных допущениях, таких, как теорема Нернста. Более того, анализ уравнения (УП.28) не только раскрывает причины, по которым выполняется теорема Нернста, но и определяет случаи, когда она не выполняется. [c.214]

Таким образом, определение давлешм, данное в теореме 3.4, является специальным случаем приведенного здесь. [c.139]

Когда на множество факторов, подчиняющихся требованиям, вытекающим из центральной предельной теоремы Ляпунова, накладывается квантование, обусловленное применением очень грубой измерительной шкалы, то естественно ожидать появления распределения Пуассона, предельным случаем которого является нормальное распределение. Для того чтобы ошибки полуколичествеи-ного анализа можно было представить распределением Пуассона, воспользуемся специальным кодом, состоящим из ряда положительных целых чисел О, 1, 2, 3... Допустим, что имеем пробу, содержащую 0,01% того или иного элемента, и выполняем анализы, пользуясь трехкратной шкалой концентраций. В этол случае могут быть получены следующие результаты при многократном повторном анализе 1) с = 0,01%—анализ выполнен без ошибки, и ошибка анализа может быть закодирована числом О, 2) с = 0,03% или с = 0,003%—анализ попал в ближайший интервал концентрации (справа или слева от истинного содержания), и ошибка может быть закодирована числом 1, 3) с = 0,1 % или с = 0,001%—анализ попал во второй интервал концентрации—ошибка кодируется числом 2 и т. д. В результате при многократном анализе пробы мы получаем следующий ряд чисел [c.146]

Ослабление интереса к концепции эквивалентных орбиталей способствовало распространению неэмпирических расчетных методов, основанных на теории МО ЛКАО ССП, развитой Рута-ном [18] и состоящей в диагонализации матрицы эффективного фоковского гамильтониана. Тем не менее возможно непосредственное построение квазилокализованных ССП-орбиталей путем решения хартри-фоковских уравнений с использованием теоремы Бриллюэна без диагонализации [19]. В этом случае используются специальные пробные векторы [20]. Этот процесс, а также другие методы, объединяющие условия локализации с основными уравнениями метода псевдопотенциала [21—23], предпочтительны по сравнению с аналитическими методами локализации, так как возможности локализации заложены в теории самосогласованного поля с самого начала. [c.78]

Петиколас с сотр. [46] разработал специальный подход, основанный на теории вязкости, использующей приведение к нормальным координатам [47]. Согласно этой теории вязкости, кривая течения представляется в виде суммы по всем типам релаксационных колебаний элемента потока, поэтому в уравнении вместо непрерывной функции течения появляется указанная сумма. Необходимые преобразования для точного расчета функции распределения по молекулярным весам F (Ж) основаны на теоремах теории чисел. Применение метода Петико-ласа начинается с экспериментального определения кривой, описывающей зависимость некоторого параметра вязкоупругости от частоты Ф (со). Этот параметр лучше всего представляется комплексной вязкостью или релаксацией напряжений. Функция Ф (со) состоит из суммы по всем членам Яр, характеризующим релаксацию различных нормальных колебаний, и функции / (со, Я- ). Последняя функция связана с функцией F М) интегральным уравнением. Это уравнение можно преобразовать так, чтобы получить непосредственно выражение для F М). Расчеты проводят в рамках лежащей в основе метода теории. Например, при определенных приближениях получено следующее выражение для динамической вязкости [c.282]

Здесь 5] — нечетный альтернантный углеводород, образованный при соединении 5 с первой метильной группой (метил 1), 512 —четный альтернантный углеводород,, образованный при соединении 5 с первой и второй метильными группами, 5] является нечетным альтернантным углеводородом, поэтому в нем имеется несвязывающая МО, охватывающая атомы со звездочками (разд. 6.16). Такой нечетный альтернантный углеводород представляет собой специальный случай теоремы 6.7, когда и = 1. На следующей ступени метил 2 (вторая метиль-ная группа) должен соединиться с 5 через его неактивное положение, ибо по определению атом 2 в 512 — атом со звездочкой, один из тех атомов, которые мы удалили из / ,- чтобы получить 5. По теореме 6.6 несвязывающая МО из 51 должна сохраниться в 512. Но 512 — четный альтернантный углеводород, в котором все МО появляются парами если у него имеется [c.299]

Когда невозможно или невыгодно работать вблизи идеального цикла первого рода, mohiho добиться улучшения процесса изменением профиля некоторых параметров системы (в частности, температуры). Этот вывод касается идеального цикла второго рода, но не всегда. Если реактанты находятся в эквимолекулярных соотношениях, надобность в поиске температурного профиля отпадает. Подобные вопросы в теореме не рассматриваются, ибо возникает необходимость вводить дополнительные компоненты или ставятся особые условия, а потому вопрос принимает специальный характер. [c.41]

Хранение, передача и размножение химико-аналитической информации, хранящейся в памяти ЭВМ, не представляет значительных трудностей. Большой прогресс в этом направлении обещает внедрение голографических способов запоминания и считывания. На начальной стадии разработки общих информационных банков в способы кодирования химико-аналитических понятий должно специально вводиться избыточное разнообразие. В отличие от специализированных информационных банков в них должна выполняться теорема Геделя о неполноте, оправдывающая необходимость некоторой неопределенности в определениях, являющейся источником противоречий и диалектического развития любого вопроса [28, с. 27]. [c.28]

В данной главе мы несколько раз, не оговаривая этого специально, использовали сразу более одной гипервириальной теоремы. Настоящая задача посвящена некоторым общим результатам, касающимся одновременного применения разных гипервириальных теорем. Рассмотрим пробные функции вида [c.166]

Из теоремы Онзагера мы должны доказать симметрию коэффициентов для всех этих случаев. В 18 и 20 это было сделано путем специальной формулировки условий самой задачи. Такой путь был избран Казимиром. В большинстве других частных случаев доказательство симметричности коэффициентов может быть сделано непосредственным испозьзованием рассуждений, приведенных в главе II. Для таких случаев доказательство получается совершенно убедительным. Однако, нужно, чтобы была доказана симметрия всех коэффициентов для общего случая. К числу таких общих случаев относятся следующие. [c.259]

Изложение строится на основании газовой модели , т. е. почти везде, если не оговорено противное, предполагается, что электроны проводимости представляют собой идеальный газ заряженных квазичастиц. Такое изложение кроме простоты оправдано тем, что в наиболее интересных случаях (низкие температуры, большие магнитные поля) результаты, полученные из модели ферми-жидкости (см. введение), совпадают с результатами, найденными в газовом приближении. Во всех случаях, когда имеется расхождение между моделями, это специально оговаривается. Надо, правда, помнить, что, строго говоря, понятие электрона проводимости как элементарного возбуждения с определенным квазиимпульсом имеет смысл только для возбуждений с энергией порядка фермиевской (см. введение). В процессе вывода мы часто будем пользоваться газовой терминологией для состояний, далеких от поверхности Ферми, однако подавляющее число приведенных здесь окончательных результатов определяется электронами с энергией порядка энергии Ферми. В некоторые формулы входит объем поверхности Ферми. Согласно теореме Ландау — Латинжера [1], эта величина инвариантна относительно включения взаимодействия. Поэтому такие понятия, как число электронов , число дырок , носят вполне достоверный характер. [c.109]

Прямая звуковая лииия. Важная особенность околозвукового течения обнаруживается в случае специального вида звуковой линии, когда все ее точки суть центры течения, а сама она - прямая линия. Именно такого вида течение должно реализоваться, ссли к звуковой линии примыкает простая волна (теорема 2). [c.298]

Вместо устойчивости и постоянства реальный мир полон, однако, эволюционных и неравновесных процессов, приводящих ко все большему разнообразию и всевозрастающей сложности, для которых первостепенное значение имеет именно направленность времени, его односторонность. Положительное направление времени, означающее развитие, второе начало термодинамики связывает с возрастанием энтропии. Теорема А.М. Ляпунова доказывает, что состояние равновесия является аттрактором неравновесных процессов, если производная специальной функции (носящей имя Ляпунова, создателя общей теории устойчивости) по времени dyldt) имеет знак, противоположный знаку самой функции. Смысл этого условия очевиден из рис. III. 30. Второе начало термодинамики утверждает существование функции Ляпунова для изолированных систем и позволяет равновесное состояние считать 436 [c.436]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология