Сферические координаты уравнения движения

Уравнения движения для неньютоновских течений могут быть получены из уравнений Навье - Стокса, записанных в компонентах тензора напряжений зависимостями (1.101), (1.102). В случае осесимметричного обтекания уравнения Навье - Стокса в сферических координатах можно записать в виде [c.32]

Если принять, что крыша пузыря имеет сферическую форму, начало системы сферических координат находится в центре пузыря и полярная ось направлена вертикально, то можно считать, что движение частиц является безвихревым, и поле скоростей определяется, как и по методу Дэвидсона, уравнением (111,53). Соответствующее поле давления описывается уравнением (111,74), интегрирование которого дает [c.104]

Поскольку движение частицы дисперсной фазы обладает симметрией, то скорость движения жидкости в фазах имеет две компоненты (г 6) и (г, 0). Уравнение неразрывности (12.33) в сферических координатах имеет вид [c.234]

Потенциальное поле, создаваемое взаимодействием электрона и протона, сферически симметрично относительно ядра, как начала координат. Важные квантово-механические характеристики атома можно найти, рассматривая движение электрона в полярной сферической системе координат. Как известно, прямоугольные координаты связаны со сферическими соотношениями х = г sin д os ф I/ = / sin О sin ф г = г os О, где д — угол, образованный радиусом-вектором г с осью г, ф — угол, образованный осью х с проекцией радиус-вектора на плоскость ху. Воспользуемся этими соотношениями и напишем уравнение Шредингера (И.9) в полярных сферических координатах [c.11]

Постоянство объема капли обусловлено несжимаемостью жидкости. Задача считается осесимметричной и рассматривается в сферических координатах, независимыми переменными служат радиус-вектор г, широта 0 и время т, поле скорости деформируемой поверхности Р определяется как функция указанных аргументов. Движение жидкости в капле является безвихревым, и существует потенциал скорости ф. Это позволяет использовать уравнение сплошности в форме Аф=0 и выразить кинетическую энергию в [c.79]

По определению конвективный теплообмен определяется движением жидкости. Для выяснения закономерностей этого процесса рассмотрим систему уравнений движения и конвективного теплообмена. Эта система выражает фундаментальные законы механики и физики применительно к элементарному объему жидкости закон сохранения массы — уравнение неразрывности, принцип кинетостатики — уравнение количества движения, закон сохранения и превращения энергии — уравнение баланса теплоты. Конкретное написание уравнений зависит от выбора координатной системы. Дальше будут использованы декартова-прямоуголь-ная, цилиндрическая и сферическая системы координат. Всех их объединяет общий признак если е — орт (единичный вектор) координатной оси 0<7 , то Сг-е, = Ьц, где б = 1 при / = / и = О при . Такие координатные системы называются [c.5]

Используя сферическую систему координат (0, ф, / ), получим следующую систему уравнений движения в напряжениях [c.112]

Выбор оптимальных условий диспергирования связан с определением сил вязкого трения, действующих на подлежащий разрушению агломерат, и выявлением такой начальной ориентации частицы, которая исключала бы ее последующее агрегирование. Исходя из условий взаимодействия частицы с окружающей вязкой средой, можно определить силы, действующие на частицы, и вывести уравнение, описывающее траекторию движения частиц при разрушении агломератов, состоящих из двух сферических частиц радиусом 7 . Если поместить начало системы координат в центр одной из частиц (см. рис. УП.9), то уравнение движения центра тяжести другой частицы примет вид [21] [c.225]

Уравнения сохранения количества движения в сферических координатах имеют следующий вид [c.86]

Рассмотрим общий случай, когда сферическая частица совершает поступательное движение со скоростью Vos, а жидкость вдали от нее имеет скорость поступательного движения Vaf относительно неподвижной системы координат. Векторы Vas и Va/ параллельны заданным направлениям, а относительная скорость жидкости вдали от сферы равна Vr = V f — Vas-При различных сочетаниях скоростей Va/ и Vas можно получить одинаковую относительную скорость V]. . Каждому такому сочетанию будут соответствовать различные силы воздействия жидкости на сферу. К счастью, все эти случаи можно свести к одной задаче, как это следует из замечания, сделанного в разд. 4.2, стр. 56. Действительно, воспользуемся подвижной системой координат, совершающей поступательное движение со скоростью Vas- В этой системе координат сферическая частица неподвижна, а жидкость вдали от нее движется со скоростью V . Уравнения движения жидкости записываются следующим образом [c.97]

Итак, основной задачей является решение одноэлектронного уравнения (29). ]Та примере покажем, как это делается. Начало системы координат поместим в точке между ядрами, где нет никакого реального заряда. Тогда кд = — /г — д/о (р, г), где q = 2 для Н . Ограничимся рассмотрением основного состояния 1x0. Ири г<р решением является сферическая волна, регулярная в начале (задача о свободном движении в сферических координатах, см. 33 в книге [27]). Во внешней области решение представляется функцией Уиттекера 1/21 которая соответствующим образом ведет себя на бесконечности (см. разд. 4.1.3 в книге [24]). В точке г = р нужно потребовать непрерывность волновой функции и ее первой производной. Используя эти условия, а также асимптотическое выражение для функции IV1/3 (см. разд. 4.1.4 в книге [24]), можно получить следующее нормированное решение (без спиновой функции) [c.22]

Задача 1.12. Решить задачу 1.11, выражая Н в сферических координатах (г, 0, г )). Построить уравнения движения (т. е. уравнения Гамильтона) для координат, не являющихся циклическими. [c.20]

Уравнения неразрывности и движения в той форме, как они получены в разделах 3.1 и 3.2, выражены через координаты х, у, z, компоненты скорости Vy, и компоненты напряжений г У и т. п. Если мы хотим записать эти уравнения в сферических координатах, нужно знать а) соотношения между х, у, z и г, 0, ф б) соотношение между v , Vy, и соответствующими компонента скорости Vr-, Vq, Vff, в) соотношения между Тд. ., Х у и т. д. и Тгй, Тгф и т. п. Переход от прямоугольных координат к сферическим может быть выполнен затем посредством простой, по длительной процедуры прямой подстановки. [c.86]

Уравнение движения в сферических координатах (г, 0, ф) [c.88]

Потенциальная энергия V является функцией положения двух частиц относительно друг друга и не зависит от поступательного движения системы как целого. Таким образом, волновое уравнение (13.7) будет идентично волновому уравнению для одной частицы с массой р, которую фактически можно рассматривать как электрон, находящийся в поле с потенциалом V. Выражая это уравнение в сферических координатах, получим [ср. уравнение (9.20)] [c.67]

Молекулярная диффузия преобладает в пузырьках малого диаметра и при малых скоростях относительного движения фаз. Диффузионная модель исключает какое-либо конвективное движение внутри пузырька, что, конечно, не соответствует действительности. Адамар и Рыбчинский, пренебрегая членами, содержавшими высшие степени производных, решили уравнение Навье—Стокса в предположении об установившейся циркуляции внутри пузырька и получили следующее выражение для стоксовой функции тока X в сферических координатах [c.20]

Волновые свойства частицы можно не принимать во внимание только в том случае, если размеры системы велики по сравнению с длиной волны, характеризующей частицу. Длина волны электрона сравнима с размером атома (10- см), поэтому при описании движения электронов необходимо учитывать их волновые свойства. Различные виды волн, в том числе и электронные волны, можно описать с помощью волновых уравнений. Волновая функция для электрона представляет собой функцию его координат. Используют обычные декартовы координаты х, у и z или сферические координаты г—расстояние от ядра до электрона, 0 — угол между направлением г и осью г, ф — угол между Осью х и проекцией г на плоскость ху. Сферические координаты связаны с декартовыми координатами простыми соотношениями [c.8]

Бинарное столкновение может быть описано с помощью эквивалентной задачи о движении одного тела — частицы с приведенной массой т и начальной скоростью g в поле центральных сил, обладающем сферической симметрией. Уравнения для этой эквивалентной задачи о движении одного тела легко могут быть выведены из уравнений для задачи о движении двух тел простым переносом начала координат из центра масс двух сталкивающихся частиц с массами /П и mj в положение частицы с массой (или т<). Уравнения движения могут быть выведены из законов сохранения момента количества движения и энергии. Они имеют аид [c.380]

Ниже приведены уравнения движения и теплообмена несжимаемых неньютоновских жидкостей, подчиняющихся реологическому уравнению состояния (7.1.1), когда кажущаяся вязкость j, = Т) произвольным образом зависит от второго инварианта тензора скоростей деформации и температуры Т. При составлении этого раздела использованы книги [120, 185, 202]. Уравнение неразрывности в цилиндрической и сферической системах координат см. в приложении 5. [c.320]

Тепловое движение ионов в ионной атмосфере приводит к тому, что дискретные заряды этих ионов как бы размазываются. В результате этого ионную атмосферу, состоящую из отдельных ионов, в среднем за некоторый промежуток времени можно моделировать облаком размазанного заряда, плотность которого р уменьшается по мере удаления от центрального иона (рис. 8, б). Общий заряд ионной атмосферы из-за электронейтральности должен быть по абсолютной величине равен заряду центрального иона е и противоположен ему по знаку. Уравнение Пуассона, которое в сферической системе координат имеет вид [c.34]

Задача о медленном прямолинейном движении капли или пузыря с постоянной скоростью в покоящейся жидкости исследовалась в [192] методом сращиваемых асимптотических разложений по малому числу Рейнольдса. Было показано, что при малых числах Вебера (vVe = О (Яе )) граничное условие для нормальных напряжений на поверхности капли выполняется лишь при учете малых деформаций ее поверхности. Уравнение деформированной поверхности в сферической системе координат г, 0, ф, связанной с центром капли (г — безразмерная радиальная координата, — масштаб длины), записывается в виде [c.61]

Наибольший практический интерес для расчета установок напорной флотации представляет кинетика изменения массы и размеров пузырька, движущегося в спут-ном потоке пересыщенной возду хом жидкости, которая рассматривается ниже. Будем считать, что пузырек всплывает в неограниченном объеме жидкости, движущейся спутно со скоростью йУ в условиях согласно схеме на рис. 5.5, При сферической системе координат, совмещенной с центром пузырька, уравнение движения его границы вследствие диффузии растворенного воздуха и изменения гидростатического давления при упомянутых упрощающих допущениях имеет вид (5.58). [c.111]

В работе [28] проанализйрована реакция неограниченной упругой среды на изменение давления на поверхности внутренней полости, имитирующей микро -дефект, от исходного уровня до нуля. Записывая уравнение движения в сферических координатах, полагая начальные условия нулевыми и приравняв нормальные напряжения в материале на границе полости и давление внутри нее, авторы получили общее решение задачи в виде лапласовского изображения колебательного смещения. Общий анализ полученного выражения достаточно сложен, однако практически важные результаты могут быть получены, если предположить, что изменение давления происходит скачком, т.е. p(t) = ро 1(f), где 1(0 - ступенчатая функция [c.177]

Если частица находится на расстоянии порядка а от стенки трубы, то условия, при которых приведенные выше уравнения справедливы, более не выполняются. Однако стенку трубы при этом можно считать плоской, т. е. можно использовать результаты, полученные Дином и О Нейлом [29], а также Голдменом, Коксом и Бреннером [41, 42] для движения сферы вблизи плоскости. Их соотношения, полученные при решении уравнений ползущего течения (8) и (9) в сферических координатах, определяют силу и момент для сферы а) поступательно перемещающейся параллельно плоскости в неподвижной жидкости, [c.113]

Уравнения движения адя неньютоновских течений могуг быть получены из уравнений Навье - Стокса, записанных в компонентах тензора напряжений зависимостя.ми (1 101), (1.102), В случае осесимметричного обтекания уравнения Навье - (, токса в сферических координатах мо.-к но записа1ь ь ьаде [c.32]

Модель массопередачи, учитывающая наличие циркуляции жидкости внутри капли была разработана Кронигом и Бринком [41]. Авторы исходили из решения уравнения Навье — Стокса для жидкой капли, движущейся в среде инородной жидкости с отличающимся удельным весом, которое получили Адамар [25] и Рыб-чинский [42]. Адамар и Рыбчинский пренебрегли членами, содержавшими высшие степени производных и предположили, что движение капли продолжается достаточно долго и циркуляция внутри капли к начальному моменту времени уже установилась. Для стоксовой функции тока было получено выражение в сферических координатах [c.89]

Результат [формула (24)] для сечения реакции подтверждает справедливость использования полуклассического выражения (10) остается еще обосновать определяемое равенством (12) ограничение значения Это можно сделать несколькими путями, однако лучше всего вернуться к анализу уравнения Шрёдингера для двух реагирующих частиц. Используемые для представления падающей волны в формуле (19) специальные функции выбраны не произвольно, а в результате того, что они являются решениями уравнения Шрёдингера, описывающего относительное движение двух невзаимодействующих частиц в сферических координатах. В силу квантования момента в этом уравнении возникает член, отвечающий фиктивной потенциальной энергии [c.331]

Если меридиональный масштаб Н становится сравнимым с радиусом Земли, то приближением р-плоскости уже пользоваться нельзя. Волновые движения в этом случае следует изучать на сфере, в полярных сферических координатах. Изменения по долготе и широте могут быть синусоидальными, но их уже необходимо рассчитывать специально. Для возмущений относительно состояния покоя или состояния твердого вращения они определяются через функции Хафа, свойства которых охарактеризованы в работе Лонге-Хиггикса [481]. Поскольку первоначальные уравнения Лапласа (1778—1779) были, естественно, выведены для сферы, то открытие планетарных волн можно от- [c.240]

Так как в уравнениях двнл<еиия сила тяжести является доминирующей, то требуется большая осторол<ность (см. [625]) в выборе подходящей системы координат. Если бы, например, были использованы сферические координаты, то получилось бы, что важным членом в уравиеииях для крупномасштабного движения, касательных к сферической поверхности, была бы составляющая силы тяжести, направленная вдоль этих поверхностей. [c.116]

Предполагается, что газовый пузырь имеет форму сферы радиуса г . Анализ ведется в сферической системе координат (г, 0, ф), начало которой совпадает с центром пузыря, а полярная ось направлена вверх. Кроме того, принимается, что скорость твердых частиц описывается уравнением движения однородной идеальной жидкости при ее безвихревом обтекании сферического препятствия и может быть выражена через скоростной потенциал как —grad ф, причем [c.97]

Модель, положенная в основу теории, представляет собою коллоидный раствор, oдepлiaщий первоначально сферические частицы одинакового размера со счетной (количественной) концентрацией фо При рассмотрении механизма взаимодействия двух частиц принимается простое допущение их объединение происходит тогда и только тогда, когда одна из них попадает в сферу действия другой (соприкасается с ней). Задача заключается в опреде--лении счетной концентрации фь фг, фз, . простых, вторичных, третичных частиц и т. д. в момент времени т. Задача о коагуляции коллоидов явилась первым прилон ением разработанной Смолуховским теории броуновского движения. Поэтому, исходя из эквивалентности броуновского движе- ния и молекулярной диффузии, он рассматривает решение уравнения нестационарной диффузии к поверхности сферы радиуса Я с граничными условиями г=Я с=0 г >Д с= = Со и начальным условием т=0, г>Д с=со, где г — радиальная координата с — концентрация. На основе этого решения получена формула для определения количества вещества, адсорбированного за время т поверхностью шара. Если упростить ситуацию и считать рассматриваемый процесс квазистационарным, то эта формула имеет вид М=АпОЯсох, где — коэффициент диффузии. [c.108]