Матрица интегрирование

Интеллектуальные системы аналитических преобразований (САП). В математическом обеспечении ЭВМ в последние годы все чаще присутствуют системы аналитических преобразований (САП). Они предназначены для облегчения программирования п решения задач, связанных с преобразованием математических выражений. Автоматизированное выполнение аналитических преобразований при помощи ЭВМ стало возможным благодаря развитию методов обработки символьной информации и искусственного интеллекта соответствующих языков программирования методов трансляции и организации памяти разработке вычисленных алгоритмов [62] и т. п. Под аналитическим преобразованием понимаем формальное преобразование математического выражения, заданного в символьном виде, по определенным правилам. Наиболее часто встречающимися операциями аналитического преобразования являются дифференцирование и интегрирование функциональных выражений подстановка вместо переменных констант и выражений упрощение выражений (свертка констант, приведение подобных членов в многочленах и т. п.) разрешение уравнений относительно заданных переменных действия над матрицами, элементами которых являются символьные выражения вынолнение алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) над арифметическими выражениями и т. п. [c.248]

Необычной особенностью репликации ДНК фага Ми является то, что, во-первых, все вновь синтезированные копии фагового генома оказываются в состоянии профага (т. е. включены в клеточную хромосому) и, во-вторых, фагоспецифическая последовательность нуклеотидов, которая послужила матрицей для образования дочерних геномов, остается в клеточной хромосоме на том же месте, где она находилась до репликации. Другими словами, репликация идет без выщепления резидентного профага и, по существу, представляет собой репликативную транспозицию. Вероятная схема этого процесса представлена на рис. 152. Фагоспецифические белки обеспечивают сближение концов профага, интегрированного в клеточную хромосому (аналогично тому, как они это делают с проникшей в клетку молекулой ДНК фага). Участок хромосомы, в котором сближены концы прсфага, контактирует с другим участком этой же хромосомы или с какой-либо другой находящейся в клетке молекулой ДНК. В этом свежем участке появляется ступенчатый разрыв (два однонитевых разрыва на расстоянии 5 п. н.) возникают однонитевые разрывы и по обеим границам резидентного профага. Выступающие 5 -концы клеточной ДНК соединяются с З -концами вирус-специфических последовательностей, а З -концы клеточной ДНК выполняют роль затравки. Таким образом, инициация раунда репликации представляет собой в этом случае вариант рекомбинационной инициации- В результате Полуконсервативной репликации и последующих процессов репарации в клеточной хромосоме оказывается две копии профага в каждой из них одна чз цепей пронсходнт из резидентного профага, а вторая синтезирована заново. При повторении этого процесса Количество профагов в клеточной хромосоме может достигать сотни. [c.287]

Основные затраты машинного времени в этой схеме связаны с обращением матрицы (Е — hA), так что вычисление производных по параметрам на каждом шаге требует примерно столько же времени, сколько и решение системы (3.173), так как заключается в перемножении матрицы на вектор. Этот метод является приближенным, так как при дифференцировании (3.173) мы не учитывали зависимость hn+i от 0. Однако он успешно применяется для решения ряда конкретных задач. Лишь в некоторых случаях (когда дальнейшее продвижение по траектории (3.158) не приводит к уменьшению функции цели и данная точка пе является точкой минимума) требуется увеличивать точность интегрирования исходной системы. [c.225]

Чтобы связать коэффициенты а с- топологией графа, изобразим ее элементарный представитель и зададим произвольным образом ориентацию его ребер (рис. III.13). Поскольку функция А (г) четная, то разность Г — Гр в показателе экспоненты (III.91) можно записать таким образом, чтобы номер i обозначал вершину, из которой выходит а-е ребро орграфа, а р — в которое оно входит. Тогда Ьга оказываются в точности равными элементам матрицы инциденций В орграфа, а аргумент б-функции (III.92) представляет собой умноженное на взятую со знаком минус мнимую единицу скалярное произведение г-й строки матрицы на вектор, составленный из импульсов Q = (qi, qa,. . qn). Одна из строк матрицы В является линейной комбинацией остальных, поэтому после (у—1) интегрирований, приводящих к появлению б-функций [92], в последнем интеграле аргумент окажется нулем и такой интеграл будет равным объему V. Таким образом, из и импульсов независимых останется только г, и интегрирование в их пространстве проводится по (Зг)-мерной поверхности S r, t), задаваемой топологией графа через его матрицу инциденций В матричным уравнением [c.237]

Основной задачей при использовании формул Эйлера, Рунге— Кутта и т. д. для решения системы (7.288) является выбор шага интегрирования, или фактора релаксации. При малых значениях последнего сходимость решения монотонная, но медленная. В случае же больших значений л возможно появление колебательности и даже расходимости решения. Система уравнений баланса является жесткой, т. е. имеет сильно различающиеся по абсолютной величине собственные значения. Поэтому ее решение существенно зависит от величины шага интегрирования. Очевидно, должно существовать оптимальное значение фактора релаксации, величина которого определяется собственными значениями матрицы системы уравнений и в конечном итоге количеством и концентрацией компонентов на тарелке. При расчете по формулам (7.288) фактор релаксации определяется через собственные зна- [c.367]

Каждому методу интегрирования можно сопоставить свою приближенную матрицу Z, с помощью которой алгоритм интегрирования запишется в виде i/ +i = г/ + (Уп)-Обозначив через бу и 6Z погрешности ъ у и Z, имеем Уп = = Уп + бг/ , Zn = Zn + OZ , откуда нетрудно получить [c.193]

Вычисления правой части уравнения для приращений координат и импульсов. В точке (р, д) вычисляются якобиан и правая часть уравнения (3.103). Если этот пункт выполняется первый раз, то шаг интегрирования выбирается из малости нормы матрицы II J/) II, в противном случае шаг интегрирования не изменяется. [c.84]

Для интегрирования системы уравнений на начальном интервале и уравнений (7.367), (7.368) на основном оказывается эффективной одношаговая неявная схема (7.10), где W— диагональная матрица корректирующих параметров, элементы которой равны [c.391]

Дифференцирование и интегрирование матриц. Если элементы матрицы являются функциями некоторой независимой переменной, то матрица может быть интегрируема или дифференцируема по этой переменной. [c.243]

При интегрировании матрицы, элементы которой являются функцией независимой переменной, интегрируется каждый элемент этой матрицы. Например, [c.243]

В последние десять лет широкое распространение получил алгоритм численного интегрирования жестких систем ОДУ, предложенный Гиром [263, 264]. Алгоритм Основан на использовании линейных многошаговых методов, удовлетворяющих требованиям жесткой устойчивости [263]. При вычислении предиктора применяется алгоритм Корсика [352], использующий интерполяционный полином для вычисленных в предыдущих точках значений вектора решения. За счет этого легко осуществляется переход к новому шагу интегрирования, что обычно представляет определенные трудности при традиционной реализации многошаговых методов. Вычисление корректора, как правило, осуществляется методом Ньютона, причем для матрицы [Е—(ЗоЛА] (Е — единичная матрица, Л — текущее значение шага, /Зо — параметр метода, А — якобиан системы) используется LU-раз-ложение, что, как известно [183], позволя т наиболее эффективно решать возникающие линейные системы алгебраических уравнений. При решении задачи Коши методом Г ира в каждой точке выбирается оптимальный порядок метода, обеспечивающий наибольший возможный шаг интегрирования. [c.136]

Это легко сделать, если учесть, что р[х(/с) Y(A )1 есть гауссовская плотность со средним х к) и матрицей ковариаций L к), а р [х (Л +1) ( Y (А )] — гауссовская плотность со средним X (f +1) и матрицей ковариаций L (А +1). Таким образом, результат, который получается после интегрирования выражения [c.454]

Проверка устойчивости, основанная на собственных значениях матрицы (IX, 206), выполняется непосредственно, когда Р и Р заданы в явном виде, но эти функции задаются аналитически только в исключительных случаях, поскольку для этого необходимо получить явное выражение для интеграла уравнений формы (VI, 21). Так как в общем случае неизбежно численное интегрирование, то более удобно выразить искомый якобиан в обозначениях функций /1 и /2 уравнений (VI, 27). С этой целью Рейли и Шмитц (1966 г.) определили матричную переменную [c.225]

Матрица Y,- определяется на каждом шаге интегрирования. Текущее значение х (т) на i-м шаге равно x, (t)=x, i + ы т] и х, (г) удовлетворяет уравнению [c.83]

Рассмотрим сначала методы локального анализа чувствительности. Простейшим методом вычисления частных производных компонент решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений по параметрам является поочередное изменение каждого из параметров на некоторую величину и численное интегрирование системы ОДУ. Таким образом, для расчета разностной аппроксимации матрицы частных производных =Э/,7 требуется численно проинтегрировать систему ОДУ 7 + 1 раз. Другой путь состоит в представлении в качестве динамических коэффициентов и составлении для них задачи Коши [420] [c.156]

Другой подход к интегрированию кинетических уравнений [11 ] состоит в преобразовании матрицы К в уравнении (11.39) к диагональной матрице у. с помощью преобразования подобйя Л = и Ки. Диагональными элементами матрицы Л являются собственные числа матрицы Кк,,. Вводя новую переменную — вектор У = преоб- [c.72]

Это естественно, так как локальное поведение исходной задачи в первом приближении определяется решением линейной задачи с матрицей, являющейся якобианом исходной системы. В теории используется также понятие абсолютной устойчивости метода. Метод называется абсолютно устойчивым, когда для заданного фиксированного шага интегрирования полная погрешность метода 1 —/(ij)l остается ограниченной при S В такой постановке задачи для каждого метода можно указать область на комплексной плоскости Л/), в которой данный метод обладает свойством абсолютной устойчивости. [c.131]

Здесь y + j. У,J — векторы решений ка (п +1)-м и п-м шагах интегрирования соответственно Е — единичная матрица А — якобиан системы, вычисленный в точке у . Дпя того чтобы решать неавтономные системы ОДУ, необходимо добавить еще одно уравнение f=1, f(0)=fo. [c.136]

Перенормировать матрицу 2 на новое значение шага интегрирования умножением на диагональную матрицу [c.139]

Теперь остается заметить, что транспортирование F совпадает с приведенной матрицей коциклов (разрезов) графа, определяемой выбранным остовом [47, 176]. С помощью перестановки строк и столбцов, а также замены строки алгебраической суммой ее с другой строкой такая матрица, как известно [176, 177], может быть преобразована в матрицу инциденций В. Следовательно, уравнения (111.93) —(III.95) определяют одну и ту же поверхность интегрирования S r, t). [c.238]

Данное уравнение совпадает с рассмотренным ранее урав-ненпем метода Марквардта [1131. Большая эффективность этого метода объясняется именно его связью с неявной разностной схемой, дающей лучшие результаты при интегрировании жестких систем дифференциа.пьных уравнений. Правда, за эффективность приходится платить необходимостью решать дополнительную задачу проверки невырожденности и положительной определенности матрицы А + ЕГ- ). [c.220]

Подстановка этого выражения в (VII, 29) делает возможным численное интегрирование и нахождение собственных значений матрицы А. Макговин (1969 г.) провел необходимые вычисления при различных значениях п. для каждого из стационарных состояний (табл. УИ-1). Хотя для определения наибольшего собственного значения необходимо приближенное решение с шестью членами для всех стационарных состояний, ясно, что л = 2 было бы Д0стат0Ч1 0, если бы нас интересовали только знаки. Несколько иным образом аналогичный результат был получен Вэйем (1965 г.). [c.163]

Рассмотрим теперь метод [32], позволяющий достаточно эффективно находить минимум и не требующий ре-шенпя этой вспомогательной задачп. Мы уже отмечали, что вырождение минимума функции цели илп его плохая обусловленность проявляется в плохой обусловленности вариационной матрицы правой части системы (3.158). При интегрировании таких жестких систем лучшие результаты (но сравнению с разностными методами) дают методы, основанные на аппроксимации исходной градиентной системы более простыми и легко интегрируемыми системами. Такая аппроксилшция достигается за счет линеаризации правой части системы (3.158). Прп этом минимизация проводится на траектории спстемы [c.220]

Объем вычислений, проводимых при использовании метода коллокации для матриц малого порядка, значительно меньше, чем при применении метода Галеркина. Кроме того, необходимое преобразование матрицы более удобно, чем интегрирование. Заметим, что при использовании метода коллокации исключается появление интегралов (VII, 29). [c.165]

Известно [174], что поведение ошибки численного решения задачи Коши определяется спектром матрицы Якоби и(х) = Of/Dx. Если у матрицы J (х) действительная часть собственных значений положительна, то с ростом времени растет и норма ошибки, т.е. решение системы неустойчиво. В случае отрицательной действительной части собственнь1х значений норма ошибки уменьшается и решение устойчиво. При наличии чисто мнимых собственных значений норма ошибки, возникающая при численном интегрировании, не убывает, что приводит к ее накоплению. Уравнения движения для консервативных систем имеют в основном мнимые собственные значения матрицы Якоби, что и является причиной осцилля-ционного характера решений. Это обусловливает строгие требования к контролю точности численного решения. [c.79]

Таким образом, интегрирование системы линейных дифференциальных уравненЕва в соответствии с формулой (7.10) сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, матрица коэффициентов которой имеет трехдиагональную структуру, поэтому для ее решения удобно воспользоваться методом прогонки, эффективным с точки зрения быстродействия и занимаемой памяти [96, 97]. [c.391]

В случае жестких систем, т.е. при большом разбрюсе характеристических времен, это очень эффективная процедура. Если же шаг интегрирования лимитируется в основном величиной нелинейности дифференциального уравнения, то можно использовать формулы, в которых удается избегать большего числа перемножения матриц — наиболее трудоемкой процедуры. Для этого можно использовать рекурренту [c.82]

Полагая ф (Л) = — jPix ( i). в обратном времени г+1 раз интегрируем систему = — w ", О Фг. = 0, 1,. .., г, вычисляем и запоминаем на заданной сетке элементы матрицы B t). Здесь заметим, что матрицу B(t) можно заполнить по столбцам, выполняя последовательно интегрирование сопряженной системы на всем Г с разными начальными условиями. А можно организовать и одновременное интегрирование сопряженных систем, последовательно интегрируя каждую из них на один шаг. Тогда будет освобождаться массив, хранящий траекторию в пройденных узлах, и его можно использовать для запоминания B(t). [c.200]

Таким образом, задача поиска минимума тесно связана с задачей интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, причем "овражный" характер поверхности Ф(к) соответствует "жесткой" системе ОДУ, так как матрица Гессе Э Ф/Э ,Э/Гу целевой функции одновременно является якобианом системы обыкновенных дифференциальных уравнений, В том случае если эта матрица имеет различающиеся между собой на несколько порядков собственные значения, то возникают определенные математические трудности при численном решении задач минимизации и интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.163]

Заметим, что решение уравнения (5.41) по неявной схеме с оценкой локальной погрешности, например по скорости сходимости итераций, имеет тот же порядок точности и дает одинаковую величину выбирае мого шага интегрирования по сравнению с методом оценки локальной погрешности по разности между решениями по явной и неявной схемам. Это связано с тем, что и в том и в другом случае оценка зависит от одной и той же матрицы [ (difi /ди С(Л) ]. [c.144]

Таким образом, расчет состоит из двух попеременно выполняемых операций расчета матричных элементов Ртп и Зтп, вычисления вектора собственных значений е, и матрицы коэффициентов из (5.3). В зависимости от способа расчета матричных элементов методы расчета подразделяются на неэмпирические и полуэмпирн-ческие. В неэмпирических методах интегралы перекрывания и Рта вычисляются прямым интегрированием соответствующих подынтегральных выражений, построенных из аналитических выражений для АО. Эти выражения имеют, как правило, корректную угловую составляющую и тем или иным способом аппроксимированную радиальную используется слейтеровская аппроксимация, разложение в ряд по гауссианам или экспонентам и другие приемы. [c.193]

Символ [...]= означает, что после действия оператора на матрицу плотности штрихованные переменные заменяются на нештрихованные, и толыоэ после этого проводится интегрирование по переменным либо одного, либо двух электронов, В интегралах (4) и (5) индекс о обозначает набор спиновых переменных всех электронов, причем по всем этим переменным (индексам) проводится интегрирование в обычном для таких переменн 1Х смысле. [c.320]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология