Лагранжев подход

Интерполяционная формула Лагранжа. Другой подход к отысканию интерполяционного многочлена по 1-й узловой точке, известный как метод Лагранжа, заключается в следующем. [c.302]

Следует отметить, метод неопределенных множителей. Лагранжа позволяет выписать только необходимые условия экстремума для непрерывно дифференцируемых функций. Найденные при таком подходе значения х могут и не доставлять экстремального значения оптимизируемой функции, поэто.му для получения окончательного ответа необходимо проводить дополнительное исследование точек Х тем или иным методом, как это делалось ранее при рассмотрении методов классического анализа. [c.30]

Два метода описания движения жидкости. В гидродинамике существует два подхода к изучению движения жидкости метод Лагранжа и метод Эйлера. [c.39]

В восьми главах книги излагается материал, относящийся исключительно к теплообмену. Однако используемые методы и понятия имеют более широкий смысл. Они применимы для большого класса явлений, связанных с диссипацией энергии, тепло- и массообменом, электродинамикой и термодинамикой необратимых процессов. Кроме того, в книге сделана попытка возродить лагранжев подход в физике и показать, что он является частью единой системы и представляет собой эффективное средство анализа, позволяющее выработать единую точку зрения на эти процессы и выявить скрытые общие свойства и аналогии между совершенно различными типами явлений. В приложении и будет рассмотрен материал такого общего характера. [c.189]

Чисто лагранжев подход на фиксированной сетке в теоретическом плане более предпочтителен (по сравнению с подходом Эйлера, описываемым ниже), поскольку он свободен от влияния численной диффузии [8], связанного с наличием конвективных членов. Однако, несмотря на то что нет необходимости вычислять на каждой итерации матрицу коэффициентов в уравнении (4.65), непостоянство параметров в узлах сетки даже при установившейся скорости распространения пламени делает подход Лагранжа с вычислительной точки зрения значительно более трудоемким по сравнению с подходом Эйлера. Кроме того, использование переменной сетки может само по себе привести к проявлению численной диффузии . [c.88]

В данном разделе предлагается простой способ вывода необходимых условий оптимальности первого и второго порядков для общих дискретных задач управления циклическими адсорбционными процессами. Он основан на известных результатах нелинейного программирования и в отличие от традиционных подходов [62] предъявляет минимальные требования гладкости к данным задачи оптимизации. Доказательство принципа максимума, как и необходимых условий оптимальности второго порядка, проводится по одной схеме [63, 72] по части ограничений задачи строится варьированное семейство, содержащее исследуемый допустимый процесс по остальным ограничениям формируется вспомогательная задача нелинейного программирования с известным решением для данного решения записываются и потом расшифровываются локальные условия экстремума первого или второго порядка и затем устанавливается существование универсальных множителей Лагранжа, не зависящих от способа построения варьированного семейства. [c.185]

Один из подходов к решению задач с нелинейными ограничениями состоит в решении последовательности задач с линейными ограничениями, причем нелинейные части добавляются к вектору целевой функции с соответствующими множителями Лагранжа. [c.206]

Дадим теперь другую интерпретацию изложенному подходу. Рассмотрим функции Лагранжа [c.93]

Отношение (11.50) первоначально было получено из уравнений для возмущений (11.6) — (11.8). Теперь же мы используем его как основу для вариационного принципа, уравнениями Эйлера — Лагранжа которого будут уравнения для возмущений в предельном состоянии (стационарные состояния разд. 11.7). Такой подход применим лишь при условии, что при выводе уравнения (11.43) не было сделано дополнительных предположений. В противном случае мы должны были бы учесть эти дополнительные условия с помощью лагранжевых множителей. Именно так следовало бы поступить с условием несжимаемости = О [см. (11.25) —(11.26)]. Но мы хотим получить его как одно из уравнений Эйлера — Лагранжа, не употребляя лагранжевых множителей. С этой целью запишем (11.43) в полной форме [c.162]

Существует несколько способов решения этой задачи, но лучший подход к задаче на условный максимум был предложен Лагранжем и называется методом неопределенных множителей. В этом методе уравнение составляется вычитанием из уравнения (17.12) уравнения [c.529]

В тех случаях, когда такой подход не позволяет выявить приемлемый набор независимых стехиометрических отношений, равновесие можно непосредственно определить из уравнения (10.1) и уравнений материального баланса тех химических элементов, которые ограничивают минимизацию, исходя из того, что содержание каждого элемента в равновесной смеси остается тем же, что и в исходном веществе. Минимизацию энергии Гиббса, основанную на балансе химических элементов, наиболее легко осуществить по методу Лагранжа, который будет описан позднее. Имеются и другие методы проведения этой операции для сложного равновесия, причем в некоторых конкретных случаях они могут быть проще в исполнении, чем названный выще основной метод. [c.474]

Наибольшую сложность в подходе Эйлера — Лагранжа представляет собой учет обратного влияния дисперсной фазы на движение несущего потока, а также учет взаимодействия частиц дисперсной фазы друг с другом. При моделировании потоков газовзвесей с твердыми частицами турбулентная структура сплошной среды обычно рассчитывается на основе той или иной двухпараметрической к-Е модели турбулентности (см. подраздел 2.3.3). Влияние сил межфазного взаимодействия учитывается введением соответствующего источникового члена в уравнениях движения. Например, для стационарного осесимметричного турбулентного течения газа в вертикальной трубе уравнения движения можно записать как [c.203]

Несколько иной подход к определению оптимальных параметров узла контактирования полочных реакторов каталитической очистки газов содержится в [71], где эта задача решается методом неопределенных множителей Лагранжа. [c.162]

В данной работе предлагается подход, не использующий функцию Лагранжа, и позволяющий поэтому избежать тех трудностей, которые связаны с ее применением. [c.174]

Проведем оптимизацию каждого блока. Ясно, что поскольку всем множителям Лагранжа мы дали произвольные значения, равенства (1,11), вообще говоря, не будут выполняться. Отсюда возникает задача подбора таких множителей, чтобы равенства (1,11) выполнялись. Здесь уже проглядывает аналогия с предыдущей постановкой задачи. Эта аналогия будет полной, если мы сравним критерии оптимизации (XII,1) и (XII,11). Если обозначить через а через то критерии оптимизации в обоих случаях будут одинаковы. Следовательно, оба рассмотренных подхода приводят к одной и той же вычислительной процедуре, а введенные ранее цены 5/ и аг являются по существу множителями Лагранжа. [c.301]

Однако тот факт, что идеи Лагранжа оказались ошибочными, не означает, что теоретический подход в гидродинамике следует отвергнуть. Как мы видели в гл. II, есть большие основания считать уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости заслуживающими доверия. Наше рассмотрение теории следов мы закончим кратким обзором результатов, полученных к настоящему времени при помощи этих уравнений. Как и в случае кавитационного движения ( 49), многое может быть объяснено при помощи законов сохранения. [c.115]

Изложенный ниже подход к решению таких задач дается без строгого доказательства. Соответствующие математические формулы можно вывести самостоятельно по аналогии (см. выше) или используя метод Лагранжа для нахождения экстремума функции нескольких переменных с дополнительным условием. Впрочем, стро- [c.202]

Наконец, возможен и иной подход к получению условий оптимальности. При таком подходе, называемом в данной книге модульным (см. гл. II, III), для каждого вида критерия и условия (связи, ограничения) заранее выписываются так называемые модули (блоки), из которых для каждой конкретной задачи оптимизации строится (по определенному правилу) обобщенный функционал Лагранжа и его подынтегральное выражение — функция Лагранжа. Далее для этой функции по единообразной методике выписывают необходимые или достаточные условия оптимальности. [c.35]

Для решения общей задачи нелинейного программирования можно применять также метод множителей Лагранжа. Ради простоты изложим идею этого подхода для случая, когда ограничения типа неравенств (Д. 10) отсутствуют. [c.373]

Керр [54] описывает способ проверки пересечения эллипсоидов, который включает последовательное нахождение единственной общей для обоих эллипсоидов точки X, что является достаточным и необходимым условием пересечения. Способ проверки сводится к поиску точки X, удовлетворяющей задаче нелинейной оптимизации, просто решаемой, если известен связанный с этой задачей скалярный множитель Лагранжа. Для определения множителя Лагранжа намечена последовательная аппроксимационная итеративная процедура. Такой, использующий доверительную область, подход к определению [c.176]

Приемлемость такой формы записи для учета взаимодействия с внешним окружением достигается здесь за счет введения интеграла по точной 4-форме, так как этот интеграл можно с помощью теоремы Стокса превратить в поверхностный интеграл. Очевидно, что не любая из точных 4-форм подходит для этой цели, и результат будет зависеть от выбора уравнений Эйлера — Лагранжа во внутренних точках тела. Выбранная точная 4-форма должна оставлять инвариантными уравнения Эйлера — Лагранжа классической теории упругости, так как вся эта теория исходит из функционала действия [c.96]

Для решения задач о распределении с ограниченными ресурсами лучше всего подходит метод множителей Лагранжа. Пример получения решения этим методом был показан в разд. 6. [c.67]

Простейший подход к решению задачи с ограничениями типа неравенств и вообще задач с любыми другими ограничениями состоит в том, что уравнения Эйлера — Лагранжа решаются без учета ограничений. Рассмотрение результатов покажет, что ограничения, если они и есть, нарушены. Этот подход, изумительный по простоте, иногда все же дает любопытные результаты и позволяет сравнить решения задачи с ограничениями и без них. [c.106]

При оптимизации по двум переменным Ia и Wh поиск значительно сложнее, чем в случае минимизации только по одной переменной. Здесь применим подход, описанный в разд. 3. Определение подходящего значения множителя Лагранжа % производится методом проб и ошибок, который описан в разд. 19 гл. 5. [c.284]

Для получения условий оптимальности, т.е. соотношений, которым должно удовлетворять оптимальное решение, если оно существует, воспользуемся модульным подходом [60], [61]. Его суть состоит в том, что для широкого класса задач условия оптимальности формулируются единообразно через стандартную конструкцию - обобщенную функцию Лагранжа К. Вид этой функции зависит от того, каковы критерий оптимальности и связи между переменными. Поэтому прежде, чем сформулировать условия оптимальности, необходимо ввести два правила правило составления функции Л и правило разбиения искомых переменных на три категории-функциональные составляющие первой и второй групп и параметры. [c.186]

Один из подходов, гарантирующих, что 5 будут собственными функциями операторов К, состоит, разумеется, просто в таком выборе пробных функций, когда каждая из них уже принадлежит рассматриваемому классу. Аналогично этому в последние несколько лет появилось множество работ, в которых (обычно при использовании техники множителей Лагранжа) на сразу накладываются ограничения — чтобы они обладали разнообразными свойствами и удовлетворяли разнообразным теоремам (см., например 131). Однако ниже нас будут интересовать более общие возможности, когда теоремы удовлетворяются, так сказать, неким естественным образом. [c.101]

Синтетические каучуки также получают в аппаратах с барботажем газа через слои жидкой реакционной массы. Числешшй расчет гидродинамики подобных течений чрезвычайно сложен и существуют три основных принципиально разных подхода к описанию двухфазных потоков [33-35] модель взаимопроникающих континуумов (в зарубежной литературе называемый Эйлеровым подходом и заключающийся во введении в уравнения движения для каждой из фаз взаимодействия между ними), Лагранжев подход, состоящий в интегрировании по траекториям дискретных частиц, и [c.86]

Существуют два граничных класса течений (см. раздел 1.5), а именно течения с частицами, обладающими предельно малой инерционно стью (случай равновесного течения) и течения с предельно малой концентрацией дисперсной фазы (режим одиничных частиц, когда их присутствие не оказывает влияния на течение несущего газа). Указанные классы течений позволяют использовать упрощенные математические модели, а именно односкоростную однотемпературную диффузионную (эйлеров подход) для малоинерционных частиц и приближение одиночной частицы (лагранжев подход) для слабоконцентрированного течения. [c.36]

Лагранжев подход. Изучение закономерностей поведения частиц в известном поле скоростей несущей фазы представляет как самостоятельный интерес при расчете слабозапыленных течений без обратного влияния дисперсной фазы на характеристики газа, так и может являться неотъемлемой частью процесса построения сложных математических моделей для описания самых различных классов гетерогенных потоков. [c.38]

Описанная выше процедура формирования модели (1) называется эйлеровой [4]. Наряду с указаннным эйлеровым подходом к построению моделей переноса, широко практикуется альтернативный лагранжев подход. Суть последнего, грубо говоря, состоит в следующем. [c.176]

В зависимости от способа минимизации штрафных функций МАВ или МП вычислительные методы идентификации делятся на две группы прямые и косвенные. Первую группу составляют методы непосредственной минимизации штрафной функции на каждом шаге интервала наблюдения. К ним относится градиентный метод и его многочисленные модификации, метод стохастической аппроксимации и др. Второй подход к решению задачи идентификации состоит в применении принципов теории оптимального управления на каждом шаге итерации. В частности, для минимизации штрафных функций применяется принцип максимума Понтрягина, метод неопределенных множителей Лагранжа и др. При этом соответствуюш ая система канонических уравнений с необходимыми граничными условиями образует характерную нелинейную двухточечную (начало и конец интервала наблюдения) краевую задачу (ДТКЗ), решение которой представляет искомую оценку для заданного интервала наблюдения. Вычислительные методы решения указанной ДТКЗ образуют группу так называемых непрямых вычислительных методов решения задач идентификации. К ним можно отнести метод квазилинеаризации, метод инвариантного погружения, метод прогонки и др. [c.494]

Описанный выше подход развит Муртафом и Сондерсом [76], и вычислительный эксперимент подтвердил, что алгоритм, основанный на использовании множителей Лагранжа, оказался более быстрым и надежным (в смысле сходимости), чем простая последовательная линеаризация. [c.208]

Для оптимизации ХТС успешно применяется система под названием МИНОС [95], в которой используется комбинация методов модифицированной функции Лагранжа, приведенного градиента и линейного программирования. Так как эта система может служить прототипом комбинаций разных методов и подходов, остановимся на ней более подробно. [c.234]

На базе описанной общей схемы ниже обсуждены два декомпозиционных метода, один из которых основан на применении метода множителей Лагранжа (методом цен [40]), а другой — на принципе закрепления входных и выходных переменных блоков схемы [41]. Кроме того, кратко рассмотрены метод подоптимизации [8, с. 199], а также общий подход к построению одного класса декомпозиционных методов. [c.174]

II W VW 4ij обозначен элемент матрицы W EW, стоящей на пересечении i-той строки и /-Г0 столбца. К сожалению, в данном случае условие (V,25) не удается так же просто учесть, как условие (V, 16) в предыдущем случае, поэтому каждое соотношение должно быть учтено в функции Лагранжа с помощью соответствующего множителя Лагранжа. В этом случае задача определения множителей Лагранжа становится трудоемкой, поскольку требует решения системы линейных уравнений большой размерности. Причем чем сильнее будет разреженность гессиана, тем больше будет условий типа (V, 25) и Teivi сложнее будет определение множителей Лагранжа. В связи с этим был предложен следующий подход [114]. Пусть, как и прежде, Mi характеризует множество нулевых элементов, а Aij — пустое множество. Вначале найдем обычным путем матрицу В, которая обеспечивает хорошую работу квазиньютоновского метода пусть, например, это будет матрица (III, 80). Для простоты обозначим ее через В. Естественно, что структура матрицы G в ней не будет отражена, и, вообще говоря, она не будет содержать нулевых элементов. Поставим теперь задачу найти матрицу В, определяемую формулой [c.177]

В [32] разработана нестационарная двумерная модель турбулентного течения в аппарате с механическим перемешивающим устройством. Она основывается на к-е модели турбулентности и использует подход Лагранжа для движения частиц, вводимых в поток в качестве индикатора поведения перемешиваемой среды. Основным достоинством модели является возможность использования достаточно грубой сетки (20x30), которая тем не менее дает весьма реалистичное описание поведения перемепгаваемой жидкости в аппарате промышленного масштаба. [c.85]

Возможен и другой подход, если процесс алгебраически возможен, т перменных можно заместить, чтобы выразить / как функцию п - т перменных, нахождение экстремума которой выполняется обычным образом. Часто, однако, эта процедура более трудоемка, а если фк математически сложно выразить, то вообще неосуществима. Формальное доказательство метода множителей Лагранжа можно найти в обычных курсах высшей математики, например в Курсе высшей математики Смирнова [758]. [c.494]

В настоящее время при исследовании многофазных турбулентных потоков наряду с континуальным подходом получают развитие модели, построенные в рамках эйлерово-лагранжевого способа описания движения смеси [2, 3, 14, 19-24]. В этих моделях движение несущей среды моделируется в координатах Эйлера уравнениями Навье — Стокса с источниковыми членами, учитывающими межфазное взаимодействие, а перемещение частиц дисперсной фазы определяется в координатах Лагранжа с применением методов Монте-Карло, моделирующих турбулентные пу и>сации сплошной среды. В результате расчетов получается набор траекторий движения отдельных частиц, которые соответствующим образом усредняются для получения тех или иных характеристик потока. [c.203]

Для построения математической модели барботажной колонны, позволяющей смоделировать сложное движение многофазного газо-жидкостного турбулентного потока, был применен подход Эйлера — Лагранжа. На первом этапе находилось поле скоростей циркуляционных течений газо-жидкостного потока в колонне заданной геометрии из приближенного решения уравнений Навье — Стокса. На рис. 3.3.6.2 показано расчетное поле скоростей в барботажной колонне. Средние скорости Щ1ркуляции в восходящем потоке = 0,4 м/с, в нисходящем Мн = 0,17 м/с. Коэффициент псевдотурбулентной диффузии пузырей (из опытных данных) — 0,0003 м /с. [c.206]

Важным и полезным для исследования задач условной оптимизации является понятие о расширении экстремальной задачи. Оно позволяет подчеркнуть взаимосвязь таких различных подходов, как метод Лагранжа, метод штрафов, переход к осред-ненной постановке и др. Основное внимание будет уделено изложению и пояснению методики перехода от условий задачи (критерия оптимальности, связей и ограничений) к условиям, выделяющим оптимальные решения. Конструкции, которые будут приведены, позволяют провести такой переход по определенным правилам для произвольной задачи из очень широкого класса задач оптимизации. Важно и то обстоятельство, что изменения в постановке задачи легко учесть при составлении условий оптимальности решения. [c.47]

При рассмотренном подходе к получению условий оптимальности свойства множителей Лагранжа Я зависит от вида функции Я, который, в свою очередь, зависит от конкретной задачи. Теорема 2 утверждает, что если решение задачи существует, то найдутся множители Лагранжа, удовлетворяющие системе условий (3.18) — (3.20), которую решают совместно с уравнениями связей и активных ограничений и условиями дополняющей нежесткости. Эти уравнения и определяют функциональные особенности множителей Лагранжа в каждом [c.69]

Если не вводить услобие (3.31) ъ R, а учитывать его при вычислении верхней грани R по и, то условие (3.18) не изменится, но задачу максимума Я нужно будет искать не на множестве Vu, а при выполнении условия (3.31), т. е. мы придем к задаче условного максимума Я. Если последнюю решать с применением метода Лагранжа, то получим те же соотношения, которые были найдены с введением условия (3.31) в функцию R. Однако, когда множество Vu состоит из изолированных точек или /о не дифференцируема по и, то задачу условного максимума можно решать, не используя метод Лагранжа. В этом случае два указанных подхода не эквивалентны. [c.73]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология