Перколяция, теория

Характерной особенностью рандомизированных решеток является существование наряду со связной системой элементов несвязных комплексов (кластеров) из конечного числа элементов, моделирующих закрытые поры. В большинстве других применяемых в настоящее время моделей пористых сред явно или косвенно предполагается полная связанность порового пространства и доступность всех его участков, что зачастую не соответствует действительности. Пористость рандомизированной решетки может быть вычислена по формуле е = (1 — др) в- Рандомизированные решетки успешно применяются для анализа взаимного распределения фаз в пористых средах. Наиболее распространенным методом моделирования процессов в пористых средах является теория перколяции, возникшая из задачи о просачивании жидкости в пористой среде [49]. В перколяционной модели пространство пор представляется в виде бесконечной капиллярной решетки, в которой проницаемой для жидкости является только часть пор. Возможны два типа рассмотрения перколяция по связям (все узлы решетки проницаемы, а связи делятся на проницаемые и непроницаемые) или перколяция по узлам (все связи считаются проницаемыми, а узлы делятся на проницаемые и непроницаемые). Возможность бесконечного распространения жидкости в перколяционной решетке обусловлена наличием связных областей порового пространства. Если связность порового пространства невысока, то просачивания не происходит. Таким образом, существует минимальное значение связности решетки Су, необходимое для образования бесконечной связной системы. Оно определяется топологией решетки и называется порогом перколяции [50]. [c.137]

На русском языке хорошее введение в теорию перколяции имеется в гл. 4 книги [40 ]. — Прим, перев. [c.154]

Принципиальная особенность, отличающая решетку Бете от всех остальных, заключается в том, что для них не удается получить формулы типа (1.9), (1.10), которые позволили бы найти точное решение перечислительной задачи. Однако в теории перколяции, которая представляет собой быстро развивающуюся область физики неупорядоченных систем, разработаны эффективные мето- [c.184]

Вероятности этих двух случайных событий равны соответственно р и 1 — р. Следовательно, в такой модели кластеры состоят из случайно распределенных мономерных звеньев, соединенных случайным образом химическими связями (см. рис. 1.27, в). Предельный случай р = 1, когда любые два занятых смежных узла обязательно соединены занятой связью, соответствует хорошо известной в теории перколяции задаче узлов [93] (рис. 1.27, б). Хотя в этой модели с одним параметром величина ф в точке перехода отличается от той р, которая получается в задаче связей , однако значения критических индексов в обеих моделях оказываются одинаковыми [92]. [c.185]

К этому же классу эквивалентности, по-видимому, относится и более общая двухпараметрическая модель случайной перколяции по узлам и связям [103—105], в которой имеется уже не точка, а линия гелеобразования (рис. 1.28). Критическая размерность пространства для всех этих моделей равна шести, а поэтому не удивительно, что в реальном трехмерном пространстве значения критических индексов перколяционной и классической теорий существенно различаются (табл. 1). Поэтому экспериментальное определение асимптотических зависимостей характеристик реальных полимерных систем в области универсальности дает возможность решить вопрос о применимости той или иной из этих теорий [88, 97]. [c.186]

Таким образом, корреляторы % п х отличаются друг от друга лишь постоянным множителем. В теории перколяции х(г) называется функцией парной связности, а аналогичное усреднение коррелятора Хг, 5 по изомерам одной и той же степени полимеризации I совпадает с профилем плотности кластера из I узлов [92. [c.218]

Этим мы ограничим изложение необходимых общих положений, на которых базируется наш курс физики полимеров. Прежде чем переходить к основному материалу, советуем хотя бы поверхностно ознакомиться с Приложениями 1 и П в последнем описаны новые подходы к характеристике сильно неоднородных неупорядоченных систем, применяемые в теориях перколяции и фракталов. [c.32]

II. Теория перколяции и фрактальный подход к описанию свойств пространственно-неоднородных систем [c.406]

Скейлинговые законы, даваемые моделью перколяции, о которой говорилось выше, сильно отличаются от предсказаний, даваемых классической теорией, т.е. приближением деревьев [16, 17] [c.159]

Расчет зависимости от представляет собой абстрактную математическую задачу, которая решается в теории перколяции [2], где вероятность названа перколяционной вероятностью. Теоретические зависимости для некото- [c.70]

Рассмотрен основанный на теории перколяции алгоритм расчета мезопористой структуры адсорбентов по изотермам адсорбции с капиллярно-конденсационным гистерезисом. [c.270]

В приложении понятий теории перколяции к описанию биологических мембран перколяционный кластер может представлять собой непрерывный путь для диффузии мембранных белков. В таком случае при уменьшении доли пространства, доступного для перемещения белков, ниже порогового, Жс, перколяционный кластер разбивается на мелкие кластеры, не связанные между собой, и, как следствие, диффузия на большие расстояния (в скелете перколяционного кластера) становится невозможной. [c.269]

Альтернативный вариант интерпретации фазовых проницаемостей основан на представлениях теории перколяции, согласно которой изучается вероятность возникновения сплошной цепочки норовых каналов, занятой только одной фазой [102, 207]. [c.50]

Прежде всего, авторы получили обобщение теории перколяции на случай произвольного распределения проводимостей элементов сетки. Техника представления бесконечного кластера в виде иерархического ряда деревьев (так называемая модель г-цепочек) позволяет получить проводимость стохастической решетки в виде явной формулы. [c.9]

Проводимость среды (коэффициент проницаемости или электропроводности) существенно зависит от структуры ее норового пространства. В случае хаотического распределения проводящих каналов в среде топология порового пространства может быть описана с использованием представлений теории перколяции [1-5]. Однако существующие перколяционные модели предполагают определенную степень однородности проводящих структурных элементов среды, поскольку в теории перколяции все теоретические зависимости получены в предположении, что в среде есть только два типа структурных элементов проводящие и непроводящие. При этом полагается, что проводящие элементы обладают идентичной собственной проводимостью. В то же время в большинстве реальных сред соизмеримый вклад в эффективную проводимость могут давать группы проводящих элементов с существенно различными собственными проводимостями. Примером таких сред могут служить горные породы, обладающие исключительным многообразием структур порового пространства. [c.13]

ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТЕОРИИ ПЕРКОЛЯЦИИ [c.13]

Теория перколяции (протекания) и ряд ее приложений к различным задачам математической физики достаточно подробно изложены в обзорных работах [1, 3-5]. Приведем лишь основные положения теории перколяции, необходимые в дальнейшем для построения моделей, описывающих проводимость среды с различной структурой порового пространства. [c.13]

Таким образом, теория перколяции - наука о формировании областей связности элементов с определенными свойствами (кластеров) при условии, что связь каждого элемента со своими соседями носит случайный характер (но осуществляется вполне определенным способом). Очевидно, что явления, описываемые теорией перколяции, относятся к разряду так называемых критических явлений, которые характеризуются особой критической точкой, в которой наиболее важное с точки зрения рассматриваемого процесса свойство системы качественно меняется. Образование БК и есть, по существу, фазовый переход второго рода, характеризуемый с количественной стороны набором универсальных критических показателей. Универсальный характер этих показателей заключается в том, что они не зависят от конкретного вида модели, т.е. типа решетки, а определяются лишь размерностью пространства. Этот основной постулат теории перколяции базируется на анализе огромного количества результатов численного моделирования процесса формирования БК на решетках различного типа. Однако в простейших случаях, например в случае плоской квадратной решетки, могут быть получены и аналитические решения [5]. В теории перколяции показано также, что, несмотря на случайный характер распределения проводящих связей (узлов) в решетке, имеет место вполне определенное пороговое значение величины вероятности проводимости связи, при котором в бесконечной решетке возникает проводимость. Это пороговое значение зависит лишь от типа решетки и размерности задачи и не зависит от конкретной реализации распределения проводящих связей в решетке. В конечной системе порог протекания зависит от конкретной реализации распределения проводящих связей, т.е. является величиной случайной. С увеличением размеров решетки величина флуктуации положения порога протекания уменьшается и значение порога протекания стремится к величине, предсказываемой теорией перколяции. При этом 5 - ширина критической области, в пределы которой с подавляющей вероятностью попадают значения порога протекания решетки конечного размера, уменьшается по закону 5 г где число [c.14]

Электропроводность вблизи порога протекания. В рамках теор перколяции показано, что с ростом вероятности Р или Р электр [c.16]

Функция распределения № 2 отличается от распределения, которое обычно используется в теории перколяции, лишь тем, что вместо непроводящих связей в решетку вводятся связи с малой, но отличной от нуля проводимостью. Численное моделирование показывает, что введение в решетку вместо "нулевых" связей соответствующих связей с малой проводимостью кардинально меняет характер зависимости 2(ж). [c.23]

Диффузия в среде с препятствиями может быть описана теорией перколяции (от лат. per olatio — просачивание)—одним из разделов теоретической физики. Основные понятия этой теории можно проиллюстрировать на примере решеточной перколяции. Представим себе решетку, состоящую из узлов и связей, в которой каждый узел может существовать с вероятностью р (рис. XXVI.6 р можно рассматривать и как концентрацию узлов). Совокупность узлов, связанных друг с другом расстоянием ближайшего соседства, образует кластер. Существует критическая концентрация узлов ро (перколяционный порог), выше которой в системе возникает впервые перколяционный кластер, пронизывающий всю решетку (рис. XXVI.7). Основная часть перколяционного кластера без тупиковых ветвей получила название скелета перколяционного кластера. [c.267]

Другой разрабатываемый подход к построению эмпирических функций модели трехфазной фильтрации связан с использованием теории перколяции. Но практические результаты на этом перспективном пути еще не достигнуты. [c.289]

Впервые обратили внимание на аналогии между гелеобразованием в полимерных системах и перколяцией Фишер и Эссам еш е в 1961 г. [94]. Они, в частности, вывели формулу (1.11) путем рассмотрения перколяции на решетке Бете и отметили связь этого результата с теорией ветвящихся процессов. Эти авторы также сопоставили перколяционный переход, когда в ансамбле впервые появляется бесконечный кластер, с точкой гелеобразования. Однако лишь в работе Штауффера [95] были детально сформулированы характеристики и понятия ансамбля разветвленных полимеров, образующихся в процессе ноликонденсации, в терминах перколяционной системы. Здесь же впервые было акцентировано внимание на отличии критических индексов перколяционной и классической теорий гелеобразования. Практически в то же время Де Жен предложил [96] рассматривать процесс сшивания линейных макромолекул как некую специальную перколяционную задачу. Начиная с этих публикаций [95, 96], скейлинговое рассмотрение гелеобразования, а также расплавов и растворов разветвленных макромолекул получило широкое развитие [87, 88, 90, 97—101]. В этих работах были, в частности, рассмотрены более сложные нерколяционные модели, принимающие во внимание факторы, не учтенные в простейшем варианте задачи перколяции. [c.185]

Принципиальное значение для теории перколяции имеют очень важные работы Фортуина и Кастелейна [118, 119], впервые установившие связь между геометрическими и общеизвестными термическими явлениями. Для последних имеется достаточно хорошо разработанная скейлинговая теория [85, 86], результаты которой можно непосредственно использовать при нахождении асимптотических зависимостей для перколяционных задач, минуя их комбинаторное рассмотрение. [c.190]

Это обстоятельство, ио-вндимому, послужило одной из основных причин прпнципиальной дискуссии между участниками конференции по полимерным сеткам в 1980 г. [128, 129]. Штауффер отрицал применимость классической теории Флори в окрестности гель-точки, поскольку она дает, по его мнению, неправильные значения индексов [128]. Приводя соображения, основанные на аналогии геле-образования с фазовыми переходами, автор [128] предлагает использовать для описания гелеобразования теорию перколяции. В свою очередь сторонники классической теории [129] придают ей универсальный характер, полагая, что иосле некоторых модификаций такая теория среднего ноля в принциие способна описать гелеобра-зованне в любой гомогенной системе. Существование двух таких [c.193]

Такого же рода процедура (1.61) позволила авторам [118, 119] установить связь между перколяционной теоретико-вероятностной моделью с решеточной статистической моделью Поттса с 1 + /г состояниями. Производная но п от ее свободной энергии, отнесенной на один узел решетки, оказывается при г = О равной производящей функции распределения кластеров по числу их узлов, а перколяци-онному переходу отвечает фазовый переход второго рода в модели Поттса. Такое соответствие, позволяющее исиользовать хорошо разработанные методы теории фазовых переходов для решения комбинаторно-геометрических задач теории перколяции, дало возможность получить целый ряд важных результатов в этой области [92, 93]. [c.283]

Для расчета корреляторов плотности звеньев отдельных молекул нужно вычислить соответствующие производные по InSv(r) от ПФ (IV.46). Если поменять порядок дифференцирования функционала Q но этим аргументам (виртуальным нолям (IV.93)) и по ге, то можно прийти к интересному заключению. Оказывается, что для вычисления /с-точечного коррелятора молекулярной плотности достаточно найти аналогичный коррелятор полной плотности в системе раскрашенных звеньев, а затем стереть их цвета взятием производной по п при ге 0. В теории перколяции таким же способом выражается функция парной связности через производную двухточечной корреляционной функции модели Поттса по числу ее компонент q нри q-> i [120] [c.283]

В реальных пористых телах испарение конденсата из внутр. частей гранулы зав11сит от заполненности тех пор, к-рые расположены ближе к ее периферии. Поэтому мн. поры оказьшаются блокированными и их освобождение от конденсата фактически определяется не их размерами, а размерами блокирующих пор. Более точная оценка пористой структуры возможна на основе решеточных моделей, учитывающих взаимосвязь пор, и на основе теории перколяции и фрактальной геометрии в приложении к описанию капиллярной конденсации в системах из большого числа случайно связанных элементов. Удается изучать среднюю часть ш-тервала размеров пор в мезо- и макропористой структурах. Полное изучение всех пор возможно лишь комплексным применением нескольких независимых методов. [c.70]

Задачи такого типа впервые рассматривали Хэмерсли для обозначения их он ввел термин перколяция. В настоящее время существует много обзоров по теории перколяции [20, 21] , и здесь мы приводим только некоторые результаты, относящиеся к поведению системы вблизи порога гелеобразования. [c.154]

Подытоживая сказанное, отметим при гелеобразовании в присутствии растворителя имеется тенденция к сегрегации на фракции. Тем не менее при надлежащем выборе концентрации возможно наблюдение перехода золь - гель. Критические показатели при таком переходе должны быть такими же, как в теории перколяции. Последнее обстоятельство с более формальной точки зрения обсуждалось в недавней работе Любенски и Исаксона, которые исследовали раствор линейных цепей и сшивающего агента в атермическом растворителе [c.170]

В связи с большим практическим значением комбинированных материалов рядом авторов выполнены теоретические расчеты, посвященные установлению количественной взаимосвязи между строением и составом композиций, а также свойствами компонентов, с одной стороны, и свойствами композиций, с другой стороны [50, гл. 1]. Оделевским предложен метод расчета обобщенной проводимости гетерогенных композиций [51]. Полученные этим автором соотношения для обобщенной проводимости можно использовать для расчета электрической ироводимости, теплопроводности, магнитной и диэлектрической проницаемости композиции. Однако эти соотношения имеют ограниченную применимость, так как не могут предсказать изменение проводимости композиции во всем диапазоне составов и справедливы лишь при сравнительно небольшом различнии значений проводимости полимера и наполнителя. Наиболее перспективна для разработки моделей проводимости таких систем теория протекания (перколяции) [52, гл. 3 53, гл. 5] Эта теория, учитывающая возникновение агрегатов частиц (кластеров), позволяет описать зависимость электрической проводимости наполненной системы во всем диапазоне составов. [c.74]

Важность эффектов взаимосвязи пор и необходимость их учета при анализе капиллярных явлений неоднократно обсз ждались в литературе начиная с 50-х годов [1] Однако только в последние годы благодаря развитию математических методов теории перколяции появилась возможность достаточно строгого анализа таких процессов, как капиллярная конденсация, десорбция, вдавливание и извлечение ртути, на новом качественном уровне, а именно не в системе независимых элементарных пор, а в пространственных решетках, образованных этими порами. Обстоятельный обзор работ, посвященных применению решеточных моделей пористых материалов для исследования капиллярных явлений, содержится в монографии [2]. [c.66]

За последнее время достигнут определенный прогресс в области теоретических основ методов расчета параметров пористой структуры. Создана теория распределения тонких слоев жидкости в капиллярных системах с учетом одновременного действия капиллярных и поверхностных сил [I]. Уравнение Дерягина—де Бура—Брук-хоффа прищло на смену уравнению Кельвина. На базе этого уравнения разработаны новые методы расчета распределения пор по размерам [2, 3]. Введение рещеточных моделей пространства пор и математических методов теории перколяции позволило учесть эффекты взаимосвязи пор разных размеров и разработать метод расчета распределения размеров пор, в котором одновременно используется информация об изотермах адсорбции и десорбции в области гистерезиса (4, 5]. Вместе с тем вопрос о применимости термодинамики обратимых процессов для анализа гистерезисных явлений капиллярной конденсации и десорбции остался вне поля зрения исследователей, хотя с точки зрения теории он является, по-видимому, ключевым. [c.237]

На основании самых общих представлений о структуре растворов низкомолекулярных веществ в полимерах можно выделить по крайней мере три типа главных структурных элементов, предопределяющих его основные физические характеристики ассоциаты молекул пенетранта с функциональными группами сегментов макромолекул, кластеры молекул пенетранта и статистически распределенные в матрице полимера молекулы сорбата, подчиняющиеся либо закономерностям Генри, либо Флори — Хаггинса. Анализ изотерм сорбции с помощью теорий БЭТ, Флори — Хаггинса, Генри, двойной сорбции , Зимма — Лунберга (см. гл. 8) позволяет установить границы появления и развития этих структурных элементов. Например, кластеры из молекул пенетранта возникают вблизи границ совместимости, ассоциаты молекул — при низких активностях диффузанта и т. п. Если принять, что каждый из указанных типов структурных элементов характеризуется своим локальным коэффициентом диффузии ),, то образование в матрице вторичных структур может и должно приводить к появлению дополнительных составляющих в общем трансмембранном потоке. Так, естественно ожидать, а отдельные эксперименты это подтверждают [47, 86], что кл в кластерах молекул пенетранта выше Д, для статистически распределенных молекул. При коалесценции кластеров в объеме мембраны и образования бесконечного кластера, соединяющего две стороны мембраны, возникает канал , обладающий более высокой проницаемостью ( ) г, кл> 1 )- Образование такого канала происходит при вполне определенной концентрации кластеров (Скл 16%), как это следует из теории перколяции [138]. Поскольку образование кластеров, их разра- [c.72]

По мнению Гаваша и соавт. [21, 58, 61], для объяснения зависимости электропроводности мембраны от влагосодержания необходимо учитывать два фактора-. первое - это снижение элементарной скорости переноса противоиона от одной функциональной группы до другой, и второе -это изменение микроструктуры материала мембраны. Учет первого фактора на уровне двух соседних кластеров можно провести с помощью теории абсолютных скоростей реакции [61], а на уровне макрообъема мембраны - с помощью теории протекания (перколяции) (см. раздел 4.3). Однако при достаточно высоком влагосодержании происходит существенная перестройка микроструктуры мембраны и перколяционная модель перестает выполняться [21]. Учет фактора изменения структуры мембраны представляет значительные трудности разработанная Хсу и Гирке [55, 56] термомеханическая модель позволяет рассчитать некоторые геометрические парамеры структуры в области низких влагосодержаний (см. подраздел 1.1.2), однако описание более существенных структурных изменений мембраны а ростом ее влагосодержания остается пока нерешенной задачей. [c.207]

Любопытно отметить, что в области кластерообразования в соответствии с теорией перколяции возможно формирование вторичных структур — слияние кластеров (см. рис. 6.9) и образование так называемого бесконечного кластера [373]. Очевидно, что если /) Нз0кл>0 Н2 0св, то образование таких структур должно приводить к возрастанию дифференциальных коэффициентов паропроницаемости и диффузии. Экспериментально можно зафиксировать этот эффект, определяя коэффициент паропроницаемости при достаточно малом перепаде относительной влажности на различных участках изотермы сорбции, т. е. сканируя изотерму сорбции. Один из вариантов теории, описывающих формирование кластерных структур в экспериментах по газопроницаемости, приведен в работе [124]. [c.234]

Согласно теории перколяции (А. Л. Эфрос, 1982 D. Stauffer, 1985) свойства перколяционного кластера, в том числе диффузия в нем, описываются функциями вида [c.268]

Оказалось, что с уменьшением ж снижались как коэффициент латеральной диффузии белков, так и доля мобильной их фракции это изменение соответствовало предсказаниям теории перколяции — имело порог. Экспериментально определенные критические показатели хорошо совпадали с теоретическими. Рассмотрим это на следующих примерах. Известно, что белки способны к латеральной диффузии лишь в областях мембраны, занятых жидкими (жидкокристаллическими) липидами, следовательно, перколяционный кластер должен представлять собой кластер жидких липидов. Предположим, что в освещаемом участке клетки радиусом со [см. уравнение (XXVI.3.8)] находится перколяцяонный кластер. Восстановление флуоресценции после [c.269]

V- критический индекс (индекс радиуса корреляции), зависящий от размерности задачи, который будет определен ниже. Поскольку численное моделирование проводится на рещетках конечного размера, то результаты теории перколяции справедливы лишь для рещеток, содержащих достаточно большое число узлов (ТУЗ-Ю" ), когда размеры решетки можно считать макроскопическими по сравнению с размерами элементарной ячейки. При этом порог протекания определяется как предел, к которому стремится среднее значение порога протекания при увеличении числа узлов решетки. Приведем кратко основные результаты теории перколяции. [c.15]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология