Системы по интерполяционным уравнениям

Геометрически задача построения многочлена [х) степени п при интерполировании заключается в проведении кривой, проходящей через заданные точки. Уравнения вида (11—13) линейны относительно коэффициентов, поэтому аналитически определение коэффициентов интерполяционного многочлена для п точек сводится к решению системы линейных уравнений п -1- 1-го порядка, каждое из которых представляет собой выражение (11 — 13), записанное для определенной узловой точки [c.300]

Метод построения интерполяционного полинома х), изложенный выше, не является единственным. При наличии вычислительных машин он весьма удобен, поскольку сводится к системам линейных уравнений, программы решения которых, как правило, имеются для каждой машины. Однако при ручных расчетах или с помощью клавишных машин его использование сопряжено со значительными трудностями, особенно при высоких степенях полинома. [c.301]

Параметрические методы доопределения системы моментных уравнений, несмотря на их очевидность и логическую простоту получения решения, базируются на очень сильном исходном предположении о виде искомого распределения, которое обычно выбирают волевым методом. Этот недостаток в выборе доопределяющих уравнений можно устранить, если воспользоваться непараметрическими методами интерполяции для определения связей между целыми и дробными моментами на интервале времени и, Переходя к безразмерным переменным при помощи нормирования всех моментов на их значения в начале интервала, запишем интерполяционный полином Лагранжа [120] для оценки дробного момента в виде [c.103]

Рассмотренные алгоритмы расчета равновесия не зависят от вида интерполяционного уравнения, что позволяет рассматривать их как прием итерационного метода решения системы нелинейных уравнений фазового равновесия и материального баланса. [c.11]

Применяемые методы математического описания условий равновесия между жидкостью и паром, основанные на использовании интерполяционных уравнений, можно разделить на две группы 1. Эмпирические методы, заключающиеся в использовании уравнений, связывающих составы равновесных жидкой и паровой фаз. Эти уравнения составляются без учета требований термодинамики. 2. Полуэмпирические методы, основанные на использовании интерполяционных уравнений, удовлетворяющих термодинамическим требованиям. Рассмотрим интерполяционные методы описания условий равновесия между жидкостью и паром в бинарных и более сложных системах. [c.110]

Наиболее общий метод получения интерполяционных уравнений для описания зависимости коэффициентов активности компонентов от состава раствора в трех- и многокомпонентных системах заключается в том, что функция Ф выражается в виде уравнения с определяемыми эмпирическим путем константами, а коэффициенты активности получаются с помощью частных производных от этой функции. Если за независимые переменные состава тройного раствора принять Х1 и Х2, то получаются следующие выражения для определения частных производных функции Ф [c.117]

Наиболее распространенный в настоящее время метод расчета фазового равновесия в неидеальных системах основывается на том, что зависимость коэффициентов активности компонентов от состава описывается с помощью интерполяционных уравнений, кон- [c.40]

В связи с большим разнообразием взаимодействий молекул компонентов в растворах априори ясно, что интерполяционное уравнение какого-то одного типа не может достаточно точно и при этом наиболее экономно (с точки зрения числа подлежащих определению эмпирических констант) описывать условия фазового равновесия в любой системе. Выбор наилучшего типа уравнений должен основываться на физико-химической оценке характера отклонений от идеального поведения в рассматриваемой системе. Эта задача [c.203]

Выполненные расчеты показали, в соответствии с изложенным выше, что при использовании для расчета констант в интерполяционных уравнениях данных о фазовом равновесии при двух составах жидкой фазы наилучшее совпадение расчетных и экспериментальных величин получается, если выбранные составы жидкой фазы близки к смесям с содержанием по 1/3 и 2/3 молярной доли каждого компонента. Так, в системе этиловый спирт — вода при расчете констант в уравнениях Ван-Лаара по опытным данным о равновесии для жидкости с содержанием по 10 и 90 мол. % каждого компонента сопоставление экспериментальных данных с рассчитанными дает значение критерия Фишера Ф-560 и е-20,7, а при расчете констант по данным для смесей с содержанием по 30 и 70 мол. % компонентов получаются значения Ф = 0,5 и е = 0,31. Это обусловлено увеличением относительной погрешности экспериментов по мере приближения состава смесей к чистым компонентам и одновременно возрастающим влиянием этой погрешности на рассчитанные значения констант. [c.208]

Таким образом, рассмотрение результатов выполненных к настоящему времени исследований приводит к заключению, что для практических целей наиболее целесообразны и удобны интерполяционные уравнения с двумя константами, получаемые на основании использования термодинамических закономерностей. Эти уравнения в большинстве случаев достаточно точно описывают условия фазового равновесия в бинарных системах. Этим и следует объяснить широкое практическое применение уравнений Маргулеса, Ван-Лаара, а также Редлиха и Кистера в работах многих исследователей. Для более точных расчетов может быть рекомендовано уравнение Маргулеса с четырьмя константами. [c.211]

Трудоемкость расчета констант в интерполяционных уравнениях определяется их формой. Простые выражения (1У-272) и (1У-273) получаются для расчета констант в уравнениях Ван-Лаара и Маргулеса с двумя константами. Простые формулы получаются также для расчета любого числа констант в уравнениях Редлиха и Кистера (1У-252) и (1У-253), а также в уравнениях Маргулеса (1У-269), поскольку эти уравнения линейны относительно констант. Следовательно, при любом их числе расчет сводится к решению системы линейных уравнений первого порядка. [c.212]

Некоторым недостатком описанных выше методов расчета условий фазового равновесия с помощью интерполяционных уравнений является громоздкость вычислений. Для инженерных целей желательно иметь более простые методы расчета. Разработке таких методов благоприятствует отмеченная выше возможность расчета условий фазового равновесия в тройных и многокомпонентных системах по опытным данным о равновесии в бинарных системах. [c.347]

Однако описанный метод не получил практического применения из-за существенных ограничений, связанных с формой интерполяционного уравнения (239), которое не может отразить все возможное разнообразие форм поверхностей температур конденсации (или кипения) в тройных системах. [c.127]

Впервые Маргулес [272] предложил для описания условий фазового равновесия в бинарной системе выразить коэффициенты активности компонентов в виде степенных рядов, коэффициенты в которых подбираются так, чтобы удовлетворялось уравнение Дюгема — Маргулеса (82). В наиболее распространенной форме полученные Маргулесом интерполяционные уравнения с двумя эмпирическими коэффициентами имеют вид [c.211]

Первым шагом при математической обработке результатов опытов является графическая интерпретация зависимости исследованной величины от независимых параметров. Обычно эти зависимости представляют в прямоугольной системе координат, предполагая, что изменяется только один независимый параметр для различных значений других параметров получаются пучки кривых. Описанный способ имеет следующие цели 1) оценить точность измерений (разброс точек около интерполяционной кривой) 2) найти общую тенденцию изменений исследуемой величины 3) определить тип зависимости 4) установить, к какой группе предположительно принадлежит уравнение, описывающее явление 5) сопоставить результаты исследований с данными, основанными на теории явления. [c.36]

Наиболее общий метод получения расчетных уравнений заключается в представлении функции Ф в виде интерполяционных уравнений (с учетом того, что при лГ] = О и хг = О, Ф = 0) и по- следующем определении логарифмов коэффициентов активности. Это делается на основе следующих выкладок. Дифференцируя выражение Ф (88) для бинарной системы по правилам дифференцирования функции нескольких переменных, получаем [c.212]

При использовании интерполяционных уравнений для расчета условий равновесия между жидкостью и паром, как было показано выше, константы в этих уравнениях могут быть рассчитаны по весьма ограниченным экспериментальным данным. Однако естественное стремление к уменьшению объема необходимых экспериментальных исследований должно быть соразмерено с требованиями, предъявляемыми к точности данных о равновесии. Если эти данные получаются одним из описанных расчетных методов, то необходимо принимать во внимание возможные источники погрешностей. Прежде всего, погрешность неизбежна вследствие того, что принимаются априорные зависимости коэффициентов активности компонентов от состава смесей. Такие зависимости могут быть выражены применяемыми интерполяционными уравнениями. До сих пор отсутствуют критерии выбора наиболее приемлемого по форме уравнения для рассматриваемой конкретной системы. К тому же часто выбор того или иного интерполяционного уравнения бывает предопределен тем, что с помощью этого уравнения представлены данные о равновесии для других систем, имеющих отношение к рассматриваемому процессу разделения. Имеется одно общее правило, которым следует руководствоваться чем меньше отклонения от идеального поведения в рассматриваемой бинарной системе, тем меньше погрешности, связанные с использованием априорной зависимости коэффициентов активности компонентов от состава жидкости. Это относится ко всем без исключе- [c.224]

В последние десять лет широкое распространение получил алгоритм численного интегрирования жестких систем ОДУ, предложенный Гиром [263, 264]. Алгоритм Основан на использовании линейных многошаговых методов, удовлетворяющих требованиям жесткой устойчивости [263]. При вычислении предиктора применяется алгоритм Корсика [352], использующий интерполяционный полином для вычисленных в предыдущих точках значений вектора решения. За счет этого легко осуществляется переход к новому шагу интегрирования, что обычно представляет определенные трудности при традиционной реализации многошаговых методов. Вычисление корректора, как правило, осуществляется методом Ньютона, причем для матрицы [Е—(ЗоЛА] (Е — единичная матрица, Л — текущее значение шага, /Зо — параметр метода, А — якобиан системы) используется LU-раз-ложение, что, как известно [183], позволя т наиболее эффективно решать возникающие линейные системы алгебраических уравнений. При решении задачи Коши методом Г ира в каждой точке выбирается оптимальный порядок метода, обеспечивающий наибольший возможный шаг интегрирования. [c.136]

В этой программе число заданных точек, по которым вычисляются коэффициенты интерполяционных полиномов, не должно превышать 25. Поэтому максимальное число элементов одномерных массивов Х( ) и Y( ), элементы которых равны координатам заданных точек, и одномерных массивов Н( ), D( ) и К( ), используемых в программе для запоминания вспомогательных величин, равно 25. Максимальный порядок системы линейных уравнений равен, таким образом, 25, и двухмерный массив А( ), соответствую-ший расширенной матрице системы, имеет наибольший размер 25 X 26. [c.271]

Интерполяционные уравнения тройной системы кислород — аргон — азот [c.51]

Для проверки этого эффекта были численно определены первые пять моментов из системы уравнений (6.15) с начальными условиями (6.19) и при различных порядках интерполяции доопределяющих уравнений (5.98). Расчеты проводили по схеме Рунге — Кутта пятого порядка. Результаты расчетов первых двух моментов и параметров р1 и Ра при а — 0,25 и прежнем начальном условии представлены на рис. 6.2 и 6.7. Из рисунков видно, что повышение порядка интерполяционных формул приводит к нарушению устойчивости решения результирующей системы уравнений. Аналогичные данные были получены при определении моментов автомодельного решения из системы уравнений (6.25). Дробные моменты интерполировались по формуле (5.98). При а = 0,25 были получены следующие результаты [c.119]

Выберем в качестве интерполяционных узлов значения времени равные. 15 85 и 135 жин. Корни системы из трех уравнений таковы о= 11,43 д°——0,07 <72= 0.0001147. [c.287]

Начальные приближения других коэффициентов выбираются на основе физических представлений о динамических свойствах исследуемого объекта, что, конечно, затрудняет процедуру определения минимума Ф и требует задания ряда наборов а , Ь% или Т, Для не очень сложных структур (XI. 19) начальные приближения а (Я = О, I,..., п — 1), ((1 = 1, 2,., ., т) или можно определить интерполяционным способом. В этом случае ординаты А , определяемые по формулам (Х1.29, а) или (XI, 29, б) для (0j (/ = 1,2,. .., п + т), приравниваются величинам Л]. Корни получающейся системы нелинейных конечных уравнений находятся каким-либо приближенным способом на ЦВМ. Эта задача не менее сложна, чем определение минимума функции (XI. 30). Единственным преимуществом задачи отыскания величин Ь1. или Т, Гц интерполяционной системы является то, что здесь заранее известен минимум Ф = 0. [c.297]

Максимально возможная степень интерполяционного полинома достигается при п = т, где и — степень полинома, а /и — количество данных. При этом коэффициенты полинома (а,) будут найдены из условий его прохождения через все имеющиеся экспериментальные точки, что приводит к решению системы линейных алгебраических уравнений. Такая форма интерполяции [c.279]

Для построения интерполяционной математической модели системы, т. е. поиска уравнения регрессии, связывающего факторы с выходным параметром, была проведена серия опытов. Как ранее было сказано, выходным Параметром системы машина — питатель — сыпучий материал была принята средняя скорость заполнения матрицы, которая являлась критерием оценки значений [c.79]

В случае же нелинейных изотерм адсорбции рассматриваемые задачи неизмеримо усложняются. Этим объясняется и то обстоятельство, что вплоть до последнего времени такие задачи были исследованы лишь для случая одного размывающего эффекта и отдельных типов нелинейных изотерм [24]. Видимов, в дальнейшем для получения аналитических решений надо идти по пути упрощения некоторых уравнений исходной системы с сохранением нелинейных эффектов таким образом, чтобы адекватность математической модели реальному процессу сохранялась. Здесь встают сложные проблемы математического моделирования процессов адсорбции вообще и динамики адсорбции в неподвижном слое в частности, связанные с выбором простых интерполяционных уравнений кинетики адсорбции, нахождения пределов применимости уравнений и связи кинетических констант этих уравнений с параметрами структуры реальных зернистых адсорбентов. [c.60]

В литературе описан метод стандартизации масс-спектрометрических характеристик на основе полной ионизации, обеспечивающий использование табличных или расчетных величин [288]. Однако необходимость суммирования интенсивностей всех пиков в спектре делает метод излишне громоздким и трудоемким, а обязательное наличие системы введения постоянного объема образца ограничивает применение метода. Целесообразнее использовать для стандартизации более простые зависимости, связывающие аналитические коэффициенты с некоторыми постоянными величинами, в частности зависимости их от молекулярного веса [102]. Такая зависимость наблюдается в широком диапазоне молекулярных весов. Так, например, для коэффициентов чувствительности пиков молекулярных ионов в масс-спектрах метановых углеводородов С13Н28—СзоНб2 эта зависимость описывается кривой 1 (рис. 36). Кривые 2 и 5 на рис. 36 построены по интерполяционным уравнениям [c.157]

С. Ю. Павловым с сотрудниками была исследована точность описания около 100 бинарных систем, образованных углеводородами С4—С5 и важнейшими полярными экстрагентами, при помощи различных интерполяционных уравнений. Показано, что простейшие уравнения с одной настроечной константой (уравнения Маргулеса 2-го порядка и Гильдебранда — Скетчарда) не обеспечивают необходимой точности описания систем. Сравнительно низка точность и уравнений Маргулеса и Ван-Лаара с двумя константами. Уравнения Ван-Лаара и Маргулеса с Т ремя константами достаточно тоЧ(НЫ, но не позволяют рассчитывать величины коэффициентов активности компонентов в многокомпонентных системах непосредственно из данных о равновесии бинарных систем. Наиболее точными оказались уравнения Вильсона и NRTL. [c.55]

Наибольшее распространение для обработки и описания условий равновесия в бинарных системах получили интерполяционные уравнения, составленные с учетом термодинамических требований- Эти уравнения выражают зависимость логарифмов коэффициентов активности компонентов от состава в виде некоторых функций, константы в которых определяются по опытным данным. Уравнения, предложенные разными авторами, различаются видом этих функций и числом фигурируюЕцих в них эмпирических констант. [c.111]

Наиболее обстоятельное сравнение различных интерполяционных уравнений было выполнено в последнее время В. Ю. Аристо-вичем [80], сопоставившим расчеты по уравнениям Вооля (1У-242), Ван-Лаара (1У-222), Маргулеса (1У-246), Редлиха и Кистера (1У-252) и Хала (1У-263) с экспериментальными данными о равновесии между жидкостью и паром примерно в 50 бинарных системах различных типов. Использованные опытные данные были подвергнуты термодинамической проверке. Сопоставлялись уравнения с различным числом констант, причем константы в разных уравнениях рассчитывались на основании одного и того же количества экспериментальных дан- [c.206]

Интерполяционный метод выражения зависимости коэффициентов активности компонентов сложных систем от состава смесей, в значительной степени сходный с методом Вооля, был предложен Бенедиктом, Джонсоном, Соломоном и Рубиным [67]. По этому методу функция Ф выражается в виде полинома, число констант и членов в котором определяется степенью этого полинома. Для трехкомпонентной системы четырехчленные уравнения для выражения зависимости функции Ф от состава смесей имеют вид [c.343]

Исследовано равновесие жидкость — пар в четырех бинарных системах метилметакрилат — вода, этиленгликоль—вода, этиленгликоль— МЭГ и МЭГ — ДМЭГ (табл. 2). В литературе имеются данные по равновесию жидкость — пар в некоторых из изученных систем [7, 8, 9J, однако, они неудовлетворительно описываются интерполяционными уравнениями Вильсона [4] и Ренона-Праузнитца [5]. [c.91]

Проведена термодинамическая обработка экспериментальных данных по бинарным системам МАК—2-ОПМ и 2-ОПМ—ДМПГ с помощью интерполяционных уравнений Вильсона и Ренона-Праузнитца. [c.82]

Параметры интерполяционных уравнений, а также значения средних отклонений при описании составов паровой фазы и общего д-авле ния в -системе представлены в табл. 5. [c.64]

Завидский [273], а затем многие другие исследователи путем сопоставления расчетов с экспериментальными данными показали, что интерполяционные уравнения Маргулеса хорошо передают условия равновесия между жидкостью и паром в разнообразных системах. Ван-Лаар [274] получил интерполяционные выражения для коэффициентов активности с двумя константами иной формы. Наиболее распространен следующий вид этих выражений [c.211]

Предложенных в работе [132] уравнений (1.49) и (1.50) недостаточно для расчета Е1, К и Лк. так как система уравнений содержит четыре неизвестных Дь К, Лк. Для установления связи между ед и К Использована интерполяционная кривая Карнаухова [57, 58], получен- ая для частиц сферической формы с точечными контактами. Интерпо- [c.41]