Система характеристические уравнени

Рассмотренное выше решение системы дифференциальных уравнений (7-11) — (7-12) и его анализ выполнены для случая, когда ф = и — цЬ > 0. При этом соответствующая система характеристических уравнений имеет два различных вещественных корня. Однако при противотоке соотношения между параметрами ТТН могут оказаться такими, что ф = и — цЬ = 0. В этом случае система характеристических уравнений имеет два равных вещественных корня, поэтому решения системы дифференциальных уравнений (7-11)—(7-12) с граничными условиями (7-14) будут иметь другой вид, а именно [c.123]

Как показано в работах [15], [16], решение данного уравнения сводится к решению системы характеристических уравнений, которые имеют вид [c.225]

Этому уравнению в частных производных первого порядка соответствует следующая система характеристических уравнений [c.159]

Характеристическое уравнение для этой системы мол<ет быть записано как [c.502]

Единственное положение равновесия этой системы линейных дифференциальных уравнений находится в начале координат ( 1 = = = п = 0). Вид ее решения зависит от значений корней -Ли Щ,. ... характеристического уравнения [c.25]

Характеристическое уравнение системы (1,43) имеет вид [c.34]

Если рассматривать коэффициенты характеристического уравнения а и А, как параметры исследуемой системы, то диаграмма Л, о (см. рис. 1-5) позволяет получить некоторое представление о разбиении пространства параметров. В частности, в этом разбиении участвует ось ординат плоскости Д, а—прямая Д = 0. При переходе от а и Д к другим параметрам аналогичную роль будет выполнять кривая, отвечающая соотношению между параметрами, полученному из условия А = 0. [c.138]

В зависимости от характера корней характеристического уравнения в распределенной системе также могут возникнуть стационарное, но пространственно неоднородное распределение концентрации — так называемая бифуркация Тьюринга, или предельный цикл, зависящий от распределения реагентов по координате и порождающий автоволновые процессы [4, 8—П]. [c.38]

Если по экспериментальной кривой переходного процесса Р ( ) на выходе системы удается найти корни характеристического уравнения (6.18), то искомая передаточная функция записывается немедленно на основании теоремы разложения. В этом состоит идея метода. Особенности практической реализации метода определяются тем, какие корни имеет характеристическое уравнение (6.18). Рассмотрим три наиболее характерных случая [5]. [c.314]

Строгая постановка задачи об устойчивости системы и метод ее решения впервые были даны А. М. Ляпуновым [11]. Его работы стали основой исследования устойчивости технических систем, в том числе и химических. Существенные результаты в исследовании устойчивости химических систем получены в работах [12— 14]. Если математическая модель кристаллизатора при нестационарном режиме состоит из линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными или переменными коэффициентами, то возможно применение хорошо разработанных методов анализа устойчивости линейных систем автоматического регулирования. Для устойчивости линейной системы k-то порядка необходимо и достаточно, чтобы все k корней ее характеристического уравнения [c.330]

Характеристическое уравнение для системы (4.18) записывается в виде [c.333]

Для устойчивости линейной системы /г-го порядка необходимо и достаточно, чтобы все п корней ее характеристического уравнения [c.506]

Здесь Yi, 72 — корни характеристического уравнения для системы уравнений (XV,61) и (XV,62) [c.508]

Здесь р обозначены нули передаточной функции, а рУ — ее полюсы. Эти последние представляют собой корни характеристического уравнения, составленного для решения собственно дифференциального уравнения системы. Как известно, устойчивой является только такая система, у которой полюса (или их вещественная часть, если они комплексные) не положительны. Поэтому первое условие записывается так [c.101]

Пусть система (VII,38) устойчива. Это значит, что корни характеристического уравнения [c.187]

Заметим также, что при интегрировании только системы (VII,6) в обратном направлении высокая чувствительность по отношению к начальным значениям и связанные с этим трудности счета исчезают [при переходе от независимой переменной t к переменной х = —t значения корней характеристического уравнения (VII,41) заменяются на противоположные . [c.188]

Предположим, что линейная система описывается в пространстве состояний матрицей в форме (III, 256). Соответствующее характеристическое уравнение (III, 28) может быть представлено полиномом п-ной степени от Я [c.243]

Можно заметить, что система, записываемая характеристическим уравнением (А, 1), неустойчива, если коэффициенты a разных знаков или любые г = О [см., например, Диксона (1939 г.)1. Противо. [c.243]

Коэффициенты а. и За, определенные таким образом, затем используются в качестве аналитических характеристик, отвечающих соответствующим характеристическим ионам при решении системы линейных уравнений для определения неизвестных концентраций. [c.204]

Собственные частоты представляют собой неотрицательные корни характеристического уравнения, которое для нашей системы в развернутом виде будет [c.424]

Если система дифференциальных уравнений в частных производных принадлежит к гиперболическому типу и записана в характеристическом виде [c.103]

Рассмотрим нерезонансный случай. Составляя и решая характеристическое уравнение для порождающей системы (е = 0), соответствующей (3.135), получим собственные частоты [c.136]

Суммарная интенсивность пиков характеристических ионов (обозначаемая как 243, 241, 255, 267, 277, 2103) связана линейной зависимостью с концентрацией соответствую-п.(их углеводородных групп в смеси. В образовании каждого гомологического ряда ионов, характеристического для данного типа углеводородов, принимают также участие и другие типы. Поэтому прп анализе масс-спектров сложных смесей прямое определение концентрации компонентов невозможно необходимо предварительно вычислить долю участия каждого из них в образовании характеристических ионов. Благодаря аддитивности масс-спектров это достигается решением системы линейных уравнений [c.148]

Для интегрирования системы нелинейных уравнений гиперболического типа широко используется метод характеристик. Решение рассчитывается с помощью характеристической сетки, выстраиваемой в процессе счета. Этот метод позволяет детально изучить физическую картину течения. Но его трудно применять при расчете сложных сверхзвуковых течений, когда внутри потока содержатся интерферирующие ударные волны, тангенциальные разрывы и другие особенности. [c.267]

Эволюцию данной модели (фазовые траектории) вблизи положения равновесия при выводе системы из этого равновесия можно найти, линеаризуя уравнение (18.17) по малым параметрам хи у в систему характеристических уравнений [c.368]

Положение точки устойчивого термодинамического равновесия системы всегда находится в области I. Изменение параметра а соответствующим образом приводит к изменению коэффициентов характеристического уравнения, описывающего поведение системы после ее вывода из равновесия, и, следовательно, величин ч и В свою очередь это может привести не только к изменению координат особой точки устойчивый узел", но и к изменению самого типа устойчивости стационарного состояния, если при этом система покинет область 1 устойчивых узлов. [c.369]

Решение системы уравнений (5.209) представляет собой сумму двух экспоненциальных членов, показатели экспонент которых — корни соответствуюш,его характеристического уравнения. Характеристическое уравнение в форме определителя имеет вид [c.209]

В математическом отношении химический потенциал — вполне определенная величина это мера изменения внутренней энергии как характеристической функции при соответствующих постоянных значениях 5, V, Пу Однако следует признать, что физический смысл введенного нового понятия не вполне очевиден. Происходит это по той простой причине, что характеристическое уравнение (VI. 1) относится, конечно, к открытой системе, в то время как методами термодинамики можно изучать только закрытые системы. Тем не [c.150]

В термодинамике функция называется характеристической, если ее значения и значений ее производных разного порядка достаточно для полного описания системы, т. е. для выражения в явной форме любого термодинамического свойства системы. Характеристическими являются функции и, Н, Р, О в том случае, если каждая из них определена в явном виде через вытекающий из фундаментального уравнения следующий набор параметров и (8, V, Х1, Хп,. . ., х ) Н 8, р, х , х ,. . ., х ) Р (Т, V, XI, Х2,. ... Х/,)- С(Т, р, XI, Х2..... Хь). В этом случае сопряженные параметры в уравнениях (2.72) — (2,73) равны первым производным от этих функций (см. 2,74, 2,75), а остальные термодинамические свойства можно вычислить, используя производные разных порядков. [c.91]

Волны в слоях и пластинах. Если твердое тело имеет две свободные поверхности (пластина), то в нем могут существовать специфические типы упругих волн [1, 2]. Их называют волнами в пластинах или волнами Лэмба и относят к нормальным волнам, т. е. волнам, бегущим (переносящим энергию) вдоль пластины, слоя или стержня, и стоячим (не переносящим энергии) в перпендикулярном направлении. Решение волнового уравнения для пластины с граничными условиями равенства нулю напряжений на двух поверхностях приводит к системе из двух характеристических уравнений для волнового числа кр. Она имеет два или больше положительных действительных корня в зависимости от произведения толщины пластины на частоту. Каждому из этих корней соответствует определенный тип волны в пластине (мода). [c.25]

Итак, решение поставленной задачи А состоит из двух этапов максимизация функции Н и интегрирование системы характеристических уравнений (VIII.19) с краевыми условиями (VIII.12), (VIII.15). [c.146]

Если стенки сосуда или тот или иной введенный в систему твердый катализатор влияет ца ход цепного процесса (случай гетерогенных процессов), уравнения Шилова-Боден-штейна неприменимы для ее описания, поскольку при этом возникают концентрационные поля и. й,- = а,-(х, у, г, t). Расчет а. осуществляется с помощью уравнений (25,8). Их решение, как мы видели, требует нахождения корней характеристического уравнения (26,11). В дальнейшем мы покажем, что для достаточно больших t ход процесса определяется, однако, только одним максимальным корнем системы характеристических уравненнй. К нахождению этого корня и сводится, таким образом, вся проблема расчета кинетики цепной диффузии. [c.138]

В данном случае, как показано на рис. VIII-7, корни характеристического уравнения для разомкнутой системы вычерчиваются в комплексной плоскости. Для каждой такоу системы [c.104]

A ). В дальнейшем для системы (3.91) решается задача на собственные значения и аналитически находятся корни характеристического уравнения aik — = О, где б — дельта-функция Кронеккера. Если все корни [c.178]

Исходное состояние устойчиво, если корни характеристического уравнения (1.31) действительны и отрицательны (А1<0, Я,2<0) или отрицательна действительная часть комплексно со-пряженныхкор11ей ЩеХКО). ПрнА,1>0 и Аг>0 или еА,>0 состояние точечной системы неустойчиво, и возможен переход в новое стационарное состояние. [c.32]

В сильнонеравновесных системах возможно возникновение не только триггерного, но и осциллирующего режима с незатухающими периодическими изменениями концентрации. В кинетических системах, где наряду с угнетением происходит активация или торможение процесса продуктом реакции, скорость Т г является функцией концентрации не только исходного реагента, но и продукта. В этих условиях возможно возникновение различных структур, в том числе концентрационных автоколебаний [4] тип структуры может быть определен на основе анализа устойчивости. Неустойчивое состояние типа седло [корни характеристического уравнения (1.31) вещественны и различных знаков ] приводит к возникновению в системе триггерного режима. Неустойчивость типа фокус появляется при комплексно-сопряженных корнях уравнения (1.31) в этом случае в точечной системе возникает предельный цикл, когда любая точка фазовой диаграммы приближается к одной и той же периодической траектории [8, 11]. [c.37]

Изотермы адсорбции на промышленных микропористых адсорбентах по классификации С. Брунауера [3] относятся к первому типу, т. е. функция у = F(u) в безразмерных переменных у = а/ао, и = / q является выпуклой в интервале [О, 1]. В настоящее время для аналитического описания экспериментальных изотерм адсорбции известно большое количество уравнений изотермы Фрейндлиха, Лангмюра, БЭТ, Хилла — де-Бура, Фольмера, Кисарова, Дубинина — Астахова и др. Каждое из этих уравнений с той или иной степенью точности отражает равновесные характеристики системы адсорбент — адсорбат. Зачастую одни и те же экспериментальные данные в широком интервале заполнения адсорбционного пространства удовлетворительно описываются различными уравнениями [6], и выбор аналитического вида функции у F(u) определяется либо простотой выражения, либо приверженностью исследователя к тому или иному уравнению, либо возможностью получить какую-то дополнительную информацию об изучаемой системе характеристическую энергию адсорбции, предельный объем микропор, ширину щелевой поры, удельную поверхность адсорбции и т. п. [c.232]

Компоненты вектора к и л обозначают координаты любых двух стержней горючего в системе конечных размеров, отсчитанные от некоторой произвольной точкп. Выражение (10.259) представляет собой систему однородных уравпений относительно потоков тепловых нейтронов на поверхности стержней фм ( )- Решение этой системы существует, если детерминант равен нулю. Приравнивая детерминант нулю, получим характеристическое уравнение, решение которого дает условие критичности. Как и в случае бесконеч-ной решетки, в это уравпепие входят все четыре основных параметра. Зная любые три из них, можно пз характеристического уравнения найтп четвертый параметр. [c.524]

Основу всех методов локальной линеаризации составляют методы интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений, т.е. они так или иначе связаны с приближенным вычислением матричной экспоненты. В работе [95] предложено однополюсное дробно-рациональное приближение экспоненты в комплексной области. Известно, что неявные методы Рунге—Кутта при интегрировании линейной системы дифференциальных уравнений приводят к дробно-рациональной аппроксимации Падэ и, следовательно, трудоемки, так как фактически требуют обращения матричных многочленов. Неявные линейные многошаговые методы дают аппроксимацию ехр(Аг) главным корнем р(Аг) характеристического [c.146]

Между устойчивостью положегния равновесия исходной системы (8.131) и значениями корней характеристического уравнения линеаризованной системы (8.134) существует непосредственная связь [c.232]

При определении группового состава сложных смесей, представленных в нефтяных фракциях [171], аналитическими характеристиками служат суммарные интенсивности пиков определенных серий так называемых характеристических ионов. Определение неизвестных концентраций различных типов соединений осуществляется решением системы линейных уравнений, учитывающих взаимные наложения их масс-спектров. Калибровочные коэффициенты— элементы матрицы этой системы уравнений — определяются на основании анализа узких фракций модельных смесей, а также с помощью математических мQдeлeй, основанных на эмпирических корреляциях масс-спектров со структурой молекул. Анализ группового состава в конечном счете выводится из известных и все пополняемых масс-спектров индивидуальных соединений. Подробно эти принципы и методики количественного анализа с применением масс-спектрометрии рассмотрены в монографиях [166, 167]. [c.132]

В спектрах углеводородов с двумя и более кратными связями возрастает количество иоиов, образование которых связано с миграцией водорода. Поэтому для углеводородов с общей формулой С Н . --2 (диеновые и цикломоноолефиновые) характеристическими является не один, а два гомологических ряда ионов (67, 68, 81, 82, 95, 96) диссоциативная ионизация алкилбензолов приводит преимущественно к образованию ионов с массами 77, 78, 91, 92, 105, 106, 119, 120 и т. д. Суммарная интенсивность пиков характеристических иоиов прямо пропорциональна концентрации соответствующей углеводородной группы. Аддитивность указанных свойств позволяет производить анализ и расчет состава сложных смесей аналогично смесям, состоящим из небольшого числа компонентов, а учет взаимных наложений осуществляется путем решения системы линейных уравнений. Все эти закономерности использовались для создания методов определения различных классов и типов углеводородов в сложных смесях (бензины, высокомолекулярные нефтяные фракции) [272— 280]. [c.140]