Стационарная точка. Особая точка

Состояние систем, описываемых уравнением (1.2.1), в каждый момент времени характеризуется единственной величиной — значением переменной х в момент времени t. В первую очередь рассмотрим состояния равновесия системы, обозначив их X (стационарная, или особая, точка). По определению, в этих точках dx/dt = О и, следовательно, /(ж) = 0. Если вывести систему из состояния равновесия, то она будет себя вести в соответствии с уравнением (1.2.1), описывающим ее поведение в области, где уже в отличие от состояния равновесия /(ж) ф 0. [c.21]

Так как в пределах одного класса диаграмм характер траекторий фазовых процессов может быть иным, предложено различать диаграммы по типам их особых точек, которые соответствуют чистым компонентам и азеотропам различной размерности в симплексе составов. Тип особой точки может быть выявлен изучением траекторий фазового процесса, стационарные точки которого в точности соответствуют особым точкам диаграммы. Таким процессом, в частности, является процесс равновесной дистилляции. В работах [29—36] были исследованы локальные закономерности траекторий процесса равновесной дистилляции в окрестности особых точек. [c.193]

Особая точка типа седло означает возможность триггерного переключения мембранных систем с одного стационарного состояния на другое с различным распределением реагентов и разными локальными значениями скоростей реакций. [c.33]

На первый взгляд кажется, что использование этого метода позволяет достаточно просто решать задачу определения оптимума нелинейной функции многих переменных. Однако это не так. Существует ряд трудностей при его реализации и ограничений по сфере его применения. Во-первых, при большом числе оптимизируемых параметров рассматриваемый метод становится весьма сложным в части решения системы уравнений (3.1.1). Задача решения системы уравнений (3.1.1) только в простейших случаях оказывается легко разрешимой. В практических задачах оптимизации адсорбционных установок число переменных Х1, как правило, велико. Во-вторых, условие определения экстремума, выраженное зависимостью (3.1.1), является необходимым, но недостаточным для решения задачи. В самом деле, выражение (3.1.1) определяет положение стационарных точек внутри области, среди которых кроме экстремальных могут быть особые точки типа седла . Учет достаточных условий нахождения экстремумов функции многих переменных является весьма сложным как в алгоритмическом, так и в вычислительном плане [51—53]. В-третьих, рассматриваемый метод дает возможность найти экстремум только в том случае, если он лежит внутри, а не на границе области возможных значений аргументов. Между тем, как показывает соответствующий анализ, многие параметры и характеристики адсорбционных установок имеют свои оптимальные значения именно на границах допустимой области их изменения. Следовательно, требуется дополнительный анализ значений минимизируемой функции 3(х, х2.....х ) на границах допустимой области изменения параметров хи Х2,. . Наконец, четвертый недостаток рассматриваемого метода состоит в ограниченности его применения классом задач, в которых оптимизируемые параметры, определяющие значение минимума или максимума функции, независимы, т. е. хи Х2,. .., х [c.123]

Итак, в точке и для функции / должны удовлетворяться либо условия (У,35), если данная точка лежит внутри области либо условия (У,37), если точка и лежит на границе указанной области. Следовательно, задача (1,1), (1,2), (1,3) сводится к нахождению в области точек, в которых выполняются условия (У,35) в (У,37). Посмотрим, что это за условия. Условие (У,35) представляет собой условие стационарной точки функции Е. Из условия (У,37) вытекает, что функция Р не убывает вдоль любого луча, исходящего из точки у (лежащей на границе области и направленного внутрь области Отсюда, если не принимать во внимание некоторые особые [c.97]

В общем случае диффузионный поток является функцией координат и времени, так как йс/йх зависит от х и 1. Если привести в контакт два раствора с различной концентрацией, то в системе начнется диффузия, под действием которой концентрация в различных частях системы будет выравниваться. При этом градиент концентрации будет убывать во времени и при достижении равновесия станет равным нулю. Только в некоторых особых случаях, например когда искусственно поддерживается разность концентраций в определенных местах системы, градиент концентрации, а следовательно, и диффузионный поток не меняются во времени — в системе устанавливается стационарное состояние. В противном случае поток г является функцией х и t, т. е. ( = г х, ). [c.39]

В соответствии с терминологией теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости по А.М.Ляпунову, устойчивому стационарному состоянию соответствует особая точка — устойчивый узел (см. разд. 18.1). [c.344]

Выше было показано, что вблизи термодинамического равновесия в системе невозможны периодические процессы. Следовательно, на фазовых диаграммах устойчивое стационарное состояние в системах, находящихся в области линейной термодинамики, характеризуется особой точкой, для которой эволюция системы при незначительном отклонении из этой точки обязательно приведет систему снова в эту же точку (рис. 17.2 демонстрирует возвращение системы в точку с прежней скоростью диссипации энергии). [c.367]

Положение точки устойчивого термодинамического равновесия системы всегда находится в области I. Изменение параметра а соответствующим образом приводит к изменению коэффициентов характеристического уравнения, описывающего поведение системы после ее вывода из равновесия, и, следовательно, величин ч и В свою очередь это может привести не только к изменению координат особой точки устойчивый узел", но и к изменению самого типа устойчивости стационарного состояния, если при этом система покинет область 1 устойчивых узлов. [c.369]

Переходы между областями I—V устойчивости особых точек можно соотнести с изменением параметра а. Это удобно сделать с помощью диаграммы, на которой по оси ординат отложены значения координат стационарной точки х, а по оси абсцисс — значения параметра а, отражающего степень удаления системы от исходного равновесия (рис. 18.2). [c.370]

Если 0<0, но , 2 — 2 1 = О, т. е. /) = —(а,+ 62) то Х,1 = =0, 2 = а, + Ъг. Один из корней равен нулю. Для линейной системы (15.17) получается не особая точка, но прямая, соответствующая стационарным состояниям, в которую упираются остальные интегральные прямые, направление движения по ним зависит от знака Хз. [c.491]

Особая точка изображает устойчивое или неустойчивое равновесие или стационарное состояние. Определение устойчивости состояния равновесия (применимое и к стационарному состоянию) по Ляпунову гласит [c.491]

Для молекулы в стационарном состоянии вероятность нахождения любого ее электрона в каком-либо элементе объема пространства, в том числе в элементе объема, находящемся далеко за границей того объема, который обычно рассматривают как собственный объем молекулы , вообще говоря, отлична от нуля, за исключением особых точек, в которых волновая функция по тем или иным причинам обращается в нуль. Это будет подробнее показано ниже. [c.58]

Особое внимание в этой работе будет уделено следующим трем проблемам связи явления изомерии с гиперповерхностью потенциальной энергии как с центральным понятием современной теории химических реакций влиянию изомерии компонентов равновесных и кинетических процессов на их термодинамические и кинетические характеристики возможности априорного определения количества стационарных точек на данной гиперповерхности с помощью перечисления методами теории графов. Автор в течение ряда лет работает над этим кругом проблем в Институте физической химии и электрохимии им. Я. Гейровского Чехословацкой академии наук. Отдельные результаты этих исследований опубликованы примерно в тридцати журнальных статьях. Предлагаемая работа является попыткой обобщить и представить в цельном виде указанную проблему. [c.16]

Координаты особых точек находят из соотношений (1У-4), (1У-5). В отличие от режима свободных колебаний при скачкообразных изменениях точки Оу и О2 никогда не попадают в начало координат. Стационарное состояние процесса при вынужденном движении, как и при свободных колебаниях, принципиально возможно только в особой точке О], имеющий характер узла или фокуса. [c.191]

Особые точки, в которых возможны стационарные режимы гетерогенной химической реакции, можно найти из условия [c.206]

Координаты особых точек, определяющих стационарные состояния равновесия, найдем из решения системы [c.289]

Эти особые точки не определяют стационарного состояния равновесия. Отметим также, что при [c.289]

Пусть система уравнений ( 1-17) действительных решений не имеет, а система ( 1-19) дает два действительных корня. При этом объект не получает стационарных состояний равновесия, но особой прямой принадлежат две особые точки. [c.290]

О в новой координатной системе, движущейся со скоростью V вместе с размытым стационарным фронтом при В ф 0. Это сопоставление двух решений показывает, что координата х = х 1 или, что то же, 2 = 0, имеет характер особой точки, относительно которой по обе стороны произошло диффузное размытие фронта (рис. 10). [c.67]

Если перейти к фазовой плоскости / — 0 , то стационарные состояния будут соответствовать особым точкам дифференциального уравнения [c.78]

Исследуя значения корней характеристического уравнения (2.30), можно составить представление о поведении решений уравнений (2,24) в окрестности стационарного состояния у, 0 ). Отклонения т) и от стационарных значений уменьшаются с возрастанием времени, если оба корня Л1 и 1 12 имеют отрицательную действительную часть, или возрастают, если по крайней мере один из корней имеет положительную действительную часть. В первом случае имеет место устойчивая особая точка или, тем самым, асимптотически устойчивое решение. В остальных случаях решение неустойчиво. Если ввести функции [c.79]

Примеры решений рассматриваемых уравнений в форме фазовых портретов приведены на рис. 2.6 и рис. 2.7. Эти решения отличаются только значениями критерия Льюиса. На рис. 2.6 имеет место особая точка типа узла, а на рис. 2.7 — типа фокуса. Если значение Ь у превышает критическое (для режимов, приведенных на рисунках, Ь = 3,25), то возникает предельный цикл. С возрастанием числа предельный цикл расширяется и его асимметрия возрастает. На рис. 2.8 представлена зависимость формы предельных циклов от величины Таким образом, если уравнения (2.23) имеют единственное решение, то стационарные режимы соответствуют либо устойчивым узлу или фокусу, либо предельному циклу. [c.83]

На рис. 2.11 и 2.12 в качестве примера приводится сравнение фазовых портретов, полученных этими двумя методами. Траектории, отмеченные сплошными линиями, получены методом осреднения по формулам (2.51) решений уравнений (2.6), а пунктирные траектории интегрированием уравнений (2.23). Как видно из приведенных примеров, качественно поведение решений имеет один и тот же характер. Имеет место несовпадение траекторий при сохранении качественного характера и формы траекторий. Положения особых точек несколько различны [они сдвинуты вдоль линии 0 = уР(1 /)]> ио тип особых точек один и тот же. Для случаев, в которых обнаруживаются три стационарных состояния (типа траекторий рис. 2.9) могут быть получены аналогичные результаты. [c.86]

Условие (VIII,104) обычно выделяет стационарную точку пли точку локального максимума функции H% (u >), но также мо/кет выделять и особую точку [см. пример на стр. 232]. Здесь предполагается, что такая точка является единственной. Трудности, связанные с возможной многозначностью решения условия (VIH,104), будут отмечены ниже (см. стр. 249). [c.243]

У —[Ь (г — 1)] /, 2 -V г — 1 при i оо начинается конвективное движение жидкости, возникают стационарные ячейки Бенара (рис. 7.16, б). Наконец, при а>Ь-1-1иг>а(а + + > 4- 3)/(о -Ь 1 — Ь) решение не выходит ни на стационарный, ни на периодический режим. Такое решение показано на рис. 7.16, Ь. Таким образом, система из трех уравнений (7.20) описывает стохастические процессы без введения каких-либо флюктуирующих сил. Решение, показанное на рис. 7.16, Ь называют странным аттрактором. Аттракторы — это множество значений, на которые система выходит при оо. Поскольку до модели Лоренца аттракторы обычно представляли как множество изолированных особых точек или замкнутых кривых на фазовой плоскос- [c.321]

Стационарное состояние системы характеризуется равенством притока и расхода переносного компонента. Решение уравнения (1.35) в условиях стационарности Рх х, г/)=0] при различных значениях управляющего параметра а представлено в графической форме на рис. 1.8 там же дана бифуркационная диаграмма процесса х=х а). При а <а<.а2 мембранная система имеет два различных устойчивых стационарнв1х состояния, расположенных на верхней (т. 3) и нижней (т. 1) ветвях бифуркационной кривой, и одно неустойчивое (т. 2) на промежуточном участке этой кривой. Если исходное стационарное состояние расположено на нижней ветви (т. В), то по мере роста а особая точка смещается вправо по фазовой диаграмме при этом происходит монотонное приближение к новому значению концентрации компонента х. При а = аг возможна потеря устойчивости (т. А) и скачкообразный переход А—А в новое состояние с другим значением х. Аналогичный скачок В—В с верхней ветви на нижнюю наблюдается при а = а]. [c.36]

В области гетерогенных равновесий диаграммы систем жидкость-пар и жидкость - твердое тело характеризуются наличием особых точек различной компонентности, что налагает определенные ограничения на процессы ректификации и кристаллизации. Синтез сложных технологических схем, как однородных, так и неоднородных, позволяет выявить оптимальные схемы. Все перечисленные объекты исследования нелинейны, зачастую имеют прямые и обратные связи, и их моделирование впрямую исключает возможность обобщения полученных результатов. Привлечение различных топологических приемов и методов, основанных на топологических инвариантах, позволяет создать общую качественную теорию в области колебательных химических реакций, где в параметрическом пространстве наряду со стационарными точками наблюдают, устойчивые, неустойчивые, а также устойчиво-неустойчивые предельные циклы. В области гетерогенных равновесий появляется возможность создать общую теорию распределения стационарных точек и сепаратрических многообразий, ограничивающих развитие процессов ректификации и кристаллизации и разработать алгоритмы синтеза оптимальных схем разделения. [c.57]

Так как Х1Х2 = > О, корни либо действительны и имеют одинаковые знали, либо комплексно-сопряженные. Следовательно, мы имеем дело со случаями 1, 2 или 5, 6 классификации, приведенной на с. 490. Особая точка, отвечающая стационарному состоянию, есть устойчивый или неустойчивый узел или фокус. Система становится неустойчивой при переходе параметра Ь через значений, удовлетворяющее условию [c.500]

Особый интерес представляет расстояние между точками, где начинается горение и где окончательно формируется стационарная детонационная волна. Расстояние, необходимое для формирования детонационной волны, позволяет также определить, на каких участках трубопровода применение ингибиторов и ловушек пламени даст наибольший эффект. Кроме того, если имеется оценка средней скорости детонации на этом расстоянии, то можно определить время, требующееся для рас-пьшения пламегасяших составов. И наконец, при увеличении длины преддетонационного участка повышается вероятность наложения давлений, ведущего к возникновению аномально высоких давлений. Так как по мере приближения состава смеси к пределам детонации длина преддетонационного участка должна резко возрастать, то этот эффект может бьггь использован для определения пределов детонации. [c.320]

Как и в случае волн переключения (см. разд. 4), найденные нами, решения (одиночный импульс и последовательность импульсов) соответствуют особым фазовым траекториям системы дифференциальных уравнений (5.5.6). Периодической последовательности импульсов отвечает предельный цикл в трехмерном фазовом пространстве (и, и v) его проекция на плоскость (и, v) показана штрихпункти-ром на рис. 5.21. С увеличением скорости с, являющейся заданным параметром в уравнениях (5.5.6), предельный цикл становится все шире и при с — Со попадает в седловую стационарную точку Р, образуя петлю сепаратрисы (ее проекция на плоскость (и, v) есть замкнутая траектория PP RR P). Одновременно обращается в бесконечность период движения по предельному циклу — петля сепаратрисы соответствует режиму в виде одиночного бегущего импульса. [c.170]

Происхождение однокомпонентных особых точек очевидно, так как состав поверхностного слоя в однокомпонентной системе не может отличаться от состава системы в целом. Что же касается двух- и трехкомпонентных особых точек, то их существование связано с экстремумами или стационарными точками поверхностного натяжения соответственно в двойных и тройных системах. Действительно, из уравнения (1.63) находим [c.33]

Неоднокомпонентные особые точки играют роль своеобразных поверхностных азеотропов. Их появление связано с экстремальными или стационарными точками. Такая азеотропная смесь непосредственно не может быть разделена в процессе [c.33]

Ниже этой линии фазовые траектории направлены к устойчивой особой точке на оси асбцисс — узлу О1. При начальных условиях, заданных в этой области, переходный процесс носит апериодический характер, и возможен стационарный режим, соответствующий особой точке Оу. Выше этой линии фазовые траектории направлены к устойчивой особой точке О3, поэтому при начальных условиях, заданных в этой области, возможен другой стационарный режим, соответствующий особой точке О3. Следует отметить, что при реализации режима в особой точке О1 под воздействием возмущений принципиально возможен переход процесса из особой точки Оу в точку Оз, так как особая точка О1 находится вблизи неустойчивой особой точки Оотипа седло . [c.209]

Остановимся еще на ряде свойств асимптотического уравнения стационарного фронта (111.45). Геометрически оно соответствует семейству асимптот, каждая из которых дает график движения заданной концентрационной точки п (рис. 11). Все асимптоты на рис. 11 имеют одинаковый наклон. Тангенс угла наклона прямых численно равен скорости движения стационарного фронта V. Среди семейства асимптот имеется одна, которая проходит через начало координат и для которой, следовательно, г(п) = 0. Это значит, что среди концентрационных точек фронта имеется одна особая точка п, для которой функция г(тг) обращается в нуль. Эту особую, или, как мы будем называть, эффективную концентрацию можно найти непосредственно, решая уравнение г(п) = 0. Но, как было показано выше, условие 2 = 0 — есть начало отсчета в новой подвижной коордийатной системе при замене переменных через подстановку 2 = а — VI. Эффективная концентрация п соответствует координате Я = VI (см. рис. 10). [c.69]

Вопросам экономики и снижения стоимости дизельных топлив придается особое значение в США при выборе топлив для стационарных дизелей, используемых в качестве промышленных силовых установок. Такие установки должны конкурировать с другими источниками энергии, такими, как паровые и газовые турбины и двигатели с искровым зажиганием, работающими на газообразных топливах. В стационарных двигателях промышленных силовых установок в основном применяют дизельные топлива, соответствующие классу 4 по классификации Горного бюро США, т. е. смеси дистиллятных и остаточных топлив. При этом степень, до которой остаточные топлива разбавляют дистиллятными, зависит от климатичс-сьснх условий в районе работы силовой установки, а также от местной экономики и наличия нефтеперерабатывающих заводов вблизи от силовой установки. Практикуется и применение чисто остаточных топлив, однако если последние обладают низкой воспламеняемостью или ухудшают процесс горения, то предварительно впрыскивают порцию легкого дистиллятного топлива с требуемой воспламеняемостью. [c.91]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология