Оценка дисперсии нормально распределенной случайной величины

Оценка дисперсии нормально распределенной случайной величины. Дисперсию генеральной совокупности нормально распределенной случайной величины- можно оценить, если известно распределение ее оценки — выборочной дисперсии Распределение выборочной дисперсии можно получить при помощи, распределения Пирсона или х .распределения. Если имеется выборка п независимых наблюдений х, хч,. .., Хп над нормально распределенной случайной величиной, то можно показать, что сумма [c.44]

Величина о представляет собой статистически обоснованную оценку шума спектрометра. На основании общих соображений предполагается, что шум имеет случайную природу, таким образом величина представляет собой дисперсию нормально распределенной случайной величины. На практике оценку величины а часто проводят по максимальным отклонениям шума М причем [c.172]

Оценка математического ожидания и дисперсии. Метод максимального правдоподобия всегда приводит к состоятельным, хотя иногда и смещенным оценкам, имеющим наименьшую возможную дисперсию при неограниченном возрастании объема выборки. Для нормально распределенной случайной величины получают оценки следующего вида среднее арифметическое Зс для математического ожидания [c.33]

Отметим, что если ошибки определения у — независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и одинаковыми (хотя и неизвестными нам) дисперсиями, то решение системы (7.6) даст состоятельные, несмещенные и эффективные оценки коэффициентов Ь, т. е. действительно наилучшие с точки зрения математической статистики. [c.68]

Оценка математического ожидания нормально распределенной случайной величины. При отсутствии грубых и систематических ошибок математическое ожидание случайной величины, совпадает с истинным результатом наблюдений. Поэтому оценка математического ожидания имеет важное значение при обработке наблюдений. Легче всего оценить математическое ожидание при известной дисперсии генеральной совокупности (см. гл. П, 8). [c.41]

Регрессионный анализ является методом нахождения наилучших оценок коэффициентов регрессии на основании экспериментальных данных он заключается в минимизации суммы квадратов отклонений расчетных значений от опытных г/оп- При этом предъявляются следующие требования к экспериментальным результатам число опытов должно превосходить число коэффициентов регрессионного уравнения (включая и Ьо) или хотя бы не быть меньше него дисперсии опытных значений однородны во всех точках независимые переменные измеряются и фиксируются без ошибок, а функция отклика есть нормально распределенная случайная величина. [c.428]

Найдем оценки максимального правдоподобия для случайной величины X, распределенной по нормальному закону. Как известно, нормальный закон полностью определяется значениями двух первых моментов случайной величины X. Тогда задача сводится к нахождению оценок математического ожидания Мх и дисперсии а по случайной выборке объема п. Отсюда, согласно функции (П,10), для нашего случая получим следующую функцию правдоподобия [c.300]

Среди бесконечного, несчетного множества всех возможных законов распределения случайных величин, единственным законом распределения, у которого параметры, входящие в аналитическое выражение закона, равны математическому ожиданию и дисперсии случайной величины, является закон нормального распределения. А именно, для параметров а и а аналитического выражения (12) имеют место равенства а = МХ, ( = ОХ. По этой причине закон нормального распределения оказался чрезвычайно удобным в пользовании при решении прикладных задач. Еще больше популярности использованию нормального закона прибавило то его уникальное свойство, что в некоторых случаях значения неизвестных параметров закона а и можно оценить, заменив их найденными по выборочным данным значениями точечной оценки среднего арифметического легко вычисляемого применением формулы (15) и точечной оценки дисперсии 3 , вычисляемой применением формулы (16). Иначе говоря, при решении отдельных прикладных задач можно использовать приближенные соотношения [c.99]

Грубые ошибки из ранжированного ряда исключают, оставшиеся значения используют для определения среднего арифметического случайной величины, дисперсии выборки и нахождения доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения. [c.15]

Закон распределения оценки математического ожидания величины X при любом законе распределения самой случайной величины близок к нормальному, причем дисперсия оценки М в п раз меньше дисперсии X. Среднеквадратичное отклонение оценки математического ожидания приближенно равно [c.122]

Если случайная величина X распределена нормально, то дисперсия оценки ее среднеквадратичного отклонения в 2л раз меньше дисперсии X и эта оценка также имеет нормальный закон распределения. Поэтому, задавшись допустимым отклонением [c.123]

При использовании алгоритмов стохастической аппроксимации для определения характеристик объекта в процессе его нормальной эксплуатации случайными являются как величины на входе, так и на выходе объекта. Полученные в работе [4] оценки скорости сходимости для ряда конкретных законов распределения входных переменных показали, что сходимость может быть существенно улучшена, если входные переменные предварительно стандартизованы. Стандартизация заключается, во-первых, в том, что из каждой переменной вычитают ее математическое ожидание (таким образом, вновь введенные переменные имеют математическое ожидание, равное нулю) во-вторых, желательно по каждой из новых переменных выбрать масштаб так, чтобы все они имели одинаковые дисперсии. Для этого за единицу измерения может быть принято по каждой из переменных ее среднеквадратичное отклонение. [c.207]

Результаты измерений обычно содержат случайные ошибки, поэтому статистич. оценки вьшолняют только при наличии серии измерений-т. наз. случайной выборки. Для оценки измеряемого значения к.-л. величины или исследуемой зависимости ее от внеш. условий по данным выборки рассчитывают т.наз. выборочные параметры, характеризующие статистич. распределение ошибок в проведенном эксперименте. Такое распределение, как правило, подчиняется т. наз. нормальному закону, конкретный вид к-рого определяют два параметра-выборочное среднее и выборочная дисперсия (см. ниже). [c.323]

Пусть требуется сравнить две различные по величине оценки стандартных отклонений 1 и 2 со степенями свободы Д и /г. Надо решить, лежит ли различие между 1 и 2 в границах возможных случайных колебаний (см. разд. 5.3), т.е. можно ли оба значения и 2 рассматривать как оценку одной и той же дисперсии генеральной совокупности с нормальным распределением. Проверяемая (параметрическая) гипотеза, следовательно, такова (т = (Т2 =. Если данное предположение выполняется, то отношение следует -распределению (см. [c.116]

Дисперсионный анализ состоит в выделении и оценке отдельных факторов, вызывающих изменчивость изучаемой случайной величины. Для этого производится разложение суммарной выборочной дисперсии на составляющие, обусловленные независимыми факторами. Каждая из этих составляющих представляет собой оценку дисперсии генеральной совокупности. Чтобы решить, значимо ли влияние данного фактора, необходимо оценить значимость соответствующей выборочной дисперсии в сравнении с дисперсией воспроизводимости, обусловленной случайными факторами. Проверка значимости оценок дисперсий проводится по критерию Фишера (см. гл. II, 11). Если рассчитанное значение критерия Фишера окажется меньше табличного, то влияние рассматриваемого фактора нет оснований считать значимым. Если же рассчитанное значение критерия Фишера окажется больше табличного, то рассматриваемый фактор влияет на изменчивость средних. В дальнейшем будем полагать, что выполняются следующие допущения 1) случайные ошибки наблюдений имеют нормальное распределение 2) факторы влияют только на изменение средних значений, а дисперсия наблюдений остается постоянной эксперименты равноточны. [c.75]

Такая проверка имеет ограниченное применение, так как в ней считается известной генеральная средняя 1. Если хотят узнать отклонение от теоретической величины и если имеется нормальное распределение ошибок около теоретического значения, то теоретическое значение и есть генеральная средняя д.. Кроме того, если имеется относительно большое число данных, соответствующее п>30, то средняя из этой выборки может считаться оценкой 1, а средняя меньшего ряда может с ней адекватно сравниваться. Часто, однако, желательно сравнить средние двух относительно малых рядов из П и 2 наблюдений, средние которых соответственно х и Х2, если можно считать, что дисперсии внутри рядов равны дисперсиям при случайном отборе. Для контроля однородности дисперсии применяется / -критерий (см. ниже этот же раздел). Дисперсия для двух выборок следующая [c.592]

Однако возможен альтернативный подход к получению подобных оценок, использованный, например, в работе [25] и наиболее эффективный в тех случаях, когда выражения для частных производных оказываются весьма сложными. Вариации значений функции нескольких аргументов в зависимости от вариаций каждого из них (при фиксированных значениях остальных аргументов) можно оценить, задав серию случайных величин Гп, распределенных по нормальному закону с известными средним значением и дисперсией а, соответствующими среднему значению и стандартному отклонению выбранного аргумента [c.16]

I = lg г, где N — число циклов до разрушения при усталостных испытаниях г — время до разрушения при длительных статических испытаниях. Для оценки дисперсии мех. св-в используют также числовые характеристики, среди которых наибольшее значение имеют а — математическое ожидание (среднее значение) 02 — дисперсия а — среднее квадратическое отклонение у — коэфф. вариации случайной величины X. Математическое ожидание и дисперсия являются параметрами нормального распределения. Перечисленные характеристики носят название генеральных. Экспериментальные оценки генеральных характеристик (характеристик дисперсии мех. св-в) имеют то же наименование и обозначаются соответственно х, 8 , 8 и V. Их подсчитывают по ф-лам [c.374]

В нашем примере получилось очень большое расхождение между двумя оценками, так как анализ выполнялся всего из двух параллельных определений. Между этими двумя оценками есть глубокая принципиальная разница. В первом случае оценка точности производится только на основании результатов данного анализа при этом высказывается только одна гипотеза о том, что наши измерения являются случайной выборкой из генеральной совокупности, подчиняющейся нормальному распределению. Во втором случае высказывается еще гипотеза о том, что дисперсия, характеризующая ошибку воспроизводимости, является устойчивой величиной и что наша малая выборка является случайной выборкой из той генеральной совокупности, для которой раньше нами достаточно надежно была определена генеральная дисперсия. [c.88]

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины X, распределенной по нормальному закону с неизвестными параметрами т и а (при известной ее оценке 5), равен [c.712]

Для расчета вероятностей ошибочной классификации в этом случае вычислим предварительно математические ожидания и дисперсии всех иц (у), г, у = 1, 2, 3, I Ф /, а также их парные коэффициенты корреляции. Затем формируем векторы к = = 1, 2, 3, и оцениваем параметры плотностей распределения этих нормальных случайных векторов (табл. 2.2). Моделируем на ЭВМ случайные векторы v , к = 1, 2, 3, удовлетворяющие соответствующим нормальным плотностям распределений, и получаем требуемые оценки величины интегралов [c.75]

Для статического метода с мембранным нуль-манометром измерения давления (Рд ) и температуры (Гэг) можно считать элементарными. Ввиду этого, рассматривая только случайную составляющую ошибки измерения, для экспериментальных величин разумно предположить нормальный закон распределения. Тогда очевидно, что распределение любой нелинейной функции от этих величин будет отличаться от нормального. По этой причине применение метода наименьших квадратов с произвольной целевой функцией не всегда приводит к оценкам искомых параметров, обладающим требуемыми статистически-АШ свойствами (см., например, [1 ]). При выборе целевой функции следует принять во внимание также и тот факт, что случайные ошибки, а следовательно, и дисперсии экспериментальных величин в общем случае различны для каждой экспериментальной точки. [c.99]

Неравенство Чебышева. Неравенство Чебышева используется в тех случаях, когда распределение результатов и случайных ошибок анализа заведомо отлично от нормального. С помощью этого неравенства удается получить загрубленные статистические оценки для генерального среднего по выборочному среднему Хп, если известна величина генеральной (о ) или по крайней мере выбо/рочной дисперсии (31). [c.84]

В качестве примера получим интервальную оценку для неизвестного среднего по ансамблю случайной переменной X, распред ленной по нормальному закону, используя выборочное среднее X и выборочную дисперсию 8х. В разделе 2.1.5 где описано /-распределение, отмечалось, что статистика / = (X — М-х)/ х является случайной переменной с известной плотностью распределения вероятности. Отсюда следует, что еще до получения выборки можно сделать некоторые вероятностные утверждения относительно величины t, такие как [c.45]

В основе микростатических оценок нормально распределенных случайных величин лежит распределение Стьюдента, которое связывает между собой три основные характеристики выборочной совокупности ширину доверительного интервала, соответствующую ему доверительную вероятность и объем выборки или число степеней свободы выборки = п — . Применение распределения Стьюдента для оценки неизвестного среднего ц нормальной случайной величины х основано на следующем. Пусть х, х , Хп — независимые наблюдения (результаты анализа) нормальной случайной величины X с неизвестными наблюдателю средним р, и дисперсией (т . Вычислим соответствующие выборочные параметры j и 5 и составим дробь t — х — р,) /5. Эта Дробь имеет рас- пределение Стьюдента с = п—1 числом степеней свободы. Сравним величину I с аргументом функции Лапласа и. Если ыл — мера отклонения среднего результата анализа от математического чэжидания р, в единицах генерального стандартного отклонения [c.92]

Оценка математического ожидания норд1ально распределенной случайной величины. При отсутствии грубых и систематических ошибок математическое ожидание случайной величины совпадает с истинным результатом наблюдений. Поэтому оценка математического ожидания имеет важное значение при обработке наблюдений. Легче всего оценить математическое ожидание при известной дисперсии генеральной совокупности (см. гл. II. 8). Генеральную дисперсию аг нельзя получить из наблюдений, ее можно только оценить при помощи выборочной дисперсии iP. Ошибка от замены генеральной дисперсии выборочной будет тем меньше, чем больше объем выборки и. На практике эту погрешность не учитьшают при л >50 и в формуле (11.49) для доверительного интервала генеральный параметр заменяют выборочным стандартом. В дальнейшем предполагается, что наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение. [c.45]

Давление и температура, вычисленные по формулам (2) и (3), строго соответствуют макроскопическим величинам только в предельном случае бесконечно большого интервала времени, по которому проведено усреднение. Ошибка, вносимая ограничением этого интервала, была оценена следующим образом. При темиературе 81,ЗЖ и объеме 27,80 см /моль (условия, соответствующие для аргона-жидкости в районе тройной точки) на ЭВМ БЭСМ-6 была получена фазовая траектория системы длиной 2,7-10 " сек (2700 шагов). Эта траектория была разбита на участки по 2-10 сек каждый и средние вдоль этих участков рассматривались как случайная выборка из нормального распределенной совокупности случайных величин. Оценка дисперсий соответствующих распределений дает с вероятностьг 90% доверительные интервалы (16,8 атм <ар<28,8 атм) для дисперсии давлений и (0,8°К < (1т<1,2°К) для дисперсии темпе- [c.6]

Применяемый для определения КО метод группового учета аргументов обладает высокой помехоустойчивостью [6]. Проведем количественную оценку устойчивости величины корреляционного отношения к зашумле-нию промысловых данных о дебитах скважин. Для этого исходные временные ряды месячных дебитов скважин Минаевского участка за период с 01.1975 по 12.1977 г. зашумлялись - накладывалась случайная нормально распределенная ошибка с заданной дисперсией [19]. Величина среднеквадратического отклонения составила 5, 10, 15, 20, 25 и 30% от значений исходного ряда. Вновь полученные временные ряды дебитов (зашумленные) обрабатывались по программе МГУА и оценивались значения КО (табл. 31). [c.226]